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多元計分試題關聯結構與模糊集群在國小學生代數概念之探討

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Academic year: 2021

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國立臺中教育大學數學教育系

國立臺中教育大學數學教育系

國立臺中教育大學數學教育系

國立臺中教育大學數學教育系

國民小學教師在職進修教學碩士學位班碩士論文

國民小學教師在職進修教學碩士學位班碩士論文

國民小學教師在職進修教學碩士學位班碩士論文

國民小學教師在職進修教學碩士學位班碩士論文

指導教授

指導教授

指導教授

指導教授:

:林原宏

林原宏

林原宏

林原宏

博士

博士

博士

博士

多元計分試題關

多元計分試題關

多元計分試題關

多元計分試題關聯

聯結構

結構

結構

結構與模糊集群在

與模糊集群在

與模糊集群在

與模糊集群在

國小學生代數概念

國小學生代數概念

國小學生代數概念

國小學生代數概念之探討

之探討

之探討

之探討

研究生

研究生

研究生

研究生:

:吳純欣

吳純欣

吳純欣

吳純欣

 

 年

(2)

摘要

摘要

摘要

摘要

本研究旨在應用多元計分試題關聯結構與模糊集群,探討國小四、五年 級學生數學領域之代數概念結構。本研究以國小四、五年級各709、705名學 生為研究對象,根據九年一貫課程代數主題四、五年級之分年細目,自編評 量工具,再根據模糊集群理論將學生分為二群,並採用多元計分試題關聯結 構進行分析,繪製出各群學生的概念結構圖,探討不同集群學生概念結構圖 之差異性,研究結果臚列如下: 一、全體受試學生的代數概念較無次序性,難以提供教師較有效率的補救教 學策略。 二、從分群後之不同集群學生的概念結構圖,可以看出同一集群學生的概念 通過率、概念次序性、最精熟概念與最困難概念。 三、不同集群學生的概念結構圖不盡相同,應有不同的補救教學策略,才能 讓學生在教學過程中適性地學習。 本研究提出的方法,供教師利用施測的資料,能有效掌握各群學生的概 念結構,藉此作為規劃補救教學活動與課程教學設計之參考。 關鍵字:代數、模糊集群、多元計分試題關聯結構

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Abstract

The purpose of this study is to integrate fuzzy clustering and polytomous item relational structure on algebra concept for pupils. The subjects include 709 and 705 students from fourth graders and fifth graders respectively. The assessment tool is a self-designed algebraic concepts test according to the mathematics content in Grade 1-9 Curriculum. Firstly, fuzzy clustering is adopted to classify all students into two groups based on similarity coefficient. Secondly, the researcher adopts PIRS (Polytomous Item Relational Structure) to analyze the knowledge structures of students respective to these two groups. These knowledge structure graphs will reveal the cognitive information of students. Through the procedures of the analysis, the following conclusions were found.

1. The overall student's algebra concept provides no ordering relationship and it is hard to help remedial instruction.

2. According to the results of clustering, each cluster reveals its specific item difficulty, item ordering and those concepts of mastery and difficulty.

3. Each cluster has its own concept structure graph. Therefore, there should be different teaching strategy and remedial instruction for each cluster.

As shown in the results, the method of this study could help teacher understand concept structures of students. This information could be the references for remedial instruction and curriculum design. Finally, some recommendations and suggestions for future research are discussed.

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目錄

目錄

目錄

目錄

第一章 緒論………1

第一節 研究動機………..1 第二節 研究目的………..3 第三節 名詞釋義...3

第二章 文獻探討………5

第一節 九年一貫代數概念及其相關研究………..5 第二節 模糊理論………12 第三節 知識結構分析法...………20 第四節 多元計分試題關聯結構..………...40

第三章 研究方法………...47

第一節 研究架構……...………...47 第二節 研究對象……...………...48 第三節 研究工具……...………...49 第四節 資料分析……...……….63

第四章 研究結果與討論………...65

第一節 代數概念結構圖之分析………...………..65 第二節 不同集群學生代數概念結構圖之異同………...…….68

第五章 結論與建議………...79

第一節 結論……...79 第二節 建議……...80

參考文獻………...83

壹、中文部分………83 貳、英文部分………89

附 錄………...95

附錄一 四年級試題內容………95 附錄二 五年級試題內容………..………..99

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表目錄

表目錄

表目錄

表目錄

表 2-1-1 國內外學者對代數意義的看法………...6 表 2-3-1 網路一和網路二的PFC指數之計算………30 表 2-3-2 三個網路中部分結點的圖形理論距離值………...…30 表 2-4-1 試題關聯結構試題i和試題 j的答題人數比率…………...…...40 表 2-4-2 多元計分試題關聯結構試題i和試題 j的答題人數比率……...43 表 3-2-1 各縣市不同學校之不同年級的受試者人數……….…...49 表 3-3-1 國小四、五年級代數主題分年細目的概念編號與內容………...50 表 3-3-2 國小四年級代數主題分年細目的試題概念屬性矩陣……...……51 表 3-3-3 國小五年級代數主題分年細目的試題概念屬性矩陣……...……52 表 3-3-4 各縣市不同學校之不同年級的預試受試者人數…………...……53 表 3-3-5 國小四年級預試施測工具分析………...54 表 3-3-6 國小四年級預試施測工具修正………...55 表 3-3-7 國小五年級預試施測工具分析………...57 表 3-3-8 國小五年級預試施測工具修正………...58 表 3-3-9 國小四年級正式施測工具分析………...61 表 3-3-10 國小五年級正式施測工具分析………...62 表 4-2-1 四年級不同群數之分割係數與分割亂度………...69 表 4-2-2 四年級二群學生人數………...69 表 4-2-3 四年級二群學生概念通過率………...70 表 4-2-4 五年級不同群數之分割係數與分割亂度………...73 表 4-2-5 五年級二群學生人數………...73 表 4-2-6 五年級二群學生概念通過率………...74

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圖目錄

圖目錄

圖目錄

圖目錄

圖 2-3-1 ISM圖的繪製………..………..22 圖 2-3-2 血液的概念構圖………...24 圖 2-3-3 光合作用的文章、圖示和概念構圖……….………..26 圖 2-3-4 三位受試者之知識網路結構圖………...29 圖 2-3-5 網路一的接近性矩陣……….…..31 圖 2-3-6 網路二的接近性矩陣……….…..31 圖 2-3-7 三題試題和二個認知屬性的關聯矩陣………...…34 圖 2-3-8 五道數學題目的Hasse圖……….38 圖 3-1-1 研究架構圖………..………….47 圖 3-1-2 研究流程圖………..….48 圖 4-1-1 四年級全體受試學生的概念結構圖………..……….66 圖 4-1-2 五年級全體受試學生的概念結構圖………..……….67 圖 4-2-1 四年級二群學生概念通過率表現之差異………...70 圖 4-2-2 四年級第一群學生概念結構圖………...71 圖 4-2-3 四年級第二群學生概念結構圖………...72 圖 4-2-4 五年級二群學生概念通過率表現之差異………..………….74 圖 4-2-5 五年級第一群學生概念結構圖………..….76 圖 4-2-6 五年級第二群學生概念結構圖………..….77

(7)

第一章 緒論

本章就本研究之背景與動機進行敘述,並以此說明本研究之重要性,接 著闡述本研究的研究目的,並對相關名詞做明確的的釋義。

第一節 研究動機

民國 82 年版的國小數學課程標準中,代數概念被包含在數與量概念的探 討裡,沒有另立主題,直到學生進入國中就學後,代數才成為學習的主題之 一。民國 92 年國民中小學九年一貫課程正式綱要公布之後,算術學習仍為課 程的主題,但已將代數獨立出來另立主題,目的是希望能幫助學童發展解題 策略,培養學生的抽象思考能力(莊舜如,2006)。不過,由於算術的學習仍然 是國小數學學習的主體,所以在解題策略的發展上,應儘量讓學生做多方探 索,避免讓代數工具過早抑制學生的想像力(教育部,2003)。因此,在國小的 代數主題中的學習都已併入數與量的教學中,而不獨立為特別的教學單元。 從兩個版本的課程標準演變,可以看出代數在數學領域中的重要性。 國小的代數課程是由算術轉變為正式代數的轉換時期(黃寶彰,2003),從 算數轉換到代數之學習,最主要的困難是學習辨認新的數學物件(Vergnaud, 1997) 。學生不只要做新符號的運算,同時還需要了解未知數、方程式、變 數等新的概念,再加上學生採取直觀方式(intuitive methods)解決算術問題的習 慣,對於代數和算術之間符號意義與用法辨識不清,因而無法順利地從算術

