陳珍漢、 黃德華、 顏國勇合著之微積分學

本版微積分學之前身為 :

陳珍漢、 黃德華、 顏國勇合著之微積分學 _, 修訂三版。

早在1970年代初, 我們三人即著手編寫一本適合我國大學生之微積分教本, 期間歷經多次修訂 與二十餘年之實際講授, 儘管吾等皆認為該書對於當今大學生之數學學習有一定程度之幫助, 然而不可否認的,近年來, 全球科技進步一日千里,尤以電腦之軟硬體最為顯著, 以往以鉛字排 版之書籍, 改版時, 限制過多,以致只能小幅度修正。 以往以五號鉛字印刷之書本對於絕大多數 有近視問題之大學生, 實在不太恰當。 因之,數年前我們決定該書不再改版。

然而, 經過近三十年之教與學, 其間曾有數次使用英文微積分書籍以為教本, 益覺吾等之原 著對學生仍有頗多優點; 成大理、 工及管理學院數千學生用過該書, 正反兩面之反應皆在吾等省 思之中; 四年前, 本人於是嘗試以電腦打字打出講義大綱試用, 繼之則逐步增加份量, 好使學生 上課時, 得以人手一本影印講義而不必邊抄邊聽, 消化不良。

以電腦打出中文並無任何困難, 能夠編寫美麗高雅之數學式子則是拜電腦軟體 _TEX 之強 大功能, 然而最大之挑戰則為數學圖形之繪製, 儘管市面上有不少軟體可以解決此項難題, 但已 知之軟體與_TEX多半並不相容,其間之困難只有耐心使用各種軟體配合而繪出所需之圖。

本書有八成以上取材自吾等三人之原著, 較大之差異為範例及圖形。 由於教學與研究之需, 近年來, 本人曾蒐集各大學研究所入學考及轉學生入學考之試題, 並予解答, 從其中看出當今各 大學之系所對於微積分之需求已迥異於往昔, 因之在向量函數與多變數函數之微分與積分方面 皆做較大幅度之增修。

最後_, 本人在此特別感謝陳、 黃二位學長, 慷慨允許本人無條件使用原著之任何部分, 本人 不敢大言本書之問世能光大吾等三人之原著, 僅盼能延續該書之生命。 書中如有誤謬或未盡明 白之處, 歡迎來函賜正。

顏 國 勇

1998年九月於成大數學系

2

本人於 2004 年退休_, 其後三年繼續以兼任身份講授微積分,原本希望將最後修訂之第三版 予以付梓,但出版商以舊書仍有庫存而拒絕。2011 年希望將此書編為電子書, 置於網路,或可幫 助有緣學子多一項參考資料, 然而原先以軟體 _CTEX 編輯而成之檔案, 先天上受限於只能在 DOS環境工作,而發行 _CTEX 之倚天公司無意將它升級為 Window 版, 換言之_{, CTEX} 已無 法再使用。 七月間決定將已列印之第三版以掃瞄方式編為電子書, 雖然歷時月餘,終於完成。 然 而, 掃瞄之電子書有以下三項缺點, 其一, 檔案太大, 閱讀時下載較慢, 其二, 無法利用 「蒐尋」

功能, 其三, 修改不易。

不才另有一書 《機率論》, 篇幅只有 《微積分學》 的一半,決定將原有以_CTEX 排成之檔案, 使用目前眾多學者使用之數學編輯軟體_cwTEX 予以改版,最初, 困難不少, 所謂熟能生巧,逐 漸找到竅門,排除困難_, 完成較優質之 pdf格式的電子書,並置放於成大數學系圖書館之電子書 網站。

有了此一經驗, 乃著手利用 _cwTEX 將本書予以改編,並置於上述網站。 改版工作有如拆屋 重建, 曠日費時, 所幸退休後空閒時間較多, 歷經數月終於完工, 儘管誠惶誠恐, 惟恐出錯, 誤謬 實所難免, 但望各界高手不吝賜正。

