文史學生的數學教室：愉悅的體驗旅程

國立臺灣大學理學院數學系 碩士論文

Department of Mathematics College of Science

National Taiwan University Master Thesis

文史學生的數學教室：愉悅的體驗旅程

Mathematical Classroom for High School Students with Humanity Tendency: A Delightful Journey Experiencing

the Power and Value of Mathematics

高子婷 Tze-Ting Kao

指導教授：翁秉仁 博士 Advisor: Ping-Zen Ong, Ph.D.

中華民國 102 年 1 月

2013 January

i

謝詞

到了真的要寫謝詞的時候，反而卡住了，五年半的我 啊如何訴說，就變成之後生命的養分吧。從一股不甘心衝 動考研究所，到休學去北一實習，到考上大直，到以為要 結婚，到家裡一團混亂，到美國，到Berkeley 的哲學課，

我說，I want to find the meaning of life。然後助教說，I’m afraid that you may be disappointed。然後看著台下的學生，

心裡想著對不起老師也不知道數學學好又怎樣。

感謝翁秉仁老師，容許我的三心二意以及胡作非為，

我想我真是一個想大鬧一場卻又沒膽的人；現在就覺得在 老師的保護之下應該可以更亂來的，可惜(笑)。感謝張海 潮老師、陳宏老師、蔡聰明老師，推了我的論文一把，啊！

順便謝謝葛登能好了，開啟我的亂畫人生。

感謝我親愛的爸爸、媽媽、弟弟、妹妹、奶奶，（這行打 完就哭了，嘖嘖）又想推到結婚再說，應該不會太久，哈哈 哈，只有內行人才能了解這行的重量，熱熱的飯、默默的洗 碗、開房間門的問候、遙遠的電話…太多了，你們多多多的 愛，讓我總是用不完。就讓我用行動回報吧 : )

大直的朋友們，數學科、兆珍、雨萍、芸欣、可瑜…我 的天列不完，你們讓我有勇氣瘋狂，並為能來到大直不止一 次感謝上帝。感謝我的學生，能夠站在你們面前表演，真是 我的榮幸，讓我每次都覺得能當老師真是賺到了。琬青、麗敏、北一老師們，幫 助我茁壯、開花。感謝籃球人！籃乙、工數…像我這樣圓滾滾的人好幾次在籃球 場上透過你們又獲得能量，啊，十二年。凱機、錦屏，謝謝妳們讓我當一坨爛肉。

前前前、前前、前男友XD (保護當事者)，這篇論文部份歸功於你們在我生命擦出 的痛苦和搞笑，謝啦。眾友人及前輩，誠溫良、朝陽、醉月…對不起我真的沒有 辦法全部列出來，請讓我用請客表達我的誠意。

感謝眾姊妹，真的，真的，瓊芳的明娟及清玉 小組、慎貞的伊吟小組…讓我爬出黑暗入奇妙光明，

然後還可以繼續不斷結結結出美麗的果子，發出燦 爛的光芒。這一路、這一路，這一路有多美好，讓 生命剛強，讓生命芬芳，充滿暴跳的眼淚、幾乎不 可能的饒恕、深深的感恩、滿滿滿滿的恩典，及亮

亮亮亮的愛。對了，大家都快去認識上帝吧，這比看論文重要唷。最後，感謝我 的親愛的上帝老大，何其有幸，能為人師，讓我所有恩賜都成為祢合用的器皿吧。

摘要

本研究替高中數學老師找到較適合文史學生的體驗脈絡的教學立場，老師的 任務是帶領學生進行以故事為主軸的體驗旅程，使其能親自體驗數學知識的威力 及價值。本文將以向量、虛數、數學歸納法的教案作為示例。

關鍵字：文史學生、體驗脈絡的教學立場、威力、向量、虛數、數學歸納法

Abstract

This research project develops a mathematical pedagogy called experience-context stance, which is more appropriate for high school students with humanity tendency.

The major task of the teacher is to guide students going through a story or epic telling journey, so that the students can experience, by themselves, the power and value of the learning subject. We also provide three lesson scenarios, which include vector, imaginary number and mathematical induction, to demonstrate this teaching stance.

Key words: students with humanity tendency, experience-context stance, power, vector, imaginary number, mathematical induction

目次

口試委員會審定書 i 謝詞 ii

中文摘要 iii 英文摘要 iv 第一章 緒論 1

第一節 研究動機與前言 1 第二節 研究目的 3

第二章 常見的教學立場 5

第一節 常見的數學學習目的 5 第二節 常見的教學立場 10 第三章 體驗脈絡的教學立場 16

第一節 數學學習的價值性目的 16 第二節 體驗脈絡的教學立場 17

第三節 體驗脈絡的教學立場與其他立場的比較 20 第四章 發展體驗脈絡教學立場的教案 24

第一節 九九課綱 24 第二節 HPM 教學 27 第三節 教案發展 32 第五章 向量教案 35

第一節 九九課綱中的向量 35

第二節 高中幾何現有的教學問題 36 第三節 故事材料的分析 38

第四節 向量的教案 43 第六章 虛數單位教案 55

第一節 九九課綱中的虛數單位 55 第二節 虛數單位現有的教學問題 56 第三節 故事材料的分析 58

第四節 虛數單位的教案 61 第七章 數學歸納法教案 72

第一節 九九課綱中的數學歸納法 72 第二節 數學歸納法現有的教學問題 73

第三節 故事材料的分析 75 第四節 數學歸納法的教案 79 第八章 總結 93

第一節 教案綜合討論 93 第二節 結語 96

參考文獻 101 附錄 103

表次

表2-2：常見教學立場的統整………15

表3-3：各教學立場與體驗脈絡教學立場的比較………23

表4-1：《九九課綱》的必修課程 ………25

表4-2.1：採用 HPM 教學的理由 ………29

表4-2.2：《九九課綱》中的 HPM 教案………31

表5-1.1：數學 III 的內容架構 ……… 35

表5-1.2：數學 IV 的內容架構 ……… 35

表5-3.1：兩定理不同幾何層次證明的統整 ……… 42

表5-3.2：兩定理不同幾何層次證明時所用到的數學工具……… 43

表6-1：【多項式函數】內容架構 ………55

表7-1.1：【數列與級數】內容架構 ……… 72

表7-1.2：【數列及其極限】內容架構 ……… 72

表7-3.1：基本求和公式的規律明顯度……… 76

表7-3.2：認識基本求和公式的其他方式……… 78

表7-3.3：基本求和公式作為數學歸納法例子的適合度……… 79

圖次

圖5-3.2 中點定理證明 (有坐標) ………38

圖5-3.3 三高交一點證明 (無坐標) ………39

圖5-4.4 三高交一點證明 (有坐標) ………39

圖7-3.1：∑ = ^{( )( )} 的無字證明 ………77

圖7-3.2：∑ = ( ^{( )}) 的無字證明 ……… 77

圖8-1：三個教案的架構圖 ………94

第一章 緒論

一位主修英文的學生如果反對學習必修數學課程，

那麼他總是有道理的──至少由他看來。

教師就有責任向他說明這項課程對接受高等教育的人一生的價值。[1]

第一節 研究動機與前言

走在數學老師的道路上，「為什麼要學數學？」的困惑總是不斷浮現，對於我 以及我的職業，這當然是非常重要的問題，對此最俗氣卻實際的回答莫過於「考 試會考」，此解答勉強被某些師生接受，但要是身為數學老師的我，除此外沒有別 的答案，我實在教不下去。幾年來，給過自己許多答案，大多為暫時的搪塞，若 不強迫自己停止思考，總害怕沒完沒了、沒答案，那麼，隔天站在黑板前的我豈 不心虛？

然而，每次碰到社會組學生，「為什麼要學數學？」就成為不得不面對的大哉 問，尤其是遇到當中志向為文學、歷史、戲劇、設計…的文史學生，內心的糾結 就特別難纏。

某年暑假教導社會組的數學重修，班上有大部分學生屬於文史學生，甚至有 確定錄取設計相關學系的學生，因為未拿到必修數學學分被迫重修。當時的課程 內容是空間向量，空間向量是社會組及自然組的共同必修。我手裡拿著空間平面 與法向量的模型，正在教導外積的內涵，心裡卻一直想替這些文史學生找一個「為 什麼要學數學？」的完美答案；然而，所有聲稱世界處處有數學的例子，沒有一 個能說服我，因為我很確定：空間向量、平面方程式、外積、點到平面的距離…，