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轉換到代數(Kieran, 1992)。由此可知,學生學習代數主題時,容易產生哪些 困難以及老師該如何幫助學生解決這些困難是值得深入探究的。

在量化的研究中,針對知識結構的分析方法相當多,例如:次序理論

(ordering theory)、概念構圖(concept mapping)、徑路搜尋法(pathfinder)、試題

關 聯 結 構 (item relational structure, 簡 稱 IRS) 、 詮 釋 結 構 模 式 (interpretive

structural modeling, 簡稱ISM) 和規則空間(rule space)等,其中IRS為M. Takeya (1980)所提出,用來分析試題之間的層次關係,藉以瞭解受試學生的概念架

構,不過IRS分析法中的元素關係僅限於二元關係,只能繪製試題間的概念結 構圖,使其在應用上大受限制,因此,Lin, Bart, and Huang (2006)擴展了原來 的IRS,提出多元計分試題關聯結構(polytomous item relational structure, 簡稱

PIRS),可針對多元的資料加以分析,以期能更適切的呈現受試學生的概念結 構圖。 一般的教師在教完一個段落後 會以評量的方式瞭解學生的學習狀況,但 老師往往只看到學生的成績表現,卻不知道學生的錯誤概念為何,補救教學 是在教師診斷落後學生學習困難處之後,提供對症下藥的教學策略,幫助落 後學生解決學習上的困難。然而在有限的時間與人力下,老師無法針對個人 的問題給予適當的課業輔導,只能選擇以同一種方法進行全班性的補救教 學,落後學生的進步空間實在有限。所以本研究提出模糊集群(fuzzy clustering) 來當成分群的方法,嘗試以學生的作答反應組型來當成分群的依據,藉此將

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屬於同一類型的學生形成同一集群,以方便教學者針對不同類型的學生實施 適性教學(adaptive instruction),從而達成因材施教的目的。 基於上述,本研究旨在以代數概念為主題,以國小四、五年級學生為施 測對象,依據民國92年公布的九年一貫代數四、五年級分年細目為指標,自 編評量工具,評量後的結果運用模糊集群將學生分群,並運用多元計分試題 關聯結構探討學生的代數概念結構。

第二節 研究目的

基於上述研究動機,本研究之目的列舉如下: 一、探討國小四、五年級學生代數概念的多元計分試題關聯結構圖特徵。 二、利用模糊集群方法分群,分析國小四、五年級不同集群學生代數概念的 多元計分試題關聯結構圖之異同。

第三節 名詞釋義

針對本研究所涉及之相關名詞的界定與說明如下: 一、代數概念 本研究所指的代數概念是以民國92年公布的國民中小學九年一貫課程綱 要數學領域中,以國小四、五年級代數主題之分年細目為範圍,其中四年級 部分包含4個分年細目、五年級部分包含5個分年細目。

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二、模糊理論 模糊理論是由L. A. Zadeh於1965年所提出的理論,其將元素和集合之間 的關係以模糊集合A表示為: A =       = n i x x u i i A ,..., 2 , 1 ) ( ,其中xi為元素,uA(xi) 為元素xi隸屬於模糊集合A的隸屬度(membership) ,以介於[0,1]之間的隸屬度 描述元素屬於模糊集合的程度。其可將人類思維和概念之過渡邊界以數學方 式表達及運算;另一方面也擴展了不確定性(uncertainty)的現象,將隨機性所 無法表達的另一種稱之為模糊性(fuzziness)的不確定性呈現出來(楊敏生、劉曼 君,1996)。 三、模糊集群 結合模糊理論與傳統集群分析兩種概念,即為模糊集群。在模糊集群中, 以隸屬度為決定元素之間距離的重要因素,模糊集群的方法有很多,由於本 研究屬於大樣本,故選用目標函數法(objective function),又稱Fuzzy c-means

(FCM)之集群分析。將相似程度高的元素視為同一集群,不同集群間的相似

程度低。

四、多元計分試題關聯結構

M. Takeya 於1980年提出二元計分試題關聯結構(item relational structure,

簡稱IRS),由於IRS受限於二元計分的限制,故Lin et al. (2006)將其擴展為多 元計分試題關聯結構(polytomous item relational structure, 簡稱PIRS)。

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第二章 文獻探討

本章根據本研究所涉及之相關理論與文獻進行探討,共分四節。第一節 為九年一貫代數概念及其相關研究;第二節為模糊理論;第三節為知識結構 分析法;第四節為多元計分試題關聯結構。茲分述如下:

第一節 九年一貫代數概念及其相關研究

壹、代數概念

數學家兼數學史家Cajori (1859-1930)曾經說過:「要探索算術的最好方 法,就是研究代數。」代數在數學史上的發展,已經將近四千年的歷史,早 在公元300年,Diophantus這位後人尊稱為代數之父的希臘數學家,便建立了 使用未知數符號作為運算工具的思考模式。從字面上來看,「代數」帶有「以 符號代表數」的意思,然而在教學上,我們所要關心的是:學生為何需要有 運用文字符號來代替數字的思維?這個答案我們必須從「代數」的英文名稱 「algebra」來探討,「algebra」這個字的前身「Al-jabr」源自於阿拉伯文,出 現在阿拉伯數學家Khwârizmi寫的書籍中,其本義為「還原或對消」的科學, 由此可知,在代數發展之初,以符號代表已定的待解數只是一個工具,主要 的還是藉由對消來達到還原「符號所代之數」的目的(謝佳叡,2003)。 至於何謂代數概念?國內外學者各有不同的看法,而其所詮釋之意義也 不盡相同,茲將其相關文獻整理如表2-1-1:

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表 2-1-1 國內外學者國內外學者國內外學者國內外學者對代數意義的看法對代數意義的看法對代數意義的看法對代數意義的看法 學者 年代 代數之意義 Kieran 1992 代數是一種符號化的系統,經歷以下三個階段: (1)文辭化的階段 (2)縮寫化的階段 (3)符號化的階段。 Carter, Eatherly, Johnston 1992 代數令人聯想到文字及符號,它是由數字、運算和變 數 (variable)所組成的數學語言。 Sfard 1995 代數本身包含以下兩個重要主題: (1)以符號來表徵的代數式 (2)解題的運算方法 項武義 1995 代數是在算術過程中,「數」和「運算」的基礎上有系 統的發展出來。 Linchevski 1995 代數課程應包含以下五個主題: (1)算式和代數算式的簡化 (2)算式和代數算式的通則化 (3)數量結構 (4)等式 (5)文字題 羅浩源 1997 代數是根據算術的四則運算和整數的特點,使得引入 符號或代號的算式能夠得以簡化和歸類。 Usiskin 1988 1999 代數是一種語言,具備以下四個概念: (1)代數是歸納的算術 (2)代數是解決特定問題相關步驟的研究 (3)代數是關於數量關係的研究 (4)代數是關於數學結構的研究。 Kaye, Mollie 2000 代數主要用來描述已知量與未知量之間的關係,再透 過一連串等價關係的推論,即可得到答案。 廖瓊菁 2001 代數概念是由以下三個概念組織而成: (1)數概念 (2)文字符號概念 (3)符號表徵的運算概念。

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綜合以上看法,代數是建立在「數」和「運算」的基礎上,利用符號表 徵來進行運算,也是可以將算式簡化的數學語言。

貳、九年一貫課程之代數概念

數學之所以被納入國民教育的基礎課程,有三個重要的原因:(1)數學是 人類最重要的資產之一。(2)數學是一種語言。(3)數學是人類天賦本能的延 伸。九年一貫課程強調以學習者為主體,以知識的完整面為教育的主軸,以 終身學習為教育的目標,除了數學知識外,演算能力、抽象能力及推論能力 的培養是整個數學教育的主軸。能力指標是依主題與階段的學習能力而訂 定,由階段能力指標演繹出更細緻的分年細目及詮釋,能力指標、分年細目 與分年細目詮釋之內容,應為教師教學的主要參考依據。數學領域將九年國 民教育區分為四個階段,另將數學內容分為「數與量」、「幾何」、「代數」、 「統計與機率」、「連結」等五大主題,以下針對「國小代數」此主題加以 說明。 在民國82年版的「國小數學課程標準」中,代數的題材比較少,較容易 造成學生進入國中後學習的不適應。在民國94年版綱要修訂在國小高年級部 分,加入一些題材:包括運用未知數做數學表示式、理解等量公理等,希望 能協助銜接國中的代數教學。 由於算術的學習仍然是國小數學學習的主體,所以在解題策略的發展 上,應儘量讓學生做多方探索,避免讓代數工具過早抑制學生的想像力。因

