> 0, 若 0 < x < e,
= 0, 若 x = e,
< 0, 若 x > e.
知f 於點e 有最大值, 是以 f (π) < f (e) ⇒ ln π
π < ln e e
⇒ e ln π < π ln e
⇒ ln πe < ln eπ
⇒ πe< eπ.
0 e
-X
−0.5 0.5
Y
6
f
圖 3–22
.............................................
或許有人認為本題只需按按計算器或以電腦計算, 立即知道 eπ 較大, 然而計算機只是一項 工具, 它並不能取代數學的本質 ——邏輯演繹,更何況對於問題 『試證 : ∀a ∈ (0, +∞) \ {e}, ae < ea 』,我們仍需要本例之數學演繹方法.
§ 3.8 指數與對數之應用
(1)
指數成長與指數衰變 :
設I 為一非退化區間 ‡, 若
f : I → (0, +∞)滿足 f
′(t)
f (t) = k, ∀t ∈ I, (內k 為一常數) 則存在C ∈ R 使得 f (t) = C ekt, 理由是 :
f′(t)
f (t) = k, ∀t ∈ I
⇒ D ln(f(t)) = k, ∀t ∈ I
⇒ ∃C0 ∈ R, 使得 ln(f (t)) = kt + C0
⇒ ∃C0 ∈ R, 使得 f (t) = exp(kt + C0)
⇒ ∃C ∈ R, 使得 f (t) = C ekt, [令C = exp(C0) ].
‡ 若 a = b, 則閉區間 [a, b] 為一單元集合,稱為一退化區間 (degenerate interval).
3.8 指數與對數之應用 122 此時稱f 具指數成長(exponential growth). 而k 則稱為成長常數 (growth constant).
若k < 0, 則令 λ = −k > 0, 稱為衰變常數 (decay constant), 此時函數可表為 f (t) = C e−λt.
- t 0
C
6
f (t) = C ekt
圖 3–23 指數成長
...........................
- t 0
C
6
f (t) = C e−λt
圖 3–24 指數衰變
.........
註: 1. 若資本額為100 萬元, 經營一年後變成 110 萬元,則年成長率為 10%, 即在時間 t 之年成長率= f (t + 1) − f(t)
f (t) .
2. 若資本額為100 萬元,經營半年後變成106 萬元,則這段期間之年成長率為12%, 即在時間 t 之 (這半年中之) 年成長率 = f (t + 0.5) − f(t)
0.5 f (t) . 推而廣之, 若 f 在 點t 為可微, 令
r(t) = lim
h→0
f (t + h) − f(t)
h f (t) = f′(t) f (t),
並稱其為f 在時間t之(瞬間)年成長率. (時間單位當然可依需要改為 『月』、『日』
或『時』 等). 是以
f′(t)
f (t) = k, ∀t ∈ I, 乃表示函數f 之瞬間(年)成長率為一常數.
例1. 設P (t)表某細菌培養在時間t (單位 :小時) 之數量, 若其繁殖率P′(t)與P (t) 成正比, 已知 t = 0時數量為 30,000, 4 小時後數量為 600,000. 試求 P (t).
解 由原設應有,
P′(t) = kP (t) ⇒ P (t) = P0ekt, (其中P0 = P (0) = 30, 000 )
⇒ P (4) = P0e4k, (令t = 4 )
⇒ 600, 000 = 30, 000 e4k
⇒ e4k = 20
⇒ 4k = ln(20)
⇒ k = ln(20)
4 ≈ 0.7489.
得P (t) = 30, 000 e0.7489t.
3.8 指數與對數之應用 123 例2. 設一群蚊子的繁殖是依據指數成長 P (t) = P (0) ekt (時間單位 : 天).若 10天後蚊子數
增加一倍. 求其成長常數 k.
解 設t = 0 時蚊子數量為 P0 = P (0), 第t 天之數量為P (t), 成長常數為k. 應有 P (t) = P0ekt ⇒ P (10) = P0e10k, (令 t = 10 )
⇒ 2P0= P0e10k, (原設)
⇒ e10k = 2
⇒ k = ln 2
10 ≈ 0.0693.
