三 . 反正切函數

解 本題可利用反正弦及反餘弦之定義證明_, 但有點麻煩_. 以下是較簡單的方法 _: 令 φ : [−1, 1] → R : φ(x) = sin⁻¹x + cos⁻¹x,

則 _φ^′(x) = D sin⁻¹x + D cos⁻¹x = 1

√1 − x² + √−1

1 − x² = 0, ∀ x ∈ (−1, 1), 由零導數定理知 _φ 為一常數函數_, 其次, φ(0) = sin⁻¹0 + cos⁻¹0 = π

2, 即證得

∀ x ∈ [−1, 1], sin⁻¹x + cos⁻¹x = π

2. 

三_.

反正切函數

定理 _3.12

設 _{I =}^₋^π 2,π

2

, 則函數_{tan |I: I → R} 為對射 _.

證 ₁^◦ _{tan |I} 為嵌射_; 此因

D tan |^I(x) = D tan x = sec²x > 0, ∀ x ∈ I, 故知 _{tan |I} 為遞增_.

2^◦ tan |I 為蓋射_; 此因_I 為一區間_{, tan |I} 為 連續_, 且因

x→π/2lim⁻tan |^I(x) = +∞, lim

x→−π/2⁺tan |^I(x) = −∞,

故其值域為一無上界且無下界之區間_, 即為 _{R. }

定義 _3.13

tan |^I 之反函數 tan⁻¹ =

def (tan |^I)⁻¹: R →

−π 2,π

2



: tan⁻¹(y) = x ⇔ tan |^I(x) = y.

稱為反正切函數 (arctangent function).

其圖形如圖 _3–12.

3.3 反三角函數 ₁₀₅

-X tan|I

tan⁻¹

0 ^π₂

−^π₂

π 2

−^π₂ Y6

圖 _3–12

..........................................

.. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .

................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

在微積分及應用數學中_{, sin}⁻¹_{, cos}⁻¹_{, tan}⁻¹ 三函數之用途很廣_, 讀者若能對此三圖形多 下工夫_, 必有相當助益_.

定理 _3.14

∀ x ∈ R, D tan⁻¹(x) = 1 1 + x².

證 _{∀ x ∈ R,}令 _{y = tan}⁻¹_x, 顯然y ∈ (−π/2, π/2), 是以 D tan⁻¹(x) = 1

tan |^′I(y) = 1

sec²y = 1

1 + tan²y = 1

1 + tan |²I(y) = 1

1 + x². 

關於 _cot⁻¹ 之定義及相關定理_,與 _tan⁻¹ 相仿_, 只陳述其結果如下 _: 設I = (0, π), cot⁻¹ =

def (cot |^I)⁻¹: R → (0, π) : cot⁻¹(y) = x ⇔ cot |^I(x) = y.

D cot⁻¹(x) = −1

1 + x², ∀ x ∈ R.

其圖形參見圖 _3–13.

3.3 反三角函數 ₁₀₆

3.3 反三角函數 ₁₀₇

3.4 指數函數 ₁₀₈

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

-X Y6

π/2 f

y = π/4

-- −π/2

◦

◦

圖 3–16 f (x) = tan⁻¹ x − 1 x + 1



............

.............................................

提醒讀者注意_: 本例之函數的導數雖與_tan⁻¹_(x)之導數幾乎相同₍除了在點_{−1 ),} 但由 於定義域並非一區間_, 故二者之差並非一常數函數_, 讀者不妨比較二者之圖形_, 以了解其

中之關鍵_{. }

§ 3.4 指數函數

如果有人提問 _: 當 _a 與 _b 皆為實數時_{, a}^b 應如何界定 _? 這個問題看似簡單_, 如果進一步 思考_, 我們將會發現類似 ^√₂

√3

之值的定義並非易事_. 我們嘗試由簡入深思考其定義_.

首先_, 若 _{a = 0, b} 為正有理數時_, 我們規定 _a^b = 0, (a = 0, b = 0 或為負有理數時_{, a}^b 無意義_). 故以下討論僅限 _{a 6= 0.}

第一類_{: b} 為整數_.

