在上一小節等號的意義中，我們可以理解等號的基本意涵指的是「保 持式子左右相等」，但是在算術當中，等號的使用卻常常是要求學生求出 一個最終答案。所以等號在算術中除了具有「保持相等」的意義外，有時 也蘊含著「運算」的意義。蔣治邦、謝堅、陳竹村、林昭珍與吳淑娟（2002）
都曾在其相關研究中指出等號的意義有二：一為「得到答案」：如「2＋6
＝8」式子中，表示「2個和6個和起來，得到的答案是8個」；另一個意義 為兩邊一樣大的「等價關係」：如「5＋3＝2＋6」式子中，表示「5＋3」
和「2＋6」這兩項經過數量大小的比較活動，可以發現這兩者一樣大的結 果。因此，等號可因其在典型等式與非典型等式中而給予不同的分類。
依據陳嘉皇（2008）及Knuth、Stephens、McNeil 與 Alibali（2006）
對等號概念的分類法則，將學生對於等號概念的認知區分為「運算型定義」
及「關係型定義」。「運算型定義」是指學生只將等號視為運算後與得到 結果之間的連結符號，具有宣告結果的意義存在，是故等號後方必須跟隨 出現的一個答案或結果。而所謂的「關係型定義」則是指學生能夠將等號 視為一種左右兩側等價的關係符號，因此不尋求必須要有結果，只要是兩 邊符合關係對等的式子。而許多研究（楊喻惟，2009；黃富麟，2010；潘 亨足，2010；劉佩綺，2010；昌秀英，2011）在探討等號概念時，皆根據 陳嘉皇（2008）及Knuth、Stephens、McNeil 與 Alibali（2006）等人的分 類法，將學生對等號的認知區分成「運算型」以及「關係型」。因此，當 本研究探討學生的等號概念時，將參考陳嘉皇（2008）及Knuth、Stephens、
McNeil 與 Alibali（2006）等人的分類法，將學生對等號的認知主區分為
「運算型」及「關係型」兩種意義來解釋。
第二節 第二節 第二節
第二節 等號概念的相關研究 等號概念的相關研究 等號概念的相關研究 等號概念的相關研究
研究者在此將探討國內外等號概念的相關研究，並分析不同等號概 念類型對等號概念形成的影響，並在此小節當中，將等號類型依照陳嘉皇
（2008）及 Knuth、Stephens、McNeil 與 Alibali（2006）等人的分類法，
把學生對等號的認知區分為「運算型」及「關係型」兩種意義來解釋。
一、「運算型」：將等號視為運算符號
根據國外許多學者的研究發現，不管在哪一種年級當中，都有不少學 生對於等號意義理解尚未完全發展完備（Baroody＆Ginsburg，1983；Behr，
Erlwanger＆Nichols，1980；Kieran，1981；Rand，2003）。而此種未完備 的緣由不外乎學生總將等號認定為一種必須「do something」的運算符號，
意即等號的出現就代表著必須要「做某件事情」，而正因為這樣的狹隘認 知，學生往往無法將等號進一步認定為等價或是等量的概念（Behr et al.，
1980）。McNeil 和 Alibali（2006）曾在他們的研究中指出，學生在詮釋 以及建構一些概念的時候，多半都是根據自己本身的學習經驗來做演繹與 歸納，當學生在小學初次接觸到等號的時候，因為他們的學習經驗相當有 限且狹隘，加上課程編排的脈絡偏向於運算型意義的鋪陳，因此在此階段 的學生多半傾向於將等號解釋為一種運算型的符號，鮮少能有學生會將其 轉化成一種等價的概念，而正因為這樣的課程編排，導致學生無法對等號 產生完備的觀念。
無獨有偶，學者 Seo 和 Ginsburg（2003）也認為在小學數學課程當中，
等號常常搭配著算術運算的出現，使得小學生容易將等號定義成為求得
「答案」以及「總量」的一種結果連結符號，而忽略了等式左右亦存在著 一種等價或等量的關係。也因為初次接觸等號時總是在加減法問題中呈 現，進而促使學生更加將等號建構歸納成一種運算結果，因為解決這樣單 純加減法的運算問題時，是不需具備等式兩邊等價的概念，僅需針對數字 做運算便可得到正確的結果，長期浸濡在這樣的情境中，自然容易使學生
將等號的意義建構成一種單純的運算結果（McNeil ＆ Alibali，2006）。
曾有國外學者在研究中指出，對初次接觸代數的學生而言，他們心中 所預期的方程式是一種左邊為單純運算過程，右邊為唯一結果且中間由等 號做為連結的一種特定形式，意即本文中所指的典型等式，例如：6＋5
＝11（Baroody ＆ Ginsburg，1983）。在早前不少關於等號的研究中，
