(一) 旅程重點
1. 佈題：試證明三角形三高交於一點 2. 呈現歐氏幾何的巧思
12 按照《九九課綱》，坐標幾何為高二上學期第二次段考範圍，但學生可能在高一或國中已接觸。
(二) 活動流程
活動 格次 活動流程
佈題 1,2,3
◎ 說明三角形三高共點的不簡單(non-trivial)性質，並指出體驗 旅程的任務為證明此性質
◎ 連結國中幾何學習的舊經驗，複習關於相似三角形的性質與 證明手法──AA 相似、SAS 相似
◎ 將證明三高共點的目標作轉換，轉換為證明兩高交點與第三 頂點的交線是三角形的第三個高
示範 證明
4
◎ 以歐氏幾何證明三角形三高交於一點
◎ 漫畫VT.A4.113：利用AA 相似指出幾組顯而易見的相似三角 形，說明 ∆ ~∆ ~∆ ~∆
◎ 漫畫VT.A4.2：聚焦 ∆ ~∆ ，得到其對應邊成比例
◎ 漫畫VT.A4.3：將上述對應邊重新組合後，轉而觀察另一組 三角形，聚焦∆ ~∆ ，得到 ∠ = ∠
◎ 漫畫VT.A4.4：聚焦 ∆ , ∆ ，引導學生自行說出
∠ = ∠ = 90°，並宣布證明完畢
◎ 以漫畫VT.A4 的四張圖回顧整體證明流程
回顧 反思
5,6,7
◎ 漫畫VT.A5：讓學生發表對此證明的感覺
◎ 視情況可彈性說明此證明發想的背後過程
◎ 漫畫VT.A7：點出歐氏幾何常需要巧思的感想，以托勒密學 習幾何沒有皇家大道(There is no royal road to geometry.)的軼 事作結[22]
13漫畫 VT.A4 代表漫畫 VT.A 的第四格漫畫。漫畫 VT.A4.1 則代表漫畫 VT.A4 中，由上至下的第 一個圖。本文所有漫畫編碼皆以此類推。
(三) 活動說明
1. 以漫畫 VT.A4 回顧歐氏幾何的整體證明
回顧整體證明流程時，說明證明步驟的巧妙在於利用不同相似三角形，使得 角度的性質能夠互相傳遞，搭配漫畫VT.A4 的四張三角形圖，四張圖分別對應證 明過程中不同相似三角形的組合，以整體回顧加強歐氏幾何需要巧思的想法。
2. 引導學生發表對此證明需要巧思的感覺
學生對此證明的想法常為其過於巧妙，教學者可順水推舟指出兩點較為巧妙 的關鍵。一為漫畫VT.A4.1,2，在眾多相似三角形中挑選對證明有幫助的組合，的 確是不簡單的任務；二為漫畫VT.A4.2,3，用到 SAS 相似性質，比起 AA 相似的普 遍性，學生較不習慣SAS 的性質，又此處將對應邊重新組成為另一組相似三角形 的對應邊，連用兩次SAS 性質，且其一為逆定理，拉高此步驟的困難度。故教學 者在此處可特別提出此兩步驟讓學生討論，緊扣歐氏幾何常需要巧思的小結論。
3. 視情況可分析此證明的發想過程
若學生程度及時間許可，可嘗試分析此證明的發想過程作為補充。例如：
若 ∠ = ∠ = 90°，那麼應該要有∠ = ∠ ，因此關鍵就變為如何證 明 ∠ = ∠ ，而由於目前欠缺關於F的資訊，想辦法將 ∆ 換成其他三 角形，與 ∠ 有關還有 ∆ ，於是企圖證明 ∆ ~∆ …。由於教學活動 A 的目標為透過歐氏幾何證明的實際操作，使學生體驗到歐氏幾何需要巧思，為 爾後坐標幾何、向量幾何建立比較點，因此，分析證明的發想過程並非為了自然 想到證明，而是更能加強歐氏幾何證明的巧思。
■ 漫畫 VT.A
１我是小歐，我喜歡奇蹟 所以我，喜歡三角形
2三角形總是有辦法，
讓三條線輕易的交會
3奇蹟中的奇蹟是，
我能保證奇蹟。
4
5好難。太神了！想不到。 6樓梯好長！！ 7奇蹟，本來就沒有捷徑