二、故事裡求和公式的安排
第四節 數學歸納法教案
( + 1) 明顯 普遍 適合，注意干擾
表7-3.3：基本求和公式作為數學歸納法例子的適合度
問題最大的是 ∑ = ( )( ) ，其規律不明顯，無法使用歸納法，本 不適合作為數學歸納法的例子，缺乏適合的推導方式，偏偏又是基本求和公式，
教科書總以天外飛來一筆的方式處理，常將其列為練習數學歸納法標準形式的例 題，無法避免學生不自然的感覺，即使補上圖7-3.1 的無字證明，終究是馬後砲，
間接加強數學歸納法總是在「事後諸葛」[33]，弱化數學歸納法為歸納法補強的威 力。故若欲在【級數】中安排數學歸納法的教案，必須要為 ∑ = ( )( ) 找到歸納法的出路。
綜合以上所述，在【級數】中採取體驗脈絡的教學立場設計數學歸納法的體 驗旅程時，有四點注意事項：
1. 數學歸納法必在歸納法之後 2. 要設計奠基步驟的討論
3. 避免以 ∑ 作為數學歸納法的引例 4. 一定要處理 ∑ 歸納法的部分
第四節 數學歸納法教案
一、教案大綱
(一) 教學目標使學生體驗到能為歸納法提供嚴謹證明的數學歸納法之威力。
(二) 教學細目
1. 使學生能猜測公式 ∑ = ( )( )，並以數學歸納法證明 2. 使學生能猜測公式 ∑ = ( ( )) ，並以數學歸納法證明
3. 使學生能了解數學歸納法的證明步驟 4. 使學生能明白數學歸納法與歸納法的差異 (三) 教學時機
1. 【數列】大多教學完畢，但遞迴數列中以歸納法猜測的一般式尚未證明 2. 已引進符號「Σ」，學生明白 ∑ 表示 1 + 2 + 3 + ⋯ +
3. 學生已非常熟悉 ∑ = ( ) (四) 相關數學內容
數學歸納法；基本求和公式：∑ 、∑ 、∑
(五) 縱覽體驗旅程 1. 故事設計理念
以歸納法猜測基本求和公式，同時以簡單例子提醒歸納法的不足後，引進數 學歸納法證明各公式；按照課綱安排數學歸納法的原意，使歸納法、數學歸納法 各司其職，恢復數學歸納法補強的地位。從中感受數學歸納法保證真確的威力。
2. 體驗旅程預估時間：3 小時 3. 體驗旅程活動順序
重要活動
教學活動A
◎ 以簡單歸納法暖身，提醒學生擁有歸納本能
◎ 複習求和公式 ∑ = ( )
◎ 以歸納法猜出 ∑ = ( ( ))
教學活動B ◎ 以 + + 41不必然為質數的事實提醒歸納法的缺陷
教學活動C ◎ 以數學歸納法證明 ∑ = ( ( ))
教學活動D
◎ 以歸納法猜出 ∑ 應為 n 的三次式，並找之
◎ 回顧四部分漫畫，體會歸納法的不簡單以及數學歸納法的 補強角色
二、教學活動 A
(一) 旅程重點
1. 提醒學生其擁有歸納法本能 2. 配角 ∑ = ( ) 登場 3. ∑ = ( ( )) 準備登場 (二) 活動流程
活動 格次 活動細目
歸納法 暖身
1,2,3
◎ 以頭三隻黑天鵝，引導學生歸納天鵝是黑的
◎ 介紹歸納法，使學生了解歸納法是常用手段，但同時以 此誇張例子，提醒歸納法的易謬性
4,5
◎ ：2,4,6 …，以此三項引導學生猜測 = 2
◎ 類比黑天鵝的例子，提醒學生此猜測來自歸納法，故不 一定正確。
複習
∑ 6
◎ 學生計算 ∑ 的至少前 4 項
◎ 嘗試歸納 ∑ 的一般式發現困難，以此提醒學生歸 納法不一定可行
7,8 ◎ 以高斯小故事複習梯形公式 ∑ = ( ) 歸納
∑ 9,10 ◎ 學生計算 ∑ 的前4 項，並觀察規律
(三) 活動說明
1. 白天鵝與數列的類比
全世界天鵝都為黑色的錯誤結論故事性較高，易查覺歸納法造成的荒謬，相 較之下，以 ：2,4,6 … 的前三項歸納一般項 = 2 ，學生易忘記其同樣不完 整；兩相並列類比，使學生感受數列與天鵝的例子完全一樣，進而明白只要是歸 納法的結論都不算完整。
2. 複習 ∑ = ( ) 之目的
本體驗旅程一定要先複習求和公式 ∑ = ( ) ，目的有三個：
(1) 提醒學生歸納法不一定可行
在 ∑ = ( ) 的教學上，通常直接推導公式，很少先嘗試歸納法，故在 此特別帶領學生進行歸納的動作，提醒學生歸納法不一定可行。
(2) 為猜測 ∑ 公式作準備
由 ∑ 的前幾項1,9,36,100… 可猜出 ∑ = (1 + 2 + 3 + ⋯ ) ；但 學 生 必 須 已 熟 悉 ∑ = 1 + 2 + 3 + ⋯ = ( )， 才 能 順 勢 得 到 ∑ =
(1 + 2 + 3 + ⋯ ) = ( ( )) 。 (3) 輔助 ∑ 為n 的三次式的猜測
由於 ∑ = ( ) 是 n 的二次式，且 ∑ ( ( )) 是 n 的四次式，體 驗旅程設計以此切入協助學生猜出 ∑ 是 n 的三次式，輔助 ∑ 的猜測 歸納，故一定要讓身為配角的 ∑ = ( ) 先有戲份。
■ 漫畫 MI.A
１阿瓦非常愛找規律， ２彷彿找到規律， ３就可以控制世界。
４大部分的時候， ５阿瓦都能輕鬆解決； ６但有時，阿瓦也會卡住，
７幸好總是有高手神助， ８讓阿瓦可以另謀解答。
９一日，阿瓦如往常般到處觀察， １０找到了有趣的規律…