預篇中我們曾提及微積分乃是研究函數之四則運算與極限之一門學問. 極限是微積分的基 礎,基礎不穩則所學之數學將成為危樓,隨時會因為一個小小問題而使推理或計算產生矛盾與困 擾.
在本章中, 我們的目標乃是以嚴格推理方式建構極限概念, 進而了解如何使用並駕馭極限. 主要方法則是先界定極限之定義, 並以之導得基本性定理,再以定理或定義解決極限問題. 初學 者或許感到些許困難, 一旦領悟其中之奧秘, 微積分之學習自會輕鬆愉快.
§ 1.1 何謂極限
十七世紀, 微積分剛發明時, 人類對於 『極限』 的觀念是模糊的, 人們可以求出許多函數在 某點之極限, 如
limx→3
√x − 2 −√ 2x − 5
√x − 3 −√
2x − 6 =?
但沒有人能提出一個能令數學家接受, 有關 『極限』 的嚴格定義. 到了十九世紀, 法國數學家
Cauchy(1789-1857)才給了極限一個較佳的說法, 今天極限的定義則是德國數學家Weierstrass
(1815-1897) 經過整理後的結果. 首先我們來看一例子, 設
f : R∗ → R : f(x) = sin x x ,
我們考慮, 當 x 趨近於 0 時, f (x) 之極限為何 ? 顯然我們不可以將 0 代入 x 以求極限值, 因
為這樣會使分母為 0. 首先, 我們利用電子計算機求出x 與f (x) 之值如下:
25
1.1 何謂極限 26
x f(x)
± 2 0.454649
± 1 0.841471
± 0.5 0.958851
± 0.1 0.998334
± 0.01 0.999983
± 0.001 0.999999
-X
◦ ◦ ◦
◦◦
◦ Y6
1 + ǫ 1 − ǫ
f
−δ 0 δ 圖1–1
......... .....
(1) 何謂極限 ?
解 當 x趨近於 p 時, f (x) 十分接近 l.
(2) 能否更清楚一點說明 f (x) 十分接近l ?
解 如果我們將 (l − ǫ, l + ǫ) 視為一靶, f (x) 趨近於 l 之意為 :不論靶之半徑多麼小, f (x) 都會進入靶內, 換言之, ∀ ǫ > 0, f(x) ∈ (l − ǫ, l + ǫ),即 ∀ ǫ > 0, |f(x) − l| < ǫ.
(3) 裡面的 x 有何限制 ? ∀ x ∈ Df ? 還是 ∃x ∈ Df ?
解 都不是, 若是 ∀ x ∈ Df, 則f (x) 必為一常數函數. 若是 ∃x ∈ Df, 則太不合理, 這樣會 使函數 f (x) = x在 0之極限可為任意數.
(4) 到底是哪些 x ?
解 凡是很靠近 p 的每一個 x;換言之, x 應滿足0 < |x − p| < δ, 即 ∀ x ∈ Nδ∗(p). (去心鄰 近觀念稍後說明).
(5) δ 是什麼 ? 任意正數 ?
解 不!任意正數又回到 ∀ x ∈ Df. 只要有一個 δ > 0 就可以了. 意即 :
∃ δ > 0, (∀ x)(x ∈ Nδ∗(p) ⇒ |f(x) − l| < ǫ).
(6) 最後的結論以邏輯符號來描述應為:
∀ ǫ > 0, ∃ δ > 0, (∀ x)(x ∈ Nδ∗(p) ⇒ |f(x) − l| < ǫ).
1.2 準備工作 27
§ 1.2 準備工作
當我們討論極限 lim
x→pf (x) = l 之前, 我們第一步工作是討論 Df 是否為一區間 ? p是否為 Df 內之一點 ? 由上一節之範例中,
f : R∗ → R : f(x) = sin x x ,
Df = R∗ 並非一區間,而 x 所趨近之點 0並不屬於 f 之定義域. 這是否意味點 p與 Df 完全 無關呢 ? 當然這也不行, 如果有人問
x→2lim
√1 − x2 =?