顏 國 勇

2012年元月於台南市

版本說明

電 子 書 ₁版 : 原書三版予以掃瞄_, 並於 _2011.8.1. 置放於網路。

電 子 書 ₂版 : 以 _cwTEX 予以改版_, 並於 _2012.1.1. 置放於網路。

電子書2.1版 : 為方便索引查閱, 更改頁碼排序並修訂部分內容, 於 2012.2.15. 置放於網路。

3

序

電子書版序

預篇 集合與函數

第二節 集合與函數 . . . 9

第三節 實數系 . . . 13

第四節 實數系內各數系 . . . 15

第五節 擴張的實數系 . . . 16

第六節 微積分中函數之分類 . . . 17

第七節 常用簡單函數與單調函數 . . . 17

第八節 函數之運算 . . . .19

習 題 . . . 23

第一章 極限與連續

第二節 準備工作 . . . 27

第三節 極限之定義 . . . .29

第四節 常用之極限定理 . . . 33

第五節 連續性 . . . 43

第六節 其他八類極限 . . . 53

習 題 . . . 59

第二章 導函數

第二節 常用之導數定理 . . . 66

第三節 關聯比率 . . . 73

第四節 導數與極值 . . . .76

第五節 微分均值定理 . . . 78

第六節 微分 . . . 86

習 題 . . . 91

第三章 特殊函數

4

第一節 反函數 . . . 94

第二節 三角函數 . . . 97

第三節 反三角函數 . . . 101

第四節 指數函數 . . . .108

第五節 自然對數函數 . . . 113

第六節 一般指數函數 . . . 116

第七節 一般對數函數 . . . 119

第八節 指數與對數之應用 . . . 121

第九節 對數微分法 . . . 126

第十節 雙曲函數 . . . .127

第十一節 反雙曲函數 . . . 130

第十二節 隱微分法 . . . 133

第十三節 參數方程微分法 . . . 136

習 題 . . . 144

第四章 Taylor 定理與導數之應用

第二節 極值 . . . 156

第三節 函數凹凸性 . . . 160

第四節 作圖 . . . 165

第五節 近似函數值 . . . 170

第六節 牛頓迭代法 . . . 172

第七節 不定型之極限 . . . 176

習 題 . . . 184

第五章 不定積分

第二節 基本公式 . . . .191

第三節 代換積分法 . . . 193

第四節 三角代換法 . . . 196

第五節 雙曲代換法 . . . 198

第六節 分部積分法 . . . 199

第七節 部分分式積分法 . . . 204

第八節 半角代換法 . . . 205

第九節 不定積分之應用 . . . 206

習 題 . . . 209

5

第六章 定積分

第一節 _Riemann 積分 _{— Darboux}講法 . . . 214

第二節 _Riemann 積分 _{— Riemann}講法 . . . .217

第三節 _Riemann 積分之重要性質 . . . 218

第四節 基本定理 . . . .230

第五節 變數代換 . . . .235

第六節 第一型瑕積分 . . . 238

第七節 第二型瑕積分 . . . 242

習 題 . . . 250

第七章 積分的應用

第二節 體積 . . . 259

第三節 弧長 . . . 265

第四節 迴轉體表面積 . . . 268

第五節 形心 . . . 271

第六節 函數之平均值 . . . 281

第七節 近似積分法 . . . 283

習 題 . . . 288

第八章 序列與級數

第二節 實數級數 . . . .296

第三節 正項級數 . . . .300

第四節 交錯級數之審斂法 . . . 306

第五節 絕對收斂與條件收斂 . . . 310

第六節 冪級數與收斂區間 . . . 314

第七節 _Taylor 級數與解析函數 . . . 319

第八節 冪級數之運算 . . . 321

第九節 積分之冪級數近似法 . . . 329

習 題 . . . 331

第九章 _n 維空間與向量函數

第二節 向量之運算 . . . 338

