物體中的表面面積、體積與散熱程度的關係 程國基

你有沒有想過松鼠的體型和它進食食物的種類有著甚麼的 關係？原來動物的表面面積與體積的比會影響該動物的散 熱程度而導致其進食食物的種類有所改變。在這文章中，嘗 試運用中學數學知識探討物體中的表面面積、體積與散熱程 度之間的關係。

動物體內產生的熱量是維持生命的一個重要的因素。但動物 身體內的熱量會經它的表面流失一定數量，稱「散熱量」。

所以，動物的散熱量和動物身體內的熱量比的大小對動物生 存在不同環境有著極其重要的影響。

為方便我們探討動物的表面面積與體積的比會如何影響該 動物的散熱程度，可將情況簡化，先假設：

(i) 對同一類動物，動物體內的熱量和該動物的體積成正比；

(ii) 對同一類動物，動物的散熱量和該動物的表面面積成正 比；和

(iii) 動物的體型為正立方體。

依據以上有關的假設，你認為

問題一：同一類動物在沙漠中，體型較大或較小的動物會較 有優勢？為甚麼？

問題二：同一類動物在北極中，體型較大或較小的動物會較 有優勢？為甚麼？

問題三：小松鼠或大松鼠進食食物的種類會較多？

為了回答以上三個問題，原來中學數學的知識正好大派用場。

首先，容易得知正立方體的表面面積與體積比 =

6



^{，其 中}



為 該 正 立 方 體 的 邊 長。 因 此，當正立方體的邊長



越 大，其表面面積與體積的比會越小。

其次，對於同一類動物，我們已假設動物體內的熱量和該動 物的體積成正比；動物的散熱量和該動物的表面面積成正 比。設

V

為動物的體積、

A 為動物的表面面積、 H 為動物

體內的熱量和

L 為動物的散熱量。得 H k V 

₂ 和

L k A 

₁ ，

其中

k

₁

 0

、

k

₂

 0

及

k

₁、

k

₂ 為常數。因此， ¹

2

k A L

H  k V

。

已假設動物的體型為正立方體，可得 ^{1 1}

2 2

6 k A k L

H  k V  k



^，其中

 為正 立 方 體 的 邊 長 。 所 以 ， 動 物 的 散 熱量和動物身 體內的熱量比，即

L

H

和長度  成反比。

對於問題一，體型較小的動物因長度  較小，

L

H

^變得較 大，即每單位熱量中的散熱量較大而導致身體的散熱能力越 好。我們知道，在沙漠中的動物須保持體內的熱量不要太高。

因此，對同一類動物，在沙漠中體型較小的該類動物會比較 有優勢。

對於問題二，因體型較大的動物的長度  較大，

L H

^變得 較小，即每單位熱量中的散熱量較小而導致身體保存熱量能 力越好。我們知道，在北極中的動物須保持體內的高熱量。

因此，對同一類動物、在北極中體型較大的該類動物會比較 有優勢。

對於問題三，因小松鼠的體形小，它的表面面積與體積比會

較大松鼠的表面面積與體積比為大。依據 ¹

2

k A L

H  k V

_，小松鼠 的熱量散失會較大。所以，小松鼠要吃很多少不同種類的食 物以提供較大的熱量。反觀大松鼠的表面面積與體積的比較

小，所以熱量散失會較小。因此，大松鼠只須吃樹葉或其他 蔬菜類的食物來提供身體足夠的熱量。

下表是三種體積相同的正四面體、正立方體和球體有關表面 面積、體積和表面面積與體積比的資料：

設

V 為每個立體的體積。圖形

形狀 表面面積 體積 表面面積與

體積比 1. 正四面體

 

^{76 23}

2 3 V V  

⁷⁶

1 3

2 3 V

2.

正立方體

2

6V 3

V

¹³ 6

V

3. 球體

2

 

1 2

3 3 3

3 4  V

V

2

 

1

3 3

1 3

3 4

V



依據上表，對正四面體、正立方體或球體形狀的動物，我們

在文檔中 ISSUE 24 (頁 133-137)