§ 4.1 優良近似函數與 Taylor 定理

如果 _lim

x→p

f (x)

g(x) = 0, 則有

∀ ǫ > 0, ∃ δ > 0, (∀ x)(0 < |x − p| < δ ⇒ |f(x)| < ǫ|g(x)|).

我們常寫為 f (x) = o(g(x)), (讀為 『小 _o』(small-oh) ). 例如 _: sin x = o(1), (當 _{x → 0}時_{. )} 又若分母之極限亦為 _0, 即 _lim

x→pg(x) = 0, 我們說 _: 當 _x 趨近於 _p 時_{, f (x)} 趨近於 ₀ 較_g(x) 趨近於 ₀ 為快_, 例如 _:

x² = o(x), x³ = o(x²), x = o(√

x), (當 _x 趨近於 ₀ 時_{. )}

148

4.1 優良近似函數與 Taylor 定理 ₁₄₉ 設 _f 為一函數_{, p ∈ Df,} 我們考慮_, 在界定於點 _p 之某一鄰近 _N(p) 上之諸多函數中_, 應 如何定出一標準_, 以衡量其近似於 _f 之程度的優劣_, 當然_, 對於所謂在 _p 之鄰近 _N(p) 近似於 f 之函數 _g,我們至少有兩點要求 : (i) g(p) = f (p); (ii) 當 _{(x − p)} 趨近於 _{0 (}即_x 趨近於 _p) 時, (f (x) − g(x)) 之極限為_0. 由於滿足此二條件之函數甚多_{, (}如圖_4–1 所示₎若_f 於點_p 為 連續_, 凡過點 _{(p, f (p))} 之任何連續函數皆可_, 在第二章定理 _2.21 中我們知道_, 若 _f 在點 _p 為 可微分_, 則

x→plim

f (x) − (f^′(p)(x − p) + f(p))

x − p = 0,

說明過點 _{(p, f (p))} 之切線 _{y = f}^′(p)(x − p) + f(p) 與 _{f (x)} 之差是 _{o(x − p),} 我們自然會聯 想到是否存在函數 ₍多項式_),它與 _{f (x)} 之差更小_, 是_{o((x − p)}²₎甚至於是 _{o((x − p)}ⁿ_), 我們 將以此種條件來界定所謂的優良近似函數 _:

-X p

f Y6

g1

g2

g3

圖_4–1

....................................................................................

.

............................................................................................................................................................................................................................................................................................... ...............................................................................................................................................................................................................................................................................................................

. . .

..................................................................................................................................................................................................

定義 _4.1

設 _f 與_g 為二函數_, 若

x→plim

f (x) − g(x) (x − p)ⁿ = 0,

則稱 _g 為_f 在點 _p 之一 _n 階優良近似函數 (good approximation of n-th order).

然而標準人人會訂_,重點是能否不太費力找到_,而且是易於掌握的優良近似函數_{, (}多項式當 然最好_),所幸以下之_Taylor 定理提供我們一個簡單而有效的方法_,以求得一_n 次多項式_,使其 為_f 在點 _p之一 _n 階優良近似函數_.

本章中多次提到 『區間』_, 若無特別聲明_,皆指非退化區間_.

4.1 優良近似函數與 Taylor 定理 ₁₅₀ 定理 4.2 ( Taylor 定理₎

設區間 _{[a, b] ⊂ Df, n ∈ N,} 若 (1) f⁽ⁿ⁻¹⁾ 在_{[a, b]} 為連續_; (2) f⁽ⁿ⁻¹⁾ 在_{(a, b)} 為可微 _. 則存在 _{c ∈ (a, b)}使得

f (b) = f (a) + f^′(a)(b − a) + f^′′(a)

2! (b − a)²+ · · · + f⁽ⁿ⁻¹⁾(a)

(n − 1)! (b − a)ⁿ⁻¹+ f⁽ⁿ⁾(c)

n! (b − a)ⁿ. (∗) 證 令g : [a, b] → R :

g(x) = f (b) − Xn−1 k=0

f^(k)(x)

k! (b − x)^k− Rⁿ· (b − x)ⁿ

(b − a)ⁿ, 1

其中 _Rn 為一常數滿足 _{g(a) = 0.} 則 g 在區間_{[a, b]} 上為連續 _;

g 在區間_{(a, b)} 上為可微且∀x ∈ (a, b), g^′(x) = −

Xn−1 k=0

f^(k+1)(x)

k! (b − x)^k+ Xn−1 k=1

f^(k)(x)

