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4.3.3

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4.3.3

˙三角函數變數變化與圖形的關係

此外，在第七章第七節剛開始的部分，有對反三角函數作詳盡的介紹。

關於以上有關三角函數的複習內容，與高中課程作比較，我們發現在高中課 程有教授而在此未提及到的有「三角函數的近似值與簡易測量」、「正弦定理」、「三 角測量」、「積與和差的互化」、「正餘弦函數之疊合」、「複數的極式」。在第二章 -極限與連續的內容裡，應用三角函數的圖形講解夾擠定理、極限值是否存在的情 形、函數圖形與漸近線的交會情形以及函數的連續情形。到了第三章第四節利用 正弦、餘弦函數的和角公式以及倒數關係求出三角函數的導數後，則直接利用這 些結果在爾後的章節中。學生在學習第三章到第十章有關微分、積分的原理、技 巧、應用、圓錐曲線及極坐標的過程裡，除了能夠懂得直接使用三角函數的導數 與反導數公式以外，三角函數的基本定義、平方關係、半角公式以及函數圖形也 需要相當熟練。

LARSON and EDWARDS (6E)

LARSON & EDWARDS 內容著重於微積分在商務、管理、生物、化學方面的應 用，從先備知識總複習、極限與連續至微分、積分的原理和應用以及多變數函數，

皆未曾提及三角函數，唯在第八章前面五小節整個獨立介紹三角函數的相關基本 內容，並始說明三角函數的微分、積分，章節標題如下：

第八章 三角函數 第一節 角度與弧度 第二節 基本三角函數 第三節 三角函數的圖形 第四節 三角函數的微分 第五節 三角函數的積分

其中所應用的三角函數大多為簡單的型態，習題中亦甚少出現複雜的三角函 數。而與高中課程作比較，我們發現在高中課程有教授而在此未提及到的有「三

角函數的近似值與簡易測量」、「正、餘弦定理」、「三角測量」、「積與和差的互化」、

「正餘弦函數之疊合」、「反三角函數」、「複數的極式」。

Instructor' s Solutions Manual Part 1 & Part 2

依照表 3-5-4 的檢核表，本研究做了兩份比較，一份是依照章節來分，看每一個 章節裡所提到的三角函數的部份倒底分布在檢核表的哪些地方，這樣可以看出每 一個章節裡大概著重在三角函數的哪些部份；另外一份比較是以跨章節來做比 較，看看整本微積分習題中哪些定義、公式或是觀念最常被使用到，甚至可以看 到同一個觀念中，有哪些章節同時有提到。

因為探討的是習題詳解本，它裡面並沒有題目的闡述，所以將其解題過程 中，運用到三角函數的每一題都挑出來，然後細看它用到哪些觀念再記載在檢核 表中。在討論的過程中以檢核表中「非其他」的部份為主要的探討，因為其他（三 角函數的微分與積分）的部份未涉及高中所教授的內容，所以下面的探討暫時不 探討其他的部份。

˙依章節比較

•第一章，第一章的內容主要是複習，開始出現有三角函數的題目是在第六節，

第六節皆是在復習高中學過的三角函數的觀念，所以幾乎涵蓋的所 有高中教過的三角函數觀念，但是反三角的觀念在這一章並未被提 及。

•第二章，第二章的內容是極限與連續，這一章的習題運用到三角函數的觀念 以圖形及其特性居多，有一題運用到餘弦與正弦的和角公式，將函 數簡化以利找到極限。

•第三章，第三章是討論微分，習題中僅有 4 題運用到平方關係，4 題運用到

•第四章，第四章是討論導函數的運用，運用到的有商數關係、三角形面積公 式、圖形及其特性、正弦的和角公式、正切函數的和差角公式與二 倍角公式，但題數都不多，運用這些觀念主要是在簡化解題過程。

•第五章，積分，運用到平方關係、圖形及其特性、正弦的差角公式與半角公 式。

•第六章，定積分的應用，運用到的觀念有倒數關係、平方關係、商數關係、

90^o和θ的關係、三角形面積公式、二倍角公式與半角公式。

•第七章，超越函數，運用了倒數關係、商數關係、餘弦的差角公式、二倍角 公式、反正弦函數、反餘弦函數與反正切函數；反三角函數在這正 式出現。

•第八章，積分的技巧，運用了倒數關係、商數關係、平方關係、餘角關係、

正弦的和差角公式、二倍角公式、半角公式、積化和差公式、反正 弦函數與反正切函數。

•第九章，積分的應用，這一章未提到任何高中所使用過的觀念，這一章的三 角函數題目也是相對的少。

•第十章，圓錐與極坐標，運用了銳角三角函數值的定義、倒數關係、平方關 係、餘角關係、廣義角的三角函數值、化（-θ）為θ的三角函數、

180∘和θ的角度關係、360∘和θ的角度關係、餘弦函數的和差角 公式、正弦函數的和差角公式、二倍角公式與半角公式。

•第十一章，無窮數列與級數，運用了商數關係、化（-θ）為θ的三角函數、

半角公式與積化和差公式，最特別的是這一章還應用到了高中三角 函數的最後一個單元複數的極式。

•第十二章，向量與空間中的解析幾何，這一章習題中出現的三角函數，在解 題的過程中沒有用到其他的三角函數觀念，反倒是應用了內積的定 義，這也是這本書裡面所有三角函數中唯一用到內積定義的部份。

