當我們將一函數f : [a, b] → R圖示於平 面上, 若此函數連續且於區間 (a, b) 為可微, 則我們可斷言,在該圖形上必有一處 p 其斜 率 f′(p) 等於連接點 (a, f (a)) 與 (b, f (b)) 之直線斜率 f (b) − f(a)
b − a ; 換言之, 二者平行
如圖 2–16 所示.
若以上節之變率觀念而言,微分均值定理 乃說明 : f 之值從時間 a 至時間 b 之平均 變率 f (b) − f(a)
b − a 等於f 在某特定時間p之
瞬時變率 f′(p).這也是本定理稱為均值定理 之理由.
-X
a p b
(a, f (a))
. .. ...............................................................................
.. .. . .. .. .
(b, f (b))
f Y
6
圖2–16
................................................................................................
.
............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ .
.................................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................................................
系 2.14 [ 零導數定理 (Zero Derivative Theorem) ]
設函數 f 在區間 I 上為連續, 且在 I 之內部 I◦ 為可微分; 若∀ x ∈I, f◦ ′(x) = 0, 則 f 於 I 上為一常數.
2.5 微分均值定理 80 證 只需證明 : 若 x1, x2 ∈ I 且 x1 < x2, 則
f (x1) =f (x2). 由於 f 於[x1, x2] 上為連續, f 於(x1, x2) 上為可微分,
故由微分均值定理知, 存在 c ∈ (x1, x2) 使得 f′(c) = f (x2)− f(x1)
x2− x1 ,
但由原設知 f′(c) = 0, 故f (x2) =f (x1).
x1 x2
圖 2–17
-X k
Y6
f
I
系 2.15
設函數f, g 在區間I 上為連續,且在I之內部I◦為可微分;若∀ x ∈I, f◦ ′(x) = g′(x), 則存在常數c 使得 f (x) = g(x) + c, ∀ x ∈ I.
證 設 F : I → R : F (x) = f(x) − g(x). 顯然, 函數 F 在I 上為連續, 且在 I 之內部為可 微分, 再者 ∀ x ∈I,◦
F′(x) = f′(x) − g′(x) = 0, 則由系 2.14 知, 存在 c ∈ R, 使得 ∀ x ∈ I, 均有 F (x) = c, 亦即
∀ x ∈ I, f(x) = g(x) + c.
(參見下圖).
x 圖2–18
-X Y6
f
g
..............................................................................................................................................................................
.................................
...............
............................
..............................................................................................................................................................................
...........................................................................
2.5 微分均值定理 81 系 2.16 (導數與函數之單調性)
設函數f 在區間I 上為連續, 且在 I 之內部 I◦ 為可微; 則 (1) (∀ x ∈I, f◦ ′(x) > 0 ) ⇒ ( f 於I 上為遞增);
(2) (∀ x ∈I, f◦ ′(x) ≥ 0 ) ⇔ ( f 於 I 上為不減少);
(3) (∀ x ∈I, f◦ ′(x) < 0 ) ⇒ ( f 於I 上為遞減);
(4) (∀ x ∈I, f◦ ′(x) ≤ 0 ) ⇔ ( f 於 I 上為不增加).
證 (1) 設 x1, x2 ∈ I 且 x1 < x2. 今考慮 f 於區間 [x1, x2] 上. 顯然, f 於 [x1, x2] 上為連續, 且 在 (x1, x2) 上為可微分. 由均值定理知 : 存在 p ∈ (x1, x2)使得
f′(p) = f (x2)− f(x1) x2− x1 ,
故f (x2)− f(x1) = f′(p)(x2− x1)> 0, 即 f (x1)< f (x2).
x1 x2
圖 2–19
-X Y6
f
..................................................................................
(2) ∀ x ∈I,◦ 考慮差商函數
fx∗(t) = f (t) − f(x) t − x .
若f 於I 上為不減函數, 則 ∀ t ∈ I \ {x}, fx∗(t) ≥ 0, 故由極限之保序定理知 f′(x) = lim
t→xfx∗(t) ≥ 0.
反之, 若f′(x) ≥ 0,仿(1) 之證明可得f 於I 上為不減. (3) 仿(1) 之證.
(4) 仿(2) 之證.
例1. 試證明方程式 2x3− 3x2+ 6x + 6 = 0恰有一實根且非重根 . 解 考慮函數
f : R → R : f(x) = 2x3 − 3x2+ 6x + 6.