這些文史學生以後用到的機會真的微乎其微。於是，面對文史學生的我，每每只 好搬出最大王牌「數學訓練思考」，硬壓下「為什麼要學數學？」在我心中的迴盪。

2009 年，許多文史學生心目中的第一志願台大外文系，決定不採計指定考科

的數學乙成績，引起軒然大波，台大外文系主任梁欣榮在接受《台大學生報》專 訪時，如此說明：

基於教育部要減輕學生升學壓力的原則，而數學對外文系學生的重要性較低，

所以成了不採計的對象。…大部分外文系學生在大學中都不會接觸數學，畢 業後也很少以此為業，而且外文系是要培養英文頂尖的專業人士，數學對此 幫助很小，所以讓有數學優勢而英文不太好的學生進入外文系並不明智。以 往採計數學成績，會把一些英文能力好、數學不好的學生排除在外，這對於 趨向專業知識分工的臺灣社會也沒有好處；現在不採計數學，可以招收多一 些英文很好的同學，也是在『為國家做好事』…¹[36]

台大外文系宣佈「外文不計數」後，許多對於文史學生學習高中數學的不諒 解瞬間爆發，但反對「外文不計數」者也所在多有。反對「外文不計數」者認為 數學提供文史學生思考的訓練，且現今要培養通才而非專才，故文史學生當然也 要學數學；贊成「外文不計數」者則提出不同的論點，認為文史學生缺乏數學訓 練依舊能有好表現，而且文史學生真的用不到數學；另一種較折衷的看法是文史 科系維持採計數學，但降低數學的權重，且要改變教學文化。各方聲音從「為什 麼要學數學？」一路吵到「要怎麼教數學？」，眾人意見交戰，一直沒有圓融解決。

隔年11 月，台大外文系決定恢復採計數學乙，風波雖然平息，但已鼓動我想 解決矛盾的靈魂，剛巧新學期又接任兩個社會組班，看著當中文史學生因數學憂 愁的眼神，最大王牌「數學訓練思考」再也說不出口。正如張海潮針對「外文不 計數」的反省：

社會組的科系包括文學、藝術、法學、教育、政治、經濟、財經、管理等，

學生人數約是自然組的1.5 倍，如此眾多的學生在進入大學後，都在最短時間 內把高中所學的數學忘得一乾二淨。我們不禁要問教育家，這樣的投資到底

1 底線為筆者所加

值不值得？[16]

在台灣的升學制度下，不管這樣的投資值不值得，每位文史學生都被規定得 紮紮實實完成三年的學習。有些文史學生由於升學，老實的跟著學校學習；也有 很多一邊罵：「為什麼要學這個？以後又用不到！要不是考試要考…」，但另一邊又 知道數學成績好很吃香，硬著頭皮學；最直接的在紙條上憂憂詢問：「親愛的老師，

到底為什麼我要學數學？」

大哉問常駐我心，一路上跌撞閃躲，卻總是躲不過文史學生的糾纏。如今，

終於有勇氣好好面對，究竟怎麼樣的數學課才是我希望帶給文史學生的？什麼才 是我希望離開高中後的文史學生能留在心中的？無論哪門學科，總要為自己任教 的學科辯護。現階段，雖然我還是菜鳥老師，也想試著為自己對於文史學生的意 義辯護。希望藉由這次淺薄的討論，為文史學生的數學學習找到可能的出路，找 到M.Kline 所指的「一生的價值」²。

當然，更重要的是，找到有幸成為數學老師的我的一生的價值。

第二節 研究目的

本文最終目的是想替教導文史學生的高中數學老師找到一條可能的出路。按 照較狹義的解釋，文史學生指性向為文學、歷史的學生，本文的文史學生則泛指 其往後就讀的科系，幾乎用不到一點高中數學的學生，此類科系涵蓋中文、外文、

傳播、藝術、歷史、設計…等，商管、財經相關學系則不在範圍內。

本研究一開始將先討論適合文史學生的教學立場。「外文不計數」事件中各方 聲音從「為什麼要學數學？」一路吵到「要怎麼教數學？教什麼數學？」，即是從 數學學習目的之爭論自然衍伸到教學立場之爭論。回首自己幾年來徘徊於「為什

2 此處「一生的價值」呼應緒論開頭引言最後一行的「一生的價值」

麼要學數學？」的問題時，也發現自己在短短幾年內，曾採取各種不同的教學立 場，即在不同數學學習目的下，因教學目標的差異，進行教學的流程不盡相同，

有時選取不同的教材、有時強調不同的例題……等。教學立場與數學學習目的密 切相關，故本文雖從「為什麼要學數學？」的疑惑出發，但在解釋文史學生的數 學學習目的之後，更重要的是針對文史學生的數學學習目的，提出對應的教學立 場。

在理論之外，本文希望能兼顧實際面，故欲嘗試在現行《九九課綱》內容中，

以新教學立場發展適合文史學生的教案。除做為新教學立場的舉例外，也希望在 教案中能查驗以往教學上常見的問題，希望以此說明在實際教案中，採用新教學 立場的優點，突顯新教學立場的特性。

簡而言之，本研究將針對高中文史學生，回答以下問題：

1. 文史學生的數學學習目的為何？

2. 適合文史學生的教學立場為何？

3. 在現行《九九課綱》內容中，新教學立場呈現出的教案可能為何？

第二章 常見的教學立場

為替教導文史學生的高中數學老師找到不同的出路，本章將反省目前教學現 場中常見的教學立場。由於教學立場與數學學習目的密切相關，教學者呈現教學 立場的背後，常隱含某種數學學習目的，故此章先分類常見的數學學習目的，分 析其論點及其不完滿處，再將常見的教學立場分成實用脈絡的教學立場、邏輯脈 絡的教學立場、人性脈絡的教學立場三大類，探討各教學立場對於文史學生的適 用性。

第一節 常見的數學學習目的

關於數學學習目的，不論是我自身的心路歷程，或是「外文不計數」事件中 各方人士提出的意見，皆略可歸入蕭文強於《為什麼要學習數學》中所分出的「實 用知識、思維訓練、文化素養」三大目的[26]。本節將略以此分類為架構，融入眾 家所言，將數學學習目的分為實用性目的、思維性目的、文化性目的作討論，釐 清各方理由，並指出其套用於文史學生時，可能所受的批評。

一、實用性目的

外文系不採計數乙的決定，除配合教育部政策，最重要的意見是外文系學生 用不到數學，反對「外文不計數」的人馬則不斷提出數學實用的證據，其爭吵的 關鍵就在數學學習的實用性目的。

(一) 實用性目的之主張

欲以實用性目的說服文史學生學習高中數學者，主張數學充滿實際用途，故 文史學生當然要學高中數學。日常的實用性、科學的實用性是最常見的兩種實用 性，另外，針對文史學生也有不少人提及刻劃美的實用性。

日常的實用性指例如計算金錢的基本算術，或是在日趨量化的社會趨勢下，

職業或現代公民所需處理數量的能力。如S. K. Stein 在《給青年數學家的信》的序 言中表示：數學實際應用無孔不入，認為數學沒有實用價值，只是沒有意識到數 學早已滲透其中──若將用到數學的事物貼上紅色標籤，整個地球必定會被紅色標 籤蓋滿[4]。在現代化社會中，量化的思想滲入生活，故支持實用性目的者認為文 史學生很難真的與數學³畫清界線。

再者，幾乎所有人都同意解釋物理時常會遇到「數學不合理的有效性」

(unreasonable effectiveness of mathematics) [3]；除去數學，科學不會是今日豐富面 貌，此即數學在科學的實用性。數學的不同稱號，諸如科學的皇后、科學的語言、

