在數學的發展過程中,『面積』 觀念一直是人類研究的重點之一,而在十七、 八世紀Newton
和Leibniz發現面積問題可用導數來解決之後,導數才逐漸成為數學研究的另一個重點,而構築
成所謂的 《微積分學》.
§ 2.1 導數與切線
談到導數, 人們一定立即聯想到切線, 有人說 : 『導數乃是切線之斜率.』 那麼切線又是什 麼? 十九世紀之前, 人類對於切線的觀念還是相當模糊, 無法給予一個十分嚴格的定義, 有人說 : 『切線是過切點且與法線垂直之線.』 但法線又是什麼? 有人說 : 『當曲線上一點 Q 趨近於 固定點 P 時二點割線之“極限” 就是切線.』 然而這種極限不易以嚴格數學界定清楚, 大數學家
Fermat (1601–1665)的想法是將此觀念分成兩個步驟: 首先, 上述割線之斜率(這是個實值函
數) 的極限當做切線之斜率, 其次, 利用解析幾何之“點斜式” 即可求出切線方程式. 因此, 我們 開始介紹導數.
p t
-X Y6
P
.Q
. . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . . . . ......... . .........
f
圖2–1 切線
•
•
....................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
..........................................
62
2.1 導數與切線 63
定義 2.1
設f : Df → R, p ∈ Df ∩ D′f,
(1) 函數 fp∗: Df \ {p} → R : fp∗(t) = f (t) − f(p)
t − p 稱為 f 在點 p 之差商函數
(difference quotient function).
(2) 如果極限 lim
t→pfp∗(t) = lim
t→p
f (t) − f(p)
t − p 存在, 則稱 f 在點 p 為可微分 (differ-entiable), 並令之為 f′(p) 、 Df (p) 、 dy
dx x=p
或 df (p)
dx , 而稱為 f 在 p 之導數
(derivative).
(3) 若極限 lim
t→p+fp∗(t) 存在,則稱 f 在點p 為右可微 (right-differentiable),並令此 極限值為 f+′(p) 或D+f (p), 而稱為 f 在 p 之右導數 (right derivative). 同理 可界定左可微及左導數.
(4) 函數f′: E → R : x 7→ f′(x), 其中
E = {x ∈ Df | f 在點 x 為可微 } 稱為f 之導函數 (derivative).
(參閱圖 2–1 ) 所謂差商函數是指固定點 P (p, f (p)) 與曲線上另一點 Q(t, f (t)) 之連線之 斜率. 稍早已提及, 差商函數之極限將被視切線之斜率而構成切線, 但此構想無法包含切線為垂 直之情形,因此我們修改如下:
-X Y6
x = p
• (p, f(p))
p
f
圖2–2 垂直切線
.....................................................................................................................
2.1 導數與切線 64 定義 2.2
(1) 如果 f 在點 p 為可微, 則稱 y = f′(p)(x − p) + f(p) 為f 圖形過點(p, f (p)) 之 切線 (tangent line);
(2) 如果 f 在點 p 為連續且 lim
x→p
f (x) − f(p) x − p
= +∞, 則稱 x = p 為 f 圖形過點 (p, f (p)) 之(垂直) 切線.
平常我們所謂的“微分(differentiate) 某函數f ” 一語, 其意思便是由函數 f 找出其導函 數f′, 提醒讀者注意 : 一可微分函數 (即此函數在其定義域之每一點皆為可微)當然有導函數, 但某些函數並非在其定義域內之每一點皆為可微分時, 依照定義 2.1 仍然有導函數.
例1. 設 f : R → R : f(x) = c, 試微分f .
解 由於定義域為 R, 故其上任一點皆為聚點, 而 f′(x) = lim
t→x
f (t) − f(x) t − x = lim
t→x
c − c t − x = 0,
是以f′: R→ R : f′(x) = 0, 換言之,常數函數之導函數為零函數.
