九年一貫代數概念及其相關研究

壹、代數概念

數學家兼數學史家Cajori (1859-1930)曾經說過：「要探索算術的最好方 法，就是研究代數。」代數在數學史上的發展，已經將近四千年的歷史，早 在公元300年，Diophantus這位後人尊稱為代數之父的希臘數學家，便建立了 使用未知數符號作為運算工具的思考模式。從字面上來看，「代數」帶有「以 符號代表數」的意思，然而在教學上，我們所要關心的是：學生為何需要有 運用文字符號來代替數字的思維？這個答案我們必須從「代數」的英文名稱

「algebra」來探討，「algebra」這個字的前身「Al-jabr」源自於阿拉伯文，出 現在阿拉伯數學家Khwârizmi寫的書籍中，其本義為「還原或對消」的科學，

由此可知，在代數發展之初，以符號代表已定的待解數只是一個工具，主要 的還是藉由對消來達到還原「符號所代之數」的目的(謝佳叡，2003)。

至於何謂代數概念？國內外學者各有不同的看法，而其所詮釋之意義也 不盡相同，茲將其相關文獻整理如表2-1-1：

表 2-1-1 國內外學者國內外學者國內外學者國內外學者對代數意義的看法對代數意義的看法對代數意義的看法對代數意義的看法

Linchevski 1995

代數課程應包含以下五個主題：

綜合以上看法，代數是建立在「數」和「運算」的基礎上，利用符號表 徵來進行運算，也是可以將算式簡化的數學語言。

貳、九年一貫課程之代數概念

數學之所以被納入國民教育的基礎課程，有三個重要的原因：(1)數學是 人類最重要的資產之一。(2)數學是一種語言。(3)數學是人類天賦本能的延 伸。九年一貫課程強調以學習者為主體，以知識的完整面為教育的主軸，以 終身學習為教育的目標，除了數學知識外，演算能力、抽象能力及推論能力 的培養是整個數學教育的主軸。能力指標是依主題與階段的學習能力而訂 定，由階段能力指標演繹出更細緻的分年細目及詮釋，能力指標、分年細目 與分年細目詮釋之內容，應為教師教學的主要參考依據。數學領域將九年國 民教育區分為四個階段，另將數學內容分為「數與量」、「幾何」、「代數」、

「統計與機率」、「連結」等五大主題，以下針對「國小代數」此主題加以 說明。

在民國82年版的「國小數學課程標準」中，代數的題材比較少，較容易 造成學生進入國中後學習的不適應。在民國94年版綱要修訂在國小高年級部 分，加入一些題材：包括運用未知數做數學表示式、理解等量公理等，希望 能協助銜接國中的代數教學。

由於算術的學習仍然是國小數學學習的主體，所以在解題策略的發展 上，應儘量讓學生做多方探索，避免讓代數工具過早抑制學生的想像力。因

此國小的代數主題，幾乎都是為了國中的代數學做前置鋪陳，關於四則運算 符號與性質的指標，都只是檢查性的指標，在教學與課本的安排上，應併入 數與量的教學中，不該獨立成特別的教學單元。

教育部九年一貫課程綱要(2003)中指出國小代數題材安排有五項特色，說 明如下：

一、 能理解常用算術符號的使用方式，並用來列出日常問題的算式，以進行 解題。例：關係符號如：＝, < , >； 運算符號如：+, -, ×, ÷； 未知數 符號如：□, 甲, 乙, x, y。

二、 從最基本的加減問題開始，詳細安排兩步驟至多步驟的教學次序，並依 序安排四則運算規律的教學，從整數到分數、小數，在具體情境中，瞭 解各基本運算之性質，並應用於不同教學目標的教學。例：加法交換律、

結合律、乘法交換律、結合律、乘法對加法的分配律。加減互逆、乘除 互逆。＝, < , >的遞移律。

三、 從最基本的加減問題開始，到四則混合計算，讓學生最後能獨立於生活 與具體情境，在形式與程序上，流暢進行整數計算，其中包括併式演算 的能力，並活用運算律於簡化計算。橫式演算與運算律都是國中代數符 號演算的重要基礎。

四、 協助發展對數學問題之解題策略。例：代入法、加減互逆、乘除互逆，

反向思考解題、比例推理解題、比值解題，更複雜之混合策略解題(如

傳統應用問題)。

五、 能理解等量公理：當等號左右兩邊相等時，於等號兩邊各加、減、乘或 除以同一個數(不可同時除以0)，等號兩邊仍會維持相等。

參、代數概念之相關研究

Simon (1980)在其研究中，發現學生缺乏「了解代數是如何結合數學的關 係式，解得一個特殊解」這個概念，當題目取材自現實生活情境中，學生似 乎無法就現實世界的狀況來思考，只把它按照代數解題步驟進行機械式的運 算。文字符號的使用是代數學習的基礎，Kuchemann (1981)以3000名國中生為 研究對象，探討代數學習成就，研究結果指出學生如果能完全了解文字符號 的意義，則與後續學習(如：方程式、應用問題等)的成就有高度正相關。