我們發現函數之定義域為 [−1, 1], 其內之 x 不可能趨近於 2, 此一極限毫無意義, 因此 p 必須 是定義域中 的 x『能夠趨近』 之點, 這是討論極限的先決條件, 以下是一些準備工作, 初學者或 許會感到有點繁瑣, 但是省了它, 許多觀念便不易討論.
定義 1.1
設p ∈ R, ǫ > 0, 則集合 Nǫ(p) =
def {x ∈ R
|x − p| < ǫ} = (p − ǫ, p + ǫ) 稱為 p之 ǫ 鄰近 (ǫ-neighborhood). 而集合 Nǫ∗(p) =
def Nǫ(p) \ {p} 稱為 p之 ǫ 去心 鄰近 (deleted ǫ-neighborhood) . (參見圖 1–2).
.
......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ............................X
p − ǫ p p + ǫ
圖 1–2
.
......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ............................X
p − ǫ p p + ǫ
◦ ◦ ◦
◦ ◦
註 : 提醒讀者 :
x ∈ Nǫ(p) ⇔ |x − p| < ǫ;
x ∈ Nǫ∗(p) ⇔ 0 < |x − p| < ǫ.
1.2 準備工作 28 定義 1.2
設A ⊂ R, p ∈ R, 我們稱 p為 A 之一聚點 (accumulation point), 如果
∀ ǫ > 0, Nǫ∗(p) ∩ A 6= ∅.
我們以 A′ 表 A 之所有聚點集合, 稱為 A 之導來集 (derived set). 又集合 A 中不為 聚點之點, 均稱為A 之孤立點 (isolated point)
簡單說 : p 為集合A 之聚點, 如果 A 中有 (無數)點十分靠近 p,以致 p 與A \ {p} 內各 點之距離之最小值(應該是inf) 為 0.
例1. 設 A = (0, 1),試求其導來集 A′. 解 1◦ 若p ∈ A, 顯然 p為 A 之一聚點;
2◦ 若p = 0, 則
∀ ǫ > 0 ⇒ Nǫ∗(p) = (−ǫ, 0) ∪ (0, ǫ)
⇒ Nǫ∗(p) ∩ A = (0, ǫ) ∩ (0, 1) = 0, min{ǫ, 1} 6= ∅
⇒ p ∈ A′. 同理, 1 ∈ A′.
3◦ 若p > 1, 取 ǫ = p − 1 > 0, 顯然 Nǫ∗(p) ∩ A =
(1, p) ∪ (p, 2p − 1)
∩ (0, 1) = ∅ 是以 p不為 A 之一聚點. 若 p < 0, 同理知p 不為 A 之一聚點.
綜合以上三點知 A 之導來集為 A′ = [0, 1].
例2. 設 A =n 1 n n ∈ N
o,試證 A′ = {0}且A 中之元素皆為 A 之孤立點.
解 1◦ 設p = 1
n, n > 1,由於 1
n − 1
n + 1 < 1
n − 1 − 1
n, 若取 ǫ = 1
n − 1
n + 1,則 Nǫ∗(p) ∩ A =h 1
n + 1, 1 n
[ 1 n,2
n − 1
n + 1
i
∩ A = ∅.
故p 不為 A 之聚點. 2◦ 若p = 1, 只需取 ǫ = 1
2, 亦可證明 p不為 A 之聚點. 3◦ 若p = 0, 對於 ǫ > 0, 令自然數 n0 > 1
ǫ, 則 1
n0 ∈ (−ǫ, ǫ) ∩ A, 知p 為A 之聚點.
1.3 極限之定義 29
4◦ 其餘之點顯然非 A 之聚點.
例3. 設 A = Q, 則A′ = R, (讀者自證之).
定義 1.3
設A ⊂ R, p ∈ R, 我們稱 p 為A 之一內點 (interior point), 如果 存在 δ > 0 使得 Nδ(p) ⊂ A.
我們以 A◦ 表A 之所有內點所成之集合, 稱為 A 之內部 (interior).
