均值定理與應用
Chapter 3 特殊函數
到目前為止我們所認識的函數僅止於代數函數. 然而, 在自然科學及應用科學上我們所遇 到的函數, 以及將來可能發現的函數絕不止三五類. 本章我們將研究幾個最基本的函數,諸如三 角函數、 指數函數、 對數函數及雙曲函數等及其導函數; 其他的函數, 有些可由上述所謂的特殊 函數以及有理函數組合而成, 有些則依需要而建構. 我們先界定三角函數與指數函數, 然後再去 界定其他的特殊函數.
§ 3.1 反函數
在預篇中,我們已介紹過反函數之定義如下 : 設f : A → B 為一函數, 今令 f−1 = {(y, x) | (x, y) ∈ f},
若f−1 為一函數,則稱 f 為可逆, 並稱 f−1 為f 之反函數. 由於點(x, y)與 點 (y, x)對稱於
直線 y = x, 是以反函數 f−1 之圖形亦與 f 之圖形對稱於直線 y = x, 參閱圖 3–1 及圖 3–2.
三角、 指數、 對數及雙曲等函數之反函數在理論及應用上皆十分重要, 在本章之始, 深入探討反 函數及其導函數觀念實屬必要.
定理 3.1 (反函數定理)
設 f : A → B 為一函數, 則以下二陳述為對等 :
I. f 為一對射 ;
II. 存在唯一自 B 映至 A 之函數 g 使得 g ◦ f = IA †, f ◦ g = IB . 其中 IA: A → A : IA(x) = x, (稱為 A 上之恆等函數); IB 同理.
證 參見附錄一.
† g ◦ f = IA ⇔
g(f (x)) = x, ∀x ∈ A . 94
3.1 反函數 95 註: (1) 上述定理中之函數 g 即為 f 之反函數, 因為若令 y = f (x), 則 x = f−1(y), 故
g(y) = g(f (x)) = x = f−1(y), ∀ y ∈ B .
(2) 本定理說明函數可逆之充要條件為該函數為對射. 其實若函數 f 為嵌射, 只需將 函數改為 f : A → Rf,則 f 為對射矣.
例1. 試求 f (x) =√2rx − x2 之反函數, 其中0 ≤ x ≤ r.
解 1◦ 由於 f′(x) = 2r − 2x 2√
2rx − x2 > 0, ∀ x ∈ (0, r). 是 以f 於區間[0, r] 為遞增; 又f (0) = 0, f (r) = r, 故知 f 之值域為 [0, r], 換言之, f : [0, r] → [0, r]
為對射.
2◦ 其次,因 0 ≤ x, y ≤ r, y =√
2rx − x2 ⇔ y2 = 2rx − x2
⇔ r2− y2 = r2− 2rx + x2
⇔ r − x =p
r2− y2
⇔ x = r −p
r2− y2, 故 f−1: [0, r] → [0, r] : f−1(y) = r −p
r2− y2.
0 r
-X 0
r Y6
f
f−1
圖3–1
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本章中每當我們介紹一個函數時, 不但要討論其微分法並且要討論其反函數及它的微分法. 因此我們先研究如何微分某一函數之反函數.
定理 3.2 (反函數之導數定理)
設 f : [a, b] → R為一嵌射且連續之函數.
(1) 若 f 在點 x0 為可微且 f′(x0) 6= 0, 則(f−1)′(y0) = 1
f′(x0),其中 y0 = f (x0).
(2) 若 f 在點 x0 為可微且 f′(x0) = 0, 則f−1 在點 y0 = f (x0) 不為可微分 . (3) 若 lim
x→x0
f (x) − f(x0) x − x0
= +∞, 則(f−1)′(y0) = 0, 其中 y0= f (x0) .
證 為方便計, 在以下之證明中令 g = f−1. (1) 仿照上一章微分連鎖律之證明,設
f∗: [a, b] → R : f∗(x) =
f (x) − f(x0) x − x0
, 若 x 6= x0, f′(x0), 若 x = x0.
3.1 反函數 96 考慮 g 在點 y0 之差商函數,
gy∗0(y) = g(y) − g(y0)
y − y0 = 1
y − y0 g(y) − g(y0)
= 1
f (g(y)) − f(x0) g(y) − x0
= 1
f∗(g(y)),
由於 g 在點 y0 為連續†且f∗ 在點 x0 = g(y0) 為連續, 故 f∗◦ g 在y0 亦為連續, 是以
y→ylim0
gy∗0(y) = lim
y→y0
1
f∗(g(y)) = 1
f∗(g(y0)) = 1
f∗(x0) = 1 f′(x0).
a b
圖3–2 c
d
-X Y
6
f f−1
•
•
տ(x0, y0) (y0, x0)
y = x
....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... .