例2. 設 f : R → R : f(x) = x, 試微分 f .
解 由於定義域為 R, 故其上任一點皆為聚點, 而 f′(x) = lim
t→x
f (t) − f(x) t − x = lim
t→x
t − x t − x = 1,
是以f′: R→ R : f′(x) = 1.
例3. 設 n ∈ N, f : R → R : f(x) = xn, 試微分f .
解 在上例中我們已討論 n = 1 之情形,以下只考慮 n > 1 之情形, f′(x) = lim
t→x
f (t) − f(x) t − x = lim
t→x
tn− xn t − x
= lim
t→x
(t − x)(tn−1+tn−2x + · · · + xn−1) t − x
= lim
t→x (tn−1+tn−2x + · · · + xn−1)
=nxn−1. 是以f′: R→ R : f′(x) = nxn−1.
(當n = 1 時,此式亦真,唯 x0 須視為常數函數 1. )
2.1 導數與切線 65 例4. 設 f : R∗ → R : f(x) = 1/x, 試微分f .
解 由於定義域為 R∗,故其上任一點皆為聚點, 而
f′(x) = lim
t→x
f (t) − f(x) t − x = lim
t→x
1 t − 1
x
t − x = lim
t→x
x − t
(t − x)(tx) =− 1 x2. 是以f′: R∗ → R : f′(x) = − 1
x2.
例5. 試求通過原點而切於函數 f (x) = (x + 1)3 圖形之直線方程式. 解 因 f (x) = (x + 1)3,故 f′(x) = 3(x + 1)2.
1◦ 設此切線之切點為 (x0, y0),由於 ( y0 = (x0+ 1)3,
斜率 m = f′(x0) = 3(x0+ 1)2, 故切線方程式應為
y = m(x − x0) +y0
= 3(x0+ 1)2(x − x0) + (x0 + 1)3. (1) 2◦ 由題意知切線通過原點, 故由 (1) 式得
0 = 3(x0+ 1)2(−x0) + (x0 + 1)3. 分解之, 得
(x0+ 1)2(1− 2x0) = 0.
亦即x0 =−1或x0 = 1
2, 分別代入 (1)式, 得二切 線方程式 y = 0及 y = 27
4 x.
−1 0 1
-X 2
4 6
Y6
f
.
(12,278)圖2–3
.. .. . .. .. .. ...........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................
由原設之函數 f , 我們可以求得其導函數 f′ (注意 : 其定義域可能較 Df 為小), 對於 f′ 我們可用同樣 『差商極限之方法』 以求 f′ 在某點p 之導數,亦即
(f′)′(p) = lim
t→p
f′(t) − f′(p)
t − p , (若其存在).
為簡化符號, 我們將上述導數寫為 f′′(p),並稱其為 f 在點p 之二階導數 (second derivative), 如此繼續下去而有三階導數f′′′(p),但四階以上則表為f(4)(p), f(5)(p), · · · , f(n)(p)†. 當然我 們可以更精確地界定高階導函數如下 :
† f′, f′′, f′′′ 分別讀為 f -prime, f -double-prime, f -triple-prime, 但其後之 f(4) 則讀為 f 之四階導數(4th derivative).
2.2 常用之導數定理 66 定義 2.3
設f 為一函數. 對於任一 n ∈ N,我們以遞迴定義法界定 f 之n 階導函數 f(n) (n-th derivative off ) 如下 :
( i ) 若f 有導函數,則 f(1) =f′ ;
(ii) 若f 有 m 階導函數f(m),且 f(m) 有導函數, 則f(m+1) = (f(m))′ . 為方便計,我們常以f(0) 表f 本身, 此外f(n) 亦常寫為 Dnf 或 d
ny
dxn. 在此我們將暫不舉 例,在下節介紹有關函數四則運算及合成之導數求法之後, 再舉高階導數之範例.