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此國小的代數主題,幾乎都是為了國中的代數學做前置鋪陳,關於四則運算 符號與性質的指標,都只是檢查性的指標,在教學與課本的安排上,應併入 數與量的教學中,不該獨立成特別的教學單元。 教育部九年一貫課程綱要(2003)中指出國小代數題材安排有五項特色,說 明如下: 一、 能理解常用算術符號的使用方式,並用來列出日常問題的算式,以進行 解題。例:關係符號如:=, < , >; 運算符號如:+, -, ×, ÷; 未知數 符號如:□, 甲, 乙, x, y。 二、 從最基本的加減問題開始,詳細安排兩步驟至多步驟的教學次序,並依 序安排四則運算規律的教學,從整數到分數、小數,在具體情境中,瞭 解各基本運算之性質,並應用於不同教學目標的教學。例:加法交換律、 結合律、乘法交換律、結合律、乘法對加法的分配律。加減互逆、乘除 互逆。=, < , >的遞移律。 三、 從最基本的加減問題開始,到四則混合計算,讓學生最後能獨立於生活 與具體情境,在形式與程序上,流暢進行整數計算,其中包括併式演算 的能力,並活用運算律於簡化計算。橫式演算與運算律都是國中代數符 號演算的重要基礎。 四、 協助發展對數學問題之解題策略。例:代入法、加減互逆、乘除互逆, 反向思考解題、比例推理解題、比值解題,更複雜之混合策略解題(如

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傳統應用問題)。 五、 能理解等量公理:當等號左右兩邊相等時,於等號兩邊各加、減、乘或 除以同一個數(不可同時除以0),等號兩邊仍會維持相等。

參、代數概念之相關研究

Simon (1980)在其研究中,發現學生缺乏「了解代數是如何結合數學的關 係式,解得一個特殊解」這個概念,當題目取材自現實生活情境中,學生似 乎無法就現實世界的狀況來思考,只把它按照代數解題步驟進行機械式的運 算。文字符號的使用是代數學習的基礎,Kuchemann (1981)以3000名國中生為 研究對象,探討代數學習成就,研究結果指出學生如果能完全了解文字符號 的意義,則與後續學習(如:方程式、應用問題等)的成就有高度正相關。 Kieran (1992)指出學生在代數學習的主要迷思概念,一是對等號意義尚停 留在算術階段的「得到」;另一則為對未知數的認知,將符號當成一個特定 的物性或標誌。Kieran (1998)以研究中的七年級學生為訪談對象,研究結果指 出使用算術解法(using undoing operation)的學生較難理解要在等號兩邊進行 相同運算的概念,而使用代數解法(using forward operation)的學生較易理解要 在等號兩邊進行相同運算的概念。

Saenz-Ludlow and Walgamuth (1998)兩人以三年級學生為研究對象,研究

結果指出學生原先認為等號是一個掌控算術運算的執行命令,而在教學一年 後,學生已較能理解等號是比較兩個數量的關係符號。Booth (1988)的研究結

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果指出部分中學生在學習某些未知數概念的學習困難原因,可能源自於在國 小學習代數時過度重視算術過程和運算法則。

代數課程內涵的選擇影響學生推理過程「歸納」和「形式化」的發展。

Blanton and Kaput (2005)認為,促進學生代數發展,需遵守以下法則:(1)能夠

提升運用數字和數感的作業,做為代數推理的事物。(2)包含計算順序的作業 並與學生的算術銜接。(3)需要能夠促進行動所允許的作業,以及學生熟悉的 狀態。 袁媛(1993)以國中一年級學生為研究對象,研究結果指出不同認知層次的 學生,對於把文字符號「當作一般化的數字」和「當作變數」均感到相當困 難,另也發現不同認知層次的學生,其代數文字題的解題能力有顯著差異。 王佳文(1995)以國小六年級的學生為研究對象,自編以認知成分為測驗編製基 礎單位的計算題,研究結果指出各成分中以「a-□=b」與「a÷□=b」這兩 類的難度較高。林敏雪(1997)以國中二年級的學生為研究對象,研究結果指出 能理解題意中的數量關係是首要步驟,而能以文字表示未知的數量關係,更 是直接影響到方程式的正確性。 戴文賓(1998)以國中一年級的學生為研究對象,研究結果指出將方程式問 題情境化,以生活故事描述題目中的數量關係,有助於學生理解未知數的意 義及解題的程序。廖瓊菁(2001)以國小六年級的學生為研究對象,自編等量公 理代數教材進行教學實驗,研究結果指出等量公理的代數教學在以等量公理

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解「□+a=b」、「□-a=b」、「□×a=b」、「□÷a=b」、「a+□=b」、 「a×□=b」等六種題型時,比傳統代數教材有教學成效,但對於以等量公理 解「a-□=b」與「a÷□=b」這兩類題型上則未有明顯的教學成效,有待改 進。謝和秀(2001) 以國中一年級的學生為研究對象,研究結果指出不同智商 等級之學生在「文字當作一般化數字」及「文字符號當作變數」二層次上均 出現極大的困難而沒有顯著差異,學生在文字符號概念的主要錯誤型態以不 了解文字符號在題目中所代表的意義為主,以及對算術和代數運算規則的混 淆和過度類推造成。 黃寶彰(2002)以六、七年級的學生為研究對象,研究結果指出學生能夠歸 納出已知數值的關係,代入題目中來解決問題,但無法接受答案含有未知數, 如 12+g , 學 生 對 於 文 字 符 號 合 併 的 學 習 也 有 困 難 , 出 現 如 5a+2a=7aa 、 3a+5b=8ab之類的錯誤。陳嘉皇(2007)以國小三年級的學生為研究對象,研究 結果指出大多數三年級學生在代數推理解題前測的表現不盡理想,呈現出對 等價關係意義理解產生困難,同時對符號所代表的數量大小混淆,致使列式 與計算步驟錯誤,透過合適的課程設計與教師適切的教學導引,學生能從合 宜的代數問題或情境中,表現出更為優異的推理解題能力。陳彥廷與柳賢 (2009)以國中一年級的學生為研究對象,運用「測驗」與「語意流程圖晤談」 兩種管道進行研究,研究結果指出高層次學生大多發展出對文字符號代表「一 般數」類別的理解,低層次學生則大多只發展出對文字符號代表「特定數」

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類別的理解。 綜觀上述文獻,往昔有關代數的研究大部分著重於代數的某一概念進行 認知層面的探討,或以傳統晤談的方式來分析,以分年細目指標為單位的認 知診斷之分析甚少見諸於文獻,因此本研究自編試卷,試題內容涵蓋四、五 年級代數分年細目,期望進行整體性的分析,能對分年細目所涵蓋之概念間 的結構關係有更完整的了解。

第二節 模糊理論

壹、模糊理論

「模糊」一詞乃是指「不分明」、「不明確」、「界線不清」之意(九章 出版社編輯部,1989)。由於人類本身的個體性、主觀及情感世界的不確定性, 因而在思考或推理問題時,常常產生許多不確定性,不自覺地使用了模糊數 學之原理和方法(藎壚,1991)。 模糊理論是由L. A. Zadeh 於1965年提出的一種定量表達工具,用來表達 某些無法明確定義的模糊概念,尤其是在表現人類語言特有的模糊現象方 面,有良好的成果(闕頌廉,1994)。模糊理論有別於古典數學的二元邏輯(非0 即1)集合論,認為元素和集合的關係可以用介於 0 和 1 之間的隸屬值來表 示,將一事件正反可能的變數加以處理而獲得最接近真實的答案,更能解釋 許多實務現象(林原宏,2001,2005a;簡茂發、劉湘川,1992)。模糊理論為

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何會被廣泛地研究且成功地應用在多種領域上的主要的原因有兩點,一是其 簡單性,另一則是它帶動了人類科學思想的革新。傳統科學的宗旨是精益求 精,模糊理論則使科學研究裡原本確定、精準的部分仍歸於確定與精準,但 是本身具有模糊特質的部分卻也能還其模糊本色,使得模糊現象本身所蘊函 的資訊能夠全然地被擷取。另一方面,模糊理論也軟化了人機介面,使得人 工智慧及類神經網路得到更合理的解決。近年來,市面上不少所謂標榜Fuzzy 的家電產品,雖然有些是言過其實,但是不可否認的,其如同一股旋風,橫 掃整個家電市場,模糊理論不只是理論,更是實用的標誌(胡平夷、張亦妤、 陶虹沅、林麗華,2006;楊敏生,1994)。 模糊理論將元素與集合之間的關係,以介於[0,1]之間的隸屬度來描述, 以下為模糊理論的兩種定義。 一、模糊集合定義