(2) 14
C 的衰變
(decay) 在社會科學的領域裡, 人們常希望能估計出土的古代文物之年代,由於 14C 計年法 (Carbon dating) 的發明, 使得此一夢想得以實現, 1947 年美國芝加哥
大學 W. F. Libby 及其研究伙伴創立了這種方法, 也因此在 1960 年榮獲諾貝爾化學獎.
過去數萬年中 14C 和12C之比例一直保持在一定的比例 (大約是1 : 1012),地球的大氣 層經由宇宙射線中的中子之撞擊而形成14CO2,經由光合作用被植物吸收, 再被其他生物 吸收而存在於所有生物之中, 生物一旦死亡, 其內的 14C 就不再增加而開始衰減, 其半衰 期(half-life) 為 5730 年. 其它放射性物質也有相同的性質, 但半衰期則均不相同.
令 h 為放射性物質之半衰期(時間單位 : 年、 月或日皆可), 由於 1
2 P0 = P (h) = P0e−λh, 可解得
衰變常數 : λ = ln 2
h , 1
衰變函數 : P (t) = P0 exp −t ln 2 h
= P0 1 2
t/h
. 2
例3. 放射性14C的半衰期約為5730 年. 試求其衰變常數 λ 及衰變函數. 解 由上面 1 式知, λ = ln 2
5730 ≈ 0.000121, 而衰變函數為 P (t) = P0 exp −t ln 2
5730
= P0 exp
ln 2−t/5730
= P0
1 2
t/5730
或P0e−0.000121 t.
例4. 在中東, 某張記載古文字的羊皮紙碎片被發現時, 含 14C 之量為今日生物所含 14C 量的
79 %. 試估計此羊皮紙之年代.
3.8 指數與對數之應用 124 解 設羊皮紙原來含14C之量與現今生物含14C之量相同. 今其含量為原來的79 %. 設t 年
後14C之量為 P (t)時, 由 2 式知
P (t) = P0
1 2
t/5730
. 內P0 表原來 14C 之含量. 由題意知
P (t) = 0.79P0 ⇒ P0 1 2
t/5730
= 0.79P0
⇒ 1 2
t/5730
= 0.79
⇒ −t ln 2
5730 = ln(0.79), (左右兩端取 ln )
⇒ t = − ln(0.79) · 5730
ln 2 ≈ 1948.6 年.
(3)
複利
(compound interest).銀行給付利息的方式通常是採複利,設P 表本金(principal), r表年利率(interest rate), n 表年數, A表本利和 (amount), 則應有
A = P (1 + r)n.
然而這是每年一次計息方式, 最常見的則是每月複利計息(monthly compound interest), 此時本利和應為 A = P 1 + r
12
12n
, 如果將此一概念予以推廣, 每年分m 期計息, 則 A = P
1 + r m
nm
.
於是有人令 m 趨近於 +∞, 而得所謂 『連續複利計息法』(continuously compound in-terest),此時,
A = lim
m→+∞P
1 + r m
nm
= P lim
h→0+(1 + h)nr/h, (令h = r/m)
= P lim
h→0+exp
nrln(1 + h) h
= P exp
nr lim
h→0+
ln(1 + h) h
= P enr,
∵ lim
h→0+
ln(1 + h)
h = ln′1 = 1. 提醒讀者注意 : 上式中之 n 未必為一整數.
例5. 設某君存款一萬元, 年利率 2%, 以連續複利計算,問存款多久其本利和為二萬元.
3.8 指數與對數之應用 125 解 已知 r = 2% = 0.02, 由原設
20000 = 10000e0.02 t ⇒ e0.02 t = 2
⇒ 0.02 t = ln 2
⇒ t = ln 2
0.02 ≈ 34.66 年.