例4. 設 A = [0, 1],則 A = (0, 1).◦ 例5. 設 A = [0, 1] \ Q,則 A = ∅.◦
§ 1.3 極限之定義
有了有關 『聚點』 之概念, 以下我們介紹 Cauchy-Weierstrass 極限之定義.
定義 1.4
設函數 f : Df → R, p ∈ (Df)′, 我們稱 f 在點 p 之極限 (limit) 為 l, 並表為
x→plimf (x) = l ∗, 如果
∀ ǫ > 0, ∃ δ > 0, (∀ x) x ∈ Nδ∗(p) ∩ Df ⇒ f(x) ∈ Nǫ(l) , 亦即
∀ ǫ > 0, ∃ δ > 0, (∀ x ∈ Df) 0 < |x − p| < δ ⇒ |f(x) − l| < ǫ .
如何由給定之正數 ǫ, 找到合用之 δ 是利用定義以推導極限之不二法門. 由圖 1–3 讀者可 能誤以為 {l − ǫ, l + ǫ} 之f 像原就是{p − δ, p + δ}. 不錯, 這是解題思考的方向,但未必如此, 以下我們將舉一些範例以說明如何找到 δ.
∗ 定理 1.5 我們將證明極限之唯一性, 故吾人可用“等號”來表示極限值. 今後我們稱 f 在 點 p之極限存在, 如果存在 l ∈ R 使得 lim
x→pf (x) = l.
1.3 極限之定義 30
-X Y6
l+ǫl l−ǫ
0 p−δ p p+δ
f
圖 1–3
◦ ◦ ◦
◦
◦
..........................................................................................
例1. 設常數函數 f : R → R : f(x) = c, 試利用ǫ-δ 方法證明 lim
x→pf (x) = c, 其中 p為任一實 數.
證 往證 :
∀ ǫ > 0, ∃δ > 0, (∀ x ∈ R) 0 < |x − p| < δ ⇒ |f(x) − c| < ǫ .
由於 |f(x) − c| < ǫ 為一恆真陳述,故任何正數 δ 皆使上述表式為真.
註 : 或許有人覺得本例十分簡單, 可以加以省略, 但稍後許多定理及範例皆需用到, 故特別 予以介紹.此外,讀者亦應注意 : 本例之δ 可為任意正數,而在以後各例及習題中皆非 如此, δ 常與 ǫ 有關.
例2. 試利用 ǫ-δ 方法以求 lim
x→2x =?
解 令 f (x) = x,由觀察猜測極限可能為 2 (參閱圖 1–4), 故往證:
∀ ǫ > 0, ∃δ > 0, (∀ x ∈ Df) 0 < |x − 2| < δ ⇒ |f(x) − 2| < ǫ . 對於 ǫ > 0, 由
|f(x) − 2| < ǫ ⇔ |x − 2| < ǫ
⇐ 0 < |x − 2| < δ, (令δ = ǫ) 知 lim
x→2x = 2.
1.3 極限之定義 31
1.3 極限之定義 32 法一 : 平行法(或像原法, 參見圖 1–5 ).
|x3− 8| < ǫ ⇔ −ǫ < x3− 8 < ǫ
⇔ 8 − ǫ < x3 < 8 + ǫ
⇔ (8 − ǫ)1/3< x < (8 + ǫ)1/3
⇔ (8 − ǫ)1/3− 2 < x − 2 < (8 + ǫ)1/3− 2
⇐ |x − 2| < min{|(8 − ǫ)1/3− 2|, (8 + ǫ)1/3− 2}, (習題 0-8 )
⇐ 0 < |x − 2| < δ,
(令 δ = min{|(8 − ǫ)1/3− 2|, (8 + ǫ)1/3− 2}. ) 法二 : 分解法.
|x3 − 8| < ǫ ⇔ |(x − 2)(x2+ 2x + 4)| < ǫ
⇐ |x − 2| < ǫ/19 ∧ |x2+ 2x + 4| < 19
⇐ |x − 2| < ǫ/19 ∧ |x − 2| < 1, [⋆]
⇐ |x − 2| < min{ǫ/19, 1}
⇐ 0 < |x − 2| < δ, (令δ = min{ǫ/19, 1} )
[⋆] |x − 2| < 1 ⇔ 1 < x < 3
⇒ (1 < x2 < 9, 2 < 2x < 6)
⇒ 7 < x2+ 2x + 4 < 19.
