11. A4 摺紙
劉徽在注文中說：「
假令廣袤各一尺，高一尺，相乘之，得
立方積一尺。邪解立方得兩塹堵；邪解塹堵，其一篇陽馬，
一為鱉臑。陽馬居二，鱉臑居一，不易之率也。合兩鱉臑成 一陽馬，合三陽馬而成一立方，故三而一。驗之以棊，其形 露矣。悉割陽馬，凡為六鱉臑。觀其割分，則體勢互通，蓋 易了也。
」劉徽注意到，由立方割成的陽馬只有一種，由三個全等的陽 馬可併合成一個立方；另外分解立方也可得六個鱉臑，當中 雖有相互對稱而不全等的兩種鱉臑，但其等高處截面相等，
因而體積相等。此外，他的證明是先考慮特殊（立方體）再
塹堵 陽馬 鱉臑
到一般（長方體）的情況，進而再嚴格證明的。現在，就讓 我們先摺出陽馬和鱉臑吧。
陽馬 紙（A4 紙）
1. 2.
摺出角平分線 依圓圈位置摺出鉛垂
線
3. 4.
依圓圈位置摺出水平 線
摺出角平分線及對角 線
5. 6.
摺出角平分線 沿山谷線摺變成立體，
留意星號位置，可參閱 下一步驟
7. 8.
完成步驟6 的立體圖，
然後如圖谷摺
沿山谷線摺，把左手面 的部分拉起並楔入內
9. 10.
(過程圖) 立體如圖，應有一塊紙
突出在外，把它楔入中 間位，應可扣實 11. 完成
鱉臑 紙（A4 紙）
1 2
平分 摺出角平分線
3 4
依位置摺出鉛垂線 依圓圈位置摺
5 6
如圖 摺出對角線及重摺兩
條鉛垂線
7 8
運用後面已有摺痕，摺 出角平分線
把 這 個 角 位 向 內 翻 摺，形成一個「袋口」
9 10
把這兩個角位摺上 沿虛線摺，形成立體
（可對比下一步，留 意符號位置）
11 12
最後，也沿虛線摺，把 深色三角形部分楔入
「袋口」位，應可扣實
完成
影片連結：https://youtu.be/E6g0Gst5TG8
塹堵與陽馬的台座均可用相同比例的紙張摺出來，篇幅所 限，給予展開圖讓有興趣的讀者摺出來吧。
塹堵 台座
陽馬與鱉臑可放入塹堵內收藏 三錐合一
如剛才所述，分割陽馬後可得出相互對稱而不全等的兩種鱉 臑，我們可運用上頁的摺法作鏡像反射就能得出該兩款鱉
應用上，老師可於課前自行摺出有關立體，帶上課堂作為教
具（可使用較大的A3 紙摺）。若時間許可的話，也可使用
環保紙，於課堂上帶領學生一同摺疊，籍此讓學生動手操作，
增強空間感，感受從平面到立體的過程。透過摺紙，拼合不 同立體，期望能加深學生對體積公式及其由來的印象，欣賞 其中的數學史。
進深一步，去到長方體的情況，劉徽運用了無窮小來做出「
陽
馬居二，鱉臑居一」的
嚴格證明。其過程就是把陽馬和鱉臑 不斷於中點進行分割，透過極限來推論陽馬和鱉臑的體積必 為2：1。教學上，老師們可試用
四分一
張紙，讓學生摺出較小的立體去模擬劉徽的證明方法，再加以引導和推論。詳細的證明方 法已有同工們表述過，在此不贅。
教學延伸：
1. 運用四分
一
張紙所摺出來的立體的邊長為原有立體的多少？這個邊長比與面積比有何關係？體積比又如 何？這方面是否可以作為相似立體的教材？
2. A4 紙的比例是多少？能證明嗎？
3. 參考陽馬展開圖的設計，你能求出 x 的值嗎？是否 A4 紙才能有這樣的設計？
4. 考慮陽馬和鱉臑的摺紙圖樣，運用正方形紙可以摺出來 嗎？應如何擺放？
5. 鱉臑擁有四個直角三角形，應該有助教授「三垂線定