.. . ..
........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ .
.............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
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(2) 若 f′(x0) = 0, 且 g 於點 y0 為可微分, 則由連鎖律知, 函數 g(f (x)) = x 於點 x0 亦為可微分, 則得
1 = D(g ◦ f)(x0) = g′(f (x0)) · f′(x0) = g′(y0) · 0 = 0, 顯然矛盾.
(3) 設
f : [a, b] → R : ˆˆ f (x) =
x − x0
f (x) − f(x0), 若 x 6= x0,
0, 若 x = x0.
則由原設知 fˆ於點x0 為連續, 是以 f ◦ gˆ 於點 y0 為連續, 故 g′(y0) = lim
y→y0
g(y) − g(y0)
y − y0 = lim
y→y0
g(y) − x0 f (g(y)) − f(x0)
= lim
y→y0
f (g(y)) = ˆˆ f (g(y0)) = 0.
圖 3–2 係以幾何方式表示 : 由於 f 在點 x0 之切線與 f−1 在點 y0 之切線對稱於直線 y = x,正說明 f′(x0)與 (f−1)′(y0)二者之倒數關係.
† 參見附錄二
3.2 三角函數 97
§ 3.2 三角函數
三角函數與三角學之關係十分密切,早在西元前二世紀,希臘天文學家Hipparchus就開始 有關三角學之研究, 其後在中國、 印度、 阿拉伯都有不少出色的成果, 十七世紀初, 法國數學家 Albert Girard 創立了今日大家所熟悉的三角函數符號 sin, cos, tan, · · · 等, 而十八世紀中瑞
士的 L. Euler 則將三角函數推廣到複變數之情形, 限於篇幅, 本書將不涉及複數部分.
如果 sin 與 cos 均為已知, 則令 tan = sin
cos, cot = cos
sin, sec = 1
cos, csc = 1 sin.
sin 與 cos 之 傳統定義方法 為: 設 P 為平面上單位圓上之 一點, 其與 X 軸之夾角為 x, (若自 X軸 以反時針方向計, 則 x 為正, 否則為負), P 之坐標為 (ax, bx), 如圖 :
(sin : R → [−1, 1] : sin x = bx, cos : R → [−1, 1] : cos x = ax. 本書中, 我們將介紹 sin 與 cos 的另一種定義方式.
-Y6
P (ax, bx)
x 1
圖3–3
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.................................................................................................................
.................................................................................................................. . .. .. . .. .. .. .. .. ..
定義 3.3
若函數 f, g : R → R 滿足
f′ = g, g′ = −f, f(0) = 0, g(0) = 1,
則稱 f 為正弦函數(sine function), g 為餘弦函數(cosine function), 並分別記為sin 及 cos.
換言之,
sin, cos : R → R 滿足
(sin′x = cos x, cos′x = − sin x, ∀x ∈ R, sin(0) = 0, cos(0) = 1.
以上述微分方程式方法定義之二函數必須考慮兩個問題 : (1) 存在性: 我們將在第八章中, 利用冪級數理論可得, ∀ x ∈ R,
sin x = x 1! −x3
3! +x5
5! − · · · + (−1)n x2n+1
(2n + 1)! + · · · , cos x = 1 − x2
2! +x4
4! − · · · + (−1)n x2n
(2n)!+ · · · .
3.2 三角函數 98 (2) 唯一性 : 若有二對函數
( f, g : R → R 滿足 f′ = g, g′ = −f, f(0) = 0, g(0) = 1, f1, g1: R → R滿足 f1′ = g1, g1′ = −f1, f1(0) = 0, g1(0) = 1, 我們將證明 f = f1, g = g1.
為此, 令
φ : R → R : φ(x) = (f(x) − f1(x))2+ (g(x) − g1(x))2, (∗) 則∀ x ∈ R,
φ′(x) = 2(f (x) − f1(x))(f′(x) − f1′(x)) + 2(g(x) − g1(x))(g′(x) − g1′(x))
= 2(f (x) − f1(x))(g(x) − g1(x)) − 2(g(x) − g1(x))(f (x) − f1(x)) = 0, 由此可知 φ 為一常數函數 C; 又在 (∗)式中以 0 代x, 則知 C = φ(0) = 0,是以證得:
φ(x) = (f (x) − f1(x))2+ (g(x) − g1(x))2 = 0, 由於任何實數之平方均不為負, 故應有f (x) = f1(x), g(x) = g1(x).