(k − 1)!(b − x)^k−1+ Rn· n(b − x)ⁿ⁻¹ (b − a)ⁿ

= − Xn−1

k=0

f^(k+1)(x)

k! (b − x)^k+ Xn−2 k=0

f^(k+1)(x)

k! (b − x)^k+ Rn·n(b − x)ⁿ⁻¹ (b − a)ⁿ

= −f⁽ⁿ⁾(x)

(n − 1)!(b − x)ⁿ⁻¹+ Rn·n(b − x)ⁿ⁻¹

(b − a)ⁿ . 2

g(a) = g(b) = 0 .

利用 _Rolle 定理知_, 存在 _{c ∈ (a, b)} 使得 _g^′_{(c) = 0,}由 ₂ 式應有_, 0 = − f⁽ⁿ⁾(c)

(n − 1)!(b − c)ⁿ⁻¹+ Rn·n(b − c)ⁿ⁻¹ (b − a)ⁿ . 是以 _{Rn =} ^f

(n)(c)

n! (b − a)ⁿ. 其次_, 在 ₁ 式中以 _a 代 _x,並將 _Rn 之值代入_, 則得 f (b) = f (a) + f^′(a)(b − a) + f^′′(a)

2! (b − a)²+ · · ·

+ f⁽ⁿ⁻¹⁾(a)

(n − 1)!(b − a)ⁿ⁻¹+ f⁽ⁿ⁾(c)

n! (b − a)ⁿ.  註_: 若_{n = 1,} 則_Taylor 定理乃為微分均值定理_.

上述定理之主要目的 _: 『以區間 _{[a, b]} 之左端點 _a 之各階導數以推斷右端點 _b 之值』_, 當然 我們可利用左右互換之對偶性觀念_, 以右端點之各階導數以推斷左端點之值_,而得以下之定理_.

4.1 優良近似函數與 Taylor 定理 ₁₅₁ 定理 4.3 ( Taylor 定理之對偶定理₎

設區間 _{[a, b] ⊂ Df, n ∈ N,} 若 (1) f⁽ⁿ⁻¹⁾ 在_{[a, b]} 為連續_; (2) f⁽ⁿ⁻¹⁾ 在_{(a, b)} 為可微 _; 則存在 _{c ∈ (a, b)}使得

f (a) = f (b) + f^′(b)(a − b) + f^′′(b)

2! (a − b)² + · · ·

+f⁽ⁿ⁻¹⁾(b)

(n − 1)!(a − b)ⁿ⁻¹+f⁽ⁿ⁾(c)

n! (a − b)ⁿ. (∗∗)

證 仿_4.2 之證_{. }

系 _4.4

設 _I 為一區間_{, p ∈ I, f} 於 _I 上為 _n 階可微_, 則 ∀ x ∈ I \ {p}, 存在 _c 介於 _p 與 _x 之間_, 使得

f (x) = f (p) + f^′(p)(x − p) + f^′′(p)

2! (x − p)²+ · · ·

+f⁽ⁿ⁻¹⁾(p)

(n − 1)! (x − p)ⁿ⁻¹+f⁽ⁿ⁾(c)

n! (x − p)ⁿ. (∗∗∗)

證 由上述二定理立可得證_{. }

定義 _4.5

(1) 在上述定理及系中之 (∗), (∗∗), (∗∗∗) 式皆稱為 _n 階 _Taylor 展開式 _(Taylor’s expansion of nth order) 或 _n 階_Taylor 公式 (Taylor’s formula).

(2) (∗∗∗)之_Taylor展開式的最後一項 ^f

(n)(c)

n! (x−p)ⁿ稱為此展開式之餘項 (remain-der), 並記為 _Rn(x).

(3) 若 _f 在點 _p 為_n 階可微分_, 則稱多項式 Pn(x) =

Xn j=0

f^(j)(p)

j! (x − p)^j, 為 _n 次_Taylor 多項式(nth degree Taylor’s polynomial).