例6. 設甲銀行以 2% 之年利率每月計息, 乙銀行欲以 r 之年利率連續計息且使一年到期之本 利和與甲銀行相同, 試問 r =?
解 由於一年後,
甲銀行之本利和為 A1 = P1 + 0.02 12
12
, 乙銀行之本利和為 A2 = P · er.
故
A1 = A2 ⇔
1 + 0.02 12
12
= er
⇔ r = 12 ln
1 + 0.02 12
= 0.0199834.
複利觀念亦可應用於投資理財, 設某項投資 n 年後之總收入 (即本利和 (amount)) 為 A, 以年利率 r 之連續計息方式, 則此一款項之現值 (present value) P 應為若干 ?
由於 A = P enr, 是以 P = A e−nr.
例7. 設年利率 3%, 以連續複利計息, 若希望4 年後得10,000 元. 問現在應存入多少 ? 解 因A = 10, 000, r = 0.03, t = 4, 是以
P = 10, 000 e−0.03×4= 10, 000 e−0.12≈ 10, 000 · 0.88692 = 8, 869.2 (元).
例8. 設某商行在t 年時之存款數約為 f (t) = 750000 e0.6√t. 試求第5 年底存款的年成長率. 解 因
f′(t) f (t) = d
dtln f (t) = d
dt(ln 750000 + ln e0.6
√t)
= d
dt(ln 750000 + 0.6√
t) = 0.6(1 2)t−12
= 0.3
√t. 以5 代t 得, f
′(5)
f (5) = 0.3
√5 ≈ 0.1345 = 13.4%, 亦即 t = 5年時, 存款的年成長率為
13.4%.
3.9 對數微分法 126
§ 3.9 對數微分法
在微積分發展的過程中, 指數函數未被廣泛使用之前,對於函數y = f (x)g(x) 之微分,常以
『取對數』 之方法解之, 此種方法稱為對數微分法, 係瑞士數學家 Johann Bernoulli 所創. 其步 驟如下 :
1◦ y = f (x)g(x) 之兩端分別取自然對數.
2◦ ln y = g(x) ln(f (x))之兩端分別對 x 微分之, 得 y
′
y = d
dx(g(x) ln(f (x))) = · · · . 3◦ 移項之得 y′ = y d
dx(g(x) ln(f (x))).
例1. 試微分y = xx2.
解 此函數之定義域顯然為 (0, +∞).
法一 : ∀ x > 0, y = xx2 = exp(x2ln x), 是以
y′ = exp(x2ln x) · (2x ln x + x) = xx2(x + 2x ln x).
法二 : 利用對數微分法,
y = xx2 ⇒ ln y = x2ln x
⇒ y′
y = 2x ln x + x, (兩端微分)
⇒ y′ = y(2x ln x + x) = xx2(x + 2x ln x).
對於某些較為複雜之分式, 利用對數微分法具有簡化計算之效果, 若函數有負值之可能時, 則應先取絕對值再取自然對數; 我們舉一例以說明之.
例2. 試求 f (x) =
√1 + x2(3x + 2)3 p5
x2(x + 1) 之導函數.
解 本題可利用函數和、 差、 積、 商及合成之微分定理解之, 但相當麻煩. 我們將利用對數微 分法解之. 由於 Df = R \ {0, −1},
• 當 x ∈ Df \ {−2/3} 時, f (x) =
√1 + x2(3x + 2)3 p5
x2(x + 1)
⇒ ln |f(x)| = 1
2ln(1 + x2) + 3 ln |3x + 2| −2
5ln |x| −1
5ln |x + 1|
⇒ f′(x)
f (x) = x
1 + x2 + 9
3x + 2 − 2
5x− 1
5(x + 1)
⇒ f′(x) = f (x) x
1 + x2 + 9
3x + 2 − 2
5x− 1
5(x + 1)
.
3.10 雙曲函數 127
• 當 x = −2/3時, 因 lim
x→−2/3f′(x) = 0, 是以f′(−2/3) = 0.
