在研究者自編的等號概念理解與等號意義認知測驗中，研究者欲探討 不同等號概念的學生其解題思維模式的差異，因此設計了第三大題的題 目，題目內容如圖 4-2-4 所示：
圖 4-2-4 等號概念理解與等號意義認知測驗第三大題內容
在此大題當中，研究者主要想瞭解「運算型學生」與「關係型學生」在面 對一個非典型等式時所採用的解題策略分別為何？並想探究在第一大題 中被分類為關係型的學生是否能夠在解題的過程當中採用比較等號兩者 關係的想法來解題？而運算型的學生是否就會偏向採用計算結果的方式 來做解題策略？在本大題中，若只勾選琪琪說法者，研究者將其解題策略
三、老師出了一個題目： 36＋12＝35＋( )，請問( )裡的答案是多少？
有四個同學提出了自己的想法，哪些同學說法正確，請在□中「ˇ」。
□ 維維的想法：因為 36＋12＝48，所以( )裡的答案是「48」
□ 盛盛的想法：因為 36＋12＋35＝83，所以( )裡的答案是「83」
□ 琪琪的想法：因為 36＋12＝48，所以 35＋( )也是 48，因此( ) 裡的答案是「13」
□ 佩佩的想法：因為 36 比 35 大 1 ，所以 12 要比( )小 1，等號兩 邊才會一樣大，因此( )裡的答案是「13」。
規類於運算型思維，若有勾選佩佩說法者，研究者將其歸類於可採用等價
Franke ＆ Levi，2003）。也再次驗證了 NcNeil 和 Alibali（2006）的論點：
若在教材的編排與鋪陳中沒有強化等號的等價概念，那麼學生便會就自身
問題時有更多元化的解題思維，那麼在教學時就必須幫助學生發展等號的 等價意義才能擴充學生的等號對稱性與遞移性（古欣怡、林碧珍，2011）；
而在教學過程當中，也要顧及學生等號意義發展的層次性，透過適當的教 學引導以及討論過程，才能將學生的等號概念提升到「關係性層次」
（Saenz-Ludlow & Waldgrave，1998）。
令研究者好奇的是：在一般非典型等式中，不同等號概念的學生會有 不同的解題思維，其中運算型的學生有近八成所採用的解題策略是偏向於 計算出一個結果（do something），而關係型的學生則是分別有約三成的 學生會採用運算思維解題，有近七成的學生會採用等價思維解題，這引發
會造成等號前後的值不一致的狀態，因此研究者推斷這些學生多半都能夠
學生，總共有 171 位，其中運算型的學生佔了 104 位。這顯示運算型的學
第三節 不同等號概念對代數學習的影響
國外學者 Sfard（1991）曾在其研究中指出，當人類在思索一個抽象 的數學概念時會有兩種不同層次的面向出現，ㄧ個是運算層面的，另一個 則是結構層面的。因此，當研究者探究七年級學生的等號概念時，發現即 便經過等量公理的學習，仍舊有約三成的學生對於等號的概念停留在運算 型的階段，這更促使研究者想進一步瞭解不同等號概念的發展對七年級學 生在代數學習上的影響有多少。因此，在本研究最後一部份，研究者將利 用獨立樣本ｔ考驗去探討不同等號概念的學生在一元一次代數式學習成 果上所產生的差異，其結果如表 4-3-1 所示：
表 4-3-1 不同等號概念與代數學習成效的獨立樣本ｔ檢定結果 組別 人數 平均數 標準差 t 值 p 值 關係型學生 392 86.00 13.43
運算型學生 189 61.60 23.44 13.290 .000 從表 4-3-1 我們可以清楚的發現，不同等號概念的學生在一元一次代數 式的學習上有顯著的差異。這樣的研究結果與國外學者 Kieran（1989）
與 Vergnaud（1997）相互呼應：學生對於等號概念的學習與理解都將影 響往後他如何處理一個代數式，唯有擁有完整的等號概念，才能讓學生在 進入代數學習時有更多元的思維與解題方式。不約而同地，國外許多學者 Alibali、Knuth、Hattikudur、McNeil 和 Stephens（2007）也都認為代 數學習在數學教育中佔了不可或缺的重要角色，因此，如果學生對於等號 概念的理解有限，終將使其成為代數學習的絆腳石。