令U 表示全域(universal set),µ為一函數,即µ:U →[0,1],則U 之模糊

子集 A的隸屬函數記為µA(x),表示元素x隸屬於模糊集合 A的程度。而且: (一) 在離散(discrete)的情況下,模糊集合 A 可表示成: A = 1 1) ( x x A µ 2 2) ( x x A µ +…+ n n A x x ) ( µ 其中的「+」號並不是連加的意思,而是表示模糊集合中的元素x與其隸 屬函數記為µA(x)對應關係的總括。

(20)

(二) 在連續(continuous)的情況下,模糊集合 A 可表示成: A =

∈U x A x x) ( µ 二、截集定義 (一) 模糊子集 A 的α截集定義為: A =α

{

xµA(x)≥α

}

,0≤α ≤1 (二) A 的α截集的隸屬度函數µAα(x)為: µAα(x)=    < ≥ α µ α µ ) ( , 0 ) ( , 1 x x A A

貳、模糊關係矩陣與模糊截矩陣

一、模糊關係矩陣

模糊關係矩陣(fuzzy relation matrix)用以描述兩集合元素的關係程度。假

設集合X 有 m 個元素且集合Y 有 n 個元素,則兩集合元素x 和i y 之間的關係j 程度可用模糊關係矩陣 R =(rij)m×n來表示。 其中r =ij uR(xi,yj):X×Y →[0,1] 即 R =(rij)m×n=             mn m m m n n r r r r r r r r r r r r L M M L L 3 2 1 2 23 22 21 1 13 12 11 其中 0≤rij ≤1 , ∀ i=1,2,L,m j=1,2,L,n

二、模糊關係截矩陣

在給定

α

值之情形下,可進行模糊關係矩陣之截矩陣運算。亦即: α R =(rij )m×n α 且 rijα=     < ≥

α

α

ij ij r r , 0 , 1 ,其中0≤α ≤1

(21)

參、模糊集群

Zadeh (1965)提出模糊理論,使元素和集合的關係不再是傳統的二分法, 而是以隸屬度表示之,隸屬度為介於[0,1]之間的實數值,用明確的數字,來 描述元素屬於模糊集合的程度。 集群分析(cluster analysis)又稱聚類分析,是一種數值分析方法,可將群 體中具有相似特性的族群歸併在一起;在同一組資料中,找出數個聚類中心, 將資料分成數個合適的聚落,使分在相同分割區塊內的資料相關性較強,不 同分割區塊內的資料相關性較弱(吳柏林,2005)。集群分析與傳統分類方法不 同之處,在於傳統分類法的分類準則是事先決定的,而集群分析則是按照自 然類別(nature grouping),將分佈於某一計量空間的點予以分類,其目的是希 望集群內的元素同質性高,而集群間的元素異質性高。集群分析依目的不同, 主要區分為「階層集群方法(hierarchical clustering method)」和「非階層集群 方法(non-hierarchical clustering method)」(林邦傑,1981; Lin and Hung, 2007)。

結合模糊理論與集群分析兩種概念,即為模糊集群。在模糊集群中,隸 屬度為決定元素之間距離的重要因素。模糊集群的方法有很多,本研究以模 糊集群進行樣本之分析,屬於大樣本資料,選擇「目標函數法」進行分群, 說明如下(Bezdek, 1981): 目 標 函 數 法 可 描 述 每 位 個 體 的 隸 屬 度 , 是 非 線 性 最 佳 化 (non-linear optimality)的數學規劃方法。假設有N位分析個體,以n=1,2,3,…,N 表示,每

(22)

位個體有M個變項,以m=1,2,3,…,M 表示,則已知的資料矩陣呈現如下:

[ ]

nm N M NM N N M iM x x x x x x x x x x X = ×             = ... ... ... 2 1 2 22 21 12 11 M M M M 在C個集群(C ≥2)下,目標函數所估計的個體隸屬度矩陣U和各類別之中心矩 陣V分別為:

[ ]

cn C N cN c c n n u u u u u u u u u u U = ×             = ... ... ... 2 1 2 22 12 1 12 11 M M M M

[ ]

cm C M cM c c M M v v v v v v v v v v V = ×             = ... ... ... 2 1 2 22 12 1 12 11 M M M M 定義一個目標函數有數種方式,不同的目標函數會衍生出不同的模糊集 群,基本的目標函數定義如下(Bezdek, 1981):

(

)

∑∑

= = = N n C c q cn q U V u d c n J 1 1 2 ) , ( ) ( , ,其中:

= − = M m cm nm v x n c d 1 2 2 ) ( ) , ( 上述定義中,q值代表模糊分割的加權程度,q值越大則分割越模糊,q值 越小則分割越明確(Zimmermann, 1991),經驗上q值取q

[

1.25,5

]

較佳。使用 Lagrange’s multipliers的方法,求目標函數Jq

(

U,V

)

的極小值,令:

∑∑

∑∑

= = = = = = = = =       − +       − =       − + = N n C c cn n N n C c M m cm nm q cn N n C c cn n N n C c q cn u v x u u n c d u F 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 ) 1 ( ) ( ) ( ) 1 ( ) , ( ) ( λ λ 針對參數進行篇為分求極值,可得:

(23)

[

2( )

]

2 ( ) ( ) 0 ) ( 0 ) , ( ) ( 0 1 ) ( 1 1 2 1 1 ≡ − − = − − = ∂ ∂ ≡ + = ∂ ∂ ≡ − = ∂ ∂

= = − = cm nm N n q cn N n cm nm q cn cm n q cn cn C c cn n v x u v x u v F n c d u q u F u F λ λ 由上述三個方程式得參數u 、cn vcm的關係式為:

= − = − = = −             −             − =       = C l q M m lm nm q M m cm nm c l q cn v x v x c l d n c d u 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 2 ) ( 1 ) ( 1 ) , ( ) , ( 1

= = = N n q cn N n nm q cn cm u x u v 1 1 ) ( ) ( ) ( 若

= = − M m cm nm v x 1 2 0 ) ( ,則ucn =1且uc′n =0,∀c′≠c

決定初始值(initial value)和收斂標準ε後,經過相互迭代法(iteration)迭代

u 、cn vcm收斂,最後得到的隸屬度矩陣U 和類別中心矩陣V 即為所求(林原

宏,2005)。目標函數得到的極小值可能是局部極小值(local minimum),因此 可考慮不同的初始值來估計參數。以上是在知道集群數為 C 的情況進行,至 於集群數的選擇,本研究根據使用較廣的分割係數(partition coefficient)和分割

(24)

亂度(partition entropy)這兩個指標作為參考依據,以決定集群數。在實際應用 時,分割係數越大、分割亂度越小,表示所選的集群數較佳(Bezdek, 1981), 分割係數和分割亂度的說明如下: 一、分割係數

∑∑

= = = N n C c cn u N C U F 1 1 2 ) ( 1 ) ; ( 此數值的範圍是1 ≤F(U;C)≤1 C ,但在實際應用中,當其較大值時,為較 佳的分割數。 二、分割亂度

∑∑

= = ≠ ∀ − = N n cn C c cn cn u u u N C U H 1 1 0 , ) ln( 1 ) ; ( 此數值的範圍是0≤H(U;C)≤ln(C),但在實際應用中,當其較小值時, 為較佳的分割數。

肆、模糊集群在心理計量之相關研究

張鈿富、孫慶珉(1993)以模糊理論系統為基礎,比較傳統評量方法與模糊 評量方法應用在學習成就評量上的差異,並以模糊綜合學習評量來探討學習 成就模糊分析之可能性,研究結果指出模糊分析的學習評量較能具體地呈現 學生學習成就,以及學生個別差異的情況。 林原宏(2005a)提出模糊取向詮釋結構模式分析法,改進傳統詮釋結構模

(25)

式受限於二元關係的限制,應用模糊理論截矩陣(α-cut)和察覺模糊邏輯模式 (fuzzy logic model of perception, FLMP),分析高年級學生分數減法概念結構。

