1. 若 0
4.1.3 後測的錯誤類型 後測的錯誤類型 後測的錯誤類型- 後測的錯誤類型 -- -高低分組 高低分組 高低分組 高低分組
在這一節中，想要探討的是透過前測的三角函數基本性質相關題型，可以將學生 分類為提早接觸三角函數以及跟著學校進度接觸三角函數者，看看兩類的學生在 後測的表現是否有所差異。
˙前測的分類
在「三角函數學習現況調查研究試卷（前測）」中，有一部份的試卷是用來測驗 學生是否擁有三角函數的基本性質。當初在前測的發放時，是希望各班教師在教 導三角函數相關知識之前，以做一個學前測驗的方式，讓學生經過前測的考試之 後，再進行三角函數的相關教學。
所以，從前測三角函數基本性質試題中，可以看出哪些學生在學校教授三角 函數相關知識前，已具備有三角函數的基本性質相關知識，也就是先學過三角函 數且學會三角函數的相關基本知識。所以高分組即為先接觸三角函數且學會三角 函數者。
透過這方法，將學生進行分類。首先，將三角函數基本性質中的題目，以格 數為單位，共有 17 格，將每位學生的答對格數統計，並算出佔所有人數的百分 比（四捨五入至整數位）。如下表：
表4-1-17 前測之答對題數人數表
答對題數 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 人數 137 48 65 41 19 32 24 14 20 19 百分比（％） 19 7 9 6 3 4 3 2 3 3
答對題數 10 11 12 13 14 15 16 17 總計 人數 17 21 18 11 30 32 34 156 738
從上表總共有全錯與答對 1～17 格的人數表，從上表可以看出，全錯與全對 者所佔的人數最多，兩者百分比為 19％與 21％，也相當接近。依上表將試卷分 為三類，以答對題數為 0～4 者為一類，稱為前測低分組；答對題數為 13～17 者 為一類，稱為前測高分組；其餘中間族群則自為一類。所以前測低分組的總人數 有 310 人，佔總人數的 42％；而前測高分組的總人數有 263 人，佔總人數的 36％；中間族群有 165 人，佔總人數的 22％。上述分法的依據是，儘量將各分類 中所佔的題數切割為總題數的三分之一與維持高低分組的百分比儘量一致的情 形下，經過多次調整而決定的。
選定了前測高低組的分類方法後，再依照前測中高分組與低分組的學號，依 此學號將後測中的試卷亦分為高、低分組。例如：某校某班的 20 號同學在前測 之三角函數性質中，答對題數為 15 題，則該生屬於前測高分組學生，亦即該生 為在學校課程進度之前，已擁有三角函數基本性質的相關知識，則該生的後測試 卷歸類於高分組的試卷，以便與分類為前測低分組的試卷做比較。
˙高低分組的錯誤類型
將後測的試卷分類為高、低分組之後，與前兩小節的分法一致，來探討高、
低分組在後測的錯誤題型是否有所差異。以下列出高、低分組在後測的答對率，
與答對率四捨五入至整數位後未達 60％的錯誤題型。
高分組共有 263 人，在後測各題的答對率如下：
表4-1-18 後測答對率-高分組 選擇題選擇題
選擇題選擇題 測驗目標測驗目標測驗目標測驗目標 答對總人數答對總人數答對總人數答對總人數 答對百分比答對百分比 答對百分比答對百分比
1 銳角角度比較大小 210 80%
2 基本三角測量 138 52%
3 三角函數值的定義 223 85%
4 象限角與函數的增減關係 154 59%
5 193 73%
6
反三角函數
189 72%
填充題 填充題 填充題 填充題 題 題 題 題 號 號 號 號
小 小 小 小 題 題 題 題
測驗目標 測驗目標 測驗目標
測驗目標 答對總人數答對總人數答對總人數答對總人數 答對百分比答對百分比 答對百分比答對百分比
1 116 44%
1 2
三角函數的定義與倒數關係
63 24%
2 三角函數的定義應用 159 61%
1 221 84%
2 187 71%
3
3
廣義角求值
168 64%
4 角度與弧度 217 83%
1 157 60%
5 2
三角函數的定義與和角公式
113 43%
1 平方關係 218 83%
6
2 商數關係 214 81%
簡答題簡答題
