以下針對07號、19號、30號、18號、11號、21號這六位學童，分析比較補救 教學前後的概念詮釋結構圖其異同之處、反應組型的異同處，與學童在概念詮釋 結構圖上的變化其在數學上的意義，六位學童在進行補救教學前後的答題情形如 表4-4-3所示，其模糊關係矩陣見附錄十一，並以α = .55進行截矩陣後，其二元關 係矩陣如表4-4-4所示。
表4-4-3 補救教學前後之答題情形
表 4-4-4 補救教學前後之二元關係矩陣(續)
一、07號學童
根據表4-4-4中07號學童其二元關係矩陣，繪製其概念詮釋結構圖，如圖4-4-7 所示。由圖4-4-7可得知在補救教學前後的概念詮釋結構圖差異很大。以下探討 在補救教學前後的概念詮釋結構圖其雷同之處、相異之處與反應組型的比較。
補救教學前 補救教學後
圖4-4-7 07號在補救教學前後的概念詮釋結構圖
圖4-4-8 07號在補救教學前後的精熟度比較圖
(一)概念詮釋結構圖雷同之處
1.概念1 (小數意義的理解) 仍然是在07號學童概念詮釋結構圖的最下層，而概念 3 (小數的化聚) 、概念7 (小數的稠密性) 也是在07號學童概念詮釋結構圖的最 0.4
精 熟 度
0.9
上層。顯示概念1是所有概念中最精熟的概念；而概念3、7是所有概念中最不 精熟的概念。
(二)概念詮釋結構圖相異之處
1.概念階層由兩層變為四層，各概念的精熟度在補救教學前約等於.5，在補救教 學後，位於最下位的概念1其精熟度為.66，位於第二層的概念其精熟度為.58，
位於第三層的概念其精熟度約.55，位於最高層的概念其精熟度約.5，顯示在補 救教學後概念詮釋結構圖較有階層性，小數基本概念較精熟，且與其他概念的 精熟度相差較大。
2.在補救教學後概念1 (小數意義的理解) 為所有概念的下位概念；但在補救教學 前概念1只為概念2、8的下位概念。顯示在加強小數的最基本意義後，概念1 已成為學習其他小數概念的基石，07號學童較會運用概念1來學習其他概念。
3.在進行補救教學後概念4 (小數的十進位結構) 、概念5 (小數與數線對應關係)、
概念6 (比較小數的大小) 變到第二層或第三層，而不在最下層了，且精熟度也 較提高。顯示概念4、5、6較為精熟，而且應先精熟概念1後，再運用概念1 的觀念來強化概念4、5、6。對照表4-1-7，顯示補救教學後的概念詮釋結構圖 與表4-1-7的小數概念發展順序較類似，即在進行補救教學後概念詮釋結構圖 較符合邏輯。
4.在進行補救教學前概念6 (比較小數的大小) 指向概念2 (小數的位值與位名) 、 概念3 (小數的化聚) 、概念7 (小數的稠密性) 、概念8 (小數與分數的轉換) ， 但在補救教學之後卻指向概念3 (小數的化聚) 、概念5 (小數與數線對應關係)、
概念7 (小數的稠密性) 、概念8 (小數與分數的轉換) ，概念6除了都指向概念3、
7、8之外，也由指向概念2轉而指向概念5。顯示學習的階層性改變，而就學習 的邏輯性而言應先學會小數的位值才能比較小數的大小，能比較小數的大小後 才能學習小數與數線的對應關係，所以進行補救教學後知識結構圖較符合邏輯 性。
位概念，但進行補救教學後卻有概念1 (小數意義的理解) 、概念2 (小數的位值 與位名) 、概念4 (小數的十進位結構) 、概念6 (比較小數的大小) 、概念8 (小 數與分數的轉換) 這五個下位概念，而且在進行補救教學前後，概念7的精熟 度都是最低的，顯示概念7對於07號學童是最難的概念。對照表4-1-7，可得知 概念7位於最上層的概念，顯示概念7較難精熟，需要精熟更多的概念後才能學 會概念7。
6.在進行補救教學前，其概念詮釋結構圖位於最高階層的概念其下位概念個數分 別有一個、兩個、四個，呈現有的較多，有的較少的情況，但在進行補救教學 後，其包含的下位概念數分別為三個和五個，在整個概念階層結構圖包含最多 下位概念。顯示在進行完補救教學後，位於愈高階層的概念，其包含的下位概 念愈多。
7.概念5 (小數與數線對應關係) 在進行補救教學前是概念8 (小數與分數的轉換) 的下位概念，但進行補救教學後卻不指向任何概念。對照表4-1-7可得知，小 數與數線對應關係不應是小數與分數互換的下位概念，所以進行補救教學後，
概念結構圖較符合邏輯性。
(三)反應組型的比較
1.由表4-4-3可得知，第1題在進行補救教學前後都答錯，由所選的答案得知在小 數與分數轉換的此題中，問轉換後的分數其分母是多少，但卻回答成分子，顯 示在題意上的瞭解較無法掌握。
( 4 )1.小明有0.03盒糖果，請問小明的糖果是將一盒平分成幾等分後取其中的三等分?
