1. 若 0
4.2.2 各校段考之錯誤題型 各校段考之錯誤題型 各校段考之錯誤題型 各校段考之錯誤題型
在後測中，我們探討了「銳角角度比較大小」、「三角函數的基本測量」、「三角函 數值的定義」、「象限角與函數的增減關係」、「反三角函數」、「三角函數的定義與 導數關係」、「廣義角求值」、「角度與弧度」、「三角函數的定義與和角公式」、「平 方關係」、「商數關係」、「三角函數的圖形」與「和差化積公式」，所以我們大膽 假設三角函數的基礎在後測的測驗中已經可以看出端倪。例如：「積化和差公式」
的結果應和「和差化積的公式」相差不遠。
但由於後測在出題時，範圍（以翰林課本為例）只延伸到反三角函數，後面 的範圍尚未有所涉獵，例如：「複數的極式」。而在反三角函數之前也有幾個單元 是跳過的，例如：「正弦函數」、「餘弦函數」、「倍角與半角關係」與「正餘弦函 數的疊合」。其中我們挑出「餘弦定理」、「正餘弦函數的疊合」與「複數的極式」
比較在學校期中考與期末考考卷中學生的學習效果。
在挑題中，我們僅考慮出題題型單一性的題目，避免在綜合性的考題中，增 加變數。並且在多選題中，以錯兩個或兩個以上選項的學生為錯，而全對與單錯 一個選項的學生為正確；在計算題中，若老師有部分給分，則以學生得到該題分 2/3 以上分數者為正確，反之為錯誤。所有的百分比都四捨五入至整數位。
●●
●●餘弦定理餘弦定理餘弦定理餘弦定理
˙大直、期中、填充題 9、10、12
9. 在△ABC 中，AB=3， AC =8， BC =7，求∠BAC 的度數=___________
12.在△ABC 中，若 D 在 BC 邊上，AC =5，AB=5，AD=4，BD=2，求 DC =________
˙成功、期中、計算題 2（3），期末、填充題 16
2. 在梯形 ABCD 中，已知AB// CD ，AB=11， BC =15， CD =25，AD=13（如 下圖）。請回答下列問題：
(1) 在 CD 邊上取一點 E 使得BE//AD，試求△BCE 的面積。
(2) 在 CD 邊上取一點 F 使得BF ⊥CD，試求BF的值。
(3) 試求梯形 ABCD 的對角線BD的長。
(4) 試求梯形 ABCD 的對角線 AC 的長。[提示：
利用BE//AD]
(5) 另兩對角線BD和 AC 的銳角交角為θ，試求 sinθ的值。[提示：利用梯形面積]
16. 坐標平面上，O 表原點，A（2，-5），B（3，4），求 sin（∠AOB）=___________
˙萬芳、期中、填充題 4、9、11(K)
4. 如右圖所示，△ABC 中，AC=8，BC=15，∠C=90°，且 CD⊥AB，求 cos∠BCD= (D)
（以數字表示，不可用線段。）
9. 已知△ABC 三邊長分別為AB=7 ㎝，BC=5 ㎝，
AC=3 ㎝，延長BC至 D，如右圖所示，使得CD=2，
則AD= (I) ㎝
11. 平行四邊形 ABCD 中，AB=1，對角線AC= 3 ，
∠B=60°，則∠ACB= (K) ;
△ABC 的外接圓半徑為 (L) ;另一對角線BD長= (M)
˙徐匯、期中、填充題 11（第 13 格）、12（第 14 格）
11. 設△ABC 中，AB=4，CA=2+2 3，∠A=30°，則BC的長度為 (13) 。
12. 設△ABC 之三邊長分別為AB=8， BC =5， AC =7，則
（1）△ABC 最小內角之餘弦的函數值為 (14) 。
（2）△ABC 的面積為= (15) 。
（3）△ABC 的內切圓半徑 r 為 (16) 。
（4）AB邊上的中線長= (17) 。
˙香山、期中、填充題 11(P)(Q)，期末、填充題 10
11. 圓之內接四邊形 ABCD 中，若AB=8， BC =4，CD=8，∠B=120°，
則AD= (P) ， AC = (Q) ，四邊形 ABCD 的面積= (R) 。 10. 坐標平面上，O（0，0），A（1，0），B（-4，3），θ=∠AOB，則 cosθ=___________。