Kieran (1992)指出學生在代數學習的主要迷思概念，一是對等號意義尚停 留在算術階段的「得到」；另一則為對未知數的認知，將符號當成一個特定 的物性或標誌。Kieran (1998)以研究中的七年級學生為訪談對象，研究結果指 出使用算術解法(using undoing operation)的學生較難理解要在等號兩邊進行 相同運算的概念，而使用代數解法(using forward operation)的學生較易理解要 在等號兩邊進行相同運算的概念。

Saenz-Ludlow and Walgamuth (1998)兩人以三年級學生為研究對象，研究 結果指出學生原先認為等號是一個掌控算術運算的執行命令，而在教學一年 後，學生已較能理解等號是比較兩個數量的關係符號。Booth (1988)的研究結

果指出部分中學生在學習某些未知數概念的學習困難原因，可能源自於在國 小學習代數時過度重視算術過程和運算法則。

代數課程內涵的選擇影響學生推理過程「歸納」和「形式化」的發展。

Blanton and Kaput (2005)認為，促進學生代數發展，需遵守以下法則：(1)能夠 提升運用數字和數感的作業，做為代數推理的事物。(2)包含計算順序的作業 並與學生的算術銜接。(3)需要能夠促進行動所允許的作業，以及學生熟悉的 狀態。

袁媛(1993)以國中一年級學生為研究對象，研究結果指出不同認知層次的 學生，對於把文字符號「當作一般化的數字」和「當作變數」均感到相當困 難，另也發現不同認知層次的學生，其代數文字題的解題能力有顯著差異。

王佳文(1995)以國小六年級的學生為研究對象，自編以認知成分為測驗編製基 礎單位的計算題，研究結果指出各成分中以「a－□＝b」與「a÷□＝b」這兩 類的難度較高。林敏雪(1997)以國中二年級的學生為研究對象，研究結果指出 能理解題意中的數量關係是首要步驟，而能以文字表示未知的數量關係，更 是直接影響到方程式的正確性。

戴文賓(1998)以國中一年級的學生為研究對象，研究結果指出將方程式問 題情境化，以生活故事描述題目中的數量關係，有助於學生理解未知數的意 義及解題的程序。廖瓊菁(2001)以國小六年級的學生為研究對象，自編等量公 理代數教材進行教學實驗，研究結果指出等量公理的代數教學在以等量公理

解「□+a＝b」、「□-a＝b」、「□×a＝b」、「□÷a＝b」、「a+□＝b」、

「a×□＝b」等六種題型時，比傳統代數教材有教學成效，但對於以等量公理 解「a－□＝b」與「a÷□＝b」這兩類題型上則未有明顯的教學成效，有待改 進。謝和秀(2001) 以國中一年級的學生為研究對象，研究結果指出不同智商 等級之學生在「文字當作一般化數字」及「文字符號當作變數」二層次上均 出現極大的困難而沒有顯著差異，學生在文字符號概念的主要錯誤型態以不 了解文字符號在題目中所代表的意義為主，以及對算術和代數運算規則的混 淆和過度類推造成。

黃寶彰(2002)以六、七年級的學生為研究對象，研究結果指出學生能夠歸 納出已知數值的關係，代入題目中來解決問題，但無法接受答案含有未知數，

如 12+g ， 學 生 對 於 文 字 符 號 合 併 的 學 習 也 有 困 難 ， 出 現 如 5a+2a=7aa 、 3a+5b=8ab之類的錯誤。陳嘉皇(2007)以國小三年級的學生為研究對象，研究 結果指出大多數三年級學生在代數推理解題前測的表現不盡理想，呈現出對 等價關係意義理解產生困難，同時對符號所代表的數量大小混淆，致使列式 與計算步驟錯誤，透過合適的課程設計與教師適切的教學導引，學生能從合 宜的代數問題或情境中，表現出更為優異的推理解題能力。陳彥廷與柳賢 (2009)以國中一年級的學生為研究對象，運用「測驗」與「語意流程圖晤談」

兩種管道進行研究，研究結果指出高層次學生大多發展出對文字符號代表「一 般數」類別的理解，低層次學生則大多只發展出對文字符號代表「特定數」

類別的理解。

綜觀上述文獻，往昔有關代數的研究大部分著重於代數的某一概念進行 認知層面的探討，或以傳統晤談的方式來分析，以分年細目指標為單位的認 知診斷之分析甚少見諸於文獻，因此本研究自編試卷，試題內容涵蓋四、五 年級代數分年細目，期望進行整體性的分析，能對分年細目所涵蓋之概念間 的結構關係有更完整的了解。