1^◦ 若_{b = n ∈ Z+,} 則令 _aⁿ ₌









 a · · · a

| {z } n項

, 若_{n ∈ N,}

1, 若_{n = 0,}

h

aⁿ 讀為 _a 之 _n 次方 (a raised to the nth power), 而 _a 稱為底 _{(base), n} 稱為指數 (exponent), 以下同理_.ⁱ

2^◦ 若b = −n, n ∈ N, 則令 _a⁻ⁿ ₌ ¹ aⁿ . 第二類_{: b =} ¹

n (內_n 為自然數_).

1^◦ 若_n 為正偶數, a > 0, 則令 _a^b _{= x,} 其中 _x為滿足方程式 _xⁿ_{= a} 之唯一非負實數_. ( a 不得為負數_).

3.4 指數函數 ₁₀₉ 2^◦ 若_n 為正奇數_{, ( a}正負皆可_), 則令 _a^b _{= x,} 其中 _x 為滿足方程式 _xⁿ_{= a} 之唯一實數_.

第三類_{: b ∈ Q}^∗_.

1^◦ 若b > 0, b = m

n, 其中 _{m, n} 為互質自然數_, 令 _a^b _{= (a}^1/n₎^m_{, (}若 _n 為偶數_{, a} 必須為 正_).

2^◦ 若_{b < 0,} 令_a^b ₌ ¹ a^−b.

第四類_: 若_b 為無理數時_{, a}^b 則較為困難_, 如^√₂

√3

, 該如何界定_? 如此界定又如何 『證明』 指數律 _? 方法有好幾種 _:

一_. 先界定自然對數函數

ln : (0, +∞) → R : ln x = Z x

1

dt t .

再界定 _{exp x = ln}⁻¹_(x) 以及指數 _a^b = exp(b ln a), 最後討論指數律_{. (}有些微積分教本 使用此一方法以為 _ln 之定義_, 但必須先討論 『積分』_, 而我們在第六章才開始討論積分_).

二_. 先界定

a^b = lim

r→b,r∈Qa^r, e = lim

n→+∞

1 + 1 n

n

, 再界定_{exp x = e}^x_,以及 _{ln x = exp}⁻¹_(x), 最後討論指數律_.

三_. 以微分方程式方法界定之_, 我們將採此種方法在以下四節中逐步探討_.

定義 _3.15

若函數 _{f : R → R} 滿足 _{(i) f}^′(x) = f (x), ∀ x ∈ R, (ii) f(0) = 1, 則稱 _f 為₍自然₎ 指數函數 (exponential function), 而寫為_exp, 亦即

exp : R → R 滿足 ∀ x ∈ R, exp^′x = exp x, 且 _{exp 0 = 1.}

指數函數之圖形我們將在稍後繪製_. 與_{sin, cos} 之情形相似_, 如此定義必須檢討兩個問題_, (1) 存在性^: 在第八章中我們可以利用冪級數界定為

exp x = 1 + x + x²

2! + · · · + xⁿ

n! + · · · .

(2) 唯一性^: 我們應證明 「若函數f, g : R → R滿足_f^′(x) = f (x), g^′(x) = g(x), ∀ x ∈ R 且f (0) = 1, g(0) = 1, 則_{f = g.}」

3.4 指數函數 ₁₁₀ 1^◦ 先證 : f (x) 6= 0, ∀ x ∈ R, 為此令

ψ : R → R : ψ(x) = f(x) · f(−x),

因 _ψ^′_{(x) = 0,} 知_ψ 為一常數_, 又因 _{f (0) = 1,} 是以_{ψ(x) = 1,} 故f (x) 6= 0,

∀ x ∈ R.

2^◦ 令 φ : R → R : φ(x) = g(x) f (x), 則因 φ^′(x) = g^′(x)f (x) − f^′(x)g(x)

f²(x) = g(x)f (x) − f(x)g(x)

f²(x) = 0, ∀ x ∈ R, 知存在_{C ∈ R}使得_{C = φ(x) =} ^g(x)

f (x),又由原設f (0) = g(0) = 1, 是以知_{C = 1,} 即 g(x) = f (x), ∀ x ∈ R.

定理 _3.16

∀ a, b ∈ R, exp(a + b) = (exp a)(exp b).