餘弦定理的答對率綜合以以下表格表示：
表4-2-2 餘弦定理答對率
（大直，期中、99 人） 填充題9 填充題10 填充題12
答對人數 87 67 56
答對率 88% 68% 57%
（成功，期中、159 人） 計算題 2(3) （成功、期末、169） 填充題16
116 54
（萬芳，期中、139 人） 填充題4 填充題9 填充題11(K)
答對人數 75 70 112
答對率 54% 50% 81%
（徐匯，期中、99 人） 填充題11（第 13 格） 填充題12（第 14 格）
答對人數 20 20
答對率 20% 20%
（香山，期中、104 人） 填充題 11(P)(Q) （香山、期末、103 人） 填充題 10
答對人數 25 34 8
答對率 24% 33% 8%
綜合而論，各校至少有一題的答對率未達到60%。若將各校的題型視為難度 一樣，而將各校的答對率再總和平均後，得到的總平均率為47%，依此數據我們 可以說餘弦定理的應用對學生來說是稍微艱深的，屬於所要探討的錯誤題型之 一。
當中比較特別的是成功高中與香山高中，在期中考與期末考都有屬於餘弦定 理的考題出現，但是兩校期中考答對率卻都比期末考答對率來的高。所以可以推 測餘弦定理對學生而言難以內化，剛學到時，因為對它記憶猶新，遇到題目知道 如何應變，但是過了一陣子之後，再遇到類型的考題，因為並沒有內化所以卻不 知道如何應變。可見學生在學習像餘弦定理這樣的定理公式時大多流於死記、背 誦，而沒有真正的瞭解並加以內化。
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●
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●三角函數的疊合三角函數的疊合三角函數的疊合三角函數的疊合
˙大直、期末、計算題 14
14. 若 0≤x≤π，f(x)=1+cosx-sinx，求此函數的最大值與最小值，並求最大值與最 小值發生時所對應的 x 值。（提示：利用正餘弦的疊合）
˙成功、期末、選擇題 2，填充題 9
2. 設 n∈N，z1, z2均為複數，a,b∈R，下列敘述何者正確？(A)
2 ) 3 100
( π
=
− i
Arg
(B)|a+bi|= a2 +(bi)2 (C)(cosθ+isinθ)n =cosnθ+sinnθ (D)|z1⋅z2|=|z1|⋅|z2| (E)Arg(z1⋅z2)= Arg(z1)+Arg(z2) 9. f(x)=1+sin2x+4(sinx+cosx)，則 f(x)之最小值為___________
˙萬芳、期末、填充題 6、7、8，綜合題 3 6. 2 3 sin( 1 ) 4sin sin( )
y= x+6π − x=a x+α ，0≤α≤2π，a>0，則（a，α）=______。
7. y=4sinx+3cosx，若0 x≤ ≤π，y 的最大值 M，最小值 m，則（M，m）=______。
8. 0°<A<360°，且 3 sinA+cosA=2cos2006°，則 A＝______。
3. 設 f x( ) (sin= x+cos ) 6(sinx 2+ x+cos )x ，0≤ ≤x 2π，求 f x( )的最小值及此 時的 x 值。
˙六和、期末、選擇題 2，填充題 10
2. 若（4+3i）（cosθ+ isinθ）為小於 0 的實數，則θ是第幾象限角？（A）第一 象限角（B）第二象限角（C）第三象限角（）第四象限角（E）條件不足，
無法判斷。
10. （1）(cos130°+isin50 )(cos40° °+isin 220 )° = [ ]。
˙香山、期末、選擇題 2，填充題 11，計算題 1 2. f x x) 2cosx
cos(3 2 )
( = π − −
，x∈ ，則 f(x)的最大值為 R
(A)2 (B)1 (C)2 2 (D)-1 (E)-2 2
11.設 0≤x≤2π，則滿足cosx− 3sinx= 2的 x 值為___________。