• 結論 : f 之導函數為 f′: Df → R :
f′(x) =
f (x) x
1 + x2 + 9
3x + 2− 2
5x − 1
5(x + 1)
, 若 x 6= −2 3,
0, 若 x = −2
3.
§ 3.10 雙曲函數
指數函數 exp 在自然科學以及應用科學上之應用頗廣, 它有一些特殊組合在力學方面十分 重要, 由於這些組合之某些性質與三角函數相近 ¶, 故在取名時也參照三角函數. 同時, 表示法 也借用三角函數的符號. 不過這類函數皆不具週期性, 此乃與三角函數最大的差異.
定義 3.34 函數
(1) sinh : R → R : sinh x = ex− e−x
2 , 稱為雙曲正弦函數 (hyperbolic sine func-tion).
(2) cosh : R → R : cosh x = ex+ e−x
2 , 稱為雙曲餘弦函數 (hyperbolic cosine function).
(3) tanh : R → R : tanh x = ex− e−x
ex+ e−x, 稱為雙曲正切函數 (hyperbolic tangent function).
(4) coth : R∗ → R : coth x = ex+ e−x
ex− e−x, 稱為雙曲餘切函數 (hyperbolic cotan-gent function).
(5) sech : R → R : sech x = 2
ex+ e−x, 稱為雙曲正割函數 (hyperbolic secant function).
(6) csch : R∗ → R : csch x = 2
ex− e−x, 稱為雙曲餘割函數 (hyperbolic cosecant function).
以上六函數統稱為雙曲函數 (hyperbolic functions).
雙曲餘弦函數形如一懸索 (hanging cable), 故又名懸索線 (catenary).
¶ 參閱附錄三.
3.10 雙曲函數 128
3.10 雙曲函數 129 定理 3.35
(1) ∀ x ∈ R, cosh2x − sinh2x = 1 ; (2) ∀ x ∈ R, 1 − tanh2x = sech2x ; (3) ∀ x ∈ R∗, coth2x − 1 = csch2x . 證 (1) ∀ x ∈ R ,
cosh2x − sinh2x = 1
4(ex+ e−x)2− 1
4(ex− e−x)2
= 1
4(e2x+ 2 + e−2x) −1
4(e2x− 2 + e−2x) = 1.
(2) 1 − tanh2x = 1 − sinh2x
cosh2x = cosh2x − sinh2x
cosh2x = 1
cosh2x = sech2x.
(3) 仿 (2) 讀者自證之.
定理 3.36
∀ x, y ∈ R, 應有
(1) sinh(x + y) = sinh x cosh y + cosh x sinh y ; (2) cosh(x + y) = cosh x cosh y + sinh x sinh y ; (3) tanh(x + y) = tanh x + tanh y
1 + tanh x tanh y ; (4) sinh(−x) = − sinh x ;
(5) cosh(−x) = cosh x ; (6) tanh(−x) = − tanh x .
證 利用定義 3.24 即可證得.
定理 3.37
六個雙曲函數均為可微分, 且導函數分別如下 : (1) D sinh x = cosh x ;
(2) D cosh x = sinh x ; (3) D tanh x = sech2x ; (4) D coth x = −csch2x ; (5) D sech x = −sech x tanh x ; (6) D csch x = −csch x coth x .
3.11 反雙曲函數 130 證 茲僅就(1) 與(3) 證之, 其餘讀者自證之
(1) ∀ x ∈ R,
D sinh x = D 1
2(ex− e−x)
= 1
2(ex+ e−x) = cosh x.
(3) ∀ x ∈ R,
D tanh x = D sinh x cosh x
= cosh2x − sinh2x
cosh2x = 1
cosh2x = sech2x.
例1. 試求 lim
x→−∞sinh [x]
x
=? 並問上述極限是否大於 1?
解 由於 sinh 為連續,是以
x→−∞lim sinh [x]
x
= sinh
x→−∞lim
[x]
x
= sinh 1.