1◦ 由於 f 之值域為 R (見第一章第六節例 5 ), 知f (x) = 0至少有一實根. 2◦ 因∀ x ∈ R,
f′(x) = 6x2− 6x + 6 = 6h
x − 1 2
2
+3 4 i
> 0.
知f 為遞增函數, 原方程式不可能有二相異實根.
2.5 微分均值定理 82 3◦ 若該根a為重根,則f 可以表為f (x) = 2(x−a)3,此時,其導函數f′(x) = 6(x−a)2
並不恆正, 與f′ > 0 相矛盾, 是以原方程式不可能有重根.
例2. 設函數 f : [0, 8] → R : f(x) = x1/3(x − 7)2. 試求 f 於何處有極大值及極小值. 解 當 x ∈ (0, 8]時,
f′(x) = 1
3x−2/3(x − 7)2+ 2x1/3(x − 7)
= 1
3x−2/3(x − 7)(x − 7 + 6x)
= 7
3x−2/3(x − 7)(x − 1), 其次討論在點 0 之可微性, 由於 lim
x→0+
f (x) − f(0)
x − 0 = lim
x→0+
x1/3(x − 7)2
x = +∞, 知 f
在點 0 不為可微, 故Zf′∪ (Df \D◦f)∪ Sf ={0, 1, 7, 8}.
0 1 2 3 4 5 6 7 8
-X 0
10 20 30
Y
6
f
圖2–20
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...............................................................................................................
...............
.....................
......
.........
......
...........................
又由下表,
x 0 1 7 8
f′(x) + 0 − 0 +
說明 min ր max ց min ր max
知 f 在點 0 及點 7有相對極小, 而於點8 及點 1 有相對極大; 其次, 因 f (0) = f (7) = 0 < f (8) = 2 < f (1) = 36,
2.5 微分均值定理 83
2.5 微分均值定理 84 註 : 本題尚有其他解法,由於 A(x)為二次多項式,故可利用配方法解之; 或在求出三臨界點
後,利用第一章之極值定理, 比較其函數值之大小, 但應說明 A 連續於緊緻區間 [0, l].
定理 2.17 (導數之極限定理)
設函數f 在Nδ∗(p)為可微且在點 p為連續. (1) 若 lim
x→pf′(x) = b ∈ R, 則 f′(p) = b ; (2) 若 lim
x→pf′(x) = ±∞, 則 lim
x→pfp∗(x) = ±∞, (即f 在點 p不為可微.)
證 (1) 若x 為Nδ∗(p) 之任一元素,今考慮 f 於區間 [p, x] (或[x, p]), 由微分均值定理知, 存在 cx, 介於 p 與x 之間, 使得
f′(cx) = f (x) − f(p) x − p .
(1) 由於 lim
x→pf′(x) = b,應有
∀ ǫ > 0, ∃δ1 ∈ (0, δ) 使得 (∀ x)(0 < |x − p| < δ1 ⇒ |f′(x) − b| < ǫ), (2) 故
0< |x − p| < δ1 ⇒ 0 < |cx− p| < δ1
⇒ |f′(cx)− b| < ǫ, [由(2) ]
⇒
f (x) − f(p) x − p − b
< ǫ, [由(1) ]. 亦即
∀ ǫ > 0, ∃δ1 ∈ (0, δ) 使得 (∀ x)
0< |x − p| < δ1 ⇒
f (x) − f(p) x − p − b
< ǫ
.
是以 f′(p) = lim
x→p
f (x) − f(p) x − p =b.
(2) 仿(1) 之證明, 讀者自證之. 註 : 上述定理亦可推廣為單側極限之情形, 只需將鄰近 Nδ∗(p) 改為 (p, p + δ), x → p 改為
x → p+, f′(p)改為 f+′ (p). 左側情形仿之.
例4. 試利用定理 2.17 以討論函數 f (x) =√x3− x4 在點 0 及點 1 之可微性.
解 在第二節例 4 中, 我們曾利用“可微”之定義討論 f 在上述二點之可微性. 在此, 已知
∀ x ∈ (0, 1), f′(x) = 3x2− 4x3 2√
x3 − x4 = 3x1/2− 4x3/2 2√
1− x . 因為 lim
x→1−f′(x) = −∞, 故知 f 在點 1不為可微分. 其次 lim
x→0+f′(x) = 0, 是以
f′(0) = 0.