第三節 向量函數 . . . .345

習 題 . . . 357 6

第十章 多變數函數及偏導數

第一節 多變數函數之極限與連續 . . . .360

第二節 方向導數與偏導數 . . . 367

第三節 可微、 切面、 法線與梯度 . . . 374

第四節 _Taylor定理之推廣 . . . 381

第五節 極值問題 . . . .386

第六節 隱微分法 . . . .397

習 題 . . . 400

第十一章 重積分與線積分

第二節 累次積分 . . . .407

第三節 二重積分之極坐標變換 . . . 412

第四節 二重積分之一般變換 . . . 421

第五節 利用多重積分求體積與面積. . . 428

第六節 線積分 . . . 430

習 題 . . . 441

參考資料

答案與提示

附 錄

漢英名詞索引

英漢名詞索引

7

0.1 何謂微積分 8

預篇 集合與函數

數十年前,在大學裡,數學只被部分理工科學生(如物理、 電機、 機械、 航太、 土木、 測量、 統 計．．． 等)所重視,而在電腦進入每個家庭的今日,數學已成為每一個人所應具備的工具,儘管 每個人對於數學內涵和程度的需求不盡相同, 但人人都需要數學則是一致的看法. 而微積分又 是高深數學中最為有用且最為基本之一門,數學家Steen在他的Mathematics tomorrow一書 中指出“微積分是人類智慧之一大勝利” (Calculus is one of the great triumphs of the human

intellect). 我們當然也認為其他方面的學問亦有極大的進步, 這些學問中如果沒有數學的支援,

相信它們的進步和成就不會如此傲人.

在開始微積分正文之前, 我們特別加入 『預篇』, 主要內容是將集合與函數概念加以重新回 顧_, 目的有二 : 一者是介紹本書中所使用之符號 (每本數學書的符號都不盡相同), 二者這些概 念是所有數學的共同基礎, 當然也是微積分之基礎.

§ 0.1 何謂微積分

微積分 _(calculus) 乃微分學(differential calculus) 與積分學 (integral calculus) 之總稱, 其中

(1) 微分學乃研究函數差商之極限及其相關學問,我們知道導數之定義為 : f^′(p) = lim

h→0

f (p + h) − f(p)

h .

(2) 積分學乃研究函數和積之極限及其相關學問, 積分之定義較為複雜, 我們在本課程第六章 中將詳細討論, 簡單的說 :

Z b a

f (x) dx = lim

n→+∞

Xn j=1

f (tj)∆xj.

由此可見微積分乃是研究函數之四則運算與極限之一門學問.

這兩門數學對於人類之重要性而言, 積分學顯然大過微分學, 二者原本單獨發展, 直到十七 世紀有人開始注意到二者之關聯, 終於在 Newton 和 Leibniz 的努力之下, 這門學問於是問世.

0.2 集合與函數 9 經過兩百多年來眾多數學家在觀念、 符號和技巧上的改進, 一方面拓展了它的應用領域 (如體 積、 形心、 功、 機率、 期望值等), 另一方面則扎根於它的系統化、 公式化及簡單化, 也使得一般 大學生也有能力去解決, 從前要像 Archimedes 或 Newton 這類天才方能應付的數學問題. 微 積分也是進入今日高深數學之最重要基礎, 它對當今及未來世界文明貢獻實難估計.

§ 0.2 集合與函數

我們都知道幾乎所有的近代數學理論_, 都建築在集合論 (set thoery) 之上_. 對於微積分學 而言, 當然也不例外. 但若要以嚴格的公設法來討論它, 則需要很多時間. 為方便起見我們仍以

Cantor 的直觀集合論為基礎.

(1) 集合 (set) 與元素 (element): Cantor 說 : 『集合』 乃是將一些在直觀或想像中可資辨識 且確定之事物視為一體的蒐集. 如果有人深入追究何謂 『事物』? 何謂 『蒐集』? 我們將永 無寧日, 因此, 對於集合與元素二名詞 , 我們只有在共識下接受它, 以為今後討論之基礎.

『元素 _x 屬於集合 _A』 記為 _{x ∈ A,} 否則記為 _{x 6∈ A.} 若集合 _A 乃滿足性質 _{P (x)} 之元 素所組成, 則記為A = {x | P (x)}, (有些學者寫為 A = {x : P (x)}).