科學的工具、科學的夥伴等，也肯定數學在科學中的實用性。隨著計算機的發展、

統計學的興起，數學也深入生命科學、社會科學，故支持實用性目的者認為，文 史學生處在現今的科學時代絕不能缺少數學訓練。

針對文史學生，實用性目的較特別的一種解釋是刻劃美的實用性，即以數學 刻劃與文史學生較有關的領域。例如：以黃金比例分析人體完美比例、以碎形描 述某種重複形式的美感、以射影幾何表示繪畫透視法…等；坊間的科普書，也常 提及隱藏的數學謎題，例如：欣賞雕像的最適合距離、最節省材料的裝飾方式…

等，無非都在試圖連結數學與文史學生較有關的領域。

(二) 實用性目的之相關批評

身為現代公民的文史學生需要處理數量的能力，然處理數量的能力究竟屬於 何種深度的數學有待釐清。U. Dudley(2010)就特別區分了初等算術(arithmetic)與數 學(mathematics)。他認為一般人會有大部分職業都需要一點「數學」的迷思，是因 為誤把初等算術與數學劃上等號，初等算術在美國是指八年級以前的數學課程[37]。

在台灣，現代公民於日常生活中所必備的數學能力，大多在高中以前學習完畢，

故若單以日常的實用性說服文史學生學習高中數學，稍嫌不足。

3 此處「數學」實為下文中 Dudley(2010) 所指出的「初等算術」(arithmetic)

另一批評完全同意高中數學實用，但認為高中數學實用性無法強迫所有人學 高中數學。大眾多同意現代社會之所以能順利運作，很大部份是依賴初等算術之 上的數學，也同意數學擁有刻劃美的實用性。然而，一個學科擁有豐富的實用成 果，並不代表所有人都必須學它，一如並非所有人都必須學會寫非常實用的電腦 程式，也並非懂了數學，才能進行偉大的藝術創作。因此，實用性目的很難做為 文史學生學習高中數學的目的。

二、思維性目的

反對外文系不採計數乙的另一派意見，認為數學可以訓練文史學生思考，不 該單以實用性作為採計與否的判斷依據。數學本身的特性，使世人大多認為數學 可以訓練思考，是一所「很好的思考學校」[8]，此即數學學習的思維性目的。然 而，也有不少人認為思考一詞範圍太廣，數學訓練的思考是否為文史學生所必需，

又是否只有數學才能訓練文史學生所需的思考便成為爭論關鍵。

(一) 思維性目的之主張

欲以思維性目的說服文史學生學習高中數學者，主張高中數學訓練學生如何 思考，文史學生的學科本身多半強烈需要思考，故文史學生當然要學高中數學。

思維性目的長期作為數學學習目的的最大王牌，在「外文不計數」的爭論中，諸如：

「文學家需要有充份的邏輯訓練」[16]、「日常生活需要下判斷」、「凡事說理」、「學 習解決問題」、「抽象思考可看見問題本質」…，就是以思維性目的作為反對「外 文不計數」的理由。文史學生即便用不到數學，在其專業領域的學習中，諸如詮釋、

批判、創作、辯論、決策、管理…等的過程裡，還是需要解決問題、下判斷的思 考，故思維性目的便成為辯護文史學生必須學習高中數學最被人接受的論點。

(二) 思維性目的之相關批評

數學訓練的思考通常與邏輯思考及抽象思考劃上等號：邏輯思考即數學的演 繹推理，數學是特別要求嚴謹論證的學科，數學裡，凡事追根究底；抽象思考則

是數學優異於其他學科的特色，因為抽象，數學常能掌握問題本質，也因為抽象，

數學享有「思維的自由想像與創造」[25]。然而，文史學生的此兩種思考是否需要 到達高中數學所訓練的深度，又是否一定得經由高中數學訓練，便成為考慮關鍵。

文史學生日後所需的思考需要訓練，但不一定要來自高中數學。《紅樓夢》作 者曹雪芹當年的數學不過小學算術程度，張海潮就曾以此為反例質問「數乙與邏 輯何干」[16]。蕭文強則指出生活的判斷根本不必由數學中學[26]。M.Kline 也表 明人們過份誇耀數學演繹推理在人生中的價值：「在數學訓練心智的爭論中，即使 學生也嗅到職業騙徒的味道」[1]。數學訓練思考並不代表其他學科不訓練思考，

文史學生的重點科目如國文、公民、歷史…等課程也訓練思考，且其訓練的面向 比高中數學更貼近文史學生的未來。

另一個批評認為數學雖然講求道理，但常希望用抽象的數學語言說理。然在 文史學生生活的一般世界裡，雖然還是需要一點抽象思考，但不需要太多抽象的 數學語言，國中階段所學似乎就已足夠。抽象的數學語言，雖可突顯問題本質，

但文史學生面對的問題，通常不需要太多高中數學裡的抽象語言，那麼，文史學 生投資大量時間熟練高中數學裡抽象語言的必要性就消失了。故即便數學能訓練 抽象思考，但若其只是著重在抽象語言的熟練，就不一定能訓練到文史學生真正 需要的層面，思維性目的也就不如一般認為的有說服力。

三、文化性目的

從非歐幾何動搖幾何真理的地位、經歷基礎化運動、乃至哥德爾不完備定理 的這段時期，數學哲學經歷較大的變動，I. Lakatos 提出擬經驗(quasi-empirical)數 學觀，肯定數學有人類活動的經驗成分[41]；P. Ernest 進一步提出社會建構主義 (social constructivism)，強調數學裡充滿人的影響，他認為數學整體知識的建構，

雖非主觀恣意生長，但也並非如演繹系統脈絡歷歷[38]。數學哲學的變動多少提醒 數學教育數學有另一面向：數學是人類建構的知識、是一種人類的活動、是一種

文化。因此，學習數學可以幫助我們了解人類文化，此即數學學習的文化性目的。

在「外文不計數」事件中，討論焦點是實用性目的及思維性目的，軟性的文 化性目的也許因為不是數學課堂上最主要的面向，幾乎未被提及，然而，文史學 生與人類文化息息相關，在討論適合文史學生的教學立場時，文化性目的應該占 有一席之地。

(一) 文化性目的之主張

支持文化性目的者認為，高中數學與人類文化密切相關，文史學生當然要學 習數學。數學與文化的密切性，可由被動面或主動面切入，數學可以是人在類進 步中被發展的智慧，也可以主動深刻影響人類文化。

數學可視作人類進步中所發展的工具，故數學發展反映人的發展，如蕭文強 所言：「數學發源於生產實踐，人類在活動中累積感性知識，逐漸把這些知識綜和 整理，最後再把數學知識放到實踐中考驗」，其以「數學發展史」稱之[26]。文史 學生透過數學發展史，能瞭解人類文化發展一個重要面向。

數學更常轉而主動深刻影響文化，如懷德海所云：「數學的脈絡造就了歷史」。 鄭毓信就曾指出西方文明對上帝的想法隨著數學改變，從希臘數學藍圖的自然觀，

經過中世紀結合神學後，人們認為上帝依數學創造世界[25]。M.Kline 也曾說明文 史學生學習數學的重點：

…[學習數學的]首要目的，不是精通數學的概念和技巧，而是能夠欣賞數學角 色如何影響、甚至決定西方文化⁴。欣賞和技巧久已認為是文學、藝術和音樂 的目標，同樣的理由，也應是數學的目標。…[1]

支持文化性目的者同意克萊因的觀點，明白數學影響文化甚鉅，而因為高中數學

4 底線為筆者所加

是數學知識的一部分，其認為文史學生若忽略高中數學，對於文化將缺少重要的 理解。

(二) 文化性目的之相關批評及反思

文化性目的範圍極廣，數學發展史幾乎等同於學習數學史，主體是歷史而非 數學，已使「為什麼要學數學？」的反省轉換到「為什麼要學歷史？」[26]。另外，

在數學的主動面上，若希望學生達到如M. Kline 要求的水準，學生需要有深厚的 人文知識及數學知識，才能由數學的變革深刻反省文化，在目前高中數學的教學 現場中，不論是教學時間、教學材料、師資…都有執行的困難，故以文化性目的 作為高中數學學習目的稍嫌不實際。