§ 2.2 常用之導數定理
如同極限及連續之情形一樣, 我們不能全靠“定義” 以求一函數之導數, 一些基本性的定理 可以幫助我們如何“微分”, 不過這些常用定理並非萬能, 有時也需要定義, 許多讀者似乎過分依 賴定理的功能,而產生錯誤的認知與結果.
定理 2.4 (可微性與連續性)
(1) 若 f 在點 p 為可微,則 f 在點 p 為連續; (2) 若 f 在點 p 為右可微, 則f 在點 p為右連續.
證 我們只證(2), 若將其中之 p+ 為 p, f+′ (p)改為 f′(p)即為 (1) 之證.由於 lim
x→p+f (x) = lim
x→p+
h f (x) − f(p)
x − p (x − p) + f(p)i
=f+′ (p) · 0 + f(p) = f(p),
故 f 在點 p 為右連續.
我們都知道 : 若 f 在點 p為連續, 則 f 在點 p 未必為可微; 但若 f 在點 p 為右連續, 則 f 在點 p之右導數是否存在?
例1. 舉一例以說明 : 若 f 在點 p 為右連續, 則 f 在點 p 之右導數未必存在? (其中 p不為 Df 之孤立點. ) 解 設 f : R → R : f(x) = x1/3, 由於
lim
t→0+
f (t) − f(0)
t − 0 = lim
t→0+
t1/3
t = +∞,
故知 f 在點0不為可微, 但f 在點0顯然為(右)連 續, (參見第一章第五節例 2 ).
-X
6
Y
O
f
圖 2–4
........................................................................................................
2.2 常用之導數定理 67 定義 2.5
設 f 為一函數. 若 f 為可微分且 f′ 為連續, 則稱 f 為連續可微 (continuously differentiable). 類此, 若 f(n): Df → R 存在且連續, 則稱 f 為 n 階連續可微 (n-th order continuously differentiable), 並以 f ∈ Cn 表之.
由 2.4 定理我們可獲以下蘊含式, 用以表示連續與可微之強弱關係 :
2.2 常用之導數定理 68 定理 2.6 (導數之四則運算)
設f, g 在點 p 為可微,p 為和(或差、 積、 商)函數定義域之聚點, 則 (1) (f + g)′(p) = f′(p) + g′(p) ;
(2) (f − g)′(p) = f′(p) − g′(p) ; (3) (f g)′(p) = f′(p)g(p) + f (p)g′(p) ; (4) f
g
′
(p) = f′(p)g(p) − f(p)g′(p)
g2(p) , (若g(p) 6= 0 ) . 證 (1)
(f + g)′(p) = lim
t→p
(f + g)(t) − (f + g)(p) t − p
= lim
t→p
(f (t) + g(t)) − (f(p) + g(p)) t − p
= lim
t→p
f (t) − f(p) t − p + lim
t→p
g(t) − g(p)
t − p =f′(p) + g′(p).
(2) 仿(1).
(3)
(f g)′(p) = lim
t→p
(f g)(t) − (fg)(p) t − p
= lim
t→p
f (t)g(t) − f(t)g(p) + f(t)g(p) − f(p)g(p) t − p
= lim
t→pf (t)g(t) − g(p) t − p + lim
t→pg(p)f (t) − f(p)
t − p =f′(p)g(p) + f (p)g′(p).
(4) 首先
1 g
′
(p) = lim
t→p
(1/g)(t) − (1/g)(p)
t − p = lim
t→p
g(p) − g(t)
g(t)g(p)(t − p) =−g′(p) g2(p). 其次利用 (3),
f g
′
(p) = f ·1
g
′
(p) = f′(p) · 1
g(p)+f (p) ·−g′(p) g2(p)
= f′(p)g(p) − f(p)g′(p)
g2(p) .
例2. 設 f 為可微分函數. 證明: Dfn(x) = nfn−1(x)f′(x), 其中 n 為大於一之自然數. (注意 : 讀者宜分辨fn 與 f(n) 意義完全不同).
