資料蒐集與分析

本研究以量化調查研究法為主，並依據研究目的以及實際需要進行資 料的蒐集與分析，其資料的蒐集方法與分析將如下所述：

一、量化資料的蒐集：

本研究中所採用的前測問卷：等號意義理解與等號概念認知測驗，是 依據本研究的研究目的，並參考 McNeil 和 Alibali（2005）、Knuth 等人

（2006）、陳嘉皇（2009）、謝闓如（2010）、昌秀英（2011）、許欣鳳（2012）

等國內外多位學者的相關研究並經由指導教授審閱後所編製而成。其前測 問卷調查的目的在於瞭解國中七年級學生的等號意義理解與等號認知概 念存在何種階段，以利研究者在後續的研究中可以依受試者不同的等號概 念加以探討其代數式的學習成就，與其一元一次代數式錯誤類型分析與等 號迷思概念。而在本研究中研究者為了減低受試者進行測驗時空間與時間 的誤差，因此，所選取的 660 位樣本學生都在統一的時間進行施測，而前 後測的施測時間均為 20 分鐘。

二、資料的分析

本研究中主要以調查研究法為主，因此在前測：等號意義理解與等號 概念認知測驗與後測：一元一次代數式錯誤類型分析與等號迷思概念資料 的分析上將採用描述性統計的方式，將國中七年級學生初步分類後，依照 其等號概念的發展不同，作前後測的百分比分析比較，並探討不同等號概 念的學生，在面對一元一次代數式時所可能產生的迷思概念與解題策略為 何。而研究最後一部份則欲探討不同等號概念的學生，在一元一次代數式 學習上的表現有何差異，此部分將利用獨立樣本ｔ考驗的結果作說明。爾 後將依序就測驗內容以及區分歸類標準作詳細說明：

（一）前測：等號意義理解與等號概念認知測驗 第一大題：對於等號「＝」意義的理解與認知

透過此部分的問卷測驗調查，希望能夠瞭解七年級學生對於等號意義 的理解與認知情形是處於「運算型」或「關係型」，此測驗主要參考學者 許欣鳳（2012）年所編製的測驗，內容如圖 3-4-1 所示：

圖 3-4-1 等號意義理解與認知測驗內容

在此測驗當中，選項ㄅ、ㄇ、ㄈ、ㄉ均代表著視等號為「運算型」意義，

另外選項ㄆ、ㄊ則意味著視等號為「等價」、「關係型」意義。若填答時只 選ㄅ、ㄇ、ㄈ、ㄉ或其中部分選項者，研究者將此類型學生定義為運算型 學生；若填答時選擇ㄅ、ㄇ、ㄈ、ㄉ與ㄆ、ㄊ其中部分選項時，則研究者 將此類型學生定義為過渡型學生；若填答時能夠選擇所有選項者，則研究 者將此類學生定義為關係型學生。

第二大題：非典型等式與等號基本性質的判斷

此部分試題設計是想瞭解學生在典型等式與非典型等式之判別情形 以及能否理解等號所具有的ㄧ些基本性質。在試題的設計上需要學生先行 判斷等式寫法是否正確，並選出其所認為的正確運算結果，總計共有 5 個小題。在問卷中 5 個小題皆採用非典型等式的類型佈題。在第 1、2 小 題當中「＝」左邊均為數字且「＝」右邊為一個運算的過程，題目如圖 3-4-2：

一、35＋47＝82 是一個加法算式， 其中「＝」是等號：

以下是「＝」所代表的可能意思，只要是你認為正確的，都可以在□中打「V」。

口ㄅ. 答案是… 口ㄆ. 左右兩邊相等 口ㄇ. 會得到…

口ㄈ. 連接 35＋47 與答案 82 口ㄉ. 結果是… 口ㄊ. 兩邊的數量一樣大

圖 3-4-2 非典型等式測驗內容

而第 3 小題則為等號本身自反性概念（即 A＝A 的型態），題目如圖 3-4-4：

圖 3-4-3 等號的自反性測驗內容

最後第 4 小題為等號對稱性的運算式，以及第 5 小題為等號的等價概念測 驗，希望學生能夠透過等價概念來進行判斷，而非總是固著於單純的運算 模式，其題目如圖 3-4-4：

圖 3-4-4 等號的對稱性與等價概念測驗內容

第三大題：等號意義理解與其在運算上的運用

此部分試題設計主要是為了要幫助研究者再次釐清學生的等號概念 到底是存在哪種階段，透過學生的答題模式可以瞭解學生在面對一個等式 時所採用的解題策略是屬於關係型策略或是運算型的策略，如圖 3-4-5：

1.( ) 48＝43＋5，這個算式正確嗎？

○1 錯誤，應該是 43＋5＝48 ○2 正確 ○3 錯誤，應該是 48－43＝5 2.( ) 32＝38－6，這個算式正確嗎？

○1 錯誤，應該是 38－6＝32 ○2 錯誤，應該是 38－32＝6 ○3 正確

3.( ) 36＝36，這個算式正確嗎？

○1 正確 ○2 錯誤，應該是 36－36＝0 ○3 錯誤，應該是 36＋0＝36

4.( ) 35＋15＝35＋15，這個算式正確嗎？

○1 錯誤，應該是 35＋15＝50 ○2 錯誤，應該是 35＋15＋15＝65 ○3 正確 ○4 錯誤，應該是 35＋15＋35＝85 5.( ) 7＋8＝12＋3，這個算式正確嗎？