1. 比較 p=sin21°+cos21°及 q=sin67°+cos67°的大小。
三角函數的疊合答對率綜合以下表格表示：
表4-2-3 三角函數的疊合之答對率
（大直，期末、98 人） 計算題14
答對人數 13
答對率 13%
（成功，期末、169 人） 選擇題2 填充題9
答對人數 118 60
答對率 70% 36%
（萬芳，期末、155 人） 填充題 6 填充題7 填充題8 綜合題3
答對人數 68 23 14 41
答對率 44% 15% 9% 26%
（六和，期末、170 人） 選擇題2 填充題10
答對人數 49 25 18
答對率 29% 15% 11%
（香山，期末、103 人） 選擇題2 填充題11 計算題1
答對人數 33 0 30
答對率 32% 0% 29%
綜合而論，除了成功的選擇題2 以外，各題的答對率均未達 40%，甚至達 40%者，只有萬芳的填充題 6，有六組數據甚至未達到 20%。若將各校的題型視 為難度一樣，而將各校的答對率再總和平均後，得到的總平均率為25%。依此數 據我們可以說三角函數的疊合對學生來說是太過於艱深的，屬於難以內化的題 型，亦屬於所要探討的錯誤題型之一。
●
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●複數的極式複數的極式複數的極式複數的極式
在複數的極式中，我們分討論了「複數的極式」、「複數的 n 次方根」以及「隸 美弗定理」，因為有些題目是必須要綜合用到這些觀念，所以將他們綜合在一起 討論。
˙大直、期末、選擇題 3，填充題 8，計算題 13 3. 如右圖，複數平面上 P（z ）1 ，Q（z ） 2
為單位圓（以原點為圓心）上的兩點，
且點 R，S， T，U，V 均在同一單位 圓上，則下列複數與點的對應，何者 必定不為真？___________
（A）R（z +1 z ) （B）S（2
2 1
z
z ） （C）T（z22）
（D）U（ 1 ） （E）V（z ×z ）
8. 若複數
6 10
) 3 (
) 1 (
i z i
−
= + ，則複數 z 的極坐標[r，θ]= ___________。
13. 求方程式x4 =8+8 3i的四個根。（提示：利用複數的極式）
˙成功、期末、選擇題 1、2，填充題 1、2、3
1. 方程式x5 =cos25°+isin25°的五個根的主幅角為θ1、θ2、θ 、3 θ4、θ 且5
θ1<θ2<θ <3 θ4<θ 則 5
(A) θ2=72° (B) θ4=216° (C)sinθj ≠0,j=1,2,3,4,5
(D)cosθ1+cosθ2+cosθ +cos3 θ4+cosθ =1 (E)sin5 θ1+sinθ2+sinθ +sin3 θ4+sinθ =0 5
2. 設 n∈N，z1, z2均為複數，a,b∈R，下列敘述何者正確？(A)
2 ) 3 100
( π
=
− i
Arg
(B)|a+bi|= a2+(bi)2 (C)(cosθ+isinθ)n =cosnθ+sinnθ (D)|z1⋅z2 |=|z1|⋅|z2| (E)Arg(z1⋅z2)= Arg(z1)+Arg(z2) 1. 化簡 )10
3 1 ( 1
i i
−
+ =___________
2. x2 =3−12 5i有 6 個根，此六個根在複數平面上對應的六個點所圍成的六邊 形，其面積為___________
3. 將 ° °
°
°
°
°
+
+ +
61 sin 61 cos
) 14 sin 14 (cos ) 5 sin 5
(cos 7 4
i
i
i 化為標準式___________
˙萬芳、期末、填充題 12、13、14，綜合題 2(1) 12. 求-3（sin27°+icos27°）的主幅角＝______。
13. w＝ π π 5 sin2 5
cos2 +i ，則(1-w)(1-w2)(1-w3)(1-w4)＝______。
14.