(2) 子集 (subset): 設_{A, B} 為集合, 則

A ⊂ B ⇔_def (x ∈ A ⇒ x ∈ B).

(3) 相等 _(equal): 設_{A, B} 為集合,則

A = B ⇔_def (x ∈ A ⇔ x ∈ B) ⇔ (A ⊂ B ∧ B ⊂ A).

(4) 真子集 (proper subset)^∗: 設_{A, B} 為集合, 則

A$B ⇔_def (A ⊂ B ∧ A 6= B).

(5) 空集合(empty set): ∅ = {x | x 6= x}.

(6) 聯集 _(union): 設_{A, B, A1}, · · · , Aⁿ, · · ·皆為集合, 則

• A ∪ B =_def {x | x ∈ A ∨ x ∈ B}.

• [n j=1

Aj =

def {x | ∃ j ∈ {1, . . . , n}, 使得 _{x ∈ Aj}.}

∗ 有些學者分別以 _{A ⊆ B} 及 _{A ⊂ B} 表示 _A 為_B 之子集及真子集.

0.2 集合與函數 10

•

+∞[

j=1

Aj =

def {x | ∃j ∈ N,使得 _{x ∈ Aj}.}

圖0–1: A ∪ B 圖0–2: A ∩ B

(7) 交集 (intersection):

• A ∩ B =_def {x | x ∈ A ∧ x ∈ B}.

•

\n j=1

Aj =

def {x | ∀ j ∈ {1, . . . , n}, x ∈ A^j}.

•

+∞\

j=1

Aj =

def {x | ∀ j ∈ N, x ∈ A^j}.

(8) 差集 (difference): 設_{A, B} 為集合, 則

A \ B =_def {x | x ∈ A ∧ x 6∈ B}. 圖 0–3: A \ B

(9) 冪集 (power set): P(A) =

def {B | B ⊂ A}.

(10) 序對 (ordered pair): 設_{x, y} 為二元素, 令 (x, y) =

def {{x}, {x, y}}.

由上述定義可以證得:((x, y) = (a, b) ⇔ x = a, y = b).

(11) 積集合(Cartesian product): 設_{A, B} 為集合, 則

A × B =_def {(x, y) | x ∈ A ∧ y ∈ B}.

• 例如 A = {1, 4}, B = {2, 3}, 則 A × B = {(1, 2), (1, 3), (4, 2), (4, 3)}.

• 例如 A = [1, 4], B = [2, 3], 則

A × B = {(x, y) | 1 ≤ x ≤ 4, 2 ≤ y ≤ 3},

其乃由平面上 (1, 2), (4, 2), (4, 3), (1, 3) 四點所圍之區域, 如下圖所示:

0.2 集合與函數 11

0 1 2 3 4

圖_0–4

-X 0

1 2 3

Y6

A B

A × B

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(12) 函數 (function): 設_{A, B} 為二非空集合,

f 為自 _A 至_B 之一函數 _⇔

def

( 1. f ⊂ A × B,

2. ∀ x ∈ A, ∃! y ∈ B 使得 (x, y) ∈ f.

若(x, y) ∈ f, 我們常以_{y = f (x)} 表之.

(註: 關於函數之定義亦可界定為:『_A 中每一元素_x,必存在_B 中唯一元素_y 與之對應.』 但對應二字並非邏輯符號或已界定之名詞, 為了數學之完美,故以上述方式界定).

函數之記法

(i) f : A → B : f(x) = · · · ; (ii) f : A → B : x 7→ · · · .

本書中, 通常以上述方式表示函數, 但至目前為止, 仍有許多人偏愛以 傳統較簡單方式表示,如

• y = x²;

• y = sinx

x , ∀x 6= 0;

• z = x²− y².

-X f

Y6

| {z }

A B











A × B

圖 0–5

................................................

