第二章 文獻回顧
第三節 人口密度模型介紹及其發展
正確性(Schnore,1972)。
過往對都會區人口分布以及其變遷的實證分析，及對 Burgess 同心圓論的探 討，過往的研究(Clark,1967；陳寬政，1981；黃萬居，1981；鄭彩夷，1983；王 湧泉，1985；何金銘，1991)皆認為 Burgess 的理論極能說明臺北都會區的成長與 擴張過程；也就是說，先前的研究皆認同根據 Burgess 的同心圓說(concentric zone theory)主張都會區自中心點向外為延伸與擴張，因其發展階段而形成一層層的同 心圓瓣，各有不同的土地使用及人口組成。Burgess 的同心圓論所強調的都市成 長之動態擴張過程和都會區的實質發展極為近似；Schnore(1972)認為同心圓說事 實上即是都市成長的理論，詳細描述人口與活動互相影響的動態過程，而 Duncan, Sabagh and Arsdol(1962)與 Guest(1973)也曾以建物年齡定義都會區內的地段年齡，
直接印證人口分布與都會成長的動態關係。
由於 Burgess 同心圓論所強調之都市成長乃是由內往外一層一層擴張的區位 入侵(ecological successive)模式，相當能符合真實都市不斷向外擴張的事實，然 Burgess 雖亦強調歷史因素的影響，但並未說明其影響的實質意涵，故而過長其 誤解後乃有許多都市社會學者及都市經濟學者提出歷史因素如何影響都市發展 其其空間結構的看法(Beverly Duncan,1964；Guest,1973；Harrison & Kain,1974；
Alex,1978)。
根據 Burgess 的同心圓說(concentric zone theory)主張都會區自中心點向外為 刊(Journal of the Royal Statistical Society)發表”Urban Population Densities”一文中
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出更符合都會區人口分布和考量到都會區年齡的人口密度與距離模型(Tanner &Sherratt，1960；Newling ，1969；Graff，1976 謝守紅、宁越敏,2006 王宇,2008)。
經過數年的研究和推廣後，Newling 在 1969 年綜合負指數模型概念提出了二次指 數模型。而在諸多相關領域的研究中，人口密度的研究模型最常被採用與討論的，
依序為 Clark 的負指數模型、Newling 的二次指數模型、Tanner and Sherratt 模型。
接下來，我們將依序詳細介紹各種人口密度模型的形式以及其差異。
一、負指數模型
Clark 在 1951 年所推導出的都市內居住人口分布的負指數模型(negative exponential model)，可以(1)式表示:
d(r) = d(0)e−br---(1)
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而以都會區人口分布而言，b 值可以使我們得知該都市的人口分散(deconcentration) 程度，當 b 值越小意味著該都會區人口已由都市中心點向外遷徙
(Winsboroguh,1963)。我們亦可由負指數模型的 d(0)值瞭解都會區市中心點的擁擠 (congestion)程度，當 d(0)值越小則表示市中心點的人口較為鬆散;而當 d(0)值越大 則表示市中心點的人口越擁擠(何金銘,1991)。
國內許多學者應用 Clark 負指數模型觀察各都會區的人口分布(黃萬居,1981;
陳寬政,1981;王湧泉,1985;何金銘,1991;謝守紅,2006;王宇等人,2006;吳文鈺等 人,2007)，皆印證了 Clark 負指數模型不只可以說明西方都市的人口分布情況，更 可以成功的說明台灣的都市人口分布，更進而說明都市的發展情形、人口聚集、
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Clark 發表負指數模型後，Tanner and Sherratt 為使模型更加適切完善分別於 1960、1961 年提出常態指數模型(normal exponential model)，認為人口密度最高 點不在都會區的市中心，而在於鄰近市中心點的外圍區域，則取對數後的方程式
Tanner and Sherratt 提出常態指數模型後，在都市學者對於該模型的應用後 發現似乎不夠周延，與都市人口密度分布的現象不盡符合，於是 Newling 提出二 次指數模型(quadratic exponential model)。
三、二次指數模型
1969 年 Newling 綜合負指數模型與常態指數模型，提出二次指數模型 (quadratic exponential model)(何金銘,1992)。Newling 應用 Clark 模型討論都市內 人口密度的分布情況，發現在都市人口增加或都市範圍擴大時，都市的人口密度 會隨著都市的發展而產生人口郊區化現象，意即人口密度最高點逐漸向外移動，
市中心點的人口密度因人口外移而出現缺口的現象，稱之為人口密度火山口。因 此模型包含了負指數模型與常態模型，使之可以較為適切地說明人口分布現象。
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Newling 的二次指數模型如下:
二次指數模型:d(r) = d(0)ebr−cr2---(4) d(r)為距離都市中心點 r 處的人口密度
d(0)為都市中心點的人口密度
e 為自然對數的基底(e=2.71828…) b 為密度斜率(density gradient) r 為與都市中心點的距離
而將(4)式取自然對數後，為(5)式，亦可再將(5)求導函數即為(6)式:
ln 𝑑(𝑟) = ln 𝑑(0) + (𝑏𝑟 − 𝑐𝑟2)---(5) ln′d(r) = b − 2cr---(6)
(6)式為(5)式的斜率函數，當 lnˊd(r)=0 時，(6)式即會有極值產生，故可推導 出(7)式:
r(d max) = b
2c---(7) 根據 Newling 的定義人口密度最高點在距離市中心點2cb-處。
二次指數模型經過對數轉換後，則會呈現一個開口向下的拋物線(half parabola,concave downward)，即比 Clark 的負指數模型所做出來的線性曲線更貼 近現況。Newling 認為 Tanner and sherratt 的模型(3)式中有一個缺點，來自於他 假設都市中心距離密度的瞬間改變率為零，而非大於 0 或小於 0，則(3)可轉換為 (8)，即會產生出下列三圖(Newling,1969)。
𝑑𝑟=𝑑0𝑒𝑏𝑟−𝑐𝑟2---(8)
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(1) 