不定型
Chapter 5 不定積分
微分學主要是從局部性質一點一滴的串聯起來以了解函數的整個狀況. 積分學則是從另外 一個角度, 去探討函數的大域性質 (global property), 前此, 當我們面對一個函數時, 考慮的是 如何求得其導函數, 甚至高階的導函數, 並從而討論該函數的種種性質. 本章討論的方向正好相 反, 對於函數 f , 我們將研究如何尋求一函數 F 以使 f 為其導函數. 此種方法乃為下一章微積 分基本定理鋪路,以使它能為有用而又能用的定理.
§ 5.1 導函數與不定積分
為了避免一些無關緊要的困擾, 本章中我們討論之函數均以非退化區間為其定義域. 對於 定義域不為一區間之函數,則僅於其定義域所包含之各區間分別討論之.對於那些定義域不含任 何區間之函數, 則不予討論.
定義 5.1
設 I 為一區間, 若 F, f : I → R 滿足 F′ = f , 則稱 F 為 f 之一反導函數 (anti-derivative) 或原函數 (primitive).
例1. 設f : R → R : f(x) = sin x, 則以下各函數顯然皆為 f 之反導函數 : F1: R→ R : F1(x) = − cos x,
F2: R→ R : F2(x) = − cos x + 1, F3: R→ R : F3(x) = − cos x +√
2, F4: R→ R : F4(x) = − cos x − 2, F5: R→ R : F5(x) = − cos x − π,
F6: R→ R : F6(x) = − cos x − 109.
187
5.1 導函數與不定積分 188 定理 5.2
設 f, F, I 如定義5.1, 則 f 之所有反導函數所成之集合為
F={F + C | C ∈ R}.
證 設Φ 為f 之所有反導函數所成之集合. 1◦ F⊂ Φ, 因為
D(F (x) + C) = F′(x) = f (x), ∀ x ∈ I.
2◦ Φ⊂F, 因若 G ∈ Φ, 應有 G′ =f = F′, 利用第二章微分均值定理後之系2.15 知,
存在常數 C 使得 G = F + C, 故G ∈F.
例2. 設f : R → R : f(x) = x2, 則f 之所有反導函數所成之集合為
F={F + C | C ∈ R}, 內 F : R → R : F (x) = x3 3 . 如下圖所示:
−1 1
-X f
−1 1
Y6
.........
......
........................
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0 1
-X
Y6 F + C
圖 5–1
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5.1 導函數與不定積分 189 定義 5.3
由於 f 之所有反導函數所成之集合為 {F + C | C ∈ R}, 我們稱其為 f 之不定積分 (indefinite integral), 並記為
Z f 或
Z
f (x) dx, 即 Z
f = {F + C | C ∈ R}.
上式中我們稱 f 被積函數 (integrand), 而任意常數 C 則稱為積分常數 (integration constant).
不定積分之古典寫法為
Z
f (x) dx = F (x) + C. (∗)
讀者宜注意 : Z
f 與 Z
f (x) dx 二者之意義完全相同, 由於古典寫法有其方便之處, 故至今仍
然沿用, 只需右端函數 F (x) 之導函數等於被積函數f (x), (∗) 式即成立.
利用下一章之微積分基本定理,我們可證明任一定義於一區間之連續函數,其不定積分必存 在. 但若函數不為連續,則其不定積分未必存在,以下兩個反例,被積函數皆不為連續,其一是其 不定積分不存在, 另一則是其不定積分存在.
例3. (被積函數不為連續, 其不定積分亦不存在.)
試證: 正負號函數f : R → R : f(x) = sgn(x) 不具反導函數, (因而其不定積分不存在.) 解 假定 F : R → R 為f 之一反導函數, 因
F′(−2) = f(−2) = −1 < 0.5 < 1 = f(3) = F′(3),
利用第二章導函數介值定理知, 存在 t ∈ (−2, 3) 使得 F′(t) = 0.5, 顯然不可能, 故知 f
不具反導函數.
例4. (被積函數不為連續, 但其不定積分存在.) 設
F : R → R : F (x) =
x2sin 1
x, 若 x 6= 0, 0, 若 x = 0.
次設 f = F′, 即
f : R → R : f(x) = F′(x) =
2x sin 1
x − cos 1
x, 若x 6= 0,
0, 若x = 0.
5.1 導函數與不定積分 190 利用制限方法(仿第一章定理1.16之後的範例),可證明f在點0不為連續.由於F′ =f ,
故 Z
f (x) dx = F (x) + C.
既然我們將不定積分界定為函數的集合,自然免不了要涉及集合的運算問題,因而有如下之 定義及引理.