(13) 定義域 (domain) 及值域 (range) : 上述定義中, 集合 _A 稱為 _f 之定義域, 常寫為 _Df; 而 _A 之元素 _x 稱為自變數或變數 (variable), 此時, f (x) 稱為 _x 之函數值 (value), 而所有函數值所成之集合稱為 _f 之值域, 常寫為 _Rf, (某些學者將集合 _B 稱為對應域 (co-domain)).

(14) 映像 _(image) 及像原 (inverse image) : 設_{f : A → B} 為一函數, S ⊂ A, 則 f (S) =

def {f(x) | x ∈ S}

0.2 集合與函數 12 稱為 _S 之 _f 映像_. 因此, f 之值域_Rf 乃其定義域之_f 映像, 即Rf =f (Df)

.

圖 0–6 映像 若_{T ⊂ B,} 則

f⁻¹(T ) =

def {x ∈ A | f(x) ∈ T } 稱為 _T 之 _f 像原_. 顯然 _B 及_Rf 之像原皆為定義域 _A.

圖 0–7 像原

(15) 嵌射 (injective or 1-1): 其本意為不相同之變數其值亦不同, 更精確的說 : f : A → B 為嵌射_⇔

def (∀ x¹, x2 ∈ A)(x¹ 6= x² ⇒ f(x¹)6= f(x²)).

(16) 蓋射(surjective or onto): 對應域_B 中之每一元素皆存在_A 中之元素與之對應,更精確 的說 :

f : A → B 為蓋射 _⇔

def

h ∀ y ∈ B, ∃x ∈ A 使得 _{y = f (x)} ⁱ

⇔ (R^f =B).

(17) 對射 (bijective or 1-1 onto) : 嵌射且蓋射之意.

(18) 函數相等 (equality of two functions) : 我們稱二函數_f 與_g 相等 (記為_{f = g) ,} 若其 滿足以下二條件 :

(i)Df =Dg, (ii) ∀x ∈ D^f, f (x) = g(x).

所謂二函數不相等係指上述定義之反面; 更明白地說 : f 6= g ⇔ h

Df 6= D^g 或_{∃x ∈ Df} 使得 f (x) 6= g(x)i .

0.3 實數系 13 (19) 反函數 (inverse function) : 設 _f 為一函數, 令 _f⁻¹ = {(y, x) | (x, y) ∈ f}, 若 _f⁻¹ 為

一函數則稱_f 為 可逆(invertible), 並稱_f⁻¹ 為_f 之反函數.

a b

圖0–8 c

d

-X Y6

f f⁻¹

.......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

y = x

...................................................

...

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......

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......

......

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...

...

...

...

由反函數之定義可知, f⁻¹ 與_f 之圖形對稱於直線 _{y = x.}

§ 0.3 實數系

早在西元前五百年, 希臘人即已知曉無理數 ^√2 的存在, 但找到所有無理數並建立實數系 則是經過漫長的歲月, 直到十九世紀, 方由一些大數學家, 如 Dedekind, Cantor, Weierstrass 等以嚴格數學方法予以界定. 數系的建立是件十分繁瑣的大工程, 先由 Peano 的公設界定自然 數系, 再擴展到整數系、 有理數系, 每一階段皆需界定所謂 『加法』、『乘法』 與 『序』 的觀念, 最 後再擴展到實數系,為填補有理數系所有的 『縫隙』,數學家們設計了種種方法,再證明它具完全

性(completeness), 此一大工程對於材料龐雜的微積分課程而言,顯得十分奢侈, 本節中我們將

以公設法界定實數系, 讀者不必細讀_, 僅需了解實數系 _R 具完全性即可.

所謂實數系 (real number system)係指一具完全性之序體 (complete ordered field).

(1) 體_(field) 乃一集合 _F 上賦與加法及乘法且滿足

(i) (F, +) 為一交換群 : 即∀ x, y, z ∈ F , x + (y + z) = (x + y) + z;

∃ 0 ∈ F 使得 0 +x = x + 0 = x;

∀ x ∈ F, ∃ y ∈ F 使得 _{x + y = 0;} 此時稱_y 為 _x之加法反元素, 且記為 y = −x;

x + y = y + x.

