從繡曲線到包絡線 李健深

在小學數學修訂課程（課程發展議會，2009，頁 44）中的增

潤課題學習單位 3E1 繡曲線中，學生須認識及欣賞繡曲線

和製作繡曲線。一般來說，教師多以下列的例子作為起點，

向學生講解甚麼是繡曲線，或讓學生根據指定規律製作繡曲 線。本文嘗試從這例子出發，解釋如何找出有關繡曲線的方 程。我們亦會引入包絡線 Envelope 的概念，作為繡曲線更 嚴謹的數學定義，並運用偏微分方程，從另一角度計算該繡 曲線的方程。

例

1

將兩互相垂直線段

OA

0和

OB

0各等分為10 份。分別標記其 中的點為

A

1、A2、… A9 和 B1、B2、…B9（圖1）。用線段 將

A

1和

B

9連接、將

A

2和

B

8連接，如此類推，便可形成如

圖1 的繡曲線。若將原來的兩線段再細分為更多等分，則可

進一步製作更細緻的繡曲線。

圖1

當然，兩線段未必需要等長及互相垂直，同時不一定要有共

同交點，即圖 1 中的 O 點。從此角度來考慮，可製作不同

的繡曲線，詳見《繡曲線—令人賞心悅目的數學》（梁，2011，

頁1330）。以下我們引入直角坐標系及利用繪圖軟件，作

更詳細的討論。

開啟繪圖軟件 GeoGebra，分別繪畫(0,0)與(1,0)的線段，

(0,0.1)與(0.9,0)的線段，(0,0.2)與(0.8,0)的線段，……直至 (0,1)與(0,0)的線段。同樣可製作如圖 1 的繡曲線（圖 2）。

y

x

圖2

若教師以此為例子引入繡曲線，可討論上述線段端點的坐標 有甚麼關係等問題。又或者若一線段的端點為(0,0.25)，則另

一端點的坐標是甚麼？學生不難發現要製作繡曲線時，若

A

(a,0) 為一線段的端點（其中 0  a  1），則該線段的另一 端點

B 的坐標應是(0,1a)。利用 GeoGebra 中的 Slider 和

Trace 功能，可製作如圖 3 和圖 4 更精細的繡曲線。

y

x

y

圖3

圖4

x

x

在上述繪圖軟件的協助下，學生會體會到製作繡曲線並不一 定要將線段等分，重點反而在於線段端點須滿足某些關係。

換句話說，若

A(s,0)和 B(0,t)為線段兩端點的坐標（其中 0



s  1 及 0  t  1），s 和 t 須滿足 s + t = 1 的條件。

另一點須留意的，以上述方法是「製作」繡曲線，而非「繪 畫」繡曲線。上述的繡曲線是因線段移動後所形成的軌跡（圖 4 的黑色部分）的曲線邊界部分。直觀而言，這些線段正是 繡曲線的切線。

繡曲線的方程

究竟上述繡曲線的方程是甚麼？如何求得？我們可利用線 段是繡曲線的切線的概念，求出繡曲線的方程。

圖5 中線段 AB 的端點分別在 x 軸和 y 軸上，其中 A = (t,0)、

B = (0,1  t)且 0  t  1。線段 AB 可被看為直線族。

圖5

圖6 y

x

y

x

直線族

AB 方程為 (1  t)x + ty = t (1 t)

…(1) 其中 0  t  1 化簡，可得 t² + ( y  x  1) t + x = 0 …(2)

設 (h,k) 為曲線上的一點（圖 6）。

對於每一點 (h,k) ，均滿足(2)。

所以 t² + ( k  h  1) t + h = 0 …(3)

因為曲線與直線族只相交於一點，以

t 為未知數的二次方

程(3)只有一個解，所以  = 0。

因此 (k  h 1)²  4(1)(h) = 0 以 (x , y) 代替 (h,k)，繡曲線方程為 (y  x 1)²  4x = 0 展開得繡曲線的方程

x

²  2xy + y²  2x  2y + 1 = 0 …(4)

