根據研究者所自編的等號概念測驗內容，第一大題為數學符號「＝」
的意義理解與認知，此大題的主要目的在探討學生對於等號意義的理解與 認知情形，題目內容如圖 4-1-1 所示。
圖 4-1-1 等號意義理解與認知第一大題測驗內容
在本大題中，若學生作答時所勾選的選項僅有ㄅ、ㄇ、ㄈ、ㄉ，且同 時不含有ㄆ和ㄊ兩者，則研究者在研究中將這類學生對於等號認知歸類於
「運算型」；若學生作答時勾選的選項同時含有ㄆ和ㄊ，那麼研究者在研 究中將其對於等號認知歸類於「關係型」；除此之外，若學生作答時所勾 選的選項僅含有ㄆ或ㄊ其中一項，那麼代表此類型學生對於等號的認知介 於「運算型」和「關係型」之間，像這類對於等號意義有部分相等概念但 是並未完全接受等價關係的學生，在本研究中泛稱為「過渡型」。而本研 究在此大題中所採用的分類方法，則是參考以往國內研究者對國小學生進 行等號相關研究時所編製的分類法則（陳嘉皇，2009；昌秀英，2011；許 欣鳳，2012）。研究者將受測樣本學生在第一大題的作答情況統計如表 4-1-2。
表 4-1-2 學生在等號意義與認知的表現情況
學生所勾選的選項 人數 百分比 對等號的認知 不含有ㄆ、ㄊ 257 41％ 「運算」意義 含有ㄆ或ㄊ之一 61 10％ 介於「運算」意義和
「關係」意義之間 同時含有ㄆ和ㄊ 305 49％ 「關係」意義 總計 623 100％
從表 4-1-2 的統計結果顯示：參與等號意義理解與等號概念測驗的七 年級學生當中，以關係型的學生共 305 人為最多數，佔測驗人數的 49％；
其次為運算型的學生共 257 人，佔測驗人數的 41％，最後是介於運算型 與關係型中的過渡型學生共 61 人為最少數，佔總測驗人數的 10％。由此 統計結果我們可以知道：對國中七年級學生來說，只有將近五成的學生可 以理解等號除了運算的意義存在外，更重要的是一種等價的概念，這與國 內潘亨足在 2010 年對國中七年級學生所做的等號概念調查研究結果不謀 而合。曾有國外研究者針對六、七、八年級學生調查其等號概念，發現等 號概念停留在運算型的學生，六年級約有 53％、七年級約有 36％、同時 八年級學生約有 52％（Knuth，2006），這樣的研究結果也與研究者所調 查七年級運算型學生比例（41％）相去不遠。此外，國內也有不少研究者 針對各階層學生的等號概念加以研究，發現對各階層的學生而言，能夠真
正理解等號具有等價概念的學生，僅僅只佔少數（陳嘉皇，2008；楊絮媛，
2010；潘亨足，2010；昌秀英，2011；許欣鳳，2012），如表 4-1-3 所示：
表 4-1-3 國內各研究者等號概念研究百分比例表
研究對象 樣本人數 運算型學生百分比 研究學者 二年級學生 223 人 62％ 許欣鳳，2012 二年級學生 783 人 54％ 昌秀英，2011 三年級學生 165 人 50％ 楊絮媛，2010 六年級學生 342 人 69％ 陳嘉皇，2008 七年級學生 203 人 50％ 潘亨足，2010 而這些研究結果與研究者所調查的結果如出一轍，更服膺了國外許多學者 的論點：不管在哪一種年級與階層的學生當中，都有許多人尚未對等號有 完備的認識與發展（Baroody＆Ginsburg，1983；Behr，Erlwanger＆Nichols，
1980；Kieran，1981）。
綜觀國內外，其實有不少研究者對於等號的發展提出更進一步的見 解：Knuth、Alibali、McNeil、Weinberg 和 Stephens（2005）曾在其研究 中表示，學生對於等號意義的理解會隨著年級的增加而有所拓展。這樣的 論點，由表 4-1-3 中似乎可循見其脈絡，在加上本研究的調查結果：七年 級運算型學生佔 41％，似乎也更進一步的支持著等號概念會隨年級增長 而有所拓展的論點。但若細細推敲其研究內容，不難發現運算型學生隨年 級增加而看似降低的比例，實際上藏有耐人尋味的端倪。在本研究中的等 號概念分類法則與檢驗試題，均是參照上述學者在作等號相關測驗時的編 製方式，唯一不同的地方有兩點：昌秀英（2011）在等號的分類法則中，
