三角函數錯誤類型之研究 三角函數錯誤類型之研究 三角函數錯誤類型之研究 三角函數錯誤類型之研究

Browm & Burton (1978) 指出分析學生錯誤類型的過程對教師及學生皆有幫 助（陳忠雄，2003）。 Borasi (1987)提出教師藉由詳實的錯誤類型分析，可發現學 生的學習困難，並瞭解學生錯誤的可能原因是否是由於錯誤的思考過程或其他原 因所造成，而得到的診斷資料可作為設計補救教學時的參考依據，並針對學生的 問題作有效的矯治（陳忠雄，2003）。黃敏晃（1998）認為行為（包含由不是不

比較容易進行補救性教學（簡志明，2004）。而部分國中生的學習心態都是經由 練習再練習（drill and practice），然而太多練習加強了連結，卻忽略理解，這種情 況常發生在台灣的升學背景下，造成學生只背公式，不理會真正的意義（簡志明，

2004）。

所以 在此節中，整理了七篇有關三角函數錯誤類型之研究，並且將他們分 述如下。在本研究的最後，找到了九十四學年度入學高一學生的錯誤類型之後，

會與此節的內容作一比較，看看經過地區上與教育政策的不同，錯誤類型是否會 有所差異。

施盈蘭（1995）「五專生的三角函數學習現象」，廣義角三角函數概念方面的錯誤 類型有：

1. 多數學生對於廣義角的認識模糊不清，易受到思維經驗及典型的視覺心像影 響，而將坐標平面、象限、始邊的位置等非本質屬性納入廣義角的概念中 2. 在求值廣義三角函數的過程中，常易受到思維經驗中銳角三角函數定義的概

念心像影響，使得在利用教科書上的操作型定義圖解題目時，形成錯誤的程 序性知識

3. 對於三角的函數概念沒有很明確的認識，且易受到思維經驗的影響，產生知 識的負遷移（對新知識的學習起干擾或抑制作用）而進行錯誤的判斷或代數 運算。

表2-2-3 三角函數的錯誤類型 單元內容 錯誤概念類型

廣義角 圖形錯覺，由圖形誤導廣義角度數。

誤認一圈等於180 度，對於一圈 360 度做不當推論。

對於旋轉量的認知沒有深刻的體認，難以想像大於360 度的角度。

有向角方向錯誤或忽略始邊、終邊這些本質屬性所附與廣義角的意

義，將角度所涵蓋的象限當成有向角性質符號的判定依據。

學生對於同界角的概念非常模糊，傾向以幾何圖形判斷法。

角度的單位換算有問題。

銳角 三角函數

定義的理解不清楚。

三角形三邊長性質的誤用。

三角形邊角關係先備知識不足，對於圖形中呈現的直角三角形一律當 成所認知的特別角角度的三角形。

廣義 三角函數

定義的理解不清楚。

各三角函數值範圍錯誤。

代數性質的誤用：乘法性質的誤用、誤認三角函數具有線性性質、三 角函數的奇偶性質錯誤、三角函數的正負不會判斷。

廣義三角函數的求值解題策略偏愛使用代數記憶公式，但不是很符合 概念地學習公式，導致不能很正確地運用公式。

對於定義操作步驟的程序性知識亦不夠熟稔，求值時，易忽略有向線 段的性質符號，或是邊長的比例錯誤。

對於同界角三角函數，少從同界角的方向去判斷其值相等。

對於廣義三角函數定義的圖解步驟，步驟執行技巧不夠熟練，缺乏完 整的程序性知識。

對於三角函數的概念性知識不夠完備，自行綜合歸納，做過度的歸論 類化。

三角函數 的圖形

函數週期的定義概念不清楚。

三角函數的遞增與遞減不清楚。

三角函數的圖形與平移認識、對稱性概念、三角函數的週期與振幅性 質認識不清。

黃純杏（2001）「高中學生廣義角的三角函數運算錯誤概念類型之研究」，錯誤類 型有：

1. 廣義角部分的錯誤類型有：圖形錯覺、由圖形誤導廣義角度數、地理方向錯 誤、有向角方向錯誤、廣義角大小錯誤及數值計算錯誤。

2. 廣義角的三角函數部分的錯誤類型有：三角函數基本定義錯誤、三角函數值 錯誤、各三角函數值範圍錯誤與其他錯誤類型

錯誤原因有：

1. 因概念不清產生的錯誤：對廣義角定義不瞭解、廣義角與三角函數值定義混 淆，相似概念混淆產生錯誤、三角函數基本定義產生錯誤、三角函數值與角度 產生錯誤、三角函數關係式誤解用法、不瞭解三角函數符號。

2. 對圖形的錯覺：學生會將題目所附的圖形以自己的方式去分析。

3. 題目數字影響：學生將題目所給的數字，用自己認為合理的運算找出答案。

4. 受先前學習過的知識或本單元學習經驗影響作錯誤推論：學生會因為舊經驗 學習不夠熟悉容易遺忘，或是過度的依賴舊有經驗，而將其做不當或過度的 推論。如將一圈 360 度或者分配律作不當的推論、將題目與自己熟悉的三角 函數值聯想在一起、將三角函數值產生的基本運算看成與角度之度數產生的 基本運算性質一樣、誤認一圈為 180 度、常用的直角三角形邊長比例弄混淆 等。