其次, 由均值定理知, 存在 p ∈ (0, 1)使得 sinh 1 = sinh 1 − sinh 0
1 − 0 = sinh′p = cosh p > cosh 0 = 1.
§ 3.11 反雙曲函數
由於 ∀ x ∈ R, D sinh x = cosh x > 0, 故 sinh 為一嵌射, 又由
x→+∞lim sinh x = lim
x→+∞
1
2(ex− e−x) = +∞, 及
x→−∞lim sinh x = lim
x→−∞
1
2(ex− e−x) = −∞, 知sinh 為一蓋射, 故為一可逆函數, sinh 之反函數稱 為反雙曲正弦函數 † (inverse hyperbolic sine func-tion). 亦即
sinh−1: R → R : sinh−1x = y ⇔ sinh y = x.
−3 −2 −1 0 1 2 3
-X
−3
−2
−1 0 1 2 3
Y6
sinh
sinh−1
圖3–29 sinh 以虛線表之
..................................................................
.
...................................................................
† 有些學者以 arcsinh 或argsinh 表反雙曲正弦函數, 其他五個反雙曲函數亦同.
3.11 反雙曲函數 131 曲餘弦函數(inverse hyperbolic cosine function),亦 即
3.11 反雙曲函數 132
證 仿定理 3.38 證明,讀者自證之.
由於 ∀ x ∈ R, D tanh x = sech2x > 0, 故 tanh 為一嵌射, 又由
x→+∞lim tanh x = lim
x→+∞
ex− e−x
ex+ e−x = lim
x→+∞
1 − e−2x 1 + e−2x = 1,
x→−∞lim tanh x = lim
x→−∞
ex− e−x
ex+ e−x = lim
x→−∞
e2x− 1
e2x+ 1 = −1,
知tanh 之值域為 (−1, 1), 故函數 tanh : R → (−1, 1) 為可逆, 其反函數稱為反雙曲正切函數 (inverse hyperbolic tangent function); 亦即
tanh−1: (−1, 1) → R : tanh−1x = y ⇔ tanh y = x.
−2 −1 0 1 2
-X
−2
−1 0 1 2
Y
6
tanh tanh−1
圖 3–31 tanh之圖形以虛線表之
...
..............................................................................
. . . .. . .. .. .......................... .. .. .. . . ..
定理 3.40
(1) ∀ x ∈ (−1, 1), tanh−1x = 1
2ln 1 + x 1 − x
;
(2) tanh−1 為可微分函數, 且 ∀ x ∈ (−1, 1), D tanh−1x = 1 1 − x2 . 證 (1) 設 y = tanh−1x,則
x = tanh y = ey− e−y
ey+ e−y ⇒ xey + xe−y = ey− e−y
⇒ ey(1 − x) = e−y(1 + x)
⇒ e2y = 1 + x 1 − x
⇒ 2y = ln 1 + x 1 − x
⇒ y = 1
2ln 1 + x 1 − x
.
是以tanh−1x = 1
2ln 1 + x 1 − x
.
3.12 隱微分法 133
3.12 隱微分法 134 所界定之序對集合 C = {(x, y) | x2 + y2 = 1} 並非一函數, (參見圖 3–33 ). 上述之集 合C 雖不為一函數, 但我們對 C 中之一點如 (1
2,
√3
2 ) 加以觀察: 由圖中顯然可取得點 1
2
之一鄰近 N(1
2) 及點 √3
2 之一鄰近 N(√3
2 ), 而有
∀ x ∈ N 1 2
, ∃!y ∈ N√ 3 2
使得 (x, y) ∈ C.
故C 雖不為一函數, 但C 卻在N(1
2) 上可以界定一函數 f , 而 f 之一般表示法為 : f : N 1
2
→ N√ 3 2
: y = f (x) =√
1 − x2. 我們稱此函數f 為由方程式 F (x, y) = x2+ y2− 1 = 0 在點 (1
2,
√3
2 )之鄰近(二維觀念,
詳見第九章第一節) 所界定之一隱函數.