當中學生被要求對「等號」下一個定義時，大多數的中學生對「等號」理 解的表現和小學生一樣，均對等號做出運算型的定義，只有極少數的中學 生能夠兼及關係型的意義。而這樣的不成熟的等號概念思維不只存在於中 學生，更是有可能延續到大學生的階段（Kieran，1981）。Herscovics 和 Linchevski（1994）更在其研究中明確指出：儘管在一般運算式中，學生 只將等號視為運算型符號並不會對解題過程及結果造成立即的影響，但在 後續的學習過程當中，一旦需要將等號視為關係型的等價概念時，學生就 會有所迷惑及認知的障礙存在。而為了驗證這樣的假設，Essien 和 Setati 在 2006 年時曾將研究對象由小學轉移至中學，果不其然發現八年級甚或 是九年級的學生多將等號視為一種求解的運算工具符號，較難將等號視為 一種比較數量的關係型符號。
二、「關係型」：將等號視為等價關係符號
綜觀內外，其實並非所有的研究結果都對於等號概念存在著負面不樂 觀的想法。Knuth、Alibali、McNeil、Weinberg 和 Stephens（2006）就曾 在其研究中表示，學生對於等號意義的理解會隨著中學年級的增加而有所 拓展，最後終將發展出關係型的等號概念。McNeil 和 Alibali（2006）在 探討學生等號意義理解對經驗數學和等號情境產生作用時，預期數學經驗 的層次與等號情境會交互影響，因此七年級的學生在單獨或加減法的運算 當中，會自然的將等號視為一種運算型符號；而在需要比較數量的等價題 型當中，學生也會自然的將等號視為一種關係型的等價符號；而對大學生 而言，不管今天面對的是一種什麼樣的題型，因為其本身的等號意義理解
已臻完備，因此都能夠以一種等價的思維來解題。在 McNeil 和 Alibali
（2006）的研究中更指出，中學生（研究中指的是七年級學生）的表現可 以被用來預測數學經驗的層次與等號情境的互動性。這也呼應了 Izsak
（2003）所提出的研究結果，這些學者認為學生在中學階段具有良好的知 識背景與組織結構能力，而這樣的能力恰好能夠用來學習並建構較高層次 的數學問題，而適時佐以中學階段所發展的邏輯概念，更可用來協助等價 關係的建立。藉由這樣的關係，我們更能幫助學生察覺複雜的相似關係，
所以從發展學的角度來觀看，中學生比小學生更容易形成等號關係型意義 的理解（McNeil，Grandau，Knuth，Alibili，Stephens，Hattikudur ＆ Krill，
2006）。Herscovics（1980）和 Kieran（1981）也曾以年齡的觀點來做研 究，他們認為 12 到 14 歲的學生即便最初對等號抱持著運算的概念，但經 過解說以及訓練過後，學生便會開始對等號建立所謂的等價關係，Kieran 的研究更進一步明確的指出，13 歲是接受等號成為等價概念的最佳過渡 時期。
早期在一些國外學者的研究中都曾指出：學生對於非典型等式的方程 式容易感到困擾以及混淆，而追根究柢發現，其源自於學生接觸非典型的 機會較少（Weaver，1973）。更有研究報告顯示，七年級的學生多半難以 將等號視為一種等量等價的關係型符號，但是在等號兩邊都具有運算方程 式的等價脈絡之下，便可以將等號視為一種數量比較的等價型意義符號
（McNeil ＆ Alibili，2005）。在後續的研究中，等號通常被視為運算後 接答案的一種連結符號，這樣的標準情境即為本研究中的典型等式（例 如：6＋3＝9），很少被視為兩邊非標準操作情境（例如：3＋6＝4＋5）
或其他具有自反性的非典型等式（例如：9＝9），而這些非標準情境中的 非典型等式包含了「等號兩邊運算」、「等號右邊運算」、「等號兩邊均 不運算」和「不全等」四種，而這些非典型等式往往會比典型等式更容易 引發學生理解等號的等價概念（McNeil，2006）。
第三節 第三節 第三節
第三節 等號概念與代數學習的關連 等號概念與代數學習的關連 等號概念與代數學習的關連 等號概念與代數學習的關連
「代數」在中學數學課程裡常被視為一種「廣義算術 generalized
arithmetic」（Booth，1988），從引入文字符號開始，到對文字符號施行運
算，最後有系統地解決算術四則運算問題，都算是代數的一種範疇。而代 數與算術之間有許多共同使用的符號，例如：＋、－、＝；但實際上，這 些符號在代數與算術兩者之間的意義卻不盡全然相同。