本章就本研究之背景與動機進行敘述，並以此說明本研究之重要性，接 著闡述本研究的研究目的，並對相關名詞做明確的的釋義。
第一節 研究動機
民國 82 年版的國小數學課程標準中，代數概念被包含在數與量概念的探 討裡，沒有另立主題，直到學生進入國中就學後，代數才成為學習的主題之 一。民國 92 年國民中小學九年一貫課程正式綱要公布之後，算術學習仍為課 程的主題，但已將代數獨立出來另立主題，目的是希望能幫助學童發展解題 策略，培養學生的抽象思考能力(莊舜如，2006)。不過，由於算術的學習仍然 是國小數學學習的主體，所以在解題策略的發展上，應儘量讓學生做多方探 索，避免讓代數工具過早抑制學生的想像力(教育部，2003)。因此，在國小的 代數主題中的學習都已併入數與量的教學中，而不獨立為特別的教學單元。
從兩個版本的課程標準演變，可以看出代數在數學領域中的重要性。
國小的代數課程是由算術轉變為正式代數的轉換時期(黃寶彰，2003)，從 算數轉換到代數之學習，最主要的困難是學習辨認新的數學物件(Vergnaud, 1997) 。學生不只要做新符號的運算，同時還需要了解未知數、方程式、變 數等新的概念，再加上學生採取直觀方式(intuitive methods)解決算術問題的習 慣，對於代數和算術之間符號意義與用法辨識不清，因而無法順利地從算術
轉換到代數(Kieran, 1992)。由此可知，學生學習代數主題時，容易產生哪些 困難以及老師該如何幫助學生解決這些困難是值得深入探究的。
在量化的研究中，針對知識結構的分析方法相當多，例如：次序理論 (ordering theory)、概念構圖(concept mapping)、徑路搜尋法(pathfinder)、試題 關 聯 結 構 (item relational structure, 簡 稱 IRS) 、 詮 釋 結 構 模 式 (interpretive structural modeling, 簡稱ISM) 和規則空間(rule space)等，其中IRS為M. Takeya (1980)所提出，用來分析試題之間的層次關係，藉以瞭解受試學生的概念架 構，不過IRS分析法中的元素關係僅限於二元關係，只能繪製試題間的概念結 構圖，使其在應用上大受限制，因此，Lin, Bart, and Huang (2006)擴展了原來 的IRS，提出多元計分試題關聯結構(polytomous item relational structure, 簡稱 PIRS)，可針對多元的資料加以分析，以期能更適切的呈現受試學生的概念結 構圖。
一般的教師在教完一個段落後 會以評量的方式瞭解學生的學習狀況，但 老師往往只看到學生的成績表現，卻不知道學生的錯誤概念為何，補救教學 是在教師診斷落後學生學習困難處之後，提供對症下藥的教學策略，幫助落 後學生解決學習上的困難。然而在有限的時間與人力下，老師無法針對個人 的問題給予適當的課業輔導，只能選擇以同一種方法進行全班性的補救教 學，落後學生的進步空間實在有限。所以本研究提出模糊集群(fuzzy clustering) 來當成分群的方法，嘗試以學生的作答反應組型來當成分群的依據，藉此將
屬於同一類型的學生形成同一集群，以方便教學者針對不同類型的學生實施 適性教學(adaptive instruction)，從而達成因材施教的目的。
基於上述，本研究旨在以代數概念為主題，以國小四、五年級學生為施 測對象，依據民國92年公布的九年一貫代數四、五年級分年細目為指標，自 編評量工具，評量後的結果運用模糊集群將學生分群，並運用多元計分試題 關聯結構探討學生的代數概念結構。
第二節 研究目的
基於上述研究動機，本研究之目的列舉如下：
一、探討國小四、五年級學生代數概念的多元計分試題關聯結構圖特徵。
二、利用模糊集群方法分群，分析國小四、五年級不同集群學生代數概念的 多元計分試題關聯結構圖之異同。
第三節 名詞釋義
針對本研究所涉及之相關名詞的界定與說明如下：
一、代數概念
本研究所指的代數概念是以民國92年公布的國民中小學九年一貫課程綱 要數學領域中，以國小四、五年級代數主題之分年細目為範圍，其中四年級 部分包含4個分年細目、五年級部分包含5個分年細目。
二、模糊理論
模糊理論是由L. A. Zadeh於1965年所提出的理論，其將元素和集合之間
的關係以模糊集合A表示為： A ＝
i= n x
x u
i i
A( ) 1,2,...,
，其中xi為元素，uA(xi)
為元素xi隸屬於模糊集合A的隸屬度(membership) ，以介於[0,1]之間的隸屬度 描述元素屬於模糊集合的程度。其可將人類思維和概念之過渡邊界以數學方 式表達及運算；另一方面也擴展了不確定性(uncertainty)的現象，將隨機性所 無法表達的另一種稱之為模糊性(fuzziness)的不確定性呈現出來(楊敏生、劉曼 君，1996)。
三、模糊集群
結合模糊理論與傳統集群分析兩種概念，即為模糊集群。在模糊集群中，
以隸屬度為決定元素之間距離的重要因素，模糊集群的方法有很多，由於本 研究屬於大樣本，故選用目標函數法(objective function)，又稱Fuzzy c-means (FCM)之集群分析。將相似程度高的元素視為同一集群，不同集群間的相似 程度低。
四、多元計分試題關聯結構
M. Takeya 於1980年提出二元計分試題關聯結構(item relational structure, 簡稱IRS)，由於IRS受限於二元計分的限制，故Lin et al. (2006)將其擴展為多 元計分試題關聯結構(polytomous item relational structure, 簡稱PIRS)。