第二節 常見的教學立場

在實際教學現場中，並沒有特別為文史學生設計的教學立場，文史學生會碰 到的教學立場與一般學生無異。本節從常見的教學立場中分出三種類型──實用脈 絡的教學立場、邏輯脈絡的教學立場、人性脈絡的教學立場，分析各教學立場背 後數學學習目的，並以文史學生的角度反省各教學立場的適用性。雖然在實際教 學現場中，教學者大多混和採取各種立場，很少純粹出現某立場，但為了方便討 論，本節在介紹各立場時，僅呈現各立場較看重的面向。另外，以升學考試為學 習目的之教學立場，雖然很常見，但由於無法真的使正常數學老師及一般學生心 服，遑論文史學生，故不再深入探討。

一、實用脈絡的教學立場

實用脈絡的教學立場是非常普遍的教學立場，目前高中數學教學現場所遵行 的《九九課綱》就鼓勵此立場⁵。其認為學習數學是為了熟悉各項數學工具的運用、

能以數學工具解決問題、或為將來較深的數學工具打基礎，即肯定學習數學的實

5 詳見第四章第一節

用性目的。教學最重要的目標是教會學生如何應用數學工具，並使學生熟悉各項 數學工具的操作，其它目標皆為次要，故稱實用脈絡的教學立場。常見的教學順 序如：以例題講解工具，再請學生練習類題，並無固定的教學順序，只要最後能 使學生熟悉數學工具的操作及使用即可。整理如下。

1. 教學目標：使學生熟悉如何使用數學工具 2. 隱含的數學學習目的：實用性目的

3. 教學重點：教導數學工具的正確使用方法，並知道如何應用 4. 教學流程：

實用脈絡教學立場的教學目標為使學生熟悉數學工具的使用，期能幫助學生 實際運用數學工具，其立場以實用性目的為基礎，對於日後需要大量應用數學工 具的自然組學生，是很適合且有效率的教學立場；然由上一節的分析，已知實用 性目的不完全適合文史學生，故即便文史學生達成了實用脈絡教學立場的學習目 標，熟悉高中數學中各個數學工具的應用，對於其日後的幫助並不顯著。

二、邏輯脈絡的教學立場

邏輯脈絡的教學立場，教學上呈現嚴謹的邏輯架構，以邏輯的順序為教學順 序，故稱邏輯脈絡的教學立場。教學最重要的目標是使學生徹底了解數學知識為 什麼正確。1960 年美國的新數學(New Math)即屬此立場。此立場較不重視機械式 的數學工具練習，認為數學的嚴格證明及嚴謹架構能訓練思考，以思維性目的作 為學習數學最重要的目標。新數學失敗後，已少有教學者採取極端邏輯脈絡的教

(教學順序)

知道 怎麼

熟練操作

解例題

熟練操作 工具教學

類題練習

解習題

工具

怎麼

學立場，但「由於大多數教師都經過嚴格的純數學訓練，形式主義的典型現象，

或多或少仍發生在我們的教學場域中」[35]，特此一提。

1. 教學目標：使學生了解數學知識為什麼正確 2. 隱含的數學學習目的：思維性目的

3. 教學重點：呈現數學理論結構以及思考的嚴謹邏輯架構 4. 教學流程：

邏輯脈絡教學立場的教學目標為使學生了解數學知識為什麼正確，期能使學 生在證明推理中，達到思維性目的。然而，人們從新數學的失敗中明白極端的邏 輯脈絡的教學立場不僅往往不能達到思維性目的，也因為完全依從邏輯順序過於 冰冷抽象，非常違反學生的學習進程，故幾乎所有學生都不適用極端邏輯脈絡的 教學立場，遑論文史學生。

在現今教學現場，教學者常混和採取邏輯脈絡與實用脈絡的教學立場，一方 面希望學生熟悉數學工具的應用，一方面教導其背後的原理，然而，文史學生即 使了解數學知識為什麼正確，心中也會嘀咕：「那又如何？我又用不到！」，不明 白該數學知識正確與否的重要性在何處，故邏輯脈絡與實用脈絡的混和立場，似 乎還是沒有特別照顧到文史學生。

三、人性脈絡的教學立場

人性脈絡的教學立場可能是最接近文史學生的教學立場，相對於邏輯脈絡，

其較注重數學中的人味，在教學上欲呈現人類整體或個體發展數學的過程，期使 (教學順序)

嚴謹推理 證明

證明 嚴格定義

嚴謹推理

定理

了解為 什麼 為什

麼

知識建構過程更符合學生心理自然發生的順序，故稱人性脈絡的教學立場。通常 會與其他立場混用，是輔助性的教學立場。最重要的目標是幫助學生了解數學知 識發展的自然過程，使學生感受數學人性的一面，而較不排斥數學。常以歷史的 順序或發現的順序為教學順序。

歷史的順序呈現人類整體發展數學的過程，由於此過程也常反映學生學習的 順序，故按照史實編排教學順序，往往能顧及學生心理自然發生的順序。其常見 的教學材料如：數學家傳記、古文本、數學歷史。目前台灣許多HPM 的教案即屬 此⁶。其除做為輔助性立場外，也有許多教學者希望透過史料，呈現數學與人類文 化的關係，隱含數學學習之文化性目的。整理如下。

1. 教學目標：使學生了解人類的數學發展史 2. 隱含的數學學習目的：文化性目的

3. 教學重點：呈現人類整體發展數學的過程 4. 教學流程：

發現的順序則更加強調學生的主權，期待學生能以自身的發現自然建構出數 學內容，藉此呈現人類個體發展數學的過程。教學上希望透過學生本身的建構過 程，使學生明白數學與人類活動密切相關，並經由建構的過程，訓練學生解決問 題或思考的能力。教學常見的活動如：提問、腦力激盪、自由猜想、討論…等。

隱含數學學習之文化性目的、思維性目的。整理如下。

1. 教學目標：使學生了解建構數學知識的自然過程

6 見第四章第二節

(教學順序)

符號創造

歷史故事

古文本 人物背景

符號發展

歷史故事

了解人 類數學 發展史 怎麼

來

2. 隱含的數學學習目的：文化性目的、思維性目的 3. 教學重點：呈現人類個體發展數學的過程

4. 教學流程：

乍看之下，充滿人味的人性脈絡的教學立場似乎已經替文史學生找到一條學 習高中數學的出路，然實際施行時，卻往往使文史學生負擔更重。

以歷史的順序進行數學教學，幾乎等同於教導數學發展史。過程中歷史變為 主角，史料及文本的摻雜，學生不容易抓到數學的重點，尤其套用於文史學生時，

文史學生常關注於數學發展史中非數學的部份，使重要數學內容失焦。

再者，數學發展史裡的主要人物，通常都是數學名家，掌握數學的能力非一 般人可比，希望文史學生短時間消化由其呈現的數學發展史，實顯困難。如以當 初的「sinus」介紹到現今正弦表的記號「sin」[20]，雖使正弦定理中外接圓半徑的 出現較符合人性，文史學生卻容易因為過多的符號而混亂；另外，也由於濃厚的 歷史感，即使文史學生了解數學工具的來龍去脈，也會認為那已是歷史、是當時 的事，不見得明白現在「為什麼要學數學？」。

而若以發現的順序取代歷史的順序，期待文史學生自行建構數學知識，享受 發現的樂趣[23]，也會有實際教學上的困難；高中數學已經是成熟的數學工具，並 非一蹴可幾，通常需要長時間沉澱、簡化、選擇符號，文史學生很難在濃縮的高 中數學課堂裡，自行經歷如此漫長的發現過程；若由教學者給予提示，又因缺少 緩慢的累積與修正，容易使日久醞釀的創意發想變成神來之筆，失去原來希冀的

(教學順序)

自由猜想 討論

引導 提出問題

討論

驗證

了解數 學建構 過程 怎麼

來

人性脈絡。

總之，為了遵循人性脈絡，不只可能使文史學生學習數學的過程更加繁雜，

也往往因需要非常長的教學時間而無法徹底落實。

四、教學立場的統整

在實際的教學現場裡，教學立場不一定壁壘分明，有時教學者會混用不同的 教學立場，但仍常有主要及次要的分別。表2-2 為各教學立場的統整，可作為分辨 教學立場的參考依據。