(4) 若 _p 為原點 _0, 則 _Taylor 展開式 ₍公式₎、_Taylor 多項式分別稱為 _Maclaurin 展開式 ₍公式₎及_Maclaurin 多項式_.

4.1 優良近似函數與 Taylor 定理 ₁₅₂ 應用廣泛的特殊函數_, 尋求其_n 階優良近似多項式的工作_, 在_Taylor 定理的協助下_, 終於 有了如下之成果_,為了方便以後的說明_,我們先證明以下之引理_.

引理 _4.6

設 _I 為一區間_{, p ∈ I, f} 於 _I 上為 _n 階可微_, 則 _lim

x→pf⁽ⁿ⁾(c) = f⁽ⁿ⁾(p). 其中 _c為滿 足系 _4.4 之 _(∗∗∗) 式者_{. (}注意 _{: c} 介於 p 與_x 之間_, 因_x 而變_{. )}

證 若_f 於_I 上為 『_n 階連續可微』_,則本系之結論至為顯然_,但若僅知其為 『_n 階可微』_, 證

明參閱附錄五_{. }

定理 _4.7

設_I 為一區間_{, p ∈ I, f} 於 _I 上為_n 階可微_, 則_Pn(x)為_f 在點 _p 之一_n 階優良近 似函數_, 即

x→plim

f (x) − Pⁿ(x) (x − p)ⁿ = 0.

證 由_Taylor 定理及 _Pn 之定義_,

f (x) = f (p) + f^′(p)(x − p) + · · · + f⁽ⁿ⁻¹⁾(p)

(n − 1)! (x − p)ⁿ⁻¹+f⁽ⁿ⁾(c)

n! (x − p)ⁿ, Pn(x) = f (p) + f^′(p)(x − p) + · · · + f⁽ⁿ⁻¹⁾(p)

(n − 1)! (x − p)ⁿ⁻¹+f⁽ⁿ⁾(p)

n! (x − p)ⁿ. 由引理得_,

x→plim

f (x) − Pⁿ(x)

(x − p)ⁿ = lim

x→p

f⁽ⁿ⁾(c) − f⁽ⁿ⁾(p)

n! = 0. 

例_1. 設f : R → R : f(x) = exp x .

(1) 試求 _f 之_n 階_Maclaurin 展開式 _; (2) 試求 _f 之_n 階優良近似多項式 _; (3) 試繪出 _{f, P}1, P2, P3 之圖_. 解 (1) ∀ x ∈ R, ∃c ∈ (0, x) or (x, 0),

exp x = f (x) = f (0) + f^′(0)

1! x + · · · + f⁽ⁿ⁻¹⁾(0)

(n − 1)!xⁿ⁻¹+f⁽ⁿ⁾(c) n! xⁿ

= 1 + x +x²

2! + · · · + xⁿ⁻¹

(n − 1)! + e^c n!xⁿ.

4.1 優良近似函數與 Taylor 定理 ₁₅₃ (2) f 之_{1, 2, 3}階優良近似多項式分別

為

P1(x) = 1 + x, P2(x) = 1 + x + x²

2!, P3(x) = 1 + x + x²

2! + x³ 3!. (3) f, P1, P2, P3 之圖_:

如圖 _4–2.

−1 0 1 2 3

-X 0

1 2 3 4 5 6

Y6

exp P3

P2

P1

exp P3

P2

P1

圖_4–2

.

..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.

.....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................

例_2. 設f : R → R : f(x) = sin x .

(1) 試求 _f 之_n 階_Maclaurin 展開式 _; (2) 試求 _f 之_{1, 3, 5, 6} 階優良近似多項式 _; (3) 試繪出 _{f, P1, P3, P5} 之圖_.

解 ₍₁₎ 由於

f (x) = sin x, f (0) = 0,

f^′(x) = cos x, f^′(0) = 1, f^′′(x) = − sin x, f^′′(0) = 0, f^′′′(x) = − cos x, f^′′′(0) = −1, f⁽⁴⁾(x) = sin x, f⁽⁴⁾(0) = 0,

... ...

f^(2k)(x) = (−1)^ksin x,

f^(2k+1)(x) = (−1)^kcos x,

顯然_sin 在點 ₀之偶數階導數皆為 _0.