上述的方法⁴需要考慮某二次方程的判別式，對於修讀高中

數學必修部分的學生是可以理解。但有其局限性，因為對於 一般情況並不適用。我們將會在此引入另一個數學概念以協 助解決問題。

      

包絡線 Envelope

根據 Penguin Dictionary of Mathematics，包絡線 Envelope 的定義如下：

“A curve that touches (is tangent to) every number of a given

family of curves.” (Nelson, D., 2008, p. 146)

“In general, a family of curves is defined by a parameter m,

and members that differ by a small amount  m will interest.

The locus of these points of intersection as  m tends to zero becomes the envelope. The equation of the envelope can be found by equating to zero the partial derivative with respect to m of the equation of the family.” (Nelson, D., 2008, p. 146)

若曲線族⁵方程為 ，則其包絡線方程同時滿足 和 …(5)

換句話說，包絡線是繡曲線在數學上一個更準確的描述。

例

2

已知直線族 y = 2mx  m²，其中

mR

…(6) 對於

m 求 (6) 的偏微分（求導數時當 x 和 y 為常數），得

0 = 2x  2m       

m = x

…(7) 將 (7) 代入 (6) 以消除 m，

得 y = 2(x)x  (x)²= x²

直線族(6)的包絡線方程：

y = x

²（圖7）

圖7 y

x

現在我們可以用同樣方法，求例1 的包絡線的方程。

由(1)， (1  t)x + ty = t (1 t)，其中 0  t  1

設 …(8)

得 …(9)

將(9)代入(8)，得

化簡後，得

x

²  2xy + y²  2x  2y + 1 = 0 這方程與上述方程(4)吻合。

利用GeoGebra 可繪畫方程(4)的圖像（圖 8）。

圖8

讀者不難發現，圖8 所繪畫的曲線範圍與圖 4 不同。這是因 為我們在方程(1)中的直線族加入限制條件 0 

t

 1 作考慮。

若不限定

t 的範圍，便可得到圖 9（與圖 8 的曲線一致）。

y

x x²  2xy + y²  2x  2y + 1 = 0 

圖9

例

1 的繡曲線是甚麼圖形？

對於圖8 這二次曲線（或稱圓錐曲線），究竟是甚麼圖形？

拋物線？雙曲線？我們可以將方程(4)的圖像旋轉成為一標 準圖形，從而知悉原來是甚麼圖形。

設

P 為坐標上的一點，O 為原點。OP = r，OP 與正 x 軸的

夾角為 。

   

圖10

及 …(10)

…(11)

由(10)， …(12)

將(11)代入(12)，

…(13) x y

由(4)

x

²  2xy + y²  2x  2y + 1 = 0 可改寫為 (x y)²  2(x +y) + 1 = 0 或

√ √ …(14) 在(13)中，設 = 45，得

√

√

…(15)

將(15)代入(14)，得

或 _{√ √} …(16)

由於(16)是拋物線 的形式，可理解為將拋物線

擴大 _√ 倍，再沿 y 軸向上移 _√ 單位。我們可先 繪畫方程(4)的圖像。在圖像上選取一動點 X，X 沿原點逆時 針旋轉45至 X



。選擇Trace on X



，便會得出如圖11 的拋 物線。

圖11 參考文獻

[1] 課程發展委員會（2017）。《數學教育學習領域課程指 引補充文件：小學數學科學習內容》。香港：課程發展 委員會。

[2] 梁潔英（2011）。繡曲線—令人賞心悅目的數學，《學 校數學通訊第十七期》香港：香港特別行政區政府教育 局課程發展處數學教育組。

[3] Nelson, D. (Ed.). (2008). Penguin Dictionary of Mathematics (4th ed.). London: Penguin Books.

y

x

7. The Easter Eggs in the Examinations

在文檔中 ISSUE 24 (頁 76-91)