tan8 1
tan8 1
π π
i i
− +
之值＝______。
2. （1）求 64 的六次方根
（2）將此六個根畫在複數平面上，連接成一個六邊形求此六邊形的面積。
˙徐匯、期末、4、8、9
4. 求 5
4
) 10 sin 10 (cos
) 35 sin 35 (cos
° +
° +
°
°
i 之值
8. 設 Z = − 3+i，求 Z12 9. 設 ω = cos
5 2π
+ isin 5
2π ，求下列各值：
(a) ω30 + ω31 + ω32 + ……+ ω135 (b) (1 + ω) (1 + ω2) (1 + ω3) (1 + ω4)
˙六和、期末、選擇題 3，填充題 9、13、14
3. 設方程式x5=1的五個根為 1，ω ω ω ω， ， ， ，則（3-1 2 3 4 ω ）1（3-ω ）2（3-ω ）3（3-ω ）4 之值為（A）81（B）162（C）121（D）242。
9. 試求下列各複數之極式：
（1）−2 3 2i+ = [ ]。（2）4 4i− = [ ]。
（3）sin 40°−icos 40°= [ ]。
13. 試求 8
i 的立方根 [ ]。
14. 若z 1 1
+z = ，則 z = [ ]。 60
表4-2-4 複數的極式之答對率
（大直，期末、98 人） 選擇題3 填充題8 計算題13
答對人數 31 30 35
答對率 32% 31% 36%
（成功，期末、169 人） 選擇題 1 選擇題 2 填充題 1 填充題 2 填充題 3 答對人數 109 118 57 26 132
答對率 64% 70% 34% 15% 78%
（萬芳，期末、155 人） 填充題 12 填充題13 填充題14 綜合題 2(1)
答對人數 23 38 28 63
答對率 15% 25% 18% 41%
（徐匯，期末、97 人） 4 8 9
答對人數 40 35 19 10
答對率 41% 36% 20% 10%
（六和，期末、170 人） 選擇題 3 填充題9 填充題13 填充題 14 答對人數 82 79 87 38 3 56
答對率 48% 46% 51% 22% 2% 33%
綜合而論，除了成功的選擇題1、選擇題 2 以及填充題 3 以外，各題的答對 率均未超過50%，甚至達 50%者，只有六和的填充題 9(2)，其餘的十八組數據均 未達到50%。若將各校的題型視為難度一樣，而將各校的答對率再總和平均後，
得到的總平均率為35%，依此數據我們可以說複數的極式對學生來說是稍微艱深
的，屬於所要探討的錯誤題型之一。
若依此三個題型的平均率來說，三角函數的疊合的平均答對率較低，所以可 以說三角函數的疊合對學生來說較餘弦定理及複數的極式都更難以內化，教師在 教授該課題時，應多注意學生的學習情況，並多著墨些時間。
4.3 4.3 4.3
4.3 其他問卷之結果分析 其他問卷之結果分析 其他問卷之結果分析 其他問卷之結果分析
在上兩節分析完學生的所有試卷後，這一節所要探討的是高中教師訪談稿、大學 教授問卷與大學用書的分析，分別敘述如下：
4.3.1 4.3.1 4.3.1
4.3.1 高中教師訪 高中教師訪 高中教師訪談稿 高中教師訪 談稿 談稿 談稿
本小節中僅將二十位教師的訪談大綱，針對九年一貫實施前後的差異性大致整理 如下：
˙九年一貫實施後之意見
高中教師普遍認為在九年一貫實施後，學生在三角函數的學習成效普遍降 低，原因包括：思考能力下滑，無法靈活運用數學知識；語文能力薄弱，無法正 確解讀題目中的文字敘述；圖形概念缺乏，無法根據題意做出正確圖形；學習態 度被動；課後練習意願降低，遇到瓶頸容易自行放棄。
在課程綱要與教材的編寫上的意見：高中教師認為應適當刪除不必要的部 分，如：部分較為複雜的公式、反三角函數與複數的極式。而在大學入學考試試 題中，也應杜絕需要特殊技巧來解答的題型，以避免學生在學習上花費太多的時 間鑽研難題。
對九五暫綱的意見方面：對於九五暫綱所制訂的授課時數，高中教師普遍認 為太少，雖然內容已經簡化，但是三角函數課題仍需要在課堂上以多方面引導使 得學生理解其概念，並帶領學生做相當程度的練習，所以希望可以增加授課時
˙實施困難與策略方面
教學過程中，高中教師普遍認為學生時，並未建立對三角函數性質的基本知 識，延宕了高中三角函數學習的進度，也嚴重影響學生的學習成就。且相望教育 各單位針對課程實施所發生的問題，可以提出「整體」的改進措施，而不是以「補 救教學」來作為一個學習落差的修正。九年一貫的學生已出現程度的大幅落差，
希望可以恢復部分國、中小課程，以維持學生的數學能力。