4.1 優良近似函數與 Taylor 定理 ₁₅₄ 若_n 為奇數_, 令n = 2k + 1, k ∈ N, 則 _{∀x ∈ R}^∗, ∃ c ∈ (0, x) or (x, 0) 使得

f (x) = f (0) +f^′(0)

1! x + · · · + f^(2k−1)(0)

(2k − 1)!x^2k−1+f^(2k)(0)

(2k)! x^2k+ R2k+1(x)

= x 1! −x³

3! + x⁵

5! − · · · + (−1)^k−1

(2k − 1)!x^2k−1 +(−1)^kcos c (2k + 1)! x^2k+1. 此乃為 _{sin x} 之_{n = 2k + 1} 階 _Maclaurin 展開式_.

若_n 為偶數_, 令n = 2k, k ∈ N, 則 _{∀x ∈ R}^∗, ∃ c ∈ (0, x) or (x, 0)使得 f (x) = f (0) + f^′(0)

1! x + · · · + f^(2k−1)(0)

(2k − 1)!x^2k−1+ R2k(x)

= x 1! −x³

3! + x⁵

5! − · · · + (−1)^k−1

(2k − 1)!x^2k−1+ (−1)^ksin c (2k)! x^2k. 此乃為 _{sin x} 之_{n = 2k} 階_Maclaurin 展開式_.

(2) f 之_{1, 3, 5, 6} 階優良近似多項式分別為 P1(x) = x, P3(x) = x − x³

3!, P5(x) = x − x³

3! +x⁵ 5!, P6(x) = x − x³

3! +x⁵

5! + 0 = P5(x).

(3) f, P1, P3, P5 之圖_:

−π 0 π

-X

−1 1

Y6

sin

P1

P3

P3

P5

P5

圖 _4–3 粗線為_sin

................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... .

.............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

...........................................................................

從上圖中_, 讀者是否發現次數越高之 _Maclaurin 多項式_, 在點 ₀ 之鄰近之近似情況

越佳_{. }

例_3. 試證 : exp(x − 1) ≥ 1 + ln x, ∀ x > 0.

4.1 優良近似函數與 Taylor 定理 ₁₅₅ 解 令 f : (0, +∞) → R : f(x) = exp(x − 1) − ln x, 我們將證明 : f (x) ≥ 1, ∀ x > 0.

1^◦ 當_{x = 1} 時_, 顯然 _{f (1) = e}⁰− ln 1 = 1 ;

2^◦ 當x ∈ (0, +∞) \ {1}時_, 我們將利用_f 在點₁之

二階 _Taylor 展開式以證明之_,由於

f^′(x) = exp(x − 1) − 1 x, f^′′(x) = exp(x − 1) + 1

x² > 0, f (x) = f (1) + f^′(1)

1! (x − 1) +f^′′(c)

2! (x − 1)², ( c 介於 ₁ 與_x 之間_{. )}

= f (1) + f^′′(c)

2! (x − 1)²

> f (1) = 1.

0 1 2 3

-X

−1 1 3

Y6 y = exp(x − 1)

y = 1 + ln x

圖_4–4

...........................................................................................

.. .. .

..............................................................................................................................................................................................................................................................................

註_: 本題亦可利用極值方法_, 證明 _f 在點 ₁ 有最小值_.

例_4. 試求 f (x) = tan x 之四階_Maclaurin 展開式及四次 _Maclaurin 多項式_. 解 由於

f (x) = tan x, f (0) = 0,

f^′(x) = sec²x, f^′(0) = 1,

f^′′(x) = 2 sec²x tan x, f^′′(0) = 0, f^′′′(x) = 4 sec²x tan²x + 2 sec⁴x, f^′′′(0) = 2, f⁽⁴⁾(x) = 8 sec²x tan³x + 16 sec⁴x tan x, f⁽⁴⁾(0) = 0.

故∀ x ∈ (−π/2, π/2) \ {0}, ∃ c ∈ (0, x) or (x, 0) 使得 f (x) = f (0) + f^′(0)

1! x +f^′′(0)

2! x²+f^′′′(0)

3! x³+ R4(x)

= x 1 + x³

3 + R4(x), 此為 _f 之四階 _Maclaurin 展開式_, 其中餘項

R4(x) = f⁽⁴⁾(c)

4! x⁴ = 8 sec²c tan³c + 16 sec⁴c tan c

4! x⁴.