0 π
2 π 2π
-X
−1 1
Y6
sin cos
圖3–4
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........................................................................
三角函數之諸性質與高中時所學並無不同. 諸如 : sin2x + cos2x = 1,
sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y, cos(x + y) = cos x cos y − sin x sin y, sin(−x) = − sin x, cos(−x) = cos x, sin(x − y) = sin x cos y − cos x sin y, cos(x − y) = cos x cos y + sin x sin y, sin(2x) = 2 sin x cos x,
cos(2x) = cos2x − sin2x = 2 cos2x − 1 = 1 − 2 sin2x,
3.2 三角函數 99 皆可利用上述定義證得. 此外我們規定 π = 2 min{x > 0 | cos x = 0}, 儘管如此定義方式與傳 統上以圓周長除以直徑之定義方式不同. 但均可以證明二者並無不同.
定義 3.4
設 D1 = R \ {π
2 + kπ | k ∈ Z}, D2 = R \ {kπ | k ∈ Z}. 則稱函數 (1) tan : D1 → R : tan x = sin x
cos x 為正切函數(tangent function);
(2) cot : D2 → R : cot x = cos x
sin x 為餘切函數(cotangent function);
(3) sec : D1 → R : sec x = 1
cos x 為正割函數 (secant function);
(4) csc : D2 → R : csc x = 1
sin x 為餘割函數 (cosecant function).
在此所界定之四函數連同正弦與餘弦函數, 統稱為三角函數 (trigonometric func-tions).
有關三角函數之一般性質及公式,我們不擬重複研究. 本節的後半, 主要目的在於探討三角 函數之微分法, 而下節我們將界定其反函數並求其導函數. 正切、 餘切、 正割、 餘割四函數之圖 形如圖 3–5, 3–6, 3–7 及3–8.
−π2 0 π2 3π2 5π2
-X tan
−4
−2 2 4
Y
6
圖3–5 正切函數
...
.........................................................................................................
...
.........................................................................................................
............................................................................................................
−π 0 π 2π
-X cot
圖 3–6 餘切函數
−4
−2 2 4
Y
..................................................................6
..................................................................
..................................................................
3.2 三角函數 100
−π2 0 π2 3π2 5π2
-X sec
−3
−1 1 3
Y6
圖3–7 正割函數
............................................................... ...............................................................
...
...
..................................................................
−π 0 π 2π
-X csc
−3
−1 1 3
Y6
圖 3–8 餘割函數
............
................................................................
...
................................................................... ......................................................................
定理 3.5 (三角函數函數之導函數) 設 D1 = R \ {π
2 + kπ | k ∈ Z}, D2 = R \ {kπ | k ∈ Z}, 則 (1) ∀ x ∈ D1, D tan x = sec2x ;
(2) ∀ x ∈ D2, D cot x = − csc2x ; (3) ∀ x ∈ D1, D sec x = sec x tan x ; (4) ∀ x ∈ D2, D csc x = − csc x cot x .
證 利用函數之商之導數公式, 讀者自證之.
例1. 利用均值定理證明 : ∀ x > 0, sin x < x.
證 1◦ 先考慮 x ∈ (0, π/2], 由於 sin 為可微分函數, 故
sin 於區間[0, x]上滿足均值定理之條件(即定理之
前提),故存在 p ∈ (0, x)使得 sin x − sin 0
x − 0 = sin′p = cos p < 1, (因 0 < p < x ≤ π/2);移項之,得 sin x < x.
2◦ 若 x > π
2,則 sin x ≤ 1 < π
2 < x.
-X 0
1
−1
π/2 Y6
sin y = x
圖3–9
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..............................
例2. 試證 : lim
x→0
sin x x = 1.
3.3 反三角函數 101 解 利用導數之定義,
x→0lim
sin x
x = lim
x→0
sin x − sin 0
x − 0 = D sin x
x=0 = cos x
x=0 = 1.
§ 3.3 反三角函數
我們知道, 週期性函數必非嵌射, 故無反函數, 是以六個三角函數皆無反函數. 基於實際需 要, 人們將函數之定義域予以適當的制限 (restrict), 而有所謂的反三角函數.