例4. 設 f (x) = x1/n, 試利用 ǫ-δ 方法證明 : lim
x→pf (x) = p1/n,其中 p ∈ Df, n ∈ N.
解 若 n 為奇數, 則 Df = R; 若 n 為偶數, 則 Df = [0, +∞), 又當 n 為偶數時, p = 0 及
p > 0 二情況之證明略有不同, 因此本題之證明應分以下三種情況 :
( i ) n 為偶數且 p > 0;
(ii) n 為偶數且 p = 0;
(iii) n 為奇數(不必分p = 0 及p 6= 0 ).
我們只證(i), 其餘二者讀者可仿之自證. 1◦ 若0 < ǫ < p1/n,
|x1/n− p1/n| < ǫ ⇐ p1/n− ǫ < x1/n < p1/n+ ǫ
⇐ (p1/n− ǫ)n< x < (p1/n+ ǫ)n, (參閱圖1–6 )
⇐ (p1/n− ǫ)n− p < x − p < (p1/n+ ǫ)n− p
⇐ |x − p| < min{|(p1/n− ǫ)n− p|, (p1/n+ ǫ)n− p}
⇐ 0 < |x − p| < δ,
( δ = min{|(p1/n− ǫ)n− p|, (p1/n+ ǫ)n− p} ).
1.4 常用之極限定理 33
-X f
(p1/n− ǫ)րn
0 p տ
(p1/n+ ǫ)n
◦
◦
◦ ◦ ◦
Y6
ǫǫ p1/n → p1/n+ ǫ
ց
p1/n− ǫր
圖1–6
..............................................................................
2◦ 若ǫ ≥ p1/n, 只需取 ǫ0 = p1/n
2 所對應之 δ0 即可. 因為由 1◦ 知, 0 < |x − p| < δ0 ⇒ |x1/n− p1/n| < ǫ0 = p1/n
2 < ǫ.
註 : 1. 上述證明中, 若不分為 1◦ 及 2◦, 當ǫ > p1/n 時, 1◦ 之第四個逆推 “ ⇐ ” 不真, 反例 : 設 n = 2, p = 1, ǫ = 4,則 (p1/n− ǫ)n− p = (1 − 4)2− 1 = 8 不為負. 2. 有些人質疑 √x 在點 0 只有右極限, 而無左極限, 因此極限不存在, 其實, 在定義
極限之時, 我們已明白規定, 變數 x 所趨近之點 p 不必為定義域之內點, 只需為 定義域之 『聚點』 即可, 因此, lim
x→0
√x = 0 完全符合定義.
§ 1.4 常用之極限定理
上節中我們舉了一些範例, 發現利用極限定義 ǫ-δ 方法, 以求極限是件十分辛苦的事,解決 之道是先證明一些定理,然後再以之解決極限之問題. 以下各定理,如無特別聲明, p必須為 『結 論中』 之函數的定義域之一聚點.
定理 1.5 (極限之唯一性)
若一函數在某一點之極限存在, 則其必為唯一.
證 假設 f 於點 p 有二相異極限 l1 及l2, 設l1 < l2. 次令ǫ = 1
2(l2− l1),因l1 為 f 在點 p
之極限, 故存在 δ1 > 0, 使得
∀ x ∈ Nδ∗1(p) ⇒ |f(x) − l1| < ǫ ⇒ f(x) < l1+ ǫ.
又因 l2 為 f 在點 p 之極限, 故存在 δ2 > 0, 使得
∀ x ∈ Nδ∗2(p) ⇒ |f(x) − l2| < ǫ ⇒ l2− ǫ < f(x).
1.4 常用之極限定理 34 則
x ∈ Nδ∗1(p) ∩ Nδ∗2(p) ⇒
l2− ǫ < f(x) 且 f (x) < l1+ ǫ
⇒ l2− l1 < 2ǫ = l2− l1.
顯然矛盾.