(1) 10(2) 100(3) 30(4) 3
2.第3題與第4題所測到的概念是一樣的，第3題經過補救教學後已由答錯變成答 對，但第4題在補救教學後反而由答對變成答錯，顯示完全忽略小數點的存在 (Roberta, 2003)，所以07號學童在概念3 (小數的化聚) 仍然存在迷思概念。
( 1 )4.養樂多一瓶0.2公升，小芬買了10瓶，合起來共是多少公升？
(1)20(2) 2(3) 0.2(4) 0.02
3.第15題在進行補救教學前後都答錯，由所選的答案得知在小數的稠密性此題中
，問兩個小數之間有多少個小數，兩次都回答：「只有十個。」顯示仍然無法 掌握小數的稠密性。
( 1 )15.請問7.8與7.9之間有多少個小數？
(1)10個(2)100個(3)1000個(4)很多個，數不完
由圖4-4-8可得知經過補救教學後整體的精熟度有提升，在表4-1-7中位於最 下層的概念1的精熟度提升最多，而位於最上層的概念5、7精熟度提升最少，顯 示愈基礎的概念愈容易精熟，愈難的概念愈需要更多的時間才能大幅度的提升精 熟度。對照表4-1-7可得知，在進行補救教學前的概念詮釋結構圖不太符合邏輯 性，進行完補救教學後，只錯三題，分析其答案，發現學童答錯的原因如下：不 瞭解題意、或尚未精熟此概念，顯示隨著概念愈精熟，概念詮釋結構圖較能符合 邏輯性，且概念間的階層性、次序性會比較明顯。
二、19號學童
根據表4-4-4中19號學童其二元關係矩陣，繪製其概念詮釋結構圖，如圖4-4-9 所示。由圖4-4-9可得知在補救教學前後的概念詮釋結構圖差異很大。以下探討 在補救教學前後的概念詮釋結構圖其雷同之處、相異之處與反應組型的比較。
補救教學前 補救教學後 圖4-4-9 19號在補救教學前後的概念詮釋結構圖
圖4-4-10 19號在補救教學前後的精熟度比較圖
(一)概念詮釋結構圖雷同之處：
1.概念1 (小數意義的理解) 仍然是在19號學童概念詮釋結構圖的最下層，而概念 3 (小數的化聚) 、概念4 (小數的十進位結構) 、概念7 (小數的稠密性) 、概念 8 (小數與分數的轉換) 也是在19號學童概念詮釋結構圖的最上層。顯示概念1 是所有概念中最精熟的概念；而概念3、4、7、8是所有概念中最不精熟的概念。
(二)概念詮釋結構圖相異之處：
0.4
精 熟 度
0.9
1.概念階層由兩層變為三層，各概念的精熟度在補救教學前約等於.5，在補救教 學後，位於最下位的概念1其精熟度為.81，位於第二層的概念其精熟度為.6，
位於最高層的概念其精熟度約.55，顯示在補救教學後概念詮釋結構圖較有階 層性，小數基本概念較精熟，且與其他概念的精熟度相差較大。
2.在補救教學後概念1 (小數意義的理解) 為所有概念的下位概念；但在補救教學 前概念1只為概念5、7的下位概念。顯示在加強小數的最基本意義後，概念1 已成為學習其他小數概念的基石，19號學童較會運用概念1來學習其他概念。
3.在進行補救教學後概念6 (比較小數的大小) 變到第二層，而不在最下層了，
且精熟度也較提高。顯示概念6較為精熟，而且應先精熟概念1後，再運用概 念1的觀念來強化概念6，對照表4-1-7可得知，補救教學完後的概念詮釋結構 圖較符合邏輯。。