教學立場 實用脈絡 邏輯脈絡 人性脈絡 學習目的 實用性 思維性 文化性、思維性

教學目標 熟悉如何使用及應 用數學工具

了解數學知識為什 麼正確

了解數學知識發展 的自然過程

教學重點 教導數學工具的使 用方法及其應用

呈現數學理論結構 以及思考的嚴謹邏 輯架構

呈現人類整體或個 體發展數學的過程

套用於文史

學生的狀況 不太適用文史學生 邏輯脈絡不可行 有實行困難 表2-2：常見教學立場的統整

第三章 體驗脈絡的教學立場

第二章已說明在文史學生不太適合現有的教學立場，本章將嘗試提出適合文 史學生的教學立場──體驗脈絡的教學立場。第一節討論不同於實用性目的、思 維性目的、文化性目的之價值性目的；第二節說明價值性目的下，數學學習內容 及課程進行方式的應有的調整，提出體驗脈絡的教學立場；第三節則將體驗脈絡 的教學立場與實用脈絡的教學立場、邏輯脈絡的教學立場、人性脈絡的教學立場 作比較。

第一節 數學學習的價值性目的

對於文史學生而言，實用性目的、思維性目的、文化性目的縱使皆有其缺失，

當中仍有觀點可供參考。實用性目的、思維性目的雖然被過分延伸以至被否決，

但數學本身擁有的威力並未被否定，數學在實用性的豐碩成果有目共睹，且思維 性目的提及的邏輯思考及抽象思考，也的確是人類用以接近世界及追求真理的重 要方法；文化性目的則反映數學哲學的變革，雖然用於教學現場時太過理想，但 也作為思考數學學習目的時一種提醒，即在考慮數學時，不可忽略人參與的份量。

不僅肯定數學的威力，同時也注意數學中人的參與，融合此兩反省，就產生了數 學學習的價值性目的。

一、價值性目的

數學學習的價值性目的意指：學習數學，才能在數學的威力當中，深刻體驗 人類深度思考的價值。數學是「人的發明力和創造力的紀念碑」[1]，是人類一窺 世界的鑰匙，身為人類的文史學生，至少要能明白屬於全人類的紀念碑究竟紀念 了什麼、了解以數學理解世界及探究真理的優點是什麼、解決問題的過程中以邏 輯思考及抽象思考的好處是什麼，此即數學的威力；而由於數學是人類的產物，

在學習數學的過程中經歷數學的威力，即是在經歷人發明力與創造力的威力，因 此學習數學，便能體驗人擁有以數學接近世界的天賦，進而在數學威力中，體驗

到人的價值。數學的威力提供媒介使文史學生能體驗人類深度思考的價值，此即 數學學習的價值性目的。

二、價值性目的與文化性目的之比較

在實用性目的、思維性目的、文化性目的當中，價值性目的因以新的數學觀 作為基礎，考慮數學裡人的份量，與前兩者有明顯的分別，而與文化性目的較接 近，但兩者仍有很大的差別。

文化性目的之支持者認為，數學與人類文化密切相關，其認為學習數學後，

才能對文化有更深的理解，其目光在人類文化上。以微積分的學習為例，文化性 目的可能是思想微積分的產生對於人類世界觀的改變、探討微積分如何影響科學 的地位；價值性目的則聚焦在數學本身的威力，微積分的學習使文史學生能反思 人類如何單單以數學的抽象思考及邏輯思考，解決原本不簡單的切線問題或是求 面積問題，使文史學生能體驗數學本身的威力，並在當中體驗到人類深度思考的 價值。文化性目的關心數學如何影響數學之外的文化，價值性目的則在數學內部 做反思，兩者並不相同。

第二節 體驗脈絡的教學立場

本節將自價值性目的出發，參考前一章對於各教學立場的反省，保留人性脈 絡的教學立場當中擁有較高的說服力的人味，但同時考慮教學的實際層面，提出 適合文史學生的體驗脈絡的教學立場。

一、價值性目的對應的數學學習內容：體驗旅程

價值性目的之主張是透過數學的學習，文史學生能在數學的威力當中，體驗 人類深度思考的價值，所以，若肯定價值性目的，所採取的教學立場就必須能帶 領學生進行一趟體驗旅程。體驗旅程中，對一數學知識要做的事，是顯明該數學 知識的威力，著重數學知識出現前後的反思，反思使用該數學知識的好處為何，

即帶領學生體驗其威力所在。

體驗意謂學生必須親自參與其中，是一個過程，在親自運用該數學知識的過 程裡去感受其威力，即價值性目的所在意的人的份量；且既稱為旅程，就不可輕 易省略中間過程。故該數學知識的威力不能單單以數學知識造成的最後產品呈現，

例如，教學者拿著電器一邊說明若是沒有根號負一就沒有電器，企圖只透過最後 產品直接說服學生該數學知識的威力所在，學生未親自經歷深度思考的過程，只 看到深度思考的結果，就不算是體驗旅程。

威力要以數學本身的威力為主，使學生體驗數學中抽象思考或邏輯思考的好 處。例如：對數的威力，不在於幫助文史學生實際生活中即使沒有電腦也能完成 大量繁雜的運算，而是使學生體驗以化乘除為加減的想法完成任務的精簡及好處；

三角學的威力，也不在於要幫助文史學生在實際生活中進行間接測量，而是在學 習三角學的過程中，體驗人類如何單單以抽象及量化的幾何圖形或定理完成間接 測量。透過親身經歷數學的體驗旅程，讓學生體驗人類深度思考的極致，體驗人 類深度思考的價值。

總之，對於文史學生，高中數學課程最重要的是提供體驗威力的旅程。威力 的體驗不只在課程開頭引起學習動機，中間過程不可省略，整個課程的主體是威 力的體驗，才可稱作體驗旅程。

二、體驗旅程的設計方式及取材

設計以體驗旅程為本的數學課程時，要設法使學生體驗一個故事。由於其基 礎為價值性目的，目標是使學生在經歷故事後，能體驗該數學知識的威力，因此 故事情節沒有制式的安排順序，數學知識可以在故事開頭出現，一登場就大顯神 威，即教學者直接介紹數學知識，再以數學知識解決問題，顯現其威力；也可以 在故事中間出現，臨危受命跳出來解圍，即教學者佈置困境，不斷嘗試錯誤，再

引入能夠巧妙解決很有威力的數學知識。體驗旅程可用任何方式鋪陳故事情節，

惟所有安排要把握最大原則──呈現數學知識的威力。

為呈現數學知識的威力，體驗旅程設計故事時的取材極廣，惟該材料的必要 性取決於是否能更加彰顯該數學知識的威力，所以，故事不能完全依從數學史或 數學發展史；史實固然有其重要性，但只是幫助學生體驗數學知識威力的輔助背 景，當其與最大原則衝突或因太零碎而使故事衍伸過多枝節時，將選擇改編史實 或刪去，換而言之，史料只是鋪陳故事的參考。

另外，在體驗旅程中請學生計算及嚴謹證明都是允許的，「故事」並不意味其 只看重軟性的史料部分或情意部分，一般認為較生硬的嚴謹證明，若能幫助體驗 旅程的進行，使故事裡數學知識的威力更加突顯，都能採納；但注意仍以最大原 則為優先，最重要是使學生明白該數學知識的威力；因此，證明並非一定要鉅細 靡遺，過於瑣碎的詳盡證明，可適度裁減或提點關鍵。

三、體驗脈絡的教學立場

以體驗旅程設計課程的教學立場即稱為體驗脈絡的教學立場。體驗脈絡的教 學立場以價值性目的為根本，在教學上呈現數學知識的威力，使學生在課程之後 能體驗數學的威力。教學順序以故事的順序為主，故事安排及取材沒有限制，諸 如史料、工具計算、證明推理、趣味問題…都能出現在故事情節裡，惟不能偏離最 大原則──呈現數學知識的威力。最重要的目標是使學生明白該數學知識的威力 是什麼，學習後即便不能熟練的操作數學，也至少曾經體驗過。整理如下。