在上述 C 中若取點 (1, 0), 情形就不同了, 因為不
論在點1取任一鄰近N(1), 而在點0 取任一鄰近N(0) (在Y 軸上), 當x ∈ N(1) 且x < 1 時,若有 y ∈ N(0) 使 (x, y) 屬於 C, 則−y ∈ N(0) 亦可使 (x, −y) ∈ C.
故方程式F (x, y) = x2+ y2− 1 = 0 在點(1, 0) 鄰近並 不能界定任何函數.
又若方程式
F (x, y) = x4− y2 = 0
所界定之序對集合 C = {(x, y) | x4− y2 = 0}, 其圖形 如右 : 除原點外, C 中之任一點皆可界定一隱函數.
−2 0 2
-X
−2 0 2
Y6
圖3–34
...........................
.............................................................
.................................................................................
...
綜觀上述之討論知, 有些方程式 F (x, y) = 0所界定之集合 {(x, y) | F (x, y) = 0}即為一 隱函數, 有些函數雖不能界定一隱函數,但在某些點之鄰近可界定一隱函數,在其他點則又不然. 至於何種方程式在何種點之鄰近可界定一隱函數之問題,讀者可參考Apostol [4], 定理13.7 之 隱函數定理.
若方程式 F (x, y) = 0 在點 (x0, y0)之鄰近可界定一隱函數 f : N(x0) → N(y0), 而f 在 點x0 為可微分時, 應如何求出導數 f′(x0)? 其步驟如下:
(1) 方程式之左右兩端分別對 x 微分之, (視y 為 x 之函數).
(2) 移項後, 得y′ = · · · .
(3) 以(x0, y0)代入其中之 (x, y)即得所欲求.
例1. 試求由方程式 xy = tan−1 y
x 在點 (2, 0) 所界定之隱函數f 於點 2的導數 f′(2) =?.
3.12 隱微分法 135 解 1◦ 方程式之左右兩端分別對 x 微分之, (視 y = f (x) 為x 之函數).則得
y + xy′ = 1
1 + (yx)2 · xy′− y x2 ,
2◦ 移項之得 f′(x) = y′ = y(1 + x
2+ y2)
x(1 − x2− y2). 3◦ 以 (2, 0) 代(x, y) 於上式中, 則
f′(2) = 0(1 + 22+ 02)
2(1 − 22− 02) = 0.
例2. 若x3− x ln y + y3 = 2x + 5,試求此曲線在 (2, 1)點的切線方程式. 解 1◦ 方程式之左右兩端分別對 x 微分之, (視 y 為x 之函數),則
3x2− ln y −xy′
y + 3y2y′ = 2.
2◦ 移項後, 得y′ = 2 − 3x
2 + ln y 3y2−xy
. 3◦ 將點 (2, 1) 代入 (x, y) 之中, 則
y′ = 2 − 3 · 4
3 · 1 − 21 = −10, 4◦ 所求之切線方程式為y − 1 = −10(x − 2).
例3. 設y = f (x)為由方程式x3− 3xy + y3 = −1所界定之可微分函數,試求f′(0)與f′′(0).
解 先將 x 以0 代入,則原方程式變為
0 − 0 + y3 = −1.
得y = −1, 換言之, 我們將討論過點 (0, −1) 之隱函數之一、 二階導數. 原方程式左右兩
端分別對 x 微分之, 則
3x2− 3y − 3xy′+ 3y2y′ = 0. (∗) 移項之, 得y′ = y − x2
y2− x,以(0, −1)代入, 得f′(0) = −1. 其次,再將 (∗)之兩端對x 微 分之, 則
6x − 3y′− 3y′− 3xy′′+ 6y(y′)2 + 3y2y′′= 0.
移項之, 得 y′′= −2x + 2y
′− 2y(y′)2
y2− x , 以(0, −1) 代入 (x, y), −1 代 y′ 得 f′′(0) = 0 − 2 + 2 · 1
1 = 0.