黃秀玉(2008)以國小低年級學生為研究對象,結合模糊集群與廣義多元計 分次序理論,以縱貫研究(longitudinal research)探討國小低年級學生在整數加 減法各類型文字題的解題表現、所隸屬的集群,以及所有受試學生與各集群 學生,在四個類別知識結構跨時間的變化情形,各群學生的知識結構特性以 及其知識結構之差異情形,研究結果指出各群學生的知識結構特性,以及其 知識結構之差異情形,可供教師做為診斷之依據和教材編製與補救教學之參 考。 朱國明(2001)採用隸屬度的觀念,發展新的模糊集群分析方法來建構市場 區隔,再利用模糊產品區隔與建商資源整合觀念發展產品分類評估模式,並 透過線上分析系統以提供建商能快速的回應市場的變動,以作為建設公司推 案產品之規劃及評估之依據,透過模式可分析不同產品組群之差異及結構狀 況,研究結果指出該研究所發展的新模糊集群分析方法,不但可以真正表現 出市場的原貌與內涵;亦可測試出消費者的忠誠度問題。 綜觀上述文獻,模糊集群運用的層面極廣,且能將資料作適當的分群, 是目前很常使用的分群方法。所以本研究嘗試以模糊集群分析方法進行研究 對象分群,藉由適當分群,將相似的樣本歸為同一群,探討各群概念結構之 差異,進行PIRS圖之繪製與分析,提供教學者在補救教學上之參考。

(26)

第三節 知識結構分析法

知識結構與認知結構是教育心理學的兩個基本概念,也是建構有效課堂 教學的兩個重要因素,在學習過程中,兩者以相輔相成、相互促進的方式活 動著。對於「學習過程」普遍的定義是新知識和先前知識的融合,造成先前 知識的修正和知識結構的改變。學生習得知識後,他的知識結構較接近專家 的知識結構,因此教學者若能掌握學生的知識結構,則可以瞭解學生思考的 過程以及找出學生的迷思概念,幫助學生建立接近專家的知識結構。 但知識結構是任何人也看不到的,因此利用適當方法,來描繪人的知識 結構,乃是近年來認知心理學者相當感興趣的問題。知識結構的測量方法很 多,本節簡單介紹以下幾種知識結構分析法:詮釋結構模式、概念構圖、徑 路搜尋法、規則空間、知識空間。

壹、詮釋結構模式

詮釋結構模式(interpretive structural modeling, 簡稱 ISM)為 J. N. Warfield 於 1976 年所提出,原為一種社會系統工學(social system engineering)彙整訊息 的建模方法,1987 年由佐藤隆博運用於教育上,運用圖形理論,協助教學者 將抽象的教材元素轉為具體的的階層圖形。 一、ISM 圖的繪製 假設欲分析的系統內有 K 個概念,以

( )

K K ij a A= × 表示其中任意兩概念Ai

(27)

Aj的二元關係。若aij =1,表示A 從屬於i A ,即j A 為i A 的前置概念;若j 0 = ij a ,表示A 不為i A 之前置概念。例如有5個概念的相鄰矩陣j A,經運算 後得可到達矩陣 R,矩陣 R 的轉置矩陣為M,令FR為矩陣 R 與其轉置矩陣M

之交集,則FR=RM,矩陣 A、矩陣 R、矩陣M和矩陣FR分別如下(Lin, Hung,

and Huang, 2006):                 = 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 A                 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 R=                 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 M=                 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 FR= 繪製 ISM 圖的步驟為: (一)比較 R 和 FR 的每一列,找出相同列向量。將該列向量中為 1 的概念的 繪製在圖形上,且將 R 和 FR 中,該概念元素所在的行與列全部刪除,刪 除後的列與行則不再比較。 (二)以相同方法再進行 R 和 FR 的列向量比較,直到所有概念元素均被找出 為止。 (三)依照(一)(二)之步驟,先找到概念 1,刪除 R 和 FR 中概念 1 所在的行與 列後,找到概念 5;其後,再同時找到概念 3、4,最後找到概念 2。將這 些結果呈現於及結構圖中 (四)將找到的概念依序列出高低層級,並依A中的概念關係,劃上箭頭,如圖 2-3-1 所示。

(28)

圖 圖圖 圖 2-3-1 ISM 圖的繪製 二、ISM 在教育上的主要用途 許天維、林原宏(1994)研究指出 ISM 在教育上的主要用途有以下三項: (一)教材內容的結構化:將教材目標「由上往下」的分析,然後藉著次要目標 的分析,最後再決定出年級間或各單元間教材內容的結構。 (二)編授教材內容:教學者決定教材內容的目標層次關係,是「由下往上」累 積元素關係的方式,而利用 ISM 分析法,可幫助教學者了解教學目標之 間的順序關係與發展。 (三)學習者學習內容的結構化:學習者與教材內容的概念結構可能有所不同, 因此若能得知學習者概念元素彼此之間的關係時,即可利用 ISM 分析法, 得到學習者整體概念的結構圖。 三、ISM 的相關研究 蔡秉燁(2004)運用 ISM 的階層有像圖理論,建置高中數學補救教學教材, 重新編排學習順序,建立更有效的「學習地圖」(learning map)與「學習路徑」

(29)

國小四至六年級數學科基本學力指標,統整數學教育家對四至六年級數學概 念的意見,並繪製成數學概念結構圖,作為設計問卷之參考。 李玉貞(2008)以國小一年級學生為對象,應用 ISM 分析法研究國小一年 級學生數與量分年細目知識概念之階層結構,結果顯示學生的概念結構圖因 其能力值之不同而有所差異。葉律吟(2009)運用 S-P 表分析理論與 ISM,理解 大一新生在程式設計課程中的學習狀況,協助老師了解學生的學習困難之 處,並可作為教學調整與補救教學的參考。 綜觀上述文獻,ISM 是以圖表方式、而非文字方式來敘述解析整體工作, 能避免以文字表示所產生的干擾,因此能讓各領域的工作者更容易了解工作 內容、掌握工作重點及順序。教師可以利用 ISM 的階層有向圖,將零碎抽象 的概念重新排列,轉變為具體有次序的知識結構。

貳、概念構圖

概念構圖是科學教育上,頗受重視的學習策略和評量工具,主要以命題 表徵為基礎,將教材的概念、關係與結構,以二向度的圖解呈現,其中有兩 個重要的系統分別為:Novak and Gowin (1984)以 Ausubel 的同化理論為根 據,所發展的概念構圖,以及 Holley and Dansereau (1984)所發展的 TCU 系統

(江淑卿,2001)。一般而言,在知識結構的測量方法中所提到的概念構圖,通

(30)

一、繪製概念構圖的步驟

Novak and Gowin (1984)根據 Ausubel (1963)的認知同化論的核心觀點「有 意義的學習」(meaningful learning),發展出概念構圖(concept mapping),其目 的是探討學生的知識結構,做為改進和促進學生學習效率的方式。 蔡麗萍、吳麗婷、陳明聰(2004)研究中提到建構概念圖是以學習教材中的 主要概念為主題,選出主題所涵蓋的一些次要概念,將次要概念歸類及排序, 用適當的連結語將兩個有關聯的概念連結起來,再找出不同類別的概念間的 關聯,以不同觀點來建立新的連結,這種連結便稱作交叉連結(cross-link),最 後依據學生的經驗來舉例說明,圖 2-3-2 為該研究所舉例的血液概念構圖。 圖 圖 圖 圖 2-3-2 血液的概念構圖(蔡麗萍、吳麗婷、陳明聰,2004)

(31)

概念構圖的呈現方式因個人對概念的認知程度不同、以及個人的繪圖習 慣不同而有所差異,張漢宜、陳玉祥(2002)研究指出概念構圖的繪製步驟有以 下六項: (一)將主題的每個概念和例子分別寫在紙卡上。 (二)將層次最高的概念或最抽象的概念排在最頂端,最明確的概念排在最底 端。 (三)將上層概念與它的下層概念連結起來,同一層的概念如有關聯,也可用線 段連結。 (四)在連結線上寫下文字來解釋概念之間的關係。 (五)將某個概念的例子放在該概念之下,在連結線上寫下「例如」。 (六)把每一個概念畫上適當的幾何圖形。 二、概念構圖的相關研究

(一) Holley and Dansereau發展的TCU系統

雙代碼理論(dual coding theory)是研究多元表徵的重要理論,主張有兩個 獨立且互相影響的次系統:語文和非語文。TCU系統從雙代碼理論,探討概 念構圖的訊息處理歷程之特色與限制,認為概念構圖種結合空間與語文的表 徵。Mayer (1997)參考雙代碼理論,提出產生模式(generative model),該模式 認為圖示包括視覺與語文表徵,其特色有二:(1)圖示的圖像,活化非語文次 系統,產生心像,形成視覺基礎模式、(2)圖示的文字,活化語文次系統,形

(32)