0.3 實數系 14 (ii) (F^∗, · ) 為一交換群, (其中 _F^∗ =F \ {0}), 即 ∀ x, y, z ∈ F^∗,

x · (y · z) = (x · y) · z;

∃ 1 ∈ F^∗ 使得 1· x = x · 1 = x;

∀ x ∈ F^∗, ∃ y ∈ F^∗ 使得 _{x · y = 1;} 此時稱 _y 為_x 之乘法反元素, 且記為 y = x⁻¹;

x · y = y · x.

(iii) 分配律 : ∀ x, y, z ∈ F, x · (y + z) = x · y + x · z.

(2) 序體 (ordered field) 乃上述“體”F 上再賦與 『次序』 概念如下 : ( i ) 反身律 : ∀ x ∈ F, x ≤ x.

(ii) 反對稱律 : x ≤ y ∧ y ≤ x ⇒ x = y.

(iii) 遞移律 : x ≤ y ∧ y ≤ z ⇒ x ≤ z.

(iv) 三一律 : ∀ x, y ∈ F, x ≤ y ∨ y ≤ x.

且滿足以下二條件:

( i ) (∀ x, y, z ∈ F )(x ≤ y ⇒ x + z ≤ y + z);

(ii) (∀ x, y, z ∈ F )(0 ≤ z, x ≤ y ⇒ x · z ≤ y · z).

(3) 具完全性之序體 (complete ordered field) : 上述“序體”F 若滿足:

( (1) F 之有上界非空子集必有最小上界;

(2) F 之有下界非空子集必有最大下界. 則稱序體 (F, +, · ) 具完全性.

關於“上界”、“下界”、“最小上界”及“最大下界”等名詞, 我們詳細介紹如下:

設_E 為一集合且賦與一個“偏序(partial order)” (即滿足反身律、 反對稱律及遞移 律之關係), 則稱_E 為一偏序集 (partially ordered set), 對於 ∅ 6= S ⊂ E, 我們規定 :

我們稱 _M 為_S 之最大元素 (maximum element) (並記為 M = max S),如果 ((i) M ∈ S,

(ii) ∀ x ∈ S ⇒ x ≤ M.

我們稱 _m 為 _S 之最小元素(minimum element) (並記為 m = min S),如果 ((i) m ∈ S,

(ii) ∀ x ∈ S ⇒ m ≤ x.

我們稱 _u 為_S 之一上界 (upper bound), 如果 ((i) u ∈ E,

(ii) ∀ x ∈ S ⇒ x ≤ u.

0.4 實數系內各數系 15 我們稱 _l 為_S 之一下界 (lower bound),如果

((i) l ∈ E,

(ii) ∀ x ∈ S ⇒ l ≤ x.

supS =

def “S 上界中之最小元素”. 並稱其為 _S 之最小上界(supremum).

infS =

def “S 下界中之最大元素”. 並稱其為 _S 之最大下界 (infimum).

一集合若同時有上界及下界, 則稱其為一有界集合 (bounded set).

我們以 _R 表實數系, 這是個世界通用之數學符號. 本課程中亦常用以下符號 : R^∗ =

def R \ {0}, 非零實數集合. R⁺ =

def {x ∈ R | x ≥ 0}, 非負實數集合. R^∗+ =

def {x ∈ R | x > 0}, 正實數集合.

例_1. 試問下列各集合在 _R 上之最大元素、 最小元素、_sup 及_inf 是否存在_, 若其存在則求之. (a) A =N; (b) B = (0, 3]; (c) C = {x ∈ Q | x² ≤ 3}.

解 (a) maxA 不存在, minA = 1, sup A不存在, infA = 1;

(b) maxB = 3, min B 不存在, supB = 3, inf B = 0;

(c) 因 _{C = [−}^√_3, ^√3]∩ Q, 是以 maxC 及minC 皆不存在,但 supC =√ 3, infC = −√

3. 