•第十三章，運用到了商數關係、平方關係、扇型的弧長與面積、正弦函數的 差角公式與二倍角公式。

•第十四章，部份積分，運用到了平方關係、商數關係、正弦定理、餘弦定理 與二倍角公式。

•第十五章，重積分，倒數關係、商數關係、平方關係、正弦函數的和角公式 與半角公式。

•第十六章，向量場積分，平方關係、餘角關係、餘弦函數的差角公式、正弦 函數的差角公式、二倍角公式與半角公式。

所有的內容除了第一章第六節著重在三角函數公式的證明，以及三角函數 的應用外，剩下的章節大部分都是著重於三角函數的微分與積分，而高中所教授 的觀念，主要是在幫助題目的化簡以及答案的化簡。

˙跨章節比較

以跨章節來看，檢核表所列出了 42 個部份幾乎在微積分習題中都有應用 到。而應用最多的以「倒數關係」、「商數關係」、「平方關係」、「餘弦函數的差角 公式」、「三角函數的圖形及其特性」、「正弦函數的差角公式」、「正弦函數的和角 公式」、「二倍角公式」、「半角公式」與「反正切函數」。而未用到的單元有「利 用作圖法求三角函數值」、「如何使用三角函數值表」、「正弦定理與外接圓半徑」、

「和差化積公式」與「正餘弦函數的疊合」這五個部分。

所以可以看出如果在高中時期對三角函數很熟練的人，可以在解題的過程 中，比較容易得到理想的答案，對計算和解題的過程可以比較得心應手。

˙統計學

D. D. Wackerly and W. Mendenhall III & R. L. Scheaffer（6E）

2θ

sin 下的變化。

˙線性代數

Bernard Kolman and David R. Hill (7E)

在這本線性代數教科書中，運用到三角函數的地方主要為推導內積時所根據 的餘弦定理，介紹正交基底時所須參考的積化和差公式，以及旋轉矩陣所代入的 和角公式，習題部份偶有出現須要利用簡單的平方關係及倍角公式。所有用到的 觀念有：三角函數的定義、倍角關係、平方關係、餘弦定理、積化和差的公式與 和角公式等。

第 第

第 第5 55 5章 章 章 章 結論與建議 結論與建議 結論與建議 結論與建議

本章主要是以配合待答問題做出以下結論，並且對九年一貫提出建議，讓未來在 實施「九八課綱」與「十二年國教」時，可做為參考之意見，也希望可以當作高 中教師教授三角函數時的一項參考。

5.1 5.1 5.1

5.1 結論 結論 結論 結論

在此節中，欲將上章中的分析結果，做一簡單扼要的統整。

˙學生的錯誤類型：

九十四學年度的高一學生是九年一貫實施之後的第一屆高中生，在三角函 數方面的錯誤類型有：「三角函數的定義與倒數關係」、「三角函數的圖形」、「基 本三角測量」、「三角函數的定義與和角公式」、「象限角與函數的增減關係」、「平 方關係」、「和差化積公式」、「反三角函數」、「三角函數的定義應用」、「廣義角 求值」、「餘弦定理」、「三角函數的疊合」與「複數的極式」等。

在第二章中所探討的以往文獻錯誤類型中，是以黃純杏、陳忠雄、簡志明、

賴潔芳、林依伊與黃見益，這六篇論文為主，因為施盈蘭的主要探討對象為五專 生，與本研就研究對象相差甚多，所以以後五篇論文為主。在這五篇論文中，探 討區域皆在中、南部地區（嘉義、台南與高雄），且探討人數最多者為黃純杏的 311 位學生。而在以往文獻探討中的錯誤類型有：「三角函數的定義」（包括定義 域、值域、各象限角正負值、三角函數奇偶性等）；「平方關係」、「倒數關係」等 恆等式的轉換；「同界角」；「廣義角的定義」；「角度關係」（包含餘角關係、角度 與弧度、角度與邊長關係）；「特殊三角形的三角函數值」；「代數觀念太過於薄 弱」；「反三角函數」；「誤以為三角函數有線性關係」；「角度比較大小」（三角函 數的遞增與遞減）；「三角函數的疊合」；「三角函數的圖形」（包含振幅、週期、

平移、對稱）；「運算錯誤」；「角度範圍不會以不等式表示」與「查閱三角函數表」

等。

幾乎在大方向中，經本研究分析而得的錯誤類型與以往文獻上的錯誤類型大 致相同。以往文獻有而本研究沒有的為：「代數觀念過於薄弱」、「運算錯誤」、「誤 以為三角函數有線性關係」與「查閱三角函數表」等，但因本研究在錯誤類型方 面僅以試卷來作為分析資料，不像以往的研究，有對學生一對一的面談，所以在 運算方面並非本研究所探討的重點。本研究有而以往文獻沒有的錯誤類型有：「基 本三角測量」、「和積化差公式」、「三角函數的定義與和角公式」、「餘弦定理」與

「複數的極式」。

以下就本研究與以往論文作一概括整理。其中，賴潔芳的論文有實驗組與控 制組，最後再以不同學校的學生當成錯誤類型的樣本，本研究僅討論其錯誤類型 樣本的地區與人數。

表5-1-1 與以往文獻錯誤類型之比較

本研究

黃 純 杏

陳 忠 雄

簡 志 明

賴 潔 芳

林 依 伊

黃 見 益 地區 大台北地區、桃園、新竹 台南 嘉義 高雄 台南 台南 中部

學校數 6 2 1 1 1 1 1

年級 高一 高二 高二

高三

高一 高三 高一 高二

施測時間 95 90 92 93 93 94 94 人數 738 311 78 113 37 210 95 錯

誤 類 型

相 同

「三角函數的定義」（包括定義域、值域、各象限角正負值、三角函 數奇偶性等）；「平方關係」、「倒數關係」等恆等式的轉換；「同界角」；

「廣義角的定義」；「角度關係」（包含餘角關係、角度與弧度、角度 與邊長關係）；「特殊三角形的三角函數值」；「反三角函數」；「角度 比較大小」（三角函數的遞增與遞減）；「三角函數的疊合」；「三角函