成語文基礎模式。但其可能的限制是圖示雖易引發興趣,有時卻易使學習者 分散注意力,反而忽視教材的概念結構,且其效果可能受學習者個別差異之 影響。 江淑卿(2001)參考TCU系統設計概念構圖,分析不同能力的兒童,閱讀何 種表徵型式的教材,可獲致較佳的效果,研究結果指出對低能力學生而言, 閱讀圖示後的知識結構和理解能力,比僅閱讀文章者佳;閱讀結合概念構圖 與圖示後的理解能力,比僅閱讀文章者佳;但對高能力的學生而言,閱讀概 念構圖、圖示、結合概念構圖與圖示、文章,對知識結構和理解能力之影響, 可能因教材難度而有所不同。圖2-3-3為該研究中針對光合作用文章內容所設 計的概念構圖與圖示。 圖示 圖 圖 圖 圖 2-3-3 光合作用的文章、圖示和概念構圖(江淑卿,2001)

(33)

(二) Novak and Gowin發展的概念構圖 張俊峰(2001)運用概念構圖教導國中生學習排球的快攻概念,研究結果指 出概念構圖的教學比傳統講授式的教學為佳。耿筱曾、蕭建嘉(2002)運用動態 評量的技巧,協助國小六年級學生完成概念構圖,以探討學習「地球的運動」 之概念改變情形,研究結果指出,動態評量與概念構圖兩者在理念上具有一 致性與互補性,可互相融合。時德平(2001)應用概念構圖進行自然科「電與磁」 單元的教學,研究結果指出以概念構圖式教導國小學生,在「電與磁」的概 念學習上和傳統教學並無顯著差異,但學生在記憶保留上,概念構圖式的學 習方式優於傳統純文字敘述的方式。 蔡天民、王美芬(2002),以國小五年級學生127 人為研究對象,先區分成 高、中、低三種推理能力,再進一步探討概念構圖對哪一種推理能力的學生 有較大的影響,研究結果顯示:(1)以概念構圖為後設認知策略,整體而言對 「自然科學習成就」並沒有顯著的提昇效果。但進一步分析,對低推理能力 的學生,則有較正向的結果。(2)在「自然科學習持續效果」方面,低推理能 力的學生,接受概念構圖為後設認知策略後,則有顯著的提昇,但對高、中 推理能力學生而言,則無顯著的影響。 綜觀上述文獻,概念構圖對於教學、評量和探討所學知識的概念結構, 有不錯的成效,能增進學生概念及其關係的理解、澄清和建立,亦能做為教 師課程規劃、評量、診斷與實施補救教學的工具。尤其概念構圖應用在低學

(34)

習能力之學習者其成效優於高學習能力之學習者,原因可能是學習能力越佳 之學習者,就越不需要額外提供策略輔助學習,所以概念構圖可當成一個輔 助能力較低之學習者的有效學習策略。

參、徑路搜尋法

徑 路 搜 尋 法 (pathfinder) 為 Schvaneveldt 及 其 研 究 小 組 根 據 理 論 圖 形 (graph-theoretic)和網路模式發展而成,能將近似矩陣經過分析後獲得一個網 路 結 構 (network structure), 在 這 個網 路 結 構 中,每 一個 概念 是一 個 節點 (node),而節點之間用線來連結(linking),表示兩概念之間有關係。此外,在 連結的線上有一個加權值,表示節點之間的連結強度。 一、徑路搜尋法的三種指數 徑路搜尋法的主要重點除了知識結構之測量,更重要的是比較不同受試

者的知識結構之差異。Goldsmith and Davenport (1991)認為比較兩種不同知識 結構圖的相似程度之方法有二:

(一)以集合理論(set theory)為基礎,計算相鄰節點的交集與聯集關係,可得到

相似性指數(closeness index, 簡稱PFC);

(二)以圖形理論為基礎,計算節點之間距離的相關程度,可得到圖形理論距離

指數 (graph-theoretic distance, 簡稱GTD) 和接近性指數 (proximity index, 簡稱PRX),藉由這三種指數來判斷受試者知識結構和參照知識結構的相 似程度。

(35)

以下藉由Goldsmith, Jonson, and Acton (1991)所舉的例子,分別說明PFC 指數、PRX指數、GTD指數這三種相似指數。有三位受試者,其知識網路結 構圖分別為網路一、網路二和網路三,如圖2-3-4所示。 圖 圖 圖 圖 2-3-4 三位受試者之知識網路結構圖(改寫自Goldsmith et al., 1991) 1. PFC指數:先求出兩個網路各節點的鄰近節點,將鄰近節點的交集除以 聯集,總合其商數加以平均即可獲得PFC指數,其計算公式 如下:

∈ ∪ ∩ = I i i i i i B A B A n 1 B) PFC(A, 其中A、B 表示徑路搜尋網路,為共有節點數,I 代表網路 所有節點的集合、i 為網路節點。 以圖2-3-4中的網路一、網路二為例,PFC指數的計算如表

(36)

2-3-1。表2-3-1中的集合U表示空集合,其中商的總和為3, 而網路一、網路二各有7個節點,因此PFC指數為3/7=.43。 表 2-3-1 網路一和網路二的網路一和網路二的網路一和網路二的 PFC 指數之計算網路一和網路二的 指數之計算指數之計算指數之計算 鄰近節點 交集 聯集 節點 網路一 網路二 集合 N1 集合 N2 商數 N1/N2 A

{ }

B,C

{

B,D,E

}

{ }

B 1

{

B,C,D,E

}

4 1/4 B

{

A,D,E

}

{ }

A,C

{ }

A 1

{

A,C,D,E

}

4 1/4 C

{

A,F,G

}

{

B,F,G

}

{ }

F,G 2

{

A,B,F,G

}

4 2/4 D

{ }

B

{ }

A U 0

{ }

A,B 2 0/4 E

{ }

B

{ }

A U 0

{ }

A,B 2 0/4 F

{ }

C

{ }

C

{ }

C 1

{ }

C 1 1/1 G

{ }

C

{ }

C

{ }

C 1

{ }

C 1 1/1 2.GTD指數:範圍由0至1,數值愈大表示兩個網路愈相近。GTD指數是以 徑路連結鍊的數目作為計算單位,表2-3-2呈現圖2-3-4中三個 網路節點之間圖形理論距離值的計算方式。計算表2-3-2中網 路一和網路二各節點距離值的相關係數,就可得到GTD指數 值.79。 表 2-3-2 三個網路中部分結點的圖形理論距離值三個網路中部分結點的圖形理論距離值三個網路中部分結點的圖形理論距離值三個網路中部分結點的圖形理論距離值 徑路連結鍊 網路一 網路二 網路三 A-B 1 1 1 A-E 2 1 2 A-F 2 3 3 3.PRX指數:計算兩個網路的圖形理論距離矩陣(接近性矩陣)之相關程 度,以相關係數表示兩個網路的相似程度。PRX指數介於0 至1之間,指數愈大,表示兩個網路結構愈相似。

(37)

以圖2-3-4中的網路一、網路二為例,其接近性矩陣分別如圖 2-3-5、圖2-3-6所示。計算網路一的接近性矩陣與網路二的接 近性矩陣相互對應元素的積差相關係數,就可得到PRX指 數。 網路一 A B C D E F G A B C D E F G 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 4 4 0 0 0 0 0 4 4 2 0 0 0 0 1 1 3 3 0 0 0 3 3 1 1 2 0 0 2 2 2 2 1 1 0 圖 圖 圖 圖 2-3-5 網路一的接近性矩陣 網路二 A B C D E F G A B C D E F G 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 4 4 0 0 0 0 0 4 4 2 0 0 0 0 1 1 3 3 0 0 0 2 2 2 2 1 0 0 3 3 1 1 2 1 0 圖 圖 圖 圖 2-3-6 網路二的接近性矩陣 二、徑路搜尋法的相關研究 徑路搜尋法近年來常被運用在教育和訓練上,用來評估學生的學習成效 與訓練的有效性。鍾世帆、林原宏、王啟章、易正明(2007)應用徑路搜尋法,、 整合試題反應理論和類似性係數之計分演算,研究國小學生乘除文字題的知

(38)

