第四章 研究結果與討論
第二節 不同集群學生代數概念結構圖之異同
研究者依據模糊集群理論，利用FCUT軟體(林原宏，2003)，以10−5、 25
.
=1
q 為收斂標準，進行分群。
壹、四年級受試者
依據模糊集群理論，分割係數越大、分割亂度越小，表示所選的集群數 較佳。表4-2-1為四年級不同群數之分割係數與分割亂度，所以本研究將四年 級全體受試學生分成二群時，是最佳分群方式。
表 4-2-1 四年級不同群數之分割係數與分割亂度四年級不同群數之分割係數與分割亂度四年級不同群數之分割係數與分割亂度四年級不同群數之分割係數與分割亂度
群數 分割係數 分割亂度
2 .97021 .050683
3 .922282 .130805
4 .906448 .160514
5 .86671 .228869
6 .864048 .244241
7 .850975 .26811
8 .842795 .289763
表4-2-2為四年級二群學生人數。第一群學生人數206人，第二群學生人數 503人，合計共709人。
表 4-2-2 四年級二四年級二四年級二四年級二群學生人數群學生人數群學生人數群學生人數 群 別 人 數
第一群 206 第二群 503 合 計 709
表4-2-3為四年級二群學生概念通過率，圖4-2-1為四年級二群學生概念通 過率表現之差異，由圖4-2-1可以看出第二群學生在各個概念的作答情形普遍 比第一群學生良好，各個概念的通過率也比較高。
一、概念通過率分析
(一)第一群學生的概念通過率只有概念A41高於.5，概念A42、概念A43、概念A44
皆低於.5，顯示此群學生在代數所有概念都應該要再加強。
(二)第二群學生的概念通過率皆高於.5，概念A41更高於.8，顯示該群學生精熟
此概念，概念A43仍是通過率最低的概念，顯示各群學生對於此概念都有 待加強。
表 4-2-3 四年級二四年級二四年級二四年級二群學生群學生群學生概念通過率群學生概念通過率概念通過率 概念通過率 概念編號 第一群 第二群
A41 .51 .84
A42 .44 .76
A43 .27 .65
A44 .32 .70
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
1 2 3 4
第一群 第二群
圖 圖
圖圖 4-2-1 四年級二群學生概念通過率表現之差異 二、概念次序性分析
接著再利用PIRS軟體繪製出兩群學生之概念結構圖，圖4-2-2為四年級第 一群學生概念結構圖，圖4-2-3為四年級第二群學生概念結構圖，並比較不同 群學生代數概念結構圖之異同，其中箭頭指向代表兩個概念具有次序性關係。
(一)由四年級二群學生的概念結構圖共同比較來看，概念A43的難度較高，概
念A41的難度較低。
(二)由圖4-2-2顯示，概念A41是概念A43和概念A44的先備條件(precondition)；概 念A42是概念A43和概念A44的先備條件；概念A44是概念A43的先備條件。針 對此群學生進行補救教學時，若能先確定學生已經學會概念A41，再進行 概念A43的補救教學，應可有較佳教學成效與學習效能。
A41 A42 A43 A44 概念 通過率
(三)由圖4-2-3顯示，概念A41和概念A42互為等價關係；概念A41是概念A43和概 念A44的先備條件；概念A42是概念A43和概念A44的先備條件；概念A44是概 念A43的先備條件。針對此群學生進行補救教學時，若能先確定學生已經 學會概念A41和概念A42，再進行概念A43的補救教學，應可有較佳教學成效 與學習效能。
圖 圖
圖圖 4-2-2 四年級第一群學生概念結構圖 註：
1. 代表概念A41，通過率為.51。
2. 代表概念A42，通過率為.44。
3. 代表概念A43，通過率為.27。
4. 代表概念A44，通過率為.32。
5. 圖中的箭號表示兩個概念間有次序性關係。
圖 圖
圖圖 4-2-3 四年級第二群學生概念結構圖 註：
1. 代表概念A41，通過率為.84。
2. 代表概念A42，通過率為.76。
3. 代表概念A43，通過率為.65。
4. 代表概念A44，通過率為.70。
5. 圖中的箭號表示兩個概念間有次序性關係。
貳、五年級受試者