3.13 參數方程微分法 136
3.13 參數方程微分法 137
3.13 參數方程微分法 138
3.13 參數方程微分法 139 如果 t0 為任意點, 上式更可簡為
dy dx =
dy dt dx dt
. (3)
二. 若f′(t0) = 0 時,亦即 dx dt t0
= 0.
(i) 若 g′(t0) 6= 0, 則 (1) 之絕對值之極限為
t→tlim0
g(t) − g(t0) f (t) − f(t0) = limt→t
0
g(t) − g(t0) t − t0 f (t) − f(t0)
t − t0
= +∞
(極限不存在),即 dy dx t0
不存在,此時在點 (x0, y0) 有垂直切線. (ii) 若 g′(t0) = 0, 則利用導數之極限定理.
如果 lim
t→t0
dy
dx 存在, 則 dy dx t0
= lim
t→t0
dy dx. 如果 lim
t→t0
dy
dx = ±∞, 則 dy dx t=t0
不存在.
註: 此外, 我們亦可利用消去法,先解得含 x與 y 之方程式, 再以隱函數方法求其導數.
例4. 設曲線
x = t + 1 t, y = t − 1
t,
t 6= 0, 試求切於此曲線而斜率為 2之直線.
解 由於 ∀t ∈ R∗, dx
dt = 1 − t−2, dy
dt = 1 + t−2, 是以當 |t| 6= 1 時, dy
dx = dy/dt
dx/dt = 1 + t−2
1 − t−2 = t2+ 1 t2− 1. 依題意
此曲線之切線斜率為 2 ⇔ dy dx = 2
⇔ t2+ 1 t2− 1 = 2
⇔ t2+ 1 = 2(t2 − 1)
⇔ t2 = 3
⇔ t ∈ {−√ 3,√
3}.
3.13 參數方程微分法 140
3.13 參數方程微分法 141
3.13 參數方程微分法 142
例7. 內擺線(hypocycloid or Astroid)
設有一圓心為原點, 半徑為 a 之圓內切一半徑為 a/4 之小圓於點A(a, 0), 今小圓緊貼於
3.13 參數方程微分法 143 解 (1) 設小圓之圓心為 C, 點Q 為點 C 之垂足, θ = ∠AOC, φ = ∠BCP . 則因
aθ =AzB ={ PzB ={ a 4 · φ, 是以φ = 4θ, 故得
∠P CQ = π− φ − π 2 − θ
= π 2 − 3θ.
若點 P 之坐標為 (x, y), 則因點C 位於 3a
4 cos θ, 3a 4 sin θ
, 故 x = 3a
4 cos θ +a
4sin(∠P CQ) = 3a
4 cos θ + a
4sin π
2 − 3θ
= a
4(3 cos θ + cos 3θ) = a cos3θ, y = 3a
4 sin θ − a
4cos(∠P CQ) = 3a
4 sin θ − a
4cos π
2 − 3θ
= a
4(3 sin θ − sin 3θ) = a sin3θ.
故得點 P 之軌跡為 x = a cos3θ,
y = a sin3θ, θ ∈ [0, 2π]. 消去 θ,則得 x2/3+ y2/3 = a2/3.
(2) 由於
dx
dθ = −3a cos2θ sin θ, dy
dθ = 3a sin2θ cos θ, 故當 0 < θ < π/2,
dy
dx = dy/dθ
dx/dθ = −sin θ
cos θ = − tan θ, d2y
dx2 =
d
dθ(dy/dx)
dx/dθ = − sec2θ
−3a cos2θ sin θ = 1
3asec4θ csc θ.
(3) 利用導數之極限定理, 因 lim
θ→0+
dy
dx = lim
θ→0+− tan θ = 0, 故知 dy dx
θ=0= 0 ; 因 lim
θ→π/2−
dy
dx = lim
θ→π/2−− tan θ = −∞, 是以 dy
dx
θ=π/2
不存在.
第三章習題 144