定義 5.4
設 S 與 T 為二實值函數之集合, h 為一實值函數,k 為一實數, 則令 S + T = {f + g | f ∈ S, g ∈ T },
S − T = {f − g | f ∈ S, g ∈ T }, h + S = {h + f | f ∈ S},
kS = {kf | f ∈ S}.
定理 5.5
設 f 與g 為二實值函數,且 Df =Dg, 若
S = {f + C | C ∈ R}, T = {g + C | C ∈ R}, U = {f + g + C | C ∈ R}, 則
(1) S + T = U, (2) U − S = T ,
(3) kS = {kf + C | C ∈ R},內常數 k 6= 0.
證 (1) 易明 S + T ⊂ U. 其次, 若 f + g + C ∈ U, 只需取 f ∈ S, g + C ∈ T , 則 f + g + C ∈ S + T .
(2) 若 h ∈ U − S,則存在 C1, C2 ∈ R使得
h = (f + g + C1)− (f + C2) =g + (C1− C2)∈ T.
反之,若 g + C ∈ T ,則
g + C = (f + g + C) − f ∈ U − S.
(3) 易明.
5.2 基本公式 191
§ 5.2 基本公式
在微積分中, “不定積分”部分最不具有理論味道, 其目的在於幫助此後各章中積分問題之 迅速解出, 它不需要高深的極限做基礎 (至少沒有很直接的關係), 也用不著複雜的數字計算或 邏輯推演, 所需要的工具只有兩大部分:
第一部分 : 基本公式 (basic formulas).
第二部分 : 積分法(integration).
1. 代換積分法 (integration by substitution).
• 一般代換法(general substitution);
• 三角代換法(integration by trigonometric substitution);
• 雙曲代換法(integration by hyperbolic substitution);
• 半角代換法(integration by half-angle substitution).
2. 分部積分法 (integration by parts).
3. 部分分式積分法 (integration by partial fractions).
我們將在本節中介紹基本公式, 而在稍後各節逐一介紹各種積分方法, 並舉例加以說明. 以 下公式除公式 6 之外, 皆可由右端函數微分等於被積函數而證得.
公式 1.
Z
xndx = xn+1
n + 1 +C, 其中 n ∈ Z+. † 公式 2.
Z
x−ndx = x−n+1
−n + 1+C, 其中 n ∈ N \ {1}.
公式 3.
Z
xrdx = xr+1
r + 1 +C,其中 r ∈ R \ {−1}.
公式 4.
Z
x−1dx = ln |x| + C.
公式 5.
Z
exdx = ex+C.
公式 6. (線性性質) (1)
Z
(f (x) + g(x)) dx = Z
f (x) dx + Z
g(x) dx;
(2) 若 α 6= 0,則 Z
αf (x) dx = α Z
f (x) dx.
† 在本章中,我們將多次遭遇x0;儘管 『00 =?』 一直是數學界爭論的問題,在第三章中我們 視其為無意義, 但在本書中, 為方便計我們視x0 為常數函數 1,即f : R → R : f(x) = x0 = 1.
故公式 1 中n = 0 時 R x0dx = x + C.
5.3 代換積分法 192 證 設F′ =f, G′ =g, 利用引理 5.5,
(1) Z
f (x) dx + Z
g(x) dx = {F + C | C ∈ R} + {G + C | C ∈ R}
={F + G + C | C ∈ R}
= Z
(f (x) + g(x)) dx.
(2) α Z
f (x) dx = α{F + C | C ∈ R} = {αF + C | C ∈ R}
= Z
αf (x) dx.
公式 7.
Z
axdx = ax
lna +C, 其中a ∈ R∗+\ {1}.
公式 8.
Z
sinx dx = − cos x + C.
公式 9.
Z
cosx dx = sin x + C.
公式 10.
Z
sec2x dx = tan x + C.
公式 11.
Z
csc2 dx = − cot x + C.
公式 12.
Z
secx tan x dx = sec x + C.
公式 13.
Z
cscx cot x dx = − csc x + C.
公式 14.
Z dx
√1− x2 = sin−1x + C.
公式 15.
Z dx
1 +x2 = tan−1x + C.
公式 16.
Z dx
x√
x2− 1 = sec−1|x| + C.
提醒讀者注意 : 公式 1, 2, 3 看似同一回事, 其實三者被積函數之定義域(區間)皆不相同, 公式 1被積函數之定義域為 R, 公式 2 則為 (−∞, 0) 或(0, +∞), 公式 3則為 (0, +∞).
§ 5.3 代換積分法
5.3 代換積分法 193 定理 5.6 (代換積分法)
設 I 為一區間, 若∀ x ∈ I, f(x) = g(u(x))u′(x), G′(x) = g(x), 則 Z
f (x) dx = Z
g(u(x))u′(x) dx = G(u(x)) + C.
證 因為 D(G(u(x)) = g(u(x))u′(x) = f (x).