§ 0.4 實數系內各數系

(1)

自然數系

A 稱為一歸納集 (inductive set),如果 1∈ A ∧ (x ∈ A ⇒ x + 1 ∈ A). 我們規定自然 數系為最小之歸納集, 亦即

N =def

\{A | A 為一歸納集} = {1, 2, 3, . . .}.

(2)

整數系

Z =def {x ∈ R | x ∈ N ∨ −x ∈ N ∨ x = 0} = {0, 1, −1, 2, −2, . . .}.

0.5 擴張的實數系 16

(3)

有理數系

Q =def

n m n

 m, n ∈ Z ∧ n 6= 0 o

.

註_: 有些學者主張自然數系 _N 內含有 0, 與本書不同, 我們以 _Z+ 表非負之整數集合. 下 表是各數系之創始數學家及其由來:

數系 符號 創始數學家 原文

自然數系 _N Peano 義大利文 Naturale (= natural)

整數系 _Z Dedekind 德文 Zahl (= number)

有理數系 _Q Peano 義大利文 Quoziente (= quotient)

實數系 _R Cantor 德文 Reelle (= real)

不過有人認為有理數系符號_Q 可能是二十世紀初 Bourbaki (一群法國數學家) 所創.

§ 0.5 擴張的實數系

所謂擴張的實數系 (extended real number system) 係指集合 R = R ∪ {−∞, +∞}, 其

中−∞, +∞ 6∈ R 且二者不相等,並賦與以下二運算及次序.

(1)

加法

x + y =







照舊_, 若_{x, y ∈ R,}

+∞, 若(x ∈ R, y = +∞) ∨ (y ∈ R, x = +∞) ∨ (x = y = +∞),

−∞, 若(x ∈ R, y = −∞) ∨ (y ∈ R, x = −∞) ∨ (x = y = −∞), (−∞) + (+∞)無意義.

(2)

乘法

xy =



















照舊_, 若_{x, y ∈ R,}

+∞, 若(x > 0, y = +∞) ∨ (y > 0, x = +∞) ∨ (x < 0, y = −∞)∨

(y < 0, x = −∞) ∨ (x = y ∈ {−∞, +∞}) ,

−∞, 若(x < 0, y = +∞) ∨ (y < 0, x = +∞) ∨ (x > 0, y = −∞)∨

(y > 0, x = −∞) ∨ (x, y ∈ {−∞, +∞} ∧ x 6= y), 0· +∞, 0 · −∞ 皆無意義.

(3)

次序

(i)x, y ∈ R 時, 照原來次序; (ii) ∀ x ∈ R, −∞ < x < +∞.

R 內之二元素 +∞, −∞ 分別稱為正無限大 (positive infinity) 及負無限大 (negative infinity).

0.6 微積分中函數之分類 17

§ 0.6 微積分中函數之分類

設 f : A → B, n, m ∈ N.

(1) 若_{A, B ⊂ R,} 則稱 _f 為實值實變函數 (real-valued function of a real variable);

(2) 若 _{A ⊂ R}ⁿ_{, B ⊂ R,} 則稱 _f 為實值多變函數 (real-valued function of several (real) variables);

(3) 若A ⊂ R, B ⊂ Rⁿ, 則稱 _f 為向量函數 (vector function), (即參數方程式).

(4) 若 _{A ⊂ R}ⁿ_{, B ⊂ R}^m, 則稱 _f 為多變向量函數 (vector function of several (real) variables);

本課程中大部分篇幅討論實值實變函數之各種性質, 第九章至第十一章我們將討論向量函 數及多變函數之性質, 限於授課時數, 本書不討論有關複數之函數.

§ 0.7 常用簡單函數與單調函數

(1) 常數函數 (constant function) f : R → R : f(x) = c.

(2) 多項式函數(polynomial function)

f : R → R : f(x) = a⁰+a1x + · · · + aⁿxⁿ. (3) 絕對值函數 (absolute value function)

| · |: R → R : x 7→ |x|, 圖形大致如圖 0–9 所示.

0

-X Y6

圖 0–9

.........

......

...........................................................................