例1. 試求 lim
x→1(√
1 − x +√
x − 1) =?
解 答案是 『不存在 !』,許多人利用高中時所學, 認為
x→1lim(√
1 − x +√
x − 1) = lim
x→1
√1 − x + lim
x→1
√x − 1 = 0,
其實本題極限不存在的理由十分簡單, 令 f (x) = √1 − x +√x − 1, 顯然 Df = {1}, Df 中並無聚點, 不可能有點 『趨近於』 點 1. 我們舉出這個特例的目的是希望同學了解: “二函數之和(在某點)之極限為各極限之和”是 在某些條件下才成立. 以下各定理之敘述看來似乎太囉嗦, 其實少了它, 定理往往變成 『不真』, 這對於一向以嚴格自居的數學是一大傷害.
定理 1.6 (函數和之極限定理)
設 f 與 g 為二函數, 點 p 為 Df ∩ Dg 之一聚點, lim
x→pf (x) = a, lim
x→pg(x) = b, 則
x→plim(f + g)(x) = a + b.
證 ∀ ǫ > 0, ∀ x ∈ Df ∩ Dg,由於
|f(x) + g(x) − (a + b)| < ǫ ⇐ |f(x) − a| + |g(x) − b| < ǫ
⇐ |f(x) − a| < ǫ/2 ∧ |g(x) − b| < ǫ/2
⇐ 0 < |x − p| < δ1 ∧ 0 < |x − p| < δ2, [∵ lim
x→pf (x) = a, lim
x→pg(x) = b, (註) ]
⇐ 0 < |x − p| < δ, (令δ = min{δ1, δ2} ) (註) ǫ > 0, 對於正數 ǫ/2,由於 lim
x→pf (x) = a, 故存在 δ1 > 0 使得
∀x ∈ Df, 0 < |x − p| < δ1 ⇒ |f(x) − a| < ǫ/2. 我們的目的是希望能證明 (在適當條件下) 二函數之和、 差、 積、 商之極限, 為各函數極限 之和、 差、 積、 商, 上面我們已經證明了 『和』 的情形, 『差』 的證明大致相同, 但也可利用 『和』
與 『積』 來解決, 至於 『積』 與 『商』 之定理證明, 遠比 『和』 的情況為麻煩, 如果我們稍為繞個 彎 (採取迂迴戰術),證明起來會容易一些.
1.4 常用之極限定理 35 定理 1.7
設 f 為一函數, 我們稱 f 為有界 (bounded), 如果 f 之值域為有界. 其次設點 p ∈
Df ∪ (Df)′. 我們稱 f 在點 p 為局部有界 (locally bounded), 如果存在點 p 之一鄰 近N(p) 使得 f (Df ∩ N(p)) 為有界.
局部有界觀念一如字面上之意義, 函數 f 在點 p 之 『局部』(即於點p之某一鄰近) 為一有 界函數. 顯然一有界函數於任意點 p ∈ Df ∪ (Df)′ 必為局部有界, 但其逆不真,反例如下 : 例2. 函數 f : R → R : f(x) = x之值域為R, 故不為一有
界函數. 但f 在任意點 p顯然皆為局部有界.
例3. 函數 f : R∗ → R : f(x) = 1
x 在任意點 p 6= 0 皆為 局部有界, 但在點 0 則不為局部有界. 此外 f 之值域 為 R∗,故知 f 亦不為一有界函數.
-X 1
0 Y6
1-圖1–7
...
.........
...............
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
........
.......
......
......
......
......
......
......
...
......
...
......
...
......
...
...
...
......
...
...
...
...
...
...
......
.
定理 1.8 (趨零定理)
設f 與g為二函數,點p為Df∩Dg 之一聚點. f 在點p為局部有界且 lim
x→pg(x) = 0, 則 lim
x→p(f g)(x) = 0.
證 1◦ 因f 在點 p為局部有界, 故存在 δ1 > 0, M > 0 使得
∀ x ∈ Df ∩ Nδ∗1(p) ⇒ |f(x)| < M.