1. 教學目標：使學生體驗數學知識的威力 2. 數學學習目的：價值性目的

3. 教學重點：呈現數學知識的關鍵威力 4. 教學流程：

第三節 體驗脈絡的教學立場與其他立場的比較

體驗脈絡的教學立場，因以價值性目的作為出發點，與其他教學立場有多處 不同，以下將針對主要的不同點作比較。

一、與實用脈絡的教學立場的比較

實用脈絡教學立場的教學現場，並不缺乏「故事」，但其意義不同於體驗脈絡 教學立場的故事。實用脈絡的教學立場出現故事的目的大致有二，一為引起動機，

在課程起始鋪陳故事，接著花大部分的時間介紹數學工具並帶領學生熟練操作；

(教學順序)

證明推理

工具教學

改編史料 小故事

計算

回顧

體驗數 學威力 數學

有何

(教學順序)

知道 怎麼

熟練操作

解例題

熟練操作 工具教學

類題練習

解習題

工具 怎麼

故事可能出現的位置 引起動機

包裝題目

(幫助故事進行) 整個故事

(教學順序)

工具教學 計算

體驗數 學威力 數學

有何

一為包裝練習題，熟悉數學工具需要練習，但為避免題型過於單調[37]，有時會以 不同的故事作包裝。因此，在實用脈絡教學立場裡的故事服務數學工具，其故事 是零碎鬆散的，但在體驗脈絡的教學立場裡，故事指整個課程，數學工具的操作 或熟練都是為了使整個故事進行、為了使學生能體驗數學的威力而存在，在體驗 脈絡的教學立場裡的數學工具是為了服務故事。

二、與邏輯脈絡的教學立場的比較

邏輯脈絡的教學立場的教學目標為使學生了解該數學知識為什麼是對的，故 證明推理完畢課程即可結束，但在體驗脈絡的教學立場中，證明推理不是整個故 事，只是故事的片段，是體驗旅程中的一個過程。為使學生能體驗數學的威力，

在了解該數學知識為什麼是對的之後，體驗旅程尚未結束，故事必須繼續，呈該 數學知識的正確性所代表的威力後，才能劃下句點。

三、與人性脈絡的教學立場的比較

人性脈絡的教學立場，強調歷史的順序或發現的順序，呈現人類整體或個體 發展數學的過程，期使知識建構過程符合學生心理自然發生的順序，幫助學生感

(故事片段) 故事必須繼續

對的 價值 了解

為什

(教學脈絡)

證明推理

體驗數 學威力 數學

有何

故事結束在此

(教學脈絡)

了解為 什麼對 為什

麼

受數學人性的一面。在當中學生有時也能恰巧體會到數學的威力，這是因為歷史 的順序或發現的順序裡關鍵的突破點，往往就是該數學知識的威力所在。是故雖 然在執行人性脈絡的教學立場時，教學者往往太過遵從史實順序或學生心理自然 的順序而模糊焦點，但此立場提供許多材料給教學者作為思想威力的參考。因此，

兩者的差別在於，其不一定完全依從歷史的順序或發現的順序，而只是將其當作 參考，除非其能幫助學生體驗該數學知識的威力，否則即便與歷史的順序有出入 或不符合發現的順序也被允許。換句話說，在同樣考慮數學中人參與份量的情況 下，體驗脈絡教學立場的重點是該數學知識的威力。

此相異處也可由兩者組成故事的主成分看出端倪。人性脈絡的教學立場常說 故事，但若服從歷史的順序，整體故事必須由數學史支撐，而若服從發現的順序，

則由學生自行發展故事，主角是學生；體驗脈絡的教學立場的主成分則是數學知 識，整體故事由數學知識支撐，主角是數學。

(教學脈絡)

符號創造

歷史故事

古文本 人物背景

符號發展

歷史故事

了解人 類數學 發展史 怎麼來

的？

主角是歷史

主角是人

自由猜想 討論

引導 題出問題

討論

驗證

了解數 學建構 過程 怎麼

來

(為呈現威力，有時改編史料或略過討論直接宣布結果) 主角是數學主角是數學

史料/討論

體驗數 學威力 數學

有何

四、小結

由於體驗脈絡的教學立場最終目標為使學生明白該數學知識的威力所在，不 論是實用脈絡的教學立場著重的數學工具熟練、邏輯脈絡的教學立場重視的嚴謹 推理、人性脈絡的教學立場裡史料或學生自然發現的過程，各教學立場中原本著 重的區塊，在體驗脈絡的教學立場裡，都轉換為呈現數學知識威力的材料，安排 取捨都取決於能否幫助到體驗旅程。整理如表3-3。

換句話說，體驗脈絡的教學立場以數學知識為主體發展整個故事，必須在學 生明白該數學知識的威力後才能結束故事。因此，體驗脈絡的教學立場並不排斥 其他立場的教學順序，甚至在過程中常混合其他教學立場的教學順序，其與不同 教學立場最大的差別，在於教學安排中有無將呈現數學知識威力視為最大原則。

體驗脈絡的教學立場可以說是統整所有立場的最大骨幹。如下所示。

實用脈絡 邏輯脈絡 人性脈絡

各教學立場 零碎的故事、

故事服務數學工具

說明數學知識為什 麼正確後，故事結束

故事主體是數學史 或學生

體驗脈絡的 教學立場

整體的故事、

數學工具服務故事

故事必須繼續說明 該數學知識的正確 性所代表的威力

故事主體是數學知 識

表3-3：各教學立場與體驗脈絡教學立場的比較

歷史的順 方便的順

邏輯的順

體驗數 學威力 數學

有何

發現的順

第四章 發展體驗脈絡教學立場的教案

第二章已完整討論各種數學學習目的及教學立場，在第三章也已提出適合文 史學生的價值性目的及對應之體驗脈絡的教學立場，將嘗試以此回歸實際面發展 適合文史學生的教案。

在正式為文史學生發展教案之前，本章先分析高中數學的目前狀況。第一節 關注現行高中數學遵行的《九九課綱》，分析在《九九課綱》中，為文史學生發展 教案時適合選用的教學立場；第二節則由一般認為較能幫助文史學生的HPM 教學 切入，作為發展教案的參考；第三節則說明如何發展體驗脈絡的教學立場的教案，

並在該節最後解釋本研究如何發展體驗脈絡的教學立場的教案。

第一節 九九課綱

教育部於九十七年一月公佈之《普通高級中學課程綱要》裡的〈高中數學綱 要〉，在九十九學年度正式上路，簡稱《九九課綱》，本研究所提及的數學教學內 容皆屬之。《九九課綱》分成必修課程及選修課程，必修課程是文史學生與非文史 學生都需修習的內容，本節首先針對必修課程做簡介，並說明《九九課綱》較鼓 勵的教學立場，最後探討《九九課綱》中採用體驗脈絡的教學立場的可能性。

一、九九課綱的必修課程內容

《九九課綱》的必修課程有清楚架構──高一數學包含【函數】⁷及【有限數 學】，內容定位為「學習與生活關聯或其他學科需要用到的數學，以建立學生在各 學科進行量化分析時所需要的基礎」。高二數學包含【平面坐標與向量】及【線性 代數】，內容定位為「社會組與自然組學生在學習上所應具備的數學知識，其主題 為坐標、向量幾何與線性代數」[35]。

7 粗體括號【】專指九九課綱中數學內容的名稱，如【函數】指九九課綱中的函數主題。

四冊的詳細內容如表4-1。其又分成 A、B 兩版，文史學生大多會參與的大學 學測範圍為A 版內容，A 版、B 版前三冊的學習內容完全相同，但在數學 IV，A 版不含以下內容：三階行列式的定義與性質、點到直線的距離、兩平行線的距離、

兩歪斜線的距離、三平面幾何關係的代數判定、平面上的線性變換與二階方陣。

本文第五章開始所發展的教案主題皆在A 版中。

學年次 第一學年 第二學年

分冊 數學I 數學II 數學III 數學IV

主題 函數 有限數學 平面坐標

與向量 線性代數

內容

數與式 數列與級數 三角 ＃空間向量⁸

多項式函數 排列、組合 直線與圓 ＃空間中的 平面與直線

指數

對數函數 機率 平面向量 ＃矩陣

數據分析 二次曲線

表4-1：《九九課綱》的必修課程

二、九九課綱與常見的教學立場

《九九課綱》非常鼓勵實用脈絡的教學立場。首先，其三項修訂理念「強調 數學的基礎性、界定核心數學概念內容、導正數學學習文化」的前兩項，表明《九 九課綱》看重學生是否學會使用數學工具，以作為日後「自然科學與社會科學的 基礎」或滿足「生活或其他學科的實際需要」，節錄如下：