而_f 之四次_Maclaurin 多項式則為_{P4(x) =} ^x 1 + x³

3 . 

4.2 極值 ₁₅₆

§ 4.2 極值

微分學部分_, 應用最廣的可能要屬 『極值問題』_. 在第二章_, 我們利用微分均值定理了解 _: 在某區間上一函數之導數恆正或恆負時_,函數於此區間為遞增或遞減_,並進而獲得判別極值點之 一種方法_. 然而_, 該方法只使用一階導數而已_, 本節中_, 我們將進一步利用高階導數以解決極值 問題_.

定理 _4.8

設 _f 於_Nǫ(p) 為_n 階可微_, 且

f^′(p) = · · · = f⁽ⁿ⁻¹⁾(p) = 0, f⁽ⁿ⁾(p) 6= 0.

(1) 若 _n 為偶數且_f⁽ⁿ⁾(p) > 0,則 _f 於點 _p 有相對極小 _; (2) 若 _n 為偶數且_f⁽ⁿ⁾(p) < 0,則 _f 於點 _p 有相對極大 _; (3) 若 _n 為奇數_,則 _f 於點 _p 無極值_.

證 由於_f 於_Nǫ(p)為_n階可微_,由系_4.6知_Taylor公式餘項中之_f⁽ⁿ⁾_(c)之極限為_f⁽ⁿ⁾_(p), 即

x→plimf⁽ⁿ⁾(c) = f⁽ⁿ⁾(p). (註_{: c} 介於 _p 與_x 之間₎

利用極限之保號性質知, ∃ δ, 0 < δ < ǫ, 使得 _{∀ x ∈ Nδ}^∗_{(p), f}⁽ⁿ⁾_(c) 與_f⁽ⁿ⁾_(p) 同號_. (1) 若 _n 為偶數且_f⁽ⁿ⁾(p) > 0, 則_{∀ x ∈ Nδ}^∗_(p),

f (x) − f(p) = f^′(p)(x − p) + · · · + f⁽ⁿ⁻¹⁾(p)

(n − 1)! (x − p)ⁿ⁻¹+f⁽ⁿ⁾(c)

n! (x − p)ⁿ

= f⁽ⁿ⁾(c)

n! (x − p)ⁿ> 0.

是以_f 於點 _p有相對極小_{, (}參閱圖_{4–5 ).}

p x ^-X

f Y6

圖_4–5

.........

......

.......................................

p x ^-X

f Y6

圖_4–6

...........................................................................

4.2 極值 ₁₅₇ (2) 仿 (1) 同理證之_.

(3) 若 _n 為奇數_,

當 _f⁽ⁿ⁾_{(p) > 0}時_, 則因 _{∀ x ∈ Nδ}^∗_(p), f (x) − f(p) = f⁽ⁿ⁾(c)

n! (x − p)ⁿ > 0, 若_{x > p,}

< 0, 若_{x < p.}

知_f 於點 _p 無極值_{, (}參閱圖 _{4–6 ).}

當 _f⁽ⁿ⁾(p) < 0,同理證之_{. }

系 _4.9

設 _f 於_Nǫ(p) 為二階可微_,且 _f^′_{(p) = 0.}

(1) 若 _f^′′(p) > 0,則 _f 於點 _p 有相對極小 _; (2) 若 _f^′′(p) < 0,則 _f 於點 _p 有相對極大 _.

證 易明_{. }

定理 _4.10

設 _Df 為一區間_, 且 _f^′_{(p) = 0.}

(1) 若 _{∀ x ∈ Df \ {p}, f}^′′(x) > 0,則 _f 於點 _p 有絕對極小 _; (2) 若 _{∀ x ∈ Df \ {p}, f}^′′(x) < 0,則 _f 於點 _p 有絕對極大 _. 證 (1) ∀ x ∈ Df \ {p},

f (x) − f(p) = f^′(p)(x − p) + f^′′(c)

2! (x − p)²

= f^′′(c)

2 (x − p)² > 0, (∵ c 6= p)

(2) 同理_{. }

在文檔中 陳珍漢、 黃德華、 顏國勇合著之微積分學 (頁 148-157)