模糊理論

壹、模糊理論

「模糊」一詞乃是指「不分明」、「不明確」、「界線不清」之意(九章 出版社編輯部，1989)。由於人類本身的個體性、主觀及情感世界的不確定性，

因而在思考或推理問題時，常常產生許多不確定性，不自覺地使用了模糊數 學之原理和方法(藎壚，1991)。

模糊理論是由L. A. Zadeh 於1965年提出的一種定量表達工具，用來表達 某些無法明確定義的模糊概念，尤其是在表現人類語言特有的模糊現象方 面，有良好的成果(闕頌廉，1994)。模糊理論有別於古典數學的二元邏輯(非0 即1)集合論，認為元素和集合的關係可以用介於 0 和 1 之間的隸屬值來表 示，將一事件正反可能的變數加以處理而獲得最接近真實的答案，更能解釋 許多實務現象(林原宏，2001，2005a；簡茂發、劉湘川，1992)。模糊理論為

何會被廣泛地研究且成功地應用在多種領域上的主要的原因有兩點，一是其 簡單性，另一則是它帶動了人類科學思想的革新。傳統科學的宗旨是精益求 精，模糊理論則使科學研究裡原本確定、精準的部分仍歸於確定與精準，但 是本身具有模糊特質的部分卻也能還其模糊本色，使得模糊現象本身所蘊函 的資訊能夠全然地被擷取。另一方面，模糊理論也軟化了人機介面，使得人 工智慧及類神經網路得到更合理的解決。近年來，市面上不少所謂標榜Fuzzy 的家電產品，雖然有些是言過其實，但是不可否認的，其如同一股旋風，橫 掃整個家電市場，模糊理論不只是理論，更是實用的標誌(胡平夷、張亦妤、

陶虹沅、林麗華，2006；楊敏生，1994)。

模糊理論將元素與集合之間的關係，以介於[0,1]之間的隸屬度來描述，

以下為模糊理論的兩種定義。

一、模糊集合定義

令U 表示全域(universal set)，µ為一函數，即µ：U →[0,1]，則U 之模糊 子集 A的隸屬函數記為µ_A(x)，表示元素x隸屬於模糊集合 A的程度。而且：

(一) 在離散(discrete)的情況下，模糊集合 A 可表示成：

A ＝

1 1) ( x

A x

µ ＋

2 2) ( x

A x

µ ＋…＋

n n A

x x ) µ (

其中的「＋」號並不是連加的意思，而是表示模糊集合中的元素x與其隸 屬函數記為µ_A(x)對應關係的總括。

(二) 在連續(continuous)的情況下，模糊集合 A 可表示成： A ＝

∫

模糊關係矩陣(fuzzy relation matrix)用以描述兩集合元素的關係程度。假 設集合X 有 m 個元素且集合Y 有 n 個元素，則兩集合元素x 和_i y 之間的關係_j

參、模糊集群

Zadeh (1965)提出模糊理論，使元素和集合的關係不再是傳統的二分法，

而是以隸屬度表示之，隸屬度為介於[0,1]之間的實數值，用明確的數字，來 描述元素屬於模糊集合的程度。

集群分析(cluster analysis)又稱聚類分析，是一種數值分析方法，可將群 體中具有相似特性的族群歸併在一起；在同一組資料中，找出數個聚類中心，

將資料分成數個合適的聚落，使分在相同分割區塊內的資料相關性較強，不 同分割區塊內的資料相關性較弱(吳柏林，2005)。集群分析與傳統分類方法不 同之處，在於傳統分類法的分類準則是事先決定的，而集群分析則是按照自 然類別(nature grouping)，將分佈於某一計量空間的點予以分類，其目的是希 望集群內的元素同質性高，而集群間的元素異質性高。集群分析依目的不同，

主要區分為「階層集群方法(hierarchical clustering method)」和「非階層集群 方法(non-hierarchical clustering method)」(林邦傑，1981； Lin and Hung, 2007)。

結合模糊理論與集群分析兩種概念，即為模糊集群。在模糊集群中，隸 屬度為決定元素之間距離的重要因素。模糊集群的方法有很多，本研究以模 糊集群進行樣本之分析，屬於大樣本資料，選擇「目標函數法」進行分群，

說明如下(Bezdek, 1981)：

目 標 函 數 法 可 描 述 每 位 個 體 的 隸 屬 度 ， 是 非 線 性 最 佳 化 (non-linear optimality)的數學規劃方法。假設有N位分析個體，以n=1,2,3,…,N 表示，每

位個體有M個變項，以m=1,2,3,…,M 表示，則已知的資料矩陣呈現如下： 群，基本的目標函數定義如下(Bezdek, 1981)：

( ) ∑∑

[

]

決定初始值(initial value)和收斂標準ε後，經過相互迭代法(iteration)迭代 至u 、_cn v_cm收斂，最後得到的隸屬度矩陣U 和類別中心矩陣V 即為所求(林原 宏，2005)。目標函數得到的極小值可能是局部極小值(local minimum)，因此 可考慮不同的初始值來估計參數。以上是在知道集群數為 C 的情況進行，至 於集群數的選擇，本研究根據使用較廣的分割係數(partition coefficient)和分割

亂度(partition entropy)這兩個指標作為參考依據，以決定集群數。在實際應用

式受限於二元關係的限制，應用模糊理論截矩陣(α-cut)和察覺模糊邏輯模式 (fuzzy logic model of perception, FLMP)，分析高年級學生分數減法概念結構。

黃秀玉(2008)以國小低年級學生為研究對象，結合模糊集群與廣義多元計 分次序理論，以縱貫研究(longitudinal research)探討國小低年級學生在整數加 減法各類型文字題的解題表現、所隸屬的集群，以及所有受試學生與各集群 學生，在四個類別知識結構跨時間的變化情形，各群學生的知識結構特性以 及其知識結構之差異情形，研究結果指出各群學生的知識結構特性，以及其 知識結構之差異情形，可供教師做為診斷之依據和教材編製與補救教學之參 考。

朱國明(2001)採用隸屬度的觀念，發展新的模糊集群分析方法來建構市場 區隔，再利用模糊產品區隔與建商資源整合觀念發展產品分類評估模式，並 透過線上分析系統以提供建商能快速的回應市場的變動，以作為建設公司推 案產品之規劃及評估之依據，透過模式可分析不同產品組群之差異及結構狀 況，研究結果指出該研究所發展的新模糊集群分析方法，不但可以真正表現 出市場的原貌與內涵；亦可測試出消費者的忠誠度問題。

綜觀上述文獻，模糊集群運用的層面極廣，且能將資料作適當的分群，

是目前很常使用的分群方法。所以本研究嘗試以模糊集群分析方法進行研究 對象分群，藉由適當分群，將相似的樣本歸為同一群，探討各群概念結構之 差異，進行PIRS圖之繪製與分析，提供教學者在補救教學上之參考。