8 符號“＃“表示該主題分為 A 版、B 版

1. 強調數學的基礎性

數學是研究各種規律性所發展出來的語言，是人類理性思維的產物，也 是自然科學與社會科學的共同基礎；二十世紀計算機的發明，更促成當代各 學科進行「數量化」與「數學化」的革命。…

2. 界定核心數學概念內容

…高中時期所應學習的數學，應是界定在由生活上的需要、或是其他學 科的需要，所形成的核心內容…⁹[35]

再來，《九九課綱》選擇強化的內容，如插值多項式、數據分析，其強化原因 不外乎應用性高、生活連結性高、與具體世界關聯度高，顯示該數學工具是否實 用乃篩檢的重要標準，也反映《九九課綱》重視數學學習的實用性目的。因此，

在《九九課綱》下進行教學，很自然會選擇實用脈絡的教學立場。

《九九課綱》支持實用性目的，也支持思維性目的，其明確提出「培養學生 以數學思考問題、分析問題和解決問題的能力」作為必修數學的三項目標之一，

在其訂定的七項核心能力中，除了「演算能力」、「使用計算工具的能力」是機械 式操作數學的能力，其餘五項──將具體世界中的概念以數學形式表徵的「抽象 化能力」、認識證明並進行推論的「推理能力」、能整合數學內部並與具體世界作 連結的「連結能力」、解決數學形式與生活情境中的數學問題的「解題能力」、能 利用口語或文字表達解題想法的「溝通能力」[35]──皆與邏輯思考與抽象思考的 訓練密切相關，是數學學習的思維性目的。

雖然《九九課綱》支持思維性目的，但其強烈反對邏輯脈絡的教學立場。《九 九課綱》明言其重要任務是避免以形式主義形成數學教育，記取六Ｏ年代美國與 法國新數學教育改革失敗的教訓，不以邏輯順序為教學順序的重要依歸，而希望 將學生所學的數學與現實世界連結。

9 底線為筆者所加

至於人性脈絡的教學立場，因其為輔助性的教學立場，在《九九課綱》中不 容易直接看出端倪。《九九課綱》中，除了特別重申數學是「研究各種規律性所發 展出的語言」，而強調數學思維模式裡與演繹法同等重要但較符合人性的歸納法之 外，課綱內找不到直接討論人性脈絡教學立場的蹤跡，《九九課綱》對於此立場的 態度是中性的。

三、九九課綱與體驗脈絡的教學立場

體驗脈絡的教學立場在《九九課綱》中雖然看似缺席，但其實已隱藏在《九 九課綱》中。重新檢視《九九課綱》必修數學課程欲達成的三點目標，前兩者分 別對應數學學習的思維性目的及實用性目的，第三點則有價值性目的之味道，顯 示《九九課綱》擁有發展體驗脈絡教學立場的可能性。

1. 培養學生以數學思考問題、分析問題和解決問題的能力 2. 培養學生具備實際生活應用和學習相關學科所需的數學知能

3. 培養學生欣賞數學內涵中以簡馭繁的精神和結構嚴謹完美的特質[35]

甚至，若將「培養學生以數學思考問題、分析問題和解決問題的能力」與「培 養學生欣賞數學內涵中以簡馭繁的精神和結構嚴謹完美的特質」結合，可成為以 欣賞為重點的目標──培養學生欣賞以『以簡馭繁的精神和結構嚴謹完美的數學』

思考問題、分析問題和解決問題的優點。「培養學生欣賞」意即帶領學生體驗，而

「以『以簡馭繁的精神和結構嚴謹完美的數學』思考問題、分析問題和解決問題 的優點」即指數學本身的威力；因此，在《九九課綱》所訂的目標下施行體驗旅 程，與《九九課綱》原意相符。體驗脈絡的教學立場雖不易在課綱內容細目中明 確指出，但在《九九課綱》中選用體驗脈絡的教學立場，非常值得一試。

第二節 ＨＰＭ教學

HPM 是三個英文單字的縮寫，「H」表歷史(History)、「P」表教學法(Pedagogy)、

「M」表數學(Mathematics)，HPM 泛指各種數學史對數學教育的應用[13]。本文中 HPM 教學為運用數學史進行教學的簡稱，HPM 教案為運用數學史於課堂的教案 簡稱。以下先談談進行HPM 教學的理由，說明其教學立場及指出為何一般認為其 能幫助文史學生，接著就現有的HPM 教案反思 HPM 教學所遭遇的問題。

一、進行 HPM 教學的理由

HPM 教學特別希望能幫到容易害怕數學或無法親近數學的學生，在學者曾提 出HPM 教學許多優點中皆可看出此期待，茲將 Fauvel 的十五點理由整理成六大點 作為代表說明[17]，見表 4-2.1。

本文的分類 Fauvel 的理由

1. 增加數學的人味 (1)促進學生的學習動機 (5)改變學生對數學的感覺

(13)使數學不再(在)顯得那麼嚇人 2. 使數學與文化接軌 (2)給數學一個人文面向

(7)有助於發展一個多重文化的表現方式 (12)有助於解釋數學在社會中的角色 3. 歷史脈絡有助學習 (3)歷史的發展有助於課程主題的編排

(4)向學生展現概念的發展過程，幫助他們了解概念 4. 呈現數學的價值 (6)比較古代與現代以確立現代方法的價值

5. 提供教師或學生 5. 延伸學習的機會

(8)提供研究的機會

(11)鼓勵敏銳的學生將眼光放遠

(14)探究歷史有助於支撐數學教師對數學的興趣與 熱誠

(15)提供與其他教師或科目作涉及多項課程的研究 工作的機會

6. 有助於了解學習 5. 困難的發生處

(9)過去發展中出現的阻礙，有助於解釋今日學生學 習困難的產生

(10)學生從瞭解到他們並非唯一遇到麻煩問題的 人，可以獲得一些安慰

表4-2.1：採用 HPM 教學的理由

HPM 教學與文史學生關係可先在第 1、6 點理由看出，其點明採用 HPM 教學 是希望能使數學課程加添人味，期待能幫助容易害怕數學或無法親近數學的學生，

此類學生在文史學生中占大多數；第2 點理由顯示 HPM 教學注重與文史學生較有 關連的文化性目的；而由第3、5、6 點理由可看出 HPM 教學的最大特徵為在教學 上鼓勵遵行歷史的順序，不只顯示HPM 教學偏向人性脈絡的教學立場，也因為歷 史常與文史學生有興趣的學科較相關，使多數人認為以HPM 教學能大幅幫助文史 學生的數學學習。

二、HPM 教學的問題

如同第二章對於人性脈絡的教學立場的分析，HPM 教學雖希望帶給學生數學 的人味，幫助其親近數學，卻常顧及數學史的如實引用，而擾亂數學本身的學習，

使教學得到反效果。例如：林倉億所設計的對數表學習單中，就利用尼可拉斯˙

許凱(Nicholas Chuquet,1445~1488)的觀察指數的史料，希望藉以引導學生自然的討 論對數含意[10]；然而尼可拉斯當時的符號是以「8 」代表「8 是 2 的 3 次方」，此 史料雖忠實呈現了發想過程及符號的變化，學生在接受「 8 = 3」前，需先理 解「8 」的不同於「8 的 3 次方」。此即欲保留歷史的順序，造成學生易與現今指 數符號混淆。

是故HPM 教案發展至今，多數教案設計者都注意到重點是數學而非歷史，即 運用數學史於課堂並不等同教導數學史，盡量將數學史置於輔佐的地位，希望回 歸數學。但由於其常無法完全跳脫歷史的順序，仍舊無法真正避免人性脈絡教學