2.5 微分均值定理 85 定理 2.18 ( Cauchy 微分均值定理)
設
(1) f, g 在區間[a, b] 上為連續; (2) f, g 在區間(a, b) 上為可微 .
則存在p ∈ (a, b) 使得
f (b) − f(a) f′(p) g(b) − g(a) g′(p)
= 0.
證 設
F : [a, b] → R : F (x) =
f (b) − f(a) f(x) − f(a) g(b) − g(a) g(x) − g(a)
,
則 ∀ x ∈ (a, b),
F′(x) =
f (b) − f(a) f′(x) g(b) − g(a) g′(x)
,
顯然, 函數 F 在 [a, b] 上為連續, 且在 (a, b) 上為可微分, 再者 F (a) = F (b) = 0, 由 Rolle 定理知存在 p ∈ (a, b) 使得 F′(p) = 0,亦即
f (b) − f(a) f′(p) g(b) − g(a) g′(p)
= 0.
我們可利用 Cauchy 均值定理以證明微分均值定理, (只需令 g : [a, b] → R : g(x) = x),
因此 Cauchy 均值定理乃微分均值定理之推廣, 但用途卻少了許多, 在第四章之 l’Hospital 規
則之證明就需要用到 Cauchy 均值定理.
與微分均值定理相似, Cauchy 均值定理亦有其幾何意義, 讀者可參閱書後之附錄四. 以下我們將介紹一定理,它的用途不大, 僅在第五章不定積分中說明某些不連續函數之不定 積分並不存在,少了此一定理, 諸如
Z
[x] dx =? 之問題則難以回答.
定理 2.19 (導函數介值定理) 設f 於區間 [p, q] 上為可微.
(1) 若f′(p) < c < f′(q), 則存在t ∈ (p, q) 使得 f′(t) = c;
(2) 若f′(p) > c > f′(q), 則存在t ∈ (p, q) 使得 f′(t) = c.
2.6 微分 86 證 (1) 若f′(p) < c < f′(q), 令F : [p, q] → R : F (x) = f(x) − cx. 顯然
F 於 [p, q] 上為可微 ⇒ F 於[p, q] 為連續
⇒ ∃t ∈ [p, q] 使得 F 在點 t 有最小值
⇒ ∃t ∈ (p, q) 使得 F 在點 t 有最小值, [⋆]
⇒ ∃t ∈ (p, q), F′(t) = 0
⇒ ∃t ∈ (p, q), f′(t) − c = 0.
[⋆] 因為 F′(p) = f′(p) − c < 0, 故知 t 6= p. 又因 F′(q) = f′(q) − c > 0, 故知 t 6= q .
-X
p t q
Y6
f
F
圖2–22
..........................................................................................
...........................................
(2) 若f′(p) > c > f′(q), 利用 g = −f 及(1) 即可證得定理之結論.
本定理說明 : 若 f 於區間 I 上為可微, 則其導函數 f′ 之映像 f′(I) 必為一區間, 即使 f′ 不為一連續函數, 如
f : R → R : f(x) =
x2sin 1
x, 若 x 6= 0,
0, 若 x = 0,
§ 2.6 微 分
Leibniz 在微積分發展之初, 給了導數一個符號
dy
dx, 1
其中
dx 表自變數 x 之增量, 是個無限小 (infinitesimal)†, 2
† 意即 |dx| 為一無限小之正數.
2.6 微分 87
dy = f (x + dx) − f(x) 則為對應之y = f (x) 之增量, 3
1 又可拆為
dy = dy
dxdx. 4
討論
一. 上述難之 dx顯然是個矛盾之怪物, |dx|
2 是否小於|dx| 呢? 其實 dy
dx 乃表示函數f 在點 x 之導數,亦即
dy
dx = lim
t→x
f (t) − f(x) t − x , 符號 dy
dx 應視為一體, 不應視為 dy 與dx 之商,此一符號之缺點為 : 1◦ 令初學者以為它 只是二數之商, 而未能注意 『它』 是極限值, 2◦ 令初學者以為導數為一整體性概念, 事實 上,導數乃為一局部性概念, 因此有人加以修正為 :
d
dxf (p) = lim
t→p
f (t) − f(p) t − p ; 或
d
dxf (x) = lim
∆x→0
f (x + ∆x) − f(x)
∆x .