證 令f : R → R : f(x) = exp(x) exp(a + b − x), 則

f^′(x) = exp(x) exp(a + b − x) − exp(x) exp(a + b − x) = 0, ∀ x ∈ R

⇒ f 為一常數函數

⇒ f(0) = f(a)

⇒ exp(a + b) = (exp a)(exp b). 

系 _3.17

(1) exp(x) exp(−x) = 1, ∀ x ∈ R.

(2) exp x > 0, ∀ x ∈ R. (故知 _exp 為一遞增函數_).

(3) exp(x1+ x2+ · · · + xⁿ) = exp(x1) exp(x2) · · · exp(xⁿ), ∀ x¹, · · · , xⁿ∈ R.

證 ₍₁₎ 易明_.

(2) ∀ x ∈ R, exp x = exp x 2 + x

2

 =  expx

2

2

≥ 0, 又由 ₍₁₎ 知 exp x 6= 0, 故 exp x > 0, ∀ x ∈ R.

(3) 利用定理 _3.16 及數學歸納法即可_{. }

3.4 指數函數 ₁₁₁ 定義 _3.18

指數函數 _exp在點 ₁ 之值 _{exp 1,} 稱其為一Euler 數 (Euler’s number), 並以羅馬字 母 _e 表之_.

例_1. 試證 : 2 < e < 3.

證 ₁^◦ 考慮 _exp 在區間 _{[0, 1],} 顯然它滿足微分均值定理之前提_, 故存在 _{p ∈ (0, 1)} 使得

exp^′p = exp 1 − exp 0 1 − 0 , 即

e − 1 = exp^′p = exp p > exp 0, (因_exp 為遞增_).

故 _{e > 2.}

2^◦ e < 3 之證明須利用第四章之_Taylor 定理_,稍後再予研究_{. }

利用第四章之 _Taylor 定理_, 我們 可求得_e 之十五位小數的近似值為

2.71828 1828 45 90 45 .

有了_e之近似值_,我們可以繪製_exp之 圖形如右 _:

−2 −1 0 1 2

-X 1

2 3e 4

Y

6

exp

圖 _3–17

................................................................................................

例_2. 試證 _{: lim}

x→+∞exp x = +∞; lim

x→−∞exp x = 0.

解 ₁^◦ 先證 : ∀x > 0, exp x > x + 1.

為此令f : R → R : f(x) = exp x − x, 則 ∀ x > 0,

f^′(x) = exp x − 1 = exp x − exp 0 > 0, (因 _exp為遞增₎ 故知 _f 於區間 _{[0, +∞)} 為遞增_,是以 f (x) > f (0) = 1,亦即 ∀ x > 0, exp x − 1 > x.

3.4 指數函數 ₁₁₂ 2^◦ 由 ₁^◦ 及 _lim

x→+∞(x + 1) = +∞ 立得 _lim

x→+∞exp x = +∞.

3^◦ 令 _{x = −t,}則

x→−∞lim exp x = lim

t→+∞exp(−t) = lim_t→+∞ 1

exp t = 0. 

定理 _3.19

∀ r ∈ Q, e^r = exp r .

證 ₁^◦ 若 _{r = n ∈ N,} 則

exp(n) = exp(1 + · · · + 1

| {z }

n 項

) = exp(1) · · · exp(1) = e · · · e

| {z } n 項

= eⁿ.

2^◦ 若 _{r =} ^p

q, p, q ∈ N, 則

e^p = exp(p) = exp p

q + · · · + p q

| {z }

q 項



=

exp p q

q

= (exp r)^q,

兩端開 _q 次方即得 _e^r _{= exp r.}

3^◦ 若 _r 為負有理數_, 則

exp r = 1

exp(−r) = 1

e^−r = e^r.

4^◦ 若 _{r = 0,}等式顯然成立_{. }

定義 _3.20 e^x =

def exp x, ∀ x ∈ R .

至目前為止我們界定了以 _e 為底之指數_, 當然有人會問_, 是否可以馬上界定以任何正數為 底之指數_? 關於這一點_, 我們還有一些準備工作_, 留待本章稍後再行研究_.

定理 _3.21

若 _x與 _y 為實數_,則 (1) e^x+y = e^x· e^y ; (2) De^x = e^x .

3.5 自然對數函數 ₁₁₃ 證 利用定理 _3.16 及_e^x 之定義_, 讀者自證之_{. }

定理 _3.22

指數函數 exp : R → (0, +∞) 為一對射_.