簡答題簡答題 測驗目標測驗目標測驗目標測驗目標 答對總人數答對總人數答對總人數答對總人數 答對百分比答對百分比 答對百分比答對百分比
1 三角函數的圖形 74 28%
2 平方關係 166 63%
3 和差化積公式 158 60%
從高分組的後測答對率中，整理出答對率未達60％的題型如下：
表4-1-19 錯誤題型-高分組
百分比（低於60％） 題號 測驗目標
21%～30% 填充題1(2) 簡答題1
三角函數的定義與倒數關係 三角函數的圖形 40%～50% 填充題1(1)
填充題5(2)
三角函數的定義與倒數關係 三角函數的定義與和角公式 51%～60% 選擇題2
選擇題4 填充題5(1)
基本三角測量 象限角與函數的增減關係 三角函數的定義與和角公式 所以高分組未達60％的錯誤題數總共有七題，涵蓋六個測驗目標。
低分組的總人數為310 人，低分組在後測答對率的整理如下：
表4-1-20 後測答對率-低分組 選擇題選擇題
選擇題選擇題 測驗目標測驗目標測驗目標測驗目標 答對總人數答對總人數答對總人數答對總人數 答對百分比答對百分比 答對百分比答對百分比
1 銳角角度比較大小 209 67%
2 基本三角測量 101 33%
3 三角函數值的定義 216 70%
4 象限角與函數的增減關係 140 45%
5 164 53%
6
反三角函數
130 42%
填 填 填 填充題充題充題充題 題題 題題 號 號 號 號
小小 小小 題 題題 題
測驗目標 測驗目標 測驗目標
測驗目標 答對總人數答對總人數答對總人數答對總人數 答對百分比答對百分比 答對百分比答對百分比
1 77 25%
1 2
三角函數的定義與倒數關係
32 10%
2 三角函數的定義應用 162 52%
1 208 67%
2 180 58%
3
3
廣義角求值
150 48%
4 角度與弧度 218 70%
1 107 35%
5 2
三角函數的定義與和角公式
66 21%
1 平方關係 231 75%
6
2 商數關係 227 73%
簡答題 簡答題 簡答題
簡答題 測驗目標測驗目標測驗目標測驗目標 答對總人數答對總人數答對總人數答對總人數 答對百分比答對百分比 答對百分比答對百分比
1 三角函數的圖形 49 16%
2 平方關係 121 39%
3 和差化積公式 120 39%
從低分組的後測答對率中，整理出答對率未達60％的題型如下：
表4-1-21 錯誤題型-低分組
百分比（低於60％） 題號 測驗目標
11%～20% 填充題1(2) 簡答題1
三角函數的定義與倒數關係 三角函數的圖形 21%～30% 填充題1(1)
填充題5(2)
三角函數的定義與倒數關係 三角函數的定義與和角公式 31%～40% 選擇題2
填充題5(1) 簡答題2
基本三角測量 三角函數的定義與和角公式
平方關係
41%～50% 選擇題4 選擇題6 填充題3(3)
象限角與函數的增減關係 反三角函數 廣義角求值 51%～60% 選擇題5
填充題2 填充3(2)
反三角函數 三角函數的定義應用
廣義角求值 所以低分組未達60％的錯誤題數總共有十四題，涵蓋十個測驗目標。
將上述的高、低分組的錯誤類型表示為下表，以便可以更清晰的看出高、低 分組的錯誤類型差異：
表4-1-22 錯誤類型-高、低分組綜合比較
題號 測驗目標 高低分組
選擇題2 基本三角測量 高分組、低分組
選擇題4 象限角與函數的增減關係 高分組、低分組
選擇題5 反三角函數 低分組
選擇題6 反三角函數 低分組
填充題1(1) 三角函數的定義與倒數關係 高分組、低分組 填充題1(2) 三角函數的定義與倒數關係 高分組、低分組
填充題2 三角函數的定義應用 低分組
填充3(2) 廣義角求值 低分組
填充題3(3) 廣義角求值 低分組
填充題5(1) 三角函數的定義與和角公式 高分組、低分組 填充題5(2) 三角函數的定義與和角公式 高分組、低分組
簡答題1 三角函數的圖形 高分組、低分組
簡答題2 平方關係 低分組
簡答題3 和差化積公式 低分組
從上述的整理可以清楚的看出，在後測的錯誤題型表現中，高分組的學生明 顯的表現比低分組的學生好，僅有錯誤題數僅有七題，較低分組的十四題少，且 高分組的錯誤類型均涵蓋在低分組的錯誤類型當中，所以可以明顯看到高分組的 學生表現的較低分組的學生好。