4.在進行補救教學前概念6 (比較小數的大小) 指向概念3 (小數的化聚) 、概念4 (小數的十進位結構) 、概念5 (小數與數線對應關係) 、概念7 (小數的稠密 性) ，但在補救教學之後卻指向概念3 (小數的化聚) 、概念5 (小數與數線對應 關係) 、概念7 (小數的稠密性) 、概念8 (小數與分數的轉換) ，概念6除了都 指向概念3、5、7之外，也由指向概念4轉而指向概念8，顯示學習的階層性改
變 。
5.概念7 (小數的稠密性) 在進行補救教學前只有概念1 (小數意義的理解)、
概念6 (比較小數的大小) 這兩個下位概念，但進行補救教學後卻有概念1 (小 數意義的理解) 、概念2 (小數的位值與位名) 、概念4 (小數的十進位結構)、
概念6 (比較小數的大小) 這四個下位概念。顯示需要精熟更多的概念後才能 學會概念7。
6.在進行補救教學前，其概念詮釋結構圖位於最高階層的概念其下位概念個數分 別有零個、一個、兩個，呈現有的較多，有的較少的情況，但在進行補救教學 後，其包含的下位概念數分別為三個和四個，在整個階層結構圖包含最多下位
多。
7.概念4 (小數的十進位結構) 在進行補救教學前的下位概念是概念6 (比較小數 的大小) ，但進行補救教學後概念4的下位概念變為概念1 (小數意義的理 解) 。顯示學習的階層性改變，而就邏輯性而言比較小數的大小不應是小數的 十進位結構的下位概念，應該是小數意義的理解，所以進行補救教學後，概念 詮釋結構圖較符合邏輯性。
8.概念8 (小數與分數的轉換) 在進行補救教學前沒有任何下位概念，但進行補救 教學後卻有概念1 (小數意義的理解) 、概念4 (小數的十進位結構) 、概念6 (比 較小數的大小) 這三個下位概念。對照表4-1-7可得知，小數與分數的轉換不應 沒有下位概念，所以進行補救教學後，概念詮釋結構圖較符合邏輯性。
(三)反應組型的比較
1.第16題在進行補救教學前後都答錯，而在包含概念8的四題中，第16題是較複 雜的題目，顯示學童比較無法掌握較難的小數與分數的互換。
( 3 )16.請問100 30
等於下列哪一個小數？
(1)3(2) 0.3(3) 0.03(4)0.003
由圖4-4-10可得知經過補救教學後整體的精熟度有提升，在表4-1-7中位於最 下層的概念1的精熟度提升最多，但精熟度提升最少的並非是位於最上層的概念 5、7，而是概念8 (小數與分數的轉換) ，顯示愈基礎的概念愈容易精熟，而且 對於不同的學童來說最難學習的概念不一定相同。進行完補救教學後，19號學童 只錯一題，隨著概念愈精熟，概念詮釋結構圖較能符合邏輯性，且概念間的階層 性、次序性會比較明顯。
三、30號學童
根據表4-4-4中30號學童其二元關係矩陣，繪製其概念詮釋結構圖，如圖
4-4-11所示。由圖4-4-11可得知在補救教學前後的概念詮釋結構圖差異很大。以 下探討在補救教學前後的概念詮釋結構圖其雷同之處、相異之處與反應組型的比 較。
補救教學前 補救教學後
圖4-4-11 30號在補救教學前後的概念詮釋結構圖
圖4-4-12 30號在補救教學前後的精熟度比較圖
(一)概念詮釋結構圖雷同之處
1.概念1 (小數意義的理解) 仍然是在30號學童概念詮釋結構圖的最下層，而概念
1.概念1 (小數意義的理解) 仍然是在30號學童概念詮釋結構圖的最下層，而概念