立場所遭遇的問題。

不過，既然採用HPM 教學常是期待能夠幫助較害怕數學的學生如文史學生，

選擇以HPM 教學進行一個數學課程的原因，除了可能因為該數學主題的史料豐富，

也可能反映了文史學生容易感到數學學習無意義的地方。因此下一段將整理台灣 現有的HPM 教案，作為發展體驗脈絡的教學立場教案時，選取主題的參考。

三、九九課綱現有的 HPM 教案

台灣在相關教師與研究者的努力下，已累積不少HPM 教案，蘇惠玉與林倉億 曾先後將近十五年來與高中較相關的 HPM 資源作彙整¹⁰ [12] [28]，本文保留當中適 合《九九課綱》的教案，以教案為單位作整理。

冊 主題 子題 作者 篇數

函數

數與式¹¹ 0

多項式函數 插值多項式 複數

複數

蘇惠玉 [29]

蘇意雯 [31]

蔡佳燕 [24]

3

指數對數函數 對數表 對數

林倉億 [10]

宋永耀 [6]

2

有限數學

數列與級數 數學歸納法 數學歸納法 等比數列

蘇俊鴻 [33]

馬婉華 [14]

蔡佳燕 [24]

3

排列、組合 二項式定理 林志全 [9] 1 機率 機率

機率

蘇惠珍、陳彥宏 [30]

許志昌 [15]

2

10 HPM 資源為林倉億的用詞。其資料來自《HPM 通訊》(1998-2011)、教育部高中數學學科中心 的〈高中數學電子報〉(-2011)、學位論文(2000-)

11【數與式】有許多關於「根號二是無理數」的HPM 教案，但《九九課綱》已將該內容挪至附錄，

故與此相關教案皆不列入計算。

數據分析 0 平面坐標與向量 三角 海龍公式

和角公式

蘇意雯 [32]

陳建丞 [17]

2

直線與圓 圓

直角坐標

蘇意雯 [32]

蔡佳燕 [24]

2

平面向量 0

線性代數

空間向量 0

空間的直線與 平面

空間的直線與平面 克拉瑪公式

王耀璋 [5]

林倉億 [11]

1

矩陣 矩陣的列運算 矩陣

矩陣

王耀璋 [5]

蘇意雯 [31]

蘇駿鴻 [34]

3

二次曲線 二次曲線 蘇惠玉 [27] 1 表4-2.2：《九九課綱》中的 HPM 教案

以《九九課綱》架構整理HPM 教案的結果見表 4-2.2，其分佈並不均勻，某 些子題重複出現，如：【複數】、【數學歸納法】、【矩陣】；同時卻有主題沒有任何 教案，如：【數與式】、【數據分析】、【平面向量】、【空間向量】。本研究將從次數 較多及較少的主題做發展教案的選擇。藉此說明體驗脈絡的教學立場與HPM 教學 並無絕對相關。

次數較多的如【複數】與【數學歸納法】，本為學生容易問「為什麼要學數學？」

的主題，且【複數】與【數學歸納法】對於文史學生的確較抽象，故選擇【複數】

與【數學歸納法】發展體驗脈絡的教學立場的教案。次數較少的【向量】及【數 據分析】，可能因為是較年輕的主題，缺乏統整好的史料[21]，因而較缺少 HPM 教 案，有時連帶著在教學上容易缺乏人味，使學生想問「為什麼要學數學？」。由於

【數據分析】的應用性較明顯，文史學生於此較少產生「為什麼要學數學？」的 疑問，將以【向量】發展體驗脈絡的教學立場的教案。

第三節 教案發展

一、體驗脈絡的教學立場教案發展

體驗脈絡教學立場的教學目標為使學生了解該數學知識的威力，並以體驗旅 程為手段，使學生經歷一個設計好的故事，在故事當中親自體驗到該數學知識的 威力。因此，教學者採取體驗脈絡的教學立場發展教案時，可粗略分成三步驟。

第一步驟為了解威力，教學者必須徹底了解該數學知識的威力所在；第二步驟為 設計故事，以第一步驟分析的威力為核心發想故事，故事的情節設計緊抓著「呈 現數學知識威力」的大原則，最後第三步驟為發展旅程，以第二步驟的故事為主 軸發展教學活動，即體驗旅程，完成整個教案。

在實際教學時，教學者除了要緊抓著該數學知識的威力外，手邊最好有一份 故事，使在體驗旅程中進行的活動皆能隨時對應到故事的情節，明白當時活動在 整個故事中的地位。

另外，由於體驗旅程的時間通常大於一節課，學生手邊也必須要有一份故事，

方便教學者在體驗旅程進行中，不斷提醒學生故事進行至何處。惟若有時為了呈 現數學知識威力時的效果，不適合一開始就讓學生知道故事的所有情節，可適度 切割故事，扣留一部分，將劇情留待下回分曉，不過在整體驗旅程結束後，學生 還是必須要擁有一份完整的故事。

二、本研究的教案發展

本章之後連續三章，將在現行《九九課綱》內容中，發展三個教案作為體驗 脈絡教學立場的例子。第五章為向量的教案，第六章為虛數單位的教案，第七章 為數學歸納法的教案，這些數學主題即上一節末的選擇。此三章皆包含兩部分，

了解威力 設計故事 發展旅程

前半部分析該教案的數學主題，進行第一步驟「了解威力」，並為第二步驟「設計 故事」及第三步驟「發展旅程」選取材料；後半部為教案，將詳細說明故事及體 驗旅程的內容。

(一) 數學主題的分析重點

欲以體驗脈絡的教學立場回歸高中數學的實際面發展教案，最重要的步驟是 了解威力，現今高中數學的綱領為《九九課綱》，本研究的教案希望能實際在《九 九課綱》下施行，故針對該數學主題提出教案前，將先配合《九九課綱》確立該 數學主題的威力，同時討論該數學主題在實際教學中常見的問題，做為發展體驗 旅程教學材料選取的考慮依據。簡而言之，對於各選取的數學主題，第五章、第 六章、第七章的前半部分將探討下列問題：

1. 在《九九課綱》中，該數學主題的威力為何？

2. 該數學主題教學時常見的問題為何？

3. 欲採取體驗脈絡的教學立場時，應如何選用該數學主題的教學材料？

(二) 教案呈現方式

了解該數學主題的威力及選取對應材料後，後半部分為正式教案，將在當中 呈現本研究設計的故事。本研究將以漫畫呈現故事，搭配對應的活動流程解釋體 驗旅程的帶領方式。

漫畫是教學者手邊整個故事的依據，配合教學流程說明，能了解使用的教學 材料在整個體驗旅程的地位；學生手上擁有的講義中也會呈現漫畫，此部分見附 錄，提醒學生處在整個體驗旅程當中，幫助學生在故事中查驗數學主題的威力。

各章節解釋體驗旅程的帶領方式時，以漫畫的不同階段分隔不同教學活動，

配合各階段的故事情節，解釋實際課堂對應的教學活動，如：示範證明、數學運 算、討論、引導思考……等，指出體驗旅程中埋下伏筆、鋪陳、反思的重要時間 點。

(三) 注意事項

1. 漫畫只是呈現故事的方式之一

漫畫只是本研究選擇清楚呈現整體故事的方式，在體驗脈絡教學立場的教案 裡，漫畫並非必需，若能達到清楚呈現整體故事的效果，任何方式皆可採用。

2. 體驗旅程並非閱讀漫畫就能完成

雖然漫畫呈現了整體故事主軸，但漫畫中出現的數學過程不一定完整，且關 於該數學知識威力的反思，學生不見得光靠閱讀漫畫就能主動進行，故學生無法 只看漫畫就完成體驗旅程。主要學習仍需要在數學課堂上完成，由教學者帶領學 生完成體驗旅程，惟所有體驗旅程的活動都能對應到漫畫呈現的故事主軸上。

3. 教案不特別列出所有習題

本研究在三個教案中雖然只列舉少數習題，但不代表實際操作這些教案時只 提供學生少數習題。只是因為體驗脈絡的教學立場並不排拒其他的教學立場，以 往常見的教學立場中出現的習題，大多也適合在體驗脈絡的教學立場裡提供學生 做練習，故教案不再針對習題說明。另由於體驗旅程最終期望學生能了解該數學 知識的威力，教學者可適度在習題中提點威力所在，也可利用故事提到的例題當 作習題，幫助學生重溫體驗旅程。