○1 錯誤，應該是 7＋8＋3＝18 ○2 正確

○3 錯誤，應該是 7＋8＝15 ○4 錯誤，應該是 7＋8＋12＝27

四、老師出了一個題目：

36＋12＝35＋( )，請問( )裡的答案是多少？

有四個同學提出了自己的想法，哪些同學說法是正確的，請在□中「V」。

口 維維的想法：因為36＋12＝48，所以( )裡的答案是「48」

口 盛盛的想法：因為36＋12＋35＝83，所以( )裡的答案是「83」

口 琪琪的想法：因為36＋12＝48，所以35＋( )也是48，因此( )裡的 答案是「13」

口 佩佩的想法：因為36比35大1 ，所以12要比( )小1，等號兩邊才會 一樣大，因此( )裡的答案是「13」。

圖 3-4-5 不同等號概念的解題思維測驗內容

在本研究前測等號意義理解與等號概念認知問卷調查當中，第一大題 的施測目的是「瞭解樣本學生對等號意義的理解」，依據樣本學生在第一 大題的作答情況，研究者將樣本學生對等號意義的理解區分為「Ａ運算 型」、「Ｂ過渡型」及「Ｃ關係型」三種類型，而此分類法則是參考國內學 者陳嘉皇（2009）、謝闓如（2010）、許欣鳳（2012）在對國小學童作類似 等號概念測驗時所選用的分類標準。

在本研究當中，如果樣本學生在第一大題當中所勾選的答案未含有ㄆ 或ㄊ，且第二大題全部判斷錯誤或第二大題部分判斷錯誤且第四大題僅採 用琪琪運算型解題想法者，研究者將這些受試者歸類為「A 運算型」；倘 若樣本學生第一大題所勾選的答案含有ㄆ和ㄊ，且第二大題全部判斷正確 者，研究者則將其歸類為「Ｃ關係型」，其他樣本學生各種不同的答題狀 態則統一歸類為「Ｂ過渡型」。而在本次研究的前測問卷調查中，總計共 有 660 名樣本學生參與問卷調查，其填答的選項與等號概念對應之類型如 表 3-4-6 所示：

表 3-4-6 等號意義理解類型分類

（二）一元一次代數式錯誤類型分析與等號迷思概念：

第一大題：等號意義的認知與理解

在後測的第一大題當中，主要是參考前測第二大題的佈題方式，依據 學生在此大題的作答結果可觀察學生在學習完等量公理之後，其等號概念 是否能夠順利由運算型或過渡型拓展至關係型，如圖3-4-8所示：

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3+ x= 是一個x的一元一次方程式，請問在此方程式中，等於「＝」

所代表的意思有哪些是正確的?請在口中打勾「ｖ」

口3+7x的答案是… 口等號左右兩邊會相等 口3+7x會得到…

口3+7x的結果是… 口等號兩邊的值一樣大

圖 3-4-8 後測第一大題：等號的意義認知與理解

在本研究中，若樣本學生只勾選（1）3+7x的答案是…（2）3+7x會 得到…（3）3+7x的結果是…此三種選項或這三種選項其中一種，而不勾 選等號左右兩邊會相等或是不勾選等號兩邊的值一樣大，那麼在第二階段 當中研究者將其歸類為運算型學生，反之，若學生全部選項皆勾選時，則 在本研究中將定義為關係型的學生。在此大題中，研究者除了作百分比統 計外，也將觀察前測時運算型或過度型的學生是否能夠透過等量公理的學 習而拓展本身的等號概念至關係型。

第二大題：等號的迷思概念與誤用

在後測的第二大題當中，研究者利用教學現場所觀察到的學生迷思概 念佈題，透過這個題目，研究者希望能夠瞭解學生是否能真正理解等號左 右物件必須等價的概念，也希望觀察運算型學生是否因為等號概念的不完 全，而傾向於面對一個等式的時候總是認為一定要有一個最後的計算結 果，如圖3-4-9所示：

圖3-4-9 後測第二大題：等號的迷思概念與誤用測驗內容

此大題的佈題主要是對照前測第三大題的佈題方式，分別將典型等式 與非典型等式的概念融入，並加入等號自反性的題目為主要觀察項目之 一。此外，在第三大題的前 4 小題當中，研究者將觀察學生的等號出現時 機是否恰當，而 5 與 6 兩小題則是與觀察學生是否能夠理解等號左右在運 算過程中必須維持等價的概念。

（三）一元一次代數式學習成就測驗：

本研究最後一部份的一元一次代數式學習成就測驗為新新國中的數 學期末段考試卷，由數位專家教師所共同編纂。透過前測結果的分類，研 究者想利用獨立樣本ｔ檢定去探討運算型學生與關係型學生在一元一次 代數式學習時的學習成效，是否有顯著差異。

一、35＋47＝82 是一個加法算式， 其中「＝」是等號：

以下是「＝」所代表的可能意思，只要是你認為正確的，都可以在□中打「V」。

□ㄅ. 答案是… □ㄆ. 左右兩邊相等 □ㄇ. 會得到…

□ㄈ. 連接 35＋47 與答案 82 □ㄉ. 結果是… □ㄊ. 兩邊的數量一樣大