證 ₁^◦ _exp 為嵌射_,此因 _exp^′x = exp x > 0, ∀ x ∈ R, 是以 _exp為遞增_.

2^◦ 其次 _exp 為蓋射_, 此因 _exp 於區間 R 上為連續_, 故其值域必為一區間_, 此外_, 由本 節之例 ₂ 知

x→+∞lim exp x = +∞, lim

x→−∞exp x = 0,

且知 ∀ x ∈ R, exp x > 0, 故_exp 之值域為 _{(0, +∞). }

§ 3.5 自然對數函數

由定理 _3.22知指數函數exp : R → (0, +∞)為一對射_,故其反函數必存在_,而該反函數有 許多相當重要性質_, 用途極廣_, 本節中我們將深入討論_.

定義 _3.23

指數函數 _exp 之反函數

ln = exp⁻¹: (0, +∞) → R : ln x = y ⇔ exp y = x 稱為自然對數函數 (natural logarithmic function).

ln有兩種讀法_,其一是讀為natural log, 另一種則讀為 _lawn. 此一符號乃美國加州大學柏 克萊校區之 Irving Stringham於 ₁₈₉₃所創_.

指數函數與其反函數 『自然對數函數』 之圖形如下_,二者對稱於直線 _{y = x.}

1 e

-X 0

1 e

Y6

exp

ln y = x

圖 _3–18

..................................................................

..................................................................

.....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

3.5 自然對數函數 ₁₁₄ 定理 _{3.24 (}自然對數函數之一般性質₎

(1) ln 1 = 0, ln e = 1.

(2) ∀ x ∈ R, ln(exp x) = x.

(3) ∀ x > 0, exp(ln x) = x.

(4) ∀ x, y > 0, ln(xy) = ln x + ln y.

(5) ∀ x, y > 0, ln x y



= ln x − ln y.

(6) ∀ x > 0, ln^′x = 1 x. (7) lim

x→+∞ln x = +∞, lim

x→0⁺ln x = −∞.

證 ₍₁₎ 因 exp 0 = 1, exp 1 = e . (2) 因 _ln與 _exp互為反函數_. (3) 因 _ln與 _exp互為反函數_.

(4) 令 u = ln x, v = ln y,則x = exp u, y = exp v, 是以

ln(xy) = ln[(exp u)(exp v)] = ln[exp(u + v)] = u + v = ln x + ln y.

(5) 在 ₍₄₎ 中令 _{x = 1/y,}則得 ln(1/y) = − ln y, 是以 ln x

y

= ln x · 1

y

= ln x + ln1

y = ln x − ln y.

(6) 利用反函數之導數定理_, 令_{x = exp y,}則 D ln x = 1

exp^′y = 1

exp y = 1 x. (7) 由第一章極限之定義知

x→+∞lim ln x = +∞ ⇔

def ∀ β > 0, ∃α > 0, (∀x > 0)(x > α ⇒ ln x > β).

對於 _{β > 0,} 取 _{α = e}^β_, 則x > α ⇒ ln x > β, 是以 _lim

x→+∞ln x = +∞.

其次_,令 _{t = 1/x,} 則

x→0lim⁺ln x = lim

x→0⁺− ln1

x = − lim

t→+∞ln t = −∞. 

例_1. 設函數f : (0, +∞) → R : f(x) = 2x + ln x, 試證 _{: f} 為可逆_, 並求其反函數 _f⁻¹ 在點 2之導數 _(f⁻¹₎^′_(2).

解 ₁^◦ _f 為嵌射_, 因為

f^′(x) = 2 + 1

x > 0, ∀ x > 0.

是以_f 為遞增_.

3.5 自然對數函數 ₁₁₅ 2^◦ f 為蓋射_, 因為 _f 為一連續函數_{, Df} 為一區間_,且

x→0lim⁺f (x) = −∞, lim

x→+∞f (x) = +∞.

故知 _f 之值域為 _R.

3^◦ 當 _{y = 2}時_, 由y = 2x + ln x 知_{x = 1,} 即 _{f (1) = 2,} 利用反函數導數定理得 (f⁻¹)^′(2) = 1

f^′(1) = 1

2 + ¹₁ = 1

3. 

