三分鐘立體紙模型 用 STEM 的角度去設計和改進 譚志良

香港大學教育學院

我十分喜歡製作立體模型去幫自已或學生去觀察和思考三 角或幾何問題。

有模型在手，學生便可以用不同的角度去看，和書本上的圖 形作對照，以加深對不同概念的理解。但一般教科書附上的 立體摺紙圖，（從要花的時間和對手工的要求的角度來看）

製作並不容易，因此未能普遍用在課堂上。此外，常見的紙 模型也未能完全針對學生的理解上的一些難點。例如錐體的 內部隱藏的不同三角形就很少在模型中找到。

立體幾何軟件的普及，確實令很多學生終於看見立體內的結 構。但學生在電腦上看到的始終是三維立體在二維平面上的 投影，不少學生仍是有點想不通。

多年前數學教育組曾製作一套立體的教材給中學使用，使用 方便，能幫助學生理解相關概念。受到相關教材的啟發，我 也斷斷續續的思考如何改進立體摺紙圖樣，也思考如何設計

一些有助學生理解立體內部結構的紙模型。STEM 教育中有

「工程」的元素，我的設計也考慮了工程上一個必須考慮的

紙樣摺起來的難度。 首先，傳統的摺紙圖樣，部分的相鄰 的面大多是利用一個窄長的梯形面作為上膠水黏合之用，對 小朋友來說，難度不少，對童年時較少砌模型的教師，也有 一定難度。於是我在設計時就把梯形黏合位改成和鄰面重覆 的黏合位，這樣雖然用多了紙和膠水，但剪起來少了轉折位，

黏合時對位容易多了，令在課堂即時製作和探究變得可行。

圖一

https://youtu.be/jcsPW7FrLHo

左邊四角錐的摺紙圖樣，只需 要剪8 刀（4 刀剪出正方形；

4 刀剪虛線）。

剪完後摺 12 條摺痕，就可以 做出來，再用膠紙或膠水可以

簡單固定。就算不落膠水，也 可用手輕輕固定。

我拍了短片，大約三分鐘可以 完成。

圖二（三分一個正立方體的 四角錐）

圖三（六分一個正立方體的四 角錐）

用相同的想法﹐一些較不常見但值得給學生觀察的錐體也可 以做出來。（如圖二和圖三）運用整塊面的重疊去重新設計 立體圖形的摺紙圖樣，既減少剪的時間，也有利對位，此外，

因為立體模型有幾塊面會有兩張紙的厚度，堅固程度也略為 提高了。

由於現在可用 GeoGebra 軟件畫圖，只要運用軟件中不同 功能（如尺規作圖、幾何變換等），可能會做到出一些以前 想做又不易做到的摺紙圖樣。想到一些學生在解決三角學應 用在立體的問題時，往往不易理解立體內部的情況，於是做 了一些協助學生觀察立體內部的圖樣。

圖四 （四角錐內兩個三角 面的夾角）

圖五（剪開並初步按摺痕摺）

圖六（摺起來） 圖七（冇膠水膠紙，用釘書機 也可以固定）

圖七是一個有助學生了解錐體內部的立體，也可以在幾分鐘 內合成。學生能較清楚觀察四角錐兩塊相鄰三角面的夾角是 怎樣的，並有助了解要運用哪些三角形去解題，過程中要計 算哪些線的長度。