其實符號 dy
dx 亦有二項優點 : 1◦ 由符號本身即可知悉導數為一商數, 2◦ 商數之分子與 分母之絕對值皆極其微小. (不過數學並不允許任何導致矛盾之缺點, 即使它有再多的優 點).
二. 為解決 3 與 4 dy 與 dx 拆離之問題, 我們將在以下之定義中把 dy = f′(x)dx 寫為 df (p, h) = f′(p) · h, 以 h 代替 dx, 但無 『無限小』 之意, 不過在此我們必須說明一事,
dy = f′(x)dx雖非一良好概念,但在不定積分與定積分之計算有其方便之處,屬於 『計算
技術』 的層次, 因此不應加以全面揚棄, 我們將在第五、 六章加以說明. 此外, df (p, h) =
f′(p) · h 有近似值之功能, 儘管它的近似性並不很好, 但它將帶給微積分初學者有關 『近
似值』 的初步概念.
定義 2.20
設f 為一函數,我們稱函數
df : Df′ × R → R : df(x, h) = f′(x) · h,
為f 之微分函數(differential function), 而稱df (x, h) 為f 在點x 對於(增量)h 之 微分 (differential off at x relative to h).
2.6 微分 88 在上述定義中, 我們以 df (x, h) = f′(x)h取代傳統的寫法 dy = y′dx, 但我們不再限制 h 之絕對值很小,它是個變數, 正、 負、 零皆可, 其對應之 df (x, h) 亦可能為正、 負或零,在介紹以 下定理之後, 我們再來探討“微分函數”之用途.
定理 2.21
設f 為一函數,p ∈ Df ∩ Df′. 則下列二陳述為對等 : (1) f 在點 p 為可微分.
(2) 存在一m ∈ R 使得 lim
t→p
η(t)
t − p = 0, 內 η(t) = f (t) − f(p) − m(t − p).
證 1◦ 若f 在點 p為可微分,則按定義 2.1, f′(p) 存在. 令m = f′(p),則 limt→p
η(t)
t − p = lim
t→p
f (t) − f(p) − f′(p)(t − p)
t − p =f′(p) − f′(p) = 0, 2◦ 若存在一 m ∈ R 使得 lim
t→p
η(t)
t − p = 0, 則 limt→p
f (t) − f(p) t − p = lim
t→p
f (t) − f(p) − m(t − p) + m(t − p)
t − p =m,
是以知 f 在點 p為可微分.
註 : 若f 在點 p 為可微分, 令m = f′(p), t = p + h,則由本定理知 0 = lim
h→0
η(t)
t − p = lim
h→0
f (t) − f(p) − f′(p)h
h = lim
h→0
f (t) − f(p) − df(p, h)
h .
乃表示 f (t) − f(p) − df(p, h)趨近於 0較 h 為快.
p p+h
||t
-X
Y6 f
P Q
T R
圖2–23 o
df (p, h)
...................................................................................................................................
.......................................................................................................
• 左圖中 T Q = |η(t)|.
• 讀者宜留心, 此圖中 f′(p) > 0 且 h > 0, 但應考慮二者不皆正 之情形, (讀者可自繪圖形).
2.6 微分 89 若以圖形說明: 圖中QR = f (p + h) − f(p)表示 f 之增量,
←→
P T 為在點 P 之切線,其 斜率為f′(p),故 f′(p)h = df (p, h) 為T R, 而QR 與T R 之差為
T Q =
f (p + h) − f(p) − df(p, h) , 比起 P R = h來甚小.
在微積分中, 近似值與誤差之觀念常被提到, 為便於今後之討論, 我們界定如下 :
定義 2.22
若以 A 為V 之近似值 (approximate value), 而E 與V 及 A 之關係為 V = A + E,
則稱 V 為真值(true value), 而稱 E 為 A 對V 之誤差 (error).
當近似值 A 小於 真值 V 時, 誤差E 為正; 當近似值 A 大於真值 V 時, 誤差 E 為負. 當 然, 我們希望 A 與 V 之值很靠近, 因此我們常要求 誤差之絕對值 |E| 很小, 而不是 E 本身很 小.
例如我們欲估計 π,
( 若取 A1 = 4 為近似值, 則誤差−0.9 < E1 < −0.8, 若取 A2 = 3 為近似值, 則誤差0.14 < E2 < 0.15.
雖然 E1 < E2, 但若考慮絕對值,由於 |E1| > |E2|, 故近似值 A2 優於 A1.