註_: 本題無法由 _f 求出_f⁻¹_.

例_2. 利用均值定理_, 試證_: 若0 6= x > −1, 則 ^x

1 + x < ln(1 + x) < x.

解 由於 _ln為可微分函數_, 令函數

f : (−1, +∞) → R : f(x) = ln(1 + x).

顯然 _f 亦為可微分函數_, 今考慮 _f 在區間 _{[0, x]} 或 _{[x, 0]} 上_, 因為 _f 滿足均值定理之條 件_, 故存在_{p ∈ (0, x)} 或 p ∈ (x, 0), 使得

f (x) − f(0)

x − 0 = ln(1 + x) − ln 1

x = f^′(p) = 1

1 + p. 亦即

ln(1 + x) = x

1 + p. (1)

• 若 _{x > 0,}

0 < p < x ⇒ 1 < 1 + p < 1 + x

⇒ 1 > 1

1 + p > 1 1 + x

⇒ x > x

1 + p > x 1 + x

⇒ x > ln(1 + x) > x 1 + x.

• 若 −1 < x < 0,

−1 0 1 2

-X

−2 2

Y6

y = x

y = ln(1 + x)

y = x

1 + x

圖_3–19

..............................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.........................................................

..........................................................

−1 < x < p < 0 ⇒ 0 < 1 + x < 1 + p < 1

⇒ 1

1 + x > 1 1 + p > 1

⇒ x

1 + x < x

1 + p < x

⇒ x

1 + x < ln(1 + x) < x. 

3.6 一般指數函數 ₁₁₆

§ 3.6 一般指數函數

定義 _3.25

設 _{a > 0,} 則函數 _expa: R → (0, +∞) : expa(x) =

def exp(x ln a) 稱為以 _a 為底之指 數函數 (exponential function with base a).

顯然_, 當 _{a = e} 時_{, expe}(x) = exp(x ln e) = exp x, 亦即函數 _expe 與自然指數函數 _exp

3.6 一般指數函數 ₁₁₇ (3) 利用系 _3.17,

exp_a(x1+ · · · + xⁿ) = exp

(x1+ · · · + xⁿ) ln a

= exp(x1ln a + · · · + xⁿln a)

= exp(x1ln a) · · · exp(xⁿln a)

= exp_a(x₁) · · · expa(x_n).

(4) D(exp_ax) = D exp(x ln a) = (ln a) exp(x ln a) = (ln a) exp_ax. 

定理 _3.27

∀ a > 0, ∀ r ∈ Q, a^r = exp_ar .

證 讀者可仿照定理 _3.19 自證之_{. }

定義 _3.28

設 a > 0, b ∈ R, 我們規定 _: (1) a^b =

def exp_ab = exp(b ln a) = e^{b ln a}; (2) 0^a =

def 0.^†

或許有人會問 _: 本定義到底有何用途_? 稍早_, 我們曾提出 『^√₂

√3

=? 』 的問題_, 利用本定 義_,

√2

√3

= exp(√ 3 ln√

2) = exp√ 3 2 ln 2

.

在第四章中_,我們利用 _Taylor 定理可以解決 _{ln x} 及_{exp x} 之近似值問題_, 因此 ^√₂

√3

之近似 值問題亦因而獲得解決_. 此外_{, f (x)}^g(x) 也是我們常會遇到的問題_, 利用本定義_,

f (x)^g(x) =

( exp[g(x) ln(f(x))], 若 f (x) > 0,

0, 若 _{f (x) = 0.}

† 關於 ₀⁰ 之定義_, 部分數學家界定 ₀⁰ _{= 1,} 但另外一些數學家_, 以極限理論主張不應如此 界定_, 因此在本書中_, 我們視 ₀⁰ 為無意義_.

3.6 一般指數函數 ₁₁₈ 定理 _{3.29 [}指數律 (laws of exponent) ]

(1) a^x· a^y = a^x+y ; (2) a^x

a^y = a^x−y ; (3) (a^x)^y = a^xy ; (4) (ab)^x = a^xb^x ; (5) (a/b)^x = a^x/b^x .

證 我們只證 _(1), 其餘讀者自證之_.

a^x· a^y = exp_ax · expay = exp_a(x + y) = a^x+y. 