高分組較低分組表現較好的題型有：選擇題的第五、六題，屬於反三角函數 系列的題目；填充題第二題，屬於三角函數的定義應用題型；填充題的第三題，
屬於廣義角求值的題型；簡答題第二題，屬於平方關係的題型；簡答題第三題，
屬於和差化積公式應用的題型。上述所有題目皆被涵蓋於全體的錯誤題型當中，
所以在此不再贅述。
4.1.4 4.1.4 4.1.4
4.1.4 高 高 高、 高 、 、 、低分組的學習成效 低分組的學習成效 低分組的學習成效 低分組的學習成效
在 4.1.3 高、低分組的錯誤題型中，可以清楚的看出高分組的學生在學期末的表 現比低分組的學生較好，在此，以另外的三個方式來看高、低分組的學生在學期 末時的學習成效是否真的有所差異。三個方式分述如下。
●高、低分組在後測答對題數之比較
在這一部分中，主要是將後測總共 20 格的試卷中，一一計算高、低分組的學生 在這 20 格中各自答對了幾格，來作為判別高、低分組學習差異的方法。之後再 將高、低分組學生依各校區分，探討各校高、低分組學生在後測答對數上的表現。
所以以下分成以全體學生以及各校學生來探討。
˙全體學生
在全體學生中，高分組學生佔了 263 人，低分組學生佔了 310 人。在後測共有 20 格的試卷中，答對的題數與百分比四捨五入至整數位後分別表列如下：
表4-1-23 後測答對題數-高分組
答對題數 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 人數 2 5 5 4 7 8 10 6 7 8 17 百分比（％） 1 2 2 2 3 3 4 2 3 3 6 答對題數 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 總計 人數 15 18 18 19 21 16 29 21 16 11 263 百分比（％） 6 7 7 7 8 6 11 8 6 4
表4-1-24 後測答對題數-低分組
答對題數 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 人數 7 13 13 17 12 16 26 26 14 14 15 百分比（％） 2 4 4 5 4 5 8 8 5 5 5 答對題數 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 總計 人數 22 15 22 14 21 13 14 9 5 2 310 百分比（％） 7 5 7 5 7 4 5 3 2 1
並將上述百分比繪成折線圖，看看兩組答對題數是否有明顯的差異。
圖4-1-1 高、低分組後測答對題數折線圖-全體
高分組與低分組答對題數折線圖
0 2 4 6 8 10 12
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 答對總題數
百分比 高分組
低分組
在上圖中，因為中間部分可能會有猜測等不確定因素影響，所以避開中間部 分不看，僅看左端（答對總題數較少）與右端（答對總題數較多）的圖形，可以 看出高分組學生在後測答對題數上，答對九題以下的人數百分比明顯比低分組的 低，但是在答對題數十三題以上的人數明顯比低分組的多，此圖亦可說明出高分 組的學生在後測的表現上明顯比低分組的學生較好。
˙各校學生
在高、低分組裡，各校所佔人數如下表：
表4-1-25 高、低分組-各校人數表
大直大直 大直大直 成功成功 成功成功 萬芳萬芳萬芳萬芳 徐匯徐匯徐匯徐匯 六和六和六和六和 香山香山香山香山 總計總計總計總計 高分組高分組高分組
高分組 38 85 45 45 22 28 263 低分組
低分組低分組
低分組 34 50 76 6 122 22 310
依照上表中的各校人數，與計算全體後測答對題數相同之方法，整理出各校 之答對題數的人數與百分比，並將其繪成折線圖；在此僅列出各校之折線圖來作 為比較的依據。各校之折線圖如下。
圖4-1-2 高、低分組後測答對題數折線圖-大直
大直
0 5 10 15 20 25
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
百分比 高分組
低分組