只要學生沒有選填「左右兩邊相等」、或是「兩邊的數量一樣大」的選項 時，一律將這樣的學生歸類於運算型，也就是說在昌秀英（2011）的等號 概念研究中所採用的是二分法原則，只將學生的等號概念類型分為運算型 與關係型；因此若研究者採用此二分法歸類時，那麼本研究中七年級學生 的等號概念屬於運算型的比例將提高至 51％，與昌秀英（2011）所調查
二年級運算型學童佔 54％，楊絮媛（2010）所調查三年級運算型學童佔 50％結果相比，並未如國外學者 Knuth、Alibali、McNeil、Weinberg 和 Stephens（2005）所言，等號概念會隨著年級的增長而拓展，也未如國內 楊喻惟（2009）的調查結果顯示不同年級對等號概念的認知有顯著差異，
並會隨著年級的增加而使得關係型的學生比例增高。因此，研究者認為這 樣的論點是有待商榷與再次探討的。
其次，陳嘉皇在 2008 年的研究中，使用單一選擇的模式研究 342 位 臺南縣國小六年級學童對等號意義的解釋，其內容如圖 4-1-4 所示：
在「5＋4＝9」的數學運算式中，選出你認為對於「＝」的正確解釋：
（1） 「＝」表示兩邊的數量是相等的或一樣的意思
（2） 「＝」表示 5＋4 的答案加起來總共是 9 的意思
（3） 「＝」表示任何式子是等於或一樣意思
（4） 「＝」表示進入到下一步驟的意思
（5） 不知道
圖 4-1-4 陳嘉皇等號意義解釋的題目內容
其中選項（1）為關係型解釋，選項（2）為運算型解釋，選項（3）
或（4）為脫離情境相等的解釋，選項（5）則為不知道或無反應。在陳嘉 皇的研究結果中有 69％學童為運算型，14％的學童為關係型，與本研究 結果中運算型學生佔 51％，關係型學生佔 49％略有不同，探究其可能的 差異原因為：陳嘉皇（2008）的研究是採用單一選擇題模式，學童僅能依 其對等號的認知選擇唯一選項，不能同時選填兩個以上的選項，但實際上 等號的運算或關係意義並非是單一的、相悖的，應當是可以兩者並存的意 義（蔣治邦、謝堅、陳竹村、林昭珍、吳淑娟，2002）。因此，研究者認 為在本研究中所採用的多選方式會較貼近學生真實的等號概念，也能夠解 釋為何在陳嘉皇的研究中，運算型的學生比例會遠高於國內其他研究者的 比例甚多。
根據97課綱的內容，國小二年級學生必須要能夠建立等號兩邊數量相 等的概念，但是由昌秀英（2011）與許欣鳳（2012）的研究中不難發現，
由於國內課本的編排方式偏向於運算型的概念，因此國小二年級學童大約 都有將近五~六成的學生，對於等號意義的理解是無法達成此目標的。在 楊絮媛（2010）、陳嘉皇（2008）、潘亨足（2010）與研究者的研究中更可 以發現，即便學生到了國小中高年級，甚或是到了國中階段，仍舊有將近 五成的學生對於等號的意義無法達到完備成熟的狀態，也再次說明了學生 的等號概念不一定會隨著年級的增加而有所拓展。
研究者根據國內外學者的研究結果推測，學生對等號意義的發展是有 具有層次性的，首先是透過課程的編排建立「運算型」意義，若能夠適當 在教學情境中加入非典型等式的佈題與練習，便可以將學生的等號概念提 升為「等價關係」意義（Saenz-Ludlow & Waldgrave， 1998）。但是要能夠 順利提升學生的等號概念到「關係型」，其實會比「運算型」更具有困難 性（Warren， 2004），因此必須透過適當的教材與課程安排才能夠建立學 生正確且完備的等號概念，也才能建立學生多元解題策略與強化等號概念 的轉化（陳嘉皇，2008；姚如芬，2011；許欣鳳，2012）。