識結構,研究結果指出GTD、PFC、PRX指數能有效預估不同組學生之乘除 能力值,在高能力組中,以PFC指數最佳;在中能力組中,以PRX指數最佳; 在低能力組中,以GTD指數最佳;在全體學生中,以PRX指數最佳。宋德忠、 林世華、陳淑芬、張國恩(1998)以153名大學生為研究對象,以教育心理學的 31個學習理論為材料,應用徑路搜尋法,讓受試者評定概念配對的相關性程 度,研究結果指出PFC指數對學生的學習成效有不錯的預測力,且能有效的 區別不同學習成就的學生,而PRX指數則沒有顯著的區別力。 黃湃翔(2003)應用徑路搜尋法,研究38位高二學生物理概念的知識結構, 研究結果指出(1)以徑路搜尋法測量學生知識結構,確實能有效測量學生學業 成就。(2)不同學習成就的學生,其物理知識結構確實有差異,其中PRX指數 和PFC指數確實能顯現出不同學習成就學生的差異水準。江淑卿(1997)應用徑 路搜尋法,研究國小六年級學生和國小自然科教師對「地球的多重屏障」一 文的知識結構和文章理解能力,研究結果指出知識結構和科學文章的理解能 力有顯著的相關,且GTD、PFC、PRX指數對科學性文章理解能力具有顯著 的預測力。 綜觀上述文獻,徑路搜尋法以量化的方式測量受試者的知識結構的方 法,不但能分析知識結構與學習表現的關係,也能比較不同能力學習者的知 識結構,還能根據受試者知識結構圖的特徵,給予學習策略的指導或提供補 教教學。

(39)

肆、規則空間模型

規則空間模型(rule-space model,簡稱RSM)是由Tatsuoka (1983)所提出的 一種認知診斷理論,它藉由試題評量的方式,找出受試者在評量中的試題反 應 組 型 (item response pattern) , 進 而 推 論 受 試 者 的 潛 在 知 識 狀 態 (latent

knowledge stage)。在獲得受試者的潛在知識狀態後,即能瞭解受試者的知識 結構,哪些部分是已經具有良好的聯結關係,哪些部分是需要再補強的(涂金 堂,2003)。教學者可藉由RSM所診斷出的學習結果,對受試者進行補救教學。 一、RSM的分析步驟 使用RSM的評量方法,其所採用的試題必須經過特別的設計,每道試題 必須包含幾個認知屬性(cognitive attributes),這些認知屬性需要能反應出知識 的向度,如此才能從受試者的試題反應,診斷出受試者的知識狀態。 RSM的評量方法,通常包括五個步驟:定義試題的認知屬性、將認知屬 性組合成試題、決定出各種的知識狀態、形成分類的空間、對受試者的反應 進行分類(Katz, Martinez, Sheehan, and Tatsuoka, 1998),以下分別說明這五個 步驟:

(一)定義試題的認知屬性(defining attributes)

界定所要評量的認知屬性是使用RSM的第一步驟,這些認知屬性可能是 陳述性知識、程序性知識或是解題的策略等,必須注意的是,試題所包含的 認知屬性並非由RSM的方法所產生的,而是透過工作分析(task analysis)的方

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式,分析出能代表該知識領域的表現行為。藉由評量受試者是否擁有該認知 屬性,施測者才能推論受試者可能的知識狀態。

(二)將認知屬性組合成試題(assigning attributes to items)

將界定好所要評量的認知屬性組合成試題是使用RSM的第二步驟,每道 試題至少要包含一個認知屬性,而且必須考量試題間認知屬性的相關程度與 難易程度。藉由關聯矩陣(incidence matrix, 通常以Q表示)呈現試題與認知屬 性的關係。例如有三道試題,分別為 j1、j2、j3,有兩個認知屬性k1k2,其 中試題 j1和試題 j3各含有認知屬性k1,試題 j2則包含認知屬性k2。受試者若 想答對試題 j1或試題 j3,必須具備認知屬性k1,若想答對試題 j2,則須具備 認知屬性k2的知識。其關聯矩陣Q (2×3) 矩陣,如圖2-3-7所示。 試題 j1 j2 j3 k1 認知屬性 k2       0 1 0 1 0 1 圖 圖圖 圖 2-3-7 三題試題和二個認知屬性的關聯矩陣

(Katz, Martinez, Sheehan, and Tatsuoka, 1998) (三)確定各種知識狀態(determining identifiable knowledge stage)

由試題反應組型來進行推估受試者的知識狀態是使用RSM的第三步驟,

以上述例子之關聯矩陣Q (2×3)為例,受試者在 j1、j2、j3這三道試題中,可能

會有八種不同的反應組型:(0,0,0,)、(1,0,0,)、(0,1,0)、(0,0,1)、(1,1,0)、(1,0,1)、

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構成四種可能的知識狀態,分別說明如下: 1.知識狀態一:其反應組型為(1,0,1),受試者具備認知屬性k1的知識,而不具 備認知屬性k2的知識。 2.知識狀態二:其反應組型為(0,1,0),受試者具備認知屬性k2的知識,而不具 備認知屬性k1的知識。 3.知識狀態三:其反應組型為(0,0,0),受試者同時不具備認知屬性k1和k2的知 識。 4.知識狀態四:其反應組型為(1,1,1),受試者同時具備認知屬性k1和k2的知識。 若受試者的反應組型是上述四種,則其知識狀態是屬於典型的試題反應 組型(ideal item-response pattern);若受試者的反應組型是屬於另外四種類型:

(1,0,0,)、(0,0,1)、(1,1,0)、(0,1,1),則屬於非典型的試題反應組型。施測者可

以透過典型的反應組型,清楚掌握受試者的具有或缺乏哪些認知屬性的知 識;但受試者常因猜題或不小心等因素而產生非典型的反應組型,此時,施 測者則不易推估其具有或缺乏哪些認知屬性的知識。

(四)形成分類的空間(formulating the classification space)

形成分類的空間是使用RSM的第四步驟,分類的空間採用二維的笛卡兒 座標,以試題反應理論中的能力參數值(θ)為橫座標,以非典型反應組型(ζ) 表示縱座標。如果用R代表典型的反應組型,則RSM中,任何的知識狀態皆可

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為x=(x1,x2,… ,xn),所謂的規則空間則是改以ζ(θ,x)為縱座標,RSM中的每個

座標點(θ,ζ(θ,x))都代表一種反應組型,也就是一種知識狀態。

(五)對受試者的反應組型進行分類(classifying examinees’ responses)

對受試者的反應組型進行分類是使用RSM的第五步驟,當所有可能的典 型反應組型都映射到RSM的笛卡兒座標後,分類的方法是先分別求出受試者 的 座 標值(θ ,ζ (θ,x))和 最 接 近它 的兩個 知 識狀 態的 座標值 之馬氏 距離 (Mahalanobis distance),再比較兩段距離的大小來決定受試者的座標值(θ , ζ(θ,x))是類似哪一種知識狀態。決定受試者比較類似的知識狀態後,就能據 此瞭解受試者的學習狀況,並針對受試者的學習盲點進行補救教學。 二、RSM的相關研究 余嘉元(1995)應用RSM,識別664名國二學生在30道解不等式的數學試題 中,其認知錯誤類型,研究結果指出規則空間能將86%的學生之認知錯誤類 型歸納成18種典型的反應。Kuramoto, Scott, and Kasai (2003)應用規則空間, 證實由Taira, Ono, and Hayashi在1992年所發展出的日本語字彙測驗(Japanese

vocabulary test)是一份有效度的測驗。戴海崎、張青華(2004)運用RSM識別文

科學生在統計課程中描述統計領域的知識技能掌握模式,經過考察受試者的 反應將其歸納成30種不同的的屬性掌握模式。Menucha, Curtis, and Tomoko

(2004)應用規則空間,研究美國、日本和以色列三國的八年級學生在1999年 TIMSS-R數 學 測 驗的 表 現, 研 究結 果指 出,日 本 八年 級學 生在數 學 知識

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(mathematics knowledge)和思考技巧上(thinking skills)優於其他二國,而以色列 境內猶太裔學生在所有項目的成績都顯著高於阿拉伯裔學生。 綜觀上述文獻,RSM在認知診斷評量上可以提供豐富且準確的訊息。教 師可以設計有目的、結構化的試題,經過規則空間的分析,能診斷出具有認 知錯誤、或迷思概念(misconception)的學生。但因為RSM具有複雜的數理公式 計算、而且其所採用的試題必須經過特別的設計,所以目前仍無法廣泛的應 用於教學評量上。

伍、知識空間

Doignon and Falmagne (1985)提出知識空間理論(knowledge space theory, KST),其理論模式主要是由受試者所精熟的問題來推測其可能的知識狀態, 再由其知識狀態去評估受試者的學習路徑,以便有效率的診斷學習者的知識 狀態。知識空間理論的基本假設為:任何學習領域均可分解成一些問題或試 題的集合,這些試題組合成知識表徵的基本元素。假設所有試題集合為Q,若 學生能對於Q的次集合(subset)K所有試題均能答對,亦即精熟這些試題的所有 概念,則稱次集合K為學生的知識狀態(knowledge state),所有可能知識狀態 的組合稱為知識結構(knowledge structure)。而符合某些假設的的特殊類型知 識結構,則稱為知識空間(knowledge space)(涂金堂,2003)。

