同一群學童之概念詮釋結構圖比較

為了瞭解不同精熟度的學童其個別化概念差異，運用Lin et al. (2006) 所設計 的概念詮釋結構模式分析軟體CAISM，輸入受試者反應矩陣 (如附錄五) 與試題 屬性矩陣 (item-attribute matrix) (如附錄六) ，即可獲得各學童在八個概念中的的 精熟度矩陣 (master concept matrix) D(d_na)_NA，如表4-1-1，對於每個受試者 n 而言，也可獲得所有兩兩概念之間的從屬關係機率構成模糊關係矩陣 (fuzzy relation matrix) F_n(p_aa')_AA，而所有學童的模糊關係矩陣，利用α截集 (α-cut) ， 選定α值且01運算後，即可獲得二元關係矩陣 (binary relation matrix) 的相 鄰矩陣 (adjacent matrix) 。

運用林原宏 (2003) 所設計的模糊集群分析軟體FCUT，在FCUT軟體中讀取 各學童的精熟度矩陣 (master concept matrix) D(d_na)_NA後，如表4-1-1，調整 所要的群數，即可得到各群在各個概念的精熟度、分割係數 (partition coefficient) 和分割亂度 (partition entropy) 之值，如表4-1-2，因為分割係數要愈大愈好，分 割亂度要愈小愈好，所以決定將學童分成三群。見表4-1-3可得知這三群中，第 一群 (低精熟組) 有17位，每個概念的精熟度大約是.5左右，第二群 (中精熟組)

有15位，第一個概念較精熟大約是.7左右，其他的概念精熟度大約是.5左右，第 三群 (高精熟組) 只有一位，每個概念的精熟度都是1，顯示各個概念都很精熟。

在低、中、高精熟組三群中各自隨機抽取三位學童，低精熟度中的01號、06 號、22號，中精熟度中的04號、16號、23號，高精熟度只有20號一位，所以選取 20號，並以這七名學童各自比較同一群學童的概念詮釋結構圖之異同。此七名學 童的答題情況如表4-1-4所示，其模糊關係矩陣見附錄七，並以α = .55進行截矩陣 後，其二元關係矩陣如表4-1-5所示，根據這七名學童的二元關係矩陣，繪製其 概念詮釋結構圖，如圖4-1-1至4-1-3所示。

Wadsworth (1978) 根據J. Piaget的理論與主張，提出數學學習應採取的三項 原則：1.兒童只有透過對物體的自發性行動，才能建構數學的概念。2.兒童要瞭 解所使用的符號意義後，才能瞭解數學表象的歷程。3.兒童要瞭解數學概念，才 可以鼓勵他處理以象徵、符號表示的數目概念。根據Wadsworth所提出的三點與 九年一貫數學領域暫行綱要中有關小數的能力指標，如表4-1-6，可得知國小階 段在所有小數概念的學習順序，與本研究的八個小數概念比對後，可得知這八個 概念的概念發展順序如表4-1-7所示，概念1 (小數意義的理解) 包含在N-1-8的能 力指標中，是最先學習的概念，所以應位於概念階層結構圖的最下層，概念5 (小 數與數線的對應關係) 、概念7 (小數的稠密性) 包含在N-2-19的能力指標中，是 四年級學童最晚學習的概念，所以應位於概念階層結構圖的最上層，而概念2、

概念3、概念4、概念6、概念8包含在N-1-8與N-2-7中，所以應位於概念階層結構 圖的中間層。接下來會分別探討同一群的學童其概念詮釋結構圖的異同與其數學 意涵。

表4-1-1 學童的精熟度矩陣(master concept matrix)

表4-1-3 各群學童的精熟度

表4-1-4 不同精熟組學童之答題情況

表 4-1-5 不同精熟組學童之二元關係矩陣(續)

表4-1-6 九年一貫暫行綱要之小數能力指標

號碼 能力指標

N-1-8 在一個整體 1 被明確十等分的具體生活情境中(包含離散量、連續 量)，能以一位小數描述其中的幾分，並能進行一位小數的合成、分 解活動(和及被減數<1)。

N-2-7 能以二位小數描述具體的量，並解決二位小數的合成、分解及簡單 整數倍問題。

N-2-19 能利用等分好的線段上，做出一條簡單的整數數線，並能進一步延 伸至簡單的分數和小數的數線。

N-3-5 能延伸小數的認識到三位以上(小數)，並解決生活中與小數有關的 加、減、乘、除問題。

N-3-6 在具體情境中，能用分數、小數表示除的結果(除的結果為有限小數)。

N-3-9 能理解同類量中不同單位間的關係，並作化聚活動(可以有分數、小 數)。

表4-1-7 小數概念發展順序

層數 概念

第三層 概念5 (小數與數線的對應關係) 、概念7 (小數的稠密性)

第二層 概念2 (小數的位值、位名) 、概念3 (小數的化聚) 、概念4 (小數的 十進結構) 、概念6 (比較小數的大小) 、概念8 (小數與分數的轉換) 第一層 概念1 (小數意義的理解)

圖4-1-1 低精熟組學童的概念詮釋結構圖

圖4-1-2 中精熟組學童的概念詮釋結構圖

圖4-1-3 高精熟組學童的概念詮釋結構圖

一、低精熟組學童

根據圖4-1-1，01號、06號、22號三生小數概念詮釋結構圖，其特點如下：

(一)概念階層都是兩層。

(二)概念間彼此的指向關係不多。

(三)多個概念都沒有下位概念。較難精熟的概念應建立在較易精熟的概念之上，

而非毫無下位概念。

(四)概念6 (比較小數的大小) 為共同的下位概念，而非概念1 (小數意義的理 解) 。在學習小數單元時，所有的小數概念應建立在概念1 (小數意義的理 解) 上，因此概念6 (比較小數的大小) 也要學會概念1之後才能精熟，而 非與概念1同在最下階層，成為其他概念的下位概念，由此顯現低精熟度的 學童其概念詮釋結構圖的紊亂。

(五)每個概念的精熟度都在0.5左右，較易精熟的概念與較難精熟的概念差異不 大，顯示小數概念的基礎概念1 (小數意義的理解) 不精熟，學童在作答時 容易猜測答案，導致整個概念詮釋結構圖的紊亂。

綜合上述，顯示低精熟組學童的小數概念間並未存在明顯的關聯性及階層關 係，且每個概念的精熟度僅介於.48～.56之間，說明低精熟組的小數概念薄弱。

二、中精熟組學童

根據圖4-1-2，04號、16號、23號三生小數概念詮釋結構圖，其特點如下：

(一)概念階層都是三層。

(二)概念1 (小數意義的理解) 為所有概念的下位概念，且位於最底層。

(三)概念間彼此的指向關係較多。

(四)位於最底層的概念1 (小數意義的理解) 精熟度約0.7，位於中間層的概念精 熟度約0.6，位於最頂層的概念精熟度約0.5，不同於低精熟度的學童其每個 概念精熟度彼此差異不大，顯現中精熟度學童較低精熟度學童的概念詮釋結

(五)概念6(比較小數的大小)都在第二階層。

綜合上述可發現，以精熟程度而言，中精熟組的學童在「小數意義的理解」

這個概念上最為精熟，而在概念的連結指向關係上，若能加強「小數意義的理 解」，將有助於提昇其他七個概念的精熟度。

三、高精熟組學童

根據圖4-1-3，20號學童小數概念詮釋結構圖，其特點如下：

(一)概念階層只有一層。

(二)所有的概念都位於同一層，而且左右概念互相指向。