定理 _3.30

設 _{r ∈ R,} 則

(1) Dx^r = rx^r−1, ∀ x > 0 ;

(2) Da^x = a^xln a, ∀ a > 0, ∀ x ∈ R .

證 ₍₁₎ 由指數之定義知 _x^r = exp(r ln x), 故 Dx^r = D exp(r ln x) = r

xexp(r ln x) = r

xx^r = rx^r−1.

(2) 由定理 _3.26 立即可得

Da^x = D exp_ax = (ln a) exp_ax = a^xln a. 

例_1. 試微分函數_{f (x) = x}^x_.

解 顯然 _{Df = (0, +∞),} 當_{∀ x > 0} 時, f (x) = x^x = exp(x ln x), 是以

f^′(x) = exp(x ln x) · (ln x + 1) = x^x(1 + ln x). 

定理 _3.31

∀ a > 0 且a 6= 1, expa: R → (0, +∞) 為一對射_.

3.7 一般對數函數 ₁₁₉ 證 因_expax = exp(x ln a), 故可視其乃為線性函數 _{x ln a} 與 _exp之合成函數_. 又因上述線 性函數與 _exp皆係對射_,故其合成函數亦為對射_{. }

例_2. 試微分_{y = 2}^cos−1x_.

解 設_{f (x) = 2}^cos−1x _{= exp(cos}⁻¹_{x · ln 2),} 顯然_{Df = [−1, 1].}

1^◦ ∀ x ∈ (−1, 1),

f^′(x) = exp(cos⁻¹x · ln 2) · − ln 2

√1 − x² = −2^cos−1x· ln 2

√1 − x². 2^◦ 若 _{x = 1,}則因 _lim

x→1⁻f^′(x) = −∞, 知_f 在點 ₁ 不為可微_. 在點 ₋₁ 同理亦不為可 微.

是以

f^′: (−1, 1) → R : f^′(x) = −2^cos−1x· ln 2

√1 − x². 

§ 3.7 一般對數函數

在電子計算機發明之前_, 數千年來_, 人類對於繁複的數字計算一直在尋找最佳的解決方法_, 尤其是天文學家為然_.在這方面_, 對數的發明使得人們能利用以下公式 『以加法運算解決乘法問 題』_, 而 『以乘法運算解決指數問題』

log_a(xy) = log_ax + log_ay, log_ax^k = k log_ax.

此一偉大的構思應歸功於十七世紀蘇格蘭人 John Napier.

由定理 _3.31 知_, 當a > 0, a 6= 1 時_expa 為對射_, 故為可逆_.

定義 _3.32

設 a > 0, a 6= 1,則指數函數 _expa 之反函數

log_a = exp⁻¹_a : (0, +∞) → R : logax = y ⇔ (a^y =) exp_ay = x 稱為以 _a 為底之對數函數 (logarithmic function with base a).

3.7 一般對數函數 ₁₂₀

3.8 指數與對數之應用 ₁₂₁ (6) log_ax^k = ln x^k

ln a = ln(exp(k ln x))

ln a = k ln x

ln a = k log_ax . (7) D(log_ax) = Dln x

ln a = 1

x ln a . 

例_1. 試證 _{: π}^e _{< e}^π _.

證 設f : (0, +∞) → R : f(x) = ln x x , 則

f^′(x) = 1 − ln x x²







> 0, 若 0 < x < e,

= 0, 若 _{x = e,}

< 0, 若 _{x > e.}

知_f 於點_e 有最大值_, 是以 f (π) < f (e) ⇒ ln π

π < ln e e

⇒ e ln π < π ln e

⇒ ln π^e < ln e^π

⇒ π^e< e^π. 

0 e

-X

−0.5 0.5

Y

6

f

圖 _3–22

.............................................

或許有人認為本題只需按按計算器或以電腦計算_, 立即知道 _e^π 較大_, 然而計算機只是一項 工具_, 它並不能取代數學的本質 _——邏輯演繹_,更何況對於問題 『試證 : ∀a ∈ (0, +∞) \ {e}, a^e < e^a 』_,我們仍需要本例之數學演繹方法_.

§ 3.8 指數與對數之應用

在文檔中 陳珍漢、 黃德華、 顏國勇合著之微積分學 (頁 104-121)