依據模糊集群理論，分割係數越大、分割亂度越小，表示所選的集群數 較佳。表4-2-4為五年級不同群數之分割係數與分割亂度，所以本研究將五年 級全體受試學生分成二群時，是最佳分群方式。
表 4-2-4 五年級不同群數之分割係數與分割亂度五年級不同群數之分割係數與分割亂度五年級不同群數之分割係數與分割亂度五年級不同群數之分割係數與分割亂度
群數 分割係數 分割亂度
2 .939131 .10363
3 .895679 .17843
4 .849432 .25987
5 .824742 .31607
6 .813924 .34949
7 .795855 .38726
8 .783962 .41549
表4-2-5為五年級二群學生人數。第一群學生人數329人，第二群學生人數 376人，合計共705人。
表 4-2-5 五年級二五年級二五年級二五年級二群學生人數群學生人數群學生人數群學生人數 群 別 人 數
第一群 329 第二群 376 合 計 705
表4-2-6為五年級二群學生概念通過率，圖4-2-4為五年級二群學生概念通 過率表現之差異，由圖4-2-4可以看出第二群學生在各個概念的作答情形普遍 比第一群學生良好，各個概念的通過率也比較高。
一、概念通過率分析
(一)第一群學生的概念通過率皆低於.5，顯示此群學生在代數所有概念都應該 要再加強。
(二)第二群學生的概念通過率皆高於.5，但仍低於.8，顯示該群學生在代數所 有概念的精熟度比第一群學生好，但仍有待加強，概念A54是通過率最低 的概念，顯示各群學生對於此概念都有待加強。
表 4-2-6 五年級二五年級二五年級二五年級二群學生群學生群學生概念通過率群學生概念通過率概念通過率 概念通過率 概念編號 第一群 第二群
A51 .48 .71
A52 .31 .62
A53 .34 .66
A54 .32 .53
A55 .41 .76
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
1 2 3 4 5
第一群 第二群
圖 圖
圖圖 4-2-4 五年級二群學生概念通過率表現之差異
接著再利用PIRS軟體繪製出兩群學生之概念結構圖，圖4-2-5為五年級第 一群學生概念結構圖，圖4-2-6為五年級第二群學生概念結構圖，並比較不同 群學生代數概念結構圖之異同，其中箭頭指向代表兩個概念具有次序性關係。
二、概念次序性分析
(一)由五年級二群學生的概念結構圖共同比較來看，概念A52、概念A54的難度
皆較高，概念A51、概念A55的難度皆較低。對第一群學生來說，概念A54
難度稍高於概念A52，但就第二群學生來說，概念A52反倒難度稍高於概念 A54。
(二)由圖4-2-5顯示，概念A51是概念A52、概念A53、概念A54的先備條件；概念 A52和概念A54互為等價關係，概念A51和概念A53是概念A52的先備條件；概
通過率
A51 A52 A53 A54 A55 概念
念A54的先備條件有概念A51、概念A53、概念A55；概念A51和概念A55沒有關 聯。針對此群學生進行補救教學時，若能先確定學生已經學會概念A51和 概念A55，再進行概念A52及概念A54的補救教學，應可有較佳教學成效與學 習效能。
(三)由圖4-2-6顯示，概念A51和概念A55互為等價關係，概念A51是概念A52、概 念A53、概念A54的先備條件；概念A55和概念A53互為等價關係，概念A55是 概念A52的先備條件；概念A54的先備條件有概念A51、概念A52、概念A53。 針對此群學生進行補救教學時，若能先確定學生已經學會概念A51和概念 A55，再進行概念A54的補救教學，應可有較佳教學成效與學習效能。
圖 圖
圖圖 4-2-5 五年級第一群學生概念結構圖 註：
1. 代表概念A51，通過率為.48。
2. 代表概念A52，通過率為.31。
3. 代表概念A53，通過率為.34。
4. 代表概念A54，通過率為.32。
5. 代表概念A55，通過率為.41
6. 圖中的箭號表示兩個概念間有次序性關係。
圖 圖
圖圖 4-2-6 五年級第二群學生概念結構圖 註：
1. 代表概念A51，通過率為.71。
2. 代表概念A52，通過率為.62。
3. 代表概念A53，通過率為.66。
4. 代表概念A54，通過率為.53。
5. 代表概念A55，通過率為.76
6. 圖中的箭號表示兩個概念間有次序性關係。