2.2 常用之導數定理 69
2.2 常用之導數定理 70 證 設
f∗: Df → R : f∗(x) =
f (x) − f(p)
x − p , 若 x 6= p, f′(p), 若 x = p, 則 f∗ 連續於點 p 且∀ x ∈ Df, f (x) − f(p) = f∗(x)(x − p). 次設
g∗: Dg → R : g∗(y) =
g(y) − g(f(p))
y − f(p) , 若 y 6= f(p), g′(f (p)), 若 y = f (p),
則 g∗ 連續於點 f (p) 且∀ y ∈ Dg, g(y) − g(f(p)) = g∗(y)(y − f(p)). 是以
∀ x ∈ Df, y = f (x) ∈ Rf ⊂ Dg,應有
g(f (x)) − g(f(p)) = g∗(f (x))(f (x) − f(p))
=g∗(f (x))f∗(x)(x − p), 又因 f∗ 與g∗◦ f 均連續於點p, 故
x→plim
g(f (x)) − g(f(p))
x − p = lim
x→pg∗(f (x))f∗(x) = g′(f (p))f′(p).
例4. 試微分函數 F (x) =1 + 1 x
1/3
. 解 1◦ 首先令
f : R∗ → R : f(x) = 1 + 1 x, g : R → R : g(y) = y1/3, 則
g(f (x)) = (f (x))1/3= 1 + 1
x
1/3
=F (x).
即F 乃 f, g 二函數所合成.
2◦ 由於 g 在點y = 0 時不為可微,故當 f (x) = 0 時, g′(f (x)) 無意義, 在此因 f (−1) = 0, 故於 點x = −1 不能利用連鎖律. 但由定義 2.1,
t→−1lim
F (t) − F (−1)
t − (−1) = lim
t→−1
[1 + (1/t)]1/3 t + 1
= lim
t→−1
1 t1/3(t + 1)2/3
=−∞, 故知 F 於點 −1不為可微分.
−2 −1 0 1 2
-X
−1 1
Y6
F
...
..................
.........
.....................
............
...
...
圖2-6
2.2 常用之導數定理 71 3◦ 至於 ∀ x ∈ R∗\ {−1},
F′(x) = g′(f (x))f′(x) = 1
3(f (x))−2/3·−1
x2 =− 1
3x2 1 + x12/3. 綜合以上討論知
F′: R\ {−1, 0} → R : F′(x) = − 1
3x2 1 + 1x2/3.
例5. 試微分 f (x) =√x3− x4. 解 先求 f 之定義域,
Df ={x ∈ R | x3− x4 ≥ 0}
={x ∈ R | x3(1− x) ≥ 0}
={x ∈ R | x(1 − x) ≥ 0} = [0, 1].
將 f 視為由以下二函數之合成
F : [0, 1] → R : F (x) = x3− x4, G : [0, +∞) → R : G(y) =√y,
由於 G 在 y = 0 時不為可微分, 故當 F (x) = 0 (亦即 x = 0 或1 ) 時, 不可使用連鎖律, 而應使用導數之定義. (參閱圖2–8 ).
-X
0 1
Y
6
f
圖2–8
..........................................
1◦ ∀ x ∈ (0, 1), f′(x) = 3x2− 4x3 2√
x3− x4. 2◦ f 在點 1 不為可微分,因為
lim
x→1−
√x3 − x4
x − 1 = lim
x→1−−
√x3
√1− x =−∞,
3◦ 在點 x = 0, f′(0) = lim
x→0+
√x3− x4− 0 x − 0 = 0.
是以
f′: [0, 1) → R : f′(x) =
3x2− 4x3 2√
x3− x4, 若 x 6= 0,
0, 若 x = 0.