5.誤譯語文：學生將數學問題原文轉譯成數學語言時所產生的錯誤。

6.其他錯誤：如粗心計算錯誤、拼湊答案等。

陳忠雄（2003）「高中學生三角函數概念學習錯誤類型研究」，研究結果發現學生 錯誤類型主要有下列六部份：

1. 三角函數與反三角函數定義的概念不清：三角函數與反三角函數的定義混 淆、不瞭解三角函數的定義域、不瞭解三角函數的值域、不瞭解反三角函數

的定義域。

2. 三角函數符號運用的概念不清：乘法性質的誤用、函數與反函數合成的誤用、

三角形三邊長性質的誤用。

3. 三角函數運算性質的概念錯誤：三角函數的遞增與遞減不清楚、三角函數的 平方關係不清楚、誤認三角函數具有線性性質、三角函數的正負不會判斷、

三角函數的奇偶性質錯誤、三角函數的疊合性不清楚、三角函數值相等的概 念不清。

4. 角度的基本性質概念不清：角度的單位換算有問題、同界角的認識不清 5. 三角函數的圖形概念不清：三角函數的圖形與平移認識不清、三角函數圖形

的對稱性概念不清。

6. 三角函數的週期與振幅概念不清：函數週期的定義概念不清、三角函數的週 期與振幅性質認識不清。

錯誤原因有：

1. 未能達成「概念的獲得」的錯誤概念原因有：對三角函數與反三角函數定義 的概念缺乏、三角函數的定義域概念缺乏、三角函數值域的概念缺乏、反三 角函數的定義域概念缺乏、角度的單位換算不清楚、同界角的概念缺乏、函 數週期的定義概念缺乏

2. 未能達到「概念的同化」的錯誤概念原因有：乘法性質的誤用、函數與反函 數合成的誤用、三角形三邊長性質的誤用、三角函數的遞增與遞減性概念缺 乏、三角函數的平方關係的概念缺乏、誤以為三角函數具有線性性質、三角 函數的正負號判斷錯誤、三角函數的奇偶性概念缺乏、三角函數的疊和性概 念缺乏、三角函數圖形與平移概念缺乏、三角函數圖形的對稱性概念缺乏、

三角函數的週期與振幅的概念缺乏。

簡志明（2004）「高一學生銳角及廣義角三角函數基本概念應用運算錯誤類型之 研究」，錯誤類型有：

1. 銳角三角函數：對定義不清楚、角度與邊長的對應關係為片段性的認知、無 理數運算過程出錯、解聯立方程式產生錯誤、對恆等式轉換不熟悉而產生誤 用、代數觀念薄弱，無法作答、沒有記憶 30^°—60^°—90^°三角形的三角函數 值、運算不完整。

2. 廣義角三角函數：對同界角、廣義角定義不清楚、角度的範圍無法使用不等 式表示、各象限角的三角函數值正負判斷錯誤、角度轉換錯誤、三角函數方 程式不會分解、象限角的三角函數值為錯誤值、不會查閱三角函數值表、運 算不完整。

賴潔芳（2004）「二階段評量應用在高中生三角函數學習成效之研究」，錯誤類型 有：弧度與函數值概念的錯誤概念、圖形概念的錯誤、正餘弦疊合概念的錯誤概 念、廣義三角函數的錯誤概念、三角函數的運算性質錯誤概念、反三角函數概念 的錯誤概念、角度單位換算的錯誤概念。

林依伊（2006）「反三角函數錯誤類型分析之研究」，研究中指出錯誤原因有：基 本概念知識不足、沒有能力運用適當的符號表徵溝通數學概念、憑直覺或關鍵字 做反應、未能檢核題目所需條件是否成立、對符號結構缺乏深層認識、先前不穩 固的學習造成知識的負遷移、用固定的思路與解題策略解決問題。

黃見益（2005）「中部地區高二學生複數極式之錯誤類型」，研究中指出在「將複 數化為極式及隸美弗定理的應用」的錯誤原因有：高一上學期時，對於虛數的概 念不清，導致於對複數的形式更無法接受；對於複數與高斯平面的一對一對應的 概念無法理解，導致於更不能接受複數有絕對值的概念；三角函數的學習情形不 佳，導致在化複數為極式時發生主幅角錯誤的情形；運算過程中發生邏輯推理不

正確的情形；計算錯誤；題意理解不清，導致誤用公式。

受測學生對於「複數絕對值、複數極式、隸美弗定理以及複數的 n 次方根」

的概念發展情形為：許多學生對於複數上只停留在高一所學之虛數 i 的概念，仍 然無法理解複數是由實部及虛部所組合而成的一個數系；學生的三角函數部份之 學習狀況不佳，對於三角函數在四個象限中的正負號仍然模糊不清；複數的引入 更無法接受，完全不能理解所代表的意義。

而將研究三角函數錯誤類型的七篇文獻，依其研究者、年份、論文名稱以及 所找到的研究對象分別如下：

˙施盈蘭（1995）「五專生的三角函數學習現象」。

˙黃純杏（2001）「高中學生廣義角的三角函數運算錯誤概念類型之研究」，研究 對象為台南的兩所國立高中，八個班，共311 位學生。

˙陳忠雄（2003）「高中學生三角函數概念學習錯誤類型研究」，研究對象為嘉義 的某高中，高二、高三各一個班，共78 位學生。

˙簡志明（2004）「高一學生銳角及廣義角三角函數基本概念應用運算錯誤類型 之研究」，研究對象為高雄某高中，高一，三個班級，共113 位學生。

˙賴潔芳（2004）「二階段評量應用在高中生三角函數學習成效之研究」，錯誤類 型的研究對象為台南某高中，高三學生，37 位學生。

˙林依伊（2006）「反三角函數錯誤類型分析之研究」，研究對象為台南某高中，

高一，共210 位學生。

˙黃見益（2005）「中部地區高二學生複數極式之錯誤類型」，研究對象為中部地 區某高中二年級，共95 人。

綜合他們提出的錯誤類型整理如下表。