Falmagne, Koppen, Villano, Doignon, and Johannesen (1990)舉例說明,五

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表他也會解第1題、第2題和第3題,但是會解第2題的學生,只代表他也會解 第1題、無法保證會解第4題或第5題。 圖 圖 圖 圖 2-3-8 五道數學題目的Hasse圖 假設五道題目所組成的集合為Q,根據圖2-3-8的階層關係,挑選以下10 種子集合來當作次集合(subset)K的元素: Q={1,2,3,4,5,} K={φ,{1},{3},{1,3},{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,5},{1,2,3,4},{1,2,3,4,5}} 次集合K為學生的知識狀態,亦為在Q上的知識空間,代表學生精熟這些 試題,例如{1,2},表示會解第1題和第2題。如果有位學生會解第3題,則其可 能 的 知 識 狀 態 為 {3},{1,3},{1,2,3},{1,2,3,5},{1,2,3,4},{1,2,3,4,5} 中 的 其 中 一 種,所有可能知識狀態的組合稱為知識結構。 學生的知識結構較適合用於描述學生學習後之狀況,可作為適性測驗進 行時如何選擇「最佳下一題」的依據,也可藉此節省大量試題、節省測驗時 間,並精確診斷出學生的迷思概念。由於在同一領域的知識結構下,試題之 間存在著先備關係(prerequisite relation),例如:學生如果要算對異分母的分數 加法,那麼他一定是已經先會求最小公倍數的技巧。所以評量者可根據學生 對前面試題的反應狀況進行合理的推測,以減少學生不須受測的試題數,達 5 4 3 2 1

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到有效率的診斷學生的知識狀態的目的。 此外,學習路徑(learning path)亦是知識空間另一個重要的概念。學習路 徑是從不包括任何一個知識或技能的空集合(empty set),逐漸學習到全集合 (complete set)的知識狀態,它是一種從不具任何知識的空集合狀態開始學到逐 漸 學 會 全 部 問 題 的 全 集 合 狀 態 之 連 結 關 係 , 此 種 學 習 路 徑 稱 為 順 序 (gradation)。 Falmagne et al. (1990)以397位中學生為研究對象,讓受試者在40分鐘內作 答24道數學試題。Falmagne et al.針對其中的5道試題進行學習路徑的分析,研 究結果指出受試者學會這5道試題較可能的學習路徑為何。

Arasasingham, Taagepera, Potter, and Lonjers (2004)運用知識空間理論,研

究大學生的化學計量之認知結構,研究結果指出知識空間理論不但是一個有 效的研究工具,能檢驗不同的教學方式或學習方法之間,何種的概念轉變會 比較接近專家知識結構;知識空間理論亦是一種有效的教學方法,能追蹤和 監控學生對概念理解的發展過程。 涂金堂(2003)認為透過知識空間模式對學習者知識結構的分析,可以診斷 出學習者對各概念之間的異同情形,是否產生適當的連結關係,同時,也可 藉由知識空間模式的推估,瞭解學習者的學習歷程。不過,知識空間理論在 推估學生的知識結構時,除了需要使用特定的統計軟體(PRAXIS)外,還需運 用許多複雜心理計量公式,此外進行空間知識評量時,評量者也必須事先確

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定各概念之間的階層關係,而這階層關係尚需仰賴豐富的心理學研究成果來 加以支持,目前心理學對教學領域的研究成果似乎無法提供充足的實質理論 基礎,使得知識空間模式尚未普遍的被應用到教育評量領域。

第四節 多元計分試題關聯結構

壹、試題關聯結構

Bart and Krus (1973)所提出「次序理論」(ordering theory),主要應用於衡

量兩試題間之先備條件(precondition)的次序關係,利用次序理論加以分析,可 以呈現試題階層(item hierarchy),繪製受試者的階層概念圖。Airasian and Bart 在 1973 年首先將「次序理論」應用於教育工學上領域。M. Takeya 於 1980 年 代提出試題關聯結構(item relational structure, IRS),藉由次序性係數(ordering

coefficient)所得之試題關聯結構圖,用來呈現學生學習後的結果。

Takeya (1980, 1991) 所 提 出 的 試 題 關 聯 結 構 , 是 分 析 二 元 計 分 (dichotomous)試題間的次序關係,以二元計分的試題i和試題 j為例,其答對

以 1 表示、答錯以 0 表示,將答對與答錯人數比率列出表,如表 2-4-1 所示(Lin,

Bart, and Huang, 2006)。

表 2-4-1 試題關聯結構試題試題關聯結構試題試題關聯結構試題試題關聯結構試題i和試題和試題和試題和試題 j的答題人數的答題人數的答題人數的答題人數比率比率比率比率 試題 j 1 0 總和 1 p11 p10 p1• 試題i 0 p01 p00 p0• 總和 p•1 p•0 1= p11+p10 +p01+p00

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根據表 2-4-1 的資料,Takeya (1980,1991)將試題i為試題 j前置概念的程 度,以次序性係數rij∗表示: ) )( ( 1 0 1 01 * • • − = p p p rij 其中,p01表試題i答錯且試題 j答對人數的比率 p1表試題 j均答對人數的比率 p0表試題i均答錯人數的比率 * ij r 若愈大,表示試題i為試題 j前置概念的程度愈高。因此,Takeya (1980, 1991)定義 * ij r 的閾值(threshold)為.5,決定試題i與試題 j是否有次序關係如下: 1. 若 * ≥ ij r .50,表示試題i為試題 j的前置概念,即試題i與試題 j有次序關 係,此時以rij =1表示,以圖繪ij表示; 2. 若 * < ij r .50,表示試題i不是試題 j的前置概念,即試題i與試題 j沒有次序 關係,此時以rij =0表示,圖繪中i沒有指向 j; 試題關聯結構有下列五種功能:教學設計之應用、形成性評量之運用、 認知學習構造之分析、概念形成過程之探討,及課程教材構造之解析。試題 關聯結構分析法可以在進行教學活動前,診斷出學生先前經驗概念不足的地 方,做為進行教學設計之參考,也可以在進行教學活動後,獲得學生學習後 的知識結構,針對學習落後的學生進行補救教學(許天維,1995)。 劉湘川、簡茂發、林原宏(1994)以暗隱模式為理論基礎,應用「試題關聯 結構」與「無參數試題反應理論」兩種試題分析方法,分析試題之間層次及

數據

表  2-1-1  國內外學者 國內外學者 國內外學者 國內外學者對代數意義的看法 對代數意義的看法 對代數意義的看法 對代數意義的看法  學者  年代  代數之意義  Kieran  1992  代數是一種符號化的系統,經歷以下三個階段: (1)文辭化的階段  (2) 縮寫化的階段  (3) 符號化的階段。  Carter,    Eatherly,    Johnston  1992  代數令人聯想到文字及符號,它是由數字、運算和變數  (variable)所組成的數學語言。  Sfard  1995
表  2-4-2  多元計分試題關聯結構試題 多元計分試題關聯結構試題 多元計分試題關聯結構試題 多元計分試題關聯結構試題 i 和試題 和試題 和試題 和試題 j 的答題人數 的答題人數 的答題人數 的答題人數比率 比率 比率 比率  其中, p kl 表示試題 i 的反應為 k 且試題 j 的反應為 l 的比率              p k • 表示試題 i 在反應 k 的比率              p • l 表示試題 j 在反應 l 的比率          因此可知 11 0 10 =∑ ∑
表  3-3-3  國小 國小 國小五 國小 五 五年級代數 五 年級代數 年級代數主題分年細目 年級代數 主題分年細目 主題分年細目的試題概念屬性矩陣 主題分年細目 的試題概念屬性矩陣 的試題概念屬性矩陣  的試題概念屬性矩陣 概      念      編      號  題號  A 51 A 52 A 53 A 54 A 55 總和 1  1  0  0  0  0  1  2  1  0  0  0  0  1  3  0  1  0  0  0  1  4  0  1  0  0  0  1  5
表  3-3-6  國小 國小 國小 國小四年級預試 四年級預試 四年級預試 四年級預試施測 施測 施測 施測工具 工具 工具 工具修正 修正 修正 修正  試題 編號  原試題  修改原因  修改內容  修後試題  6  「 冰 箱 裡 有 一 些冰淇淋,全家 人吃掉 1 5 2 盒, 還剩下 53 盒,請 問 冰 淇 淋 原 來 有幾盒?」以□ 代 表 冰 淇 淋 原 來的盒數,根據 題意,下列算式 何者正確?    □+1 52 = 53   □+ 53 =1 5 2 5 3 +1 52 =□  1
+7

參考文獻

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