2.2 常用之導數定理 72 註 : 有些人解合成函數之微分問題時, 未考慮各函數是否符合連鎖律之條件, 直接代入公式,
再判斷是否有點不為可微, 可能發生誤判之情事, 以本題為例, 以下解法是不正確的. 1◦ 因f (x) =√x3− x4 = (x3− x4)1/2, 故
f′(x) = 1
2(x3− x4)−1/2(3x2− 4x3) = 3x2− 4x3 2√
x3− x4. (†) 2◦ 當x ∈ {0, 1} 時, 因(†) 式右端之分母為 0,故 f 在點 0 及點 1皆為不可微.
系 2.8
設f 在點x 為可微, r 為一有理數, f (x) > 0, 則Dfr(x) = r · fr−1(x)f′(x).
證 令 g : (0, +∞) → R : g(x) = xr, 則fr(x) = g(f (x)), 利用微分連鎖律, 得
Dfr(x) = g′(f (x))f′(x) = r · fr−1(x)f′(x).
註 : 若 f 在點 x 為可微, 而有理數 r = m
n, 其中 m ∈ N, n 為奇數時, 即使f (x) < 0, 亦 有 Dfr(x) = rfr−1(x)f′(x).但當 f (x) = 0 時, 則fr(x) 是否可微, 當視 r 是否小於 1 而定, 我們留給讀者去思考.
例6. 設 f : (−∞, 1] → R : f(x) =√
1− x. 試求 f 之 n 階導函數. 解 1◦ 若x < 1, 則 f′(x) = −1
2(1− x)−1/2; 而f 在點1 不為可微分, 因
x→1lim−
f (x) − f(1)
x − 1 = lim
x→1−
√1− x
x − 1 = lim
x→1−
√−1
1− x =−∞.
2◦ 其次, ∀x < 1,
f′′(x) = −1 2· 1
2 · (1 − x)−3/2, f′′′(x) = −1
2· 1 2 ·3
2 · (1 − x)−5/2. f(4)(x) = −1
2· 1 2 ·3
2 · 5
2· (1 − x)−7/2. 當n ≥ 2 時, 我們可歸納得 f(n): (−∞, 1) → R :
f(n)(x) = −1· 3 · · · (2n − 3)
2n · (1 − x)−(2n−1)/2.
2.3 關聯比率(導數應用之一) 73
§ 2.3 關聯比率 ( 導數應用之一 )
導數在數學上的意義是切線之斜率, 在物理上則是瞬間速度, 如果我們考慮一質點沿一直 線運動,時間t 時,其位置為直線上之f (t), 二者乃為一函數關係,今考慮自 t0 至t 之平均速度
f (t) − f(t0) t − t0 ,
若t趨近於t0時,上述平均速度之極限存在,則稱其為質點在時間t0 之瞬間速度(instantanous velocity), 由於
t→tlim0
f (t) − f(t0)
t − t0 =f′(t0),
t0 ← t
-X Y6
f
. ..................................................................................
圖 2–9
.....................................................................
.........................
導數在物理上的第一個應用乃是運動之速度. 同理, 位移函數之二階導數則為加速度觀念. 除了應用在力學上之速度外, 亦常用在二變數之間之關聯比率 (related rate). 設我們討論的是 兩個變數 x 與 y, 其間有函數關係 : y = f (x). 若 f 之定義域包含區間 [p, t], 今考慮 : 自變 數自 p變至 t 而有增量 t − p時,f 之函數值亦隨之由 f (p) 變至 f (t)而有增量 f (t) − f(p) ( 注意 : 所謂增量未必為正), 此函數值增量與自變數增量之比值
f (t) − f(p) t − p
通常稱為函數 f 由 p 至t 間之平均變率 (average rate of change). 亦即函數值對應於自變數 變化之比率. 此乃我們界定導數時所謂之差商, 若 t 趨近於點 p 時, 上述平均變率之極限存在, 則此極限值通常稱為 f 在點 p 之瞬間變率 (instantaneous rate of change), 或簡稱為 f 在點 p 之變率. 變率之應用極廣, 多半情形自變數為時間,故常表為 t.