2◦ 因 lim
x→pg(x) = 0, 故對於 ǫ/M > 0, 必存在 δ2 > 0 使得
∀ x ∈ Dg ∩ Nδ∗2(p) ⇒ |g(x)| < ǫ/M.
3◦ 取Nδ∗(p) = Nδ∗
1(p) ∩ Nδ∗2(p), 則有
∀ x ∈ Df ∩ Dg∩ Nδ∗(p) ⇒
(x ∈ Df ∩ Nδ∗1(p) 且 x ∈ Dg∩ Nδ∗2(p)
⇒
|f(x)| < M 且
|g(x)| < ǫ M
⇒ |f(x)g(x)| < ǫ.
此即證得 lim
x→p(f g)(x) = 0.
1.4 常用之極限定理 36 定理 1.9 (函數積之極限定理)
設 f 與 g 為二函數, 點 p 為 Df ∩ Dg 之一聚點. lim
x→pf (x) = a, lim
x→pg(x) = b, 則
x→plim(f g)(x) = ab.
證 1◦ 先證 : f 與 g 在點 p 皆為局部有界. 設 ǫ = 1, 因 lim
x→pf (x) = a, 是以存在 δ > 0 使得
∀ x ∈ Df ∩ Nδ∗(p) ⇒ |f(x) − a| < ǫ = 1
⇒ a − 1 < f(x) < a + 1, 故知 f (Df ∩ Nδ(p)) 為有界. g 在點 p 之局部有界性同理. 2◦ 利用函數和之極限定理:
x→plimf (x)g(x) = lim
x→p
h
(f (x) − a)(g(x) − b) + a(g(x) − b) + b(f(x) − a) + abi
= lim
x→p(f (x) − a)(g(x) − b) + lim
x→pa(g(x) − b) + lim
x→pb(f (x) − a) + ab
= 0 + 0 + 0 + ab = ab, [⋆]
[⋆] 因 lim
x→p(f (x) − a) = 0, 而由 1◦ 知函數 g − b 在點 p為局部有界, 故
x→plim(f (x) − a)(g(x) − b) = 0;
第二、 三項同理.
定理 1.10 (線性性質)
設f 與 g 為二函數,點p 為Df∩ Dg 之一聚點, α, β ∈ R. 若lim
x→pf (x), lim
x→pg(x) 皆
存在, 則
x→plim(αf (x) + βg(x)) = α lim
x→pf (x) + β lim
x→pg(x).
證 利用定理 1.6 及1.9 立即可得.
1.4 常用之極限定理 37 定理 1.11 [ 保號定理 (sign-preserving theorem) ]
設 lim
x→pf (x) = l 6= 0,
(1) 若 l > 0, 則存在點 p之一去心鄰近 N∗(p) 使得
∀ x ∈ N∗(p) ∩ Df ⇒ f(x) > l 2. (2) 若 l < 0, 則存在點 p之一去心鄰近 N∗(p) 使得
∀ x ∈ N∗(p) ∩ Df ⇒ f(x) < l 2.
證 (1) (參閱圖 1–8 ), 設ǫ = l
2, 因 lim
x→pf (x) = l, 是以存在δ > 0 使得
∀ x ∈ Df ∩ Nδ∗(p) ⇒ |f(x) − l| < ǫ
⇒ l − ǫ < f(x) < l + ǫ
⇒ l
2 < f (x).
-X Y6
l l−ǫ l+ǫ
p−δ p p+δ f
O
圖 1–8
◦
◦
◦ ◦ ◦
................................................................................................
(2) 仿(1), 令 ǫ = |l|
2 = − l
2 即可證得.
本定理之所以稱為 『保號』 定理乃是由於其結論可知 : 若極限值 l 為正時, 則靠近p 之點 x 之函數值 f (x) 皆為正, 二者同號, 如圖 1–8 所示. l 為負時亦同理.
定理 1.12 (函數商之極限定理)
設f 與g 為二函數, 點p 為Df ∩ Dg \ Zg 之一聚點. 若 lim
x→pf (x) = a,
x→plimg(x) = b 6= 0, 則 lim
x→p
f (x) g(x) = a
b.