(4) 最大整數函數 (greatest integer function)

[· ]: R → R : x 7→ [x] =小於或等於 _x 之最大整數_.

圖形大致如圖 0–10 所示. [· ] 又稱為高斯符號、 括號函數或地板函數 (floor function), 提醒同學注意 : 有些學者將 _[x] 寫為 _[[x]]或 _⌊x⌋.

另有一種和最大整數函數相對偶之函數, 稱為天花板函數 (ceiling function), 其定 義如下:

⌈ · ⌉: R → R : x 7→ ⌈x⌉ =大於或等於_x 之最小整數_.

0.7 常用簡單函數與單調函數 18 圖形大致如圖 0–11 所示. 顯然,

⌈x⌉ =

( ⌊x⌋, 若 _{x ∈ Z,}

⌊x⌋ + 1, 否則.

0 1 2 3 4 5

-X 0

1 2 3 4 5

Y6

•

•

•

•

•

•

•

◦

◦

◦

◦

◦

◦

圖 0–10 最大整數函數

0 1 2 3 4 5

-X

圖0–11 天花板函數 0

1 2 3 4 5

Y6

•

•

•

•

•

•

•

◦

◦

◦

◦

◦

◦

(5) 根號函數 (square-root function) √ . : [0, +∞) → R : x 7→ √x.

0 1 2 3 4

圖 0–12 根號函數

-X 0

1 2

Y

6

......................................................

(6) 若f : A(⊂ R) → R,

f 為遞增 (increasing) ⇔_def (∀ x¹, x2 ∈ A)(x¹ < x2 ⇒ f(x¹)< f (x2)) f 為遞減 (decreasing) ⇔_def (∀ x¹, x2 ∈ A)(x¹ < x2 ⇒ f(x¹)> f (x2))

f 為不減少 (non-decreasing) ⇔_def (∀ x¹, x2 ∈ A)(x¹ < x2 ⇒ f(x¹)≤ f(x²)) f 為不增加 (non-increasing) ⇔_def (∀ x¹, x2 ∈ A)(x¹ < x2 ⇒ f(x¹)≥ f(x²)) 以上四類函數統稱為單調函數 (monotonic functions). 提醒讀者注意 : 有些學者將上 述不減少及遞增分別稱為遞增及嚴格遞增. 而將上述不增加及遞減分別稱為遞減及嚴格遞減.

0.8 函數之運算 19 註_: 最大整數函數 (高斯符號) 與天花板函數為皆不減少函數, 而根號函數則為遞增函數,

當然所有遞增函數皆為不減少函數, 所有遞減函數皆為不增加函數.

§ 0.8 函數之運算

函數之運算包括“加、 減、 乘、 除以及合成”五者, 在微積分學中, 前四者必須為實值函數^†, 但函數合成之前提則另有規定.

(1) 二函數之和(sum): f + g : Df ∩ D^g → R : (f + g)(x) =

def f (x) + g(x).

0 1 2 3 4

-X 0

1 2

Y6

f

g f + g

以_{f (x) =}^√x, g(x) = 1 − x 為例, 則圖中虛線乃 _{f + g} 之圖.

圖0–13 函數之和

...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.. . .. . ..

................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... .

... . . . .. ...

........

... ..

... ...

.. ...

(2) 二函數之差(difference): f − g : D^f ∩ D^g → R : (f − g)(x) =_def f (x) − g(x).

(3) 二函數之積(product): f · g : D^f ∩ D^g → R : (f · g)(x) =_def f (x) · g(x).

(4) 二函數之商(quotient): f /g : Df ∩ D^g\ Z^g → R : (f/g)(x) =_def f (x)/g(x).

其中 _Zg =

def {x ∈ D^g | g(x) = 0}, 我們稱其為 _g 之零集 (zero set of g).

(5) 二函數之合成 (composition) : 若 f : A → B, g : B → C, 則函數 h : A → C : h(x) = g(f(x))

稱為 _f 與_g 之合成 (composite function of f and g), 並記為 _{g ◦ f.}

參見圖0–14.

† 在第九章時二向量函數亦可相加減.