1.4 常用之極限定理 38
證 只需證明: lim
x→p
1 g(x) = 1
b,再利用定理 1.9, 本定理即可得證. 今往證:
∀ ǫ > 0, ∃ δ > 0, ∀ x ∈ Nδ∗(p) ∩ Dg \ Zg ⇒
1 g(x) − 1
b < ǫ.
1◦ 因 lim
x→pg(x) = b 6= 0, 由保號定理知存在 δ′ > 0 使得
∀ x ∈ Nδ∗′(p) ∩ Dg ⇒ |g(x)| > |b|
2
⇒
1 g(x)
<
2
|b|. 2◦ 任予一正數ǫ, 由於 ∀ x ∈ Dg\ Zg,
1 g(x) − 1
b
< ǫ ⇐
b − g(x) bg(x)
< ǫ
⇐
1 g(x)
<
2
|b| ∧ |g(x) − b| < 1 2b2ǫ
⇐ 0 < |x − p| < δ′ ∧ 0 < |x − p| < δ′′, (由 1◦ 及原設)
⇐ 0 < |x − p| < min{δ′, δ′′}.
若取 δ = min{δ′, δ′′} 即可.
定理 1.13 [ 保序定理 (order-preserving theorem) ] 設
(1) lim
x→pf (x), lim
x→pg(x)皆存在;
(2) 存在δ > 0 使得 ∀ x ∈ Nδ∗(p) ∩ D, f(x) ≤ g(x), (內D = Df ∩ Dg).
則 lim
x→pf (x) ≤ lim
x→pg(x).
證 利用間接證法 : 假定 lim
x→pf (x) > lim
x→pg(x), 則由保號定理知, ∃ δ′ > 0 使得
∀ x ∈ Nδ∗′(p) ∩ D ⇒ f(x) − g(x) > 0, [∗]
令 δ0 = min{δ, δ′}, 則
∀ x ∈ Nδ∗0(p) ∩ D ⇒ ( x ∈ Nδ∗(p) ∩ D 且 x ∈ Nδ∗′(p) ∩ D
⇒ ( f(x) ≤ g(x) 且
f (x) > g(x), (∵ [∗] ).
顯然矛盾.
1.4 常用之極限定理 39 註 : 如果事前已知極限 lim
x→pf (x) 及 lim
x→pg(x)皆存在時, 本定理之結論方為有效. 例如 : f : R∗ → R : f(x) = sin 1
x , 則以下之推論是錯誤的 :
(∀ x ∈ Df, f (x) ≤ 1) ⇒ ( limx→0f (x) ≤ limx→01 = 1 ).
稍後我們將證明 lim
x→0f (x) 並不存在, (參見例6 及圖 1–12. ) 定理 1.14 [ 三明治原理或夾擠定理 (sandwich principle) ]
設
(1) lim
x→pf (x) = lim
x→ph(x) = l, (2) 點p 為Dg 之一聚點,
(3) 存在p 之一去心鄰近 Nδ∗(p) 使得 ∀ x ∈ Nδ∗(p) ∩ Dg, f (x) ≤ g(x) ≤ h(x), 則 lim
x→pg(x) = l.
-X p
圖1–9 Y6
h
g f
............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
..
...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................
證 對於 ǫ > 0, 1◦ 因 lim
x→pf (x) = l, 知存在 δ′ > 0 使得
∀ x ∈ Df ∩ Nδ∗′(p) ⇒ l − ǫ < f(x) < l + ǫ. 1 2◦ 因 lim
x→ph(x) = l, 知存在 δ′′ > 0 使得
∀ x ∈ Dh∩ Nδ∗′′(p) ⇒ l − ǫ < h(x) < l + ǫ. 2
1.4 常用之極限定理 40 3◦ 令δ0 = min{δ, δ′, δ′′}, 則由 1 , 2 兩式及原設,
∀ x ∈ Dg∩ Nδ∗0(p) ⇒
x ∈ Df ∩ Nδ∗′(p) ⇒ l − ǫ < f(x) < l + ǫ, x ∈ Dh∩ Nδ∗′′(p) ⇒ l − ǫ < h(x) < l + ǫ, x ∈ Dg∩ Nδ∗(p) ⇒ f(x) < g(x) < h(x),
⇒ l − ǫ < g(x) < l + ǫ.
是以證得 lim
x→pg(x) = l.
例4. 試求極限 lim
x→0
h 1 x i
x2 =? 其中 [ · ]為最大整數函數. 解 由於
∀ t ∈ R, t − 1 < [t] ≤ t ⇒ ∀ x ∈ R∗, 1
x − 1 <h 1 x
i≤ 1
x, (令t = 1/x )
⇒ ∀ x ∈ R∗, 1 x − 1
x2 <h 1 x i
x2 ≤ 1 x · x2 而 lim
x→0
1 x − 1
x2 = 0 = lim
x→0
1
x · x2, 是以 lim
x→0
h 1 x
ix2 = 0.
系 1.15 (極限之局部性) 設
(1) lim
x→pf (x) = l,
(2) 點p 為Dg 之一聚點,
(3) 存在p 之一去心鄰近 Nδ∗(p) 使得 ∀ x ∈ Nδ∗(p) ∩ Dg, f (x) = g(x), 則 lim
x→pg(x) = l.
證 三明治原理中令 f = h 即得本定理.
例5. 試求極限 lim
x→3/2[x] =? 其中 [ · ]乃最大整數函數.
解 令
f : R → R : f(x) = 1, g : R → R : g(x) = [x];
則當 x ∈ (1, 2) = N1/2(32), [x] = 1 = f (x), 已知
x→3/2lim f (x) = 1, 是以 lim
x→3/2[x] = 1.
0 1 2
-X 0
1 2
Y6
f g
•
•
•
◦
◦
◦
圖1–10
1.4 常用之極限定理 41 定理 1.16 (制限之極限)
設 lim
x→pf (x) = l, 若 p 為A 之一聚點且 A ⊂ Df, 則 lim
x→pf |A(x) = l.
註 : 設函數f : Df → B, A為Df 之非空子集,則函數g : A → B : g(x) = f(x), 稱為 f 在A 上之制限 (restriction), 並寫為 f |A. (參見圖 1–11).
證
limx→pf (x) = l ⇒ ∀ ǫ > 0, ∃δ > 0, ∀ x ∈ Nδ∗(p) ∩ Df ⇒ |f(x) − l| < ǫ
⇒ ∀ ǫ > 0, ∃δ > 0, ∀ x ∈ Nδ∗(p) ∩ A ⇒
f |A(x) − l < ǫ
⇒ limx→pf |A(x) = l.
-X p
圖 1–11 Y6
f f |A
...........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
A
... ... ... ... ...
註 : 本定理之主要用途: 用以證明極限不存在. 對於一函數 f , 若存在 Df 之二子集 A 與 B 且 p ∈ A′∩ B′, 使得
x→plimf |A(x) 6= limx→pf |B(x), 則由本定理知 lim
x→pf (x) 不存在.
例6. 試求 lim
x→0sin 1
x =?
解 設
f : R∗ → R : f(x) = sin 1
x, (參見圖 1–12) A =
( 1
π
2 + 2kπ
k ∈ Z+ )
, B = ( 1
kπ k ∈ N
) ,
1.4 常用之極限定理 42
(right-hand limit) 並記為 lim
x→p+f (x) 或f (p+). 同理可界定左極限.
1.5 連續性 43 證 1◦ 若 lim
x→pf |A(x) 6= lim
x→pf |B(x) 或此二極限之一不存在, 我們已知 lim
x→pf (x) 不存在. 2◦ 若 lim
x→pf |A(x) = lim
x→pf |B(x) = l, 則由 極限之定義知存在二正數 δ′, δ′′ 使得 ( ∀ x ∈ A ∩ Nδ∗′(p) ⇒ |f(x) − l| < ǫ,
x→pf |B(x) = l, 則由 極限之定義知存在二正數 δ′, δ′′ 使得 ( ∀ x ∈ A ∩ Nδ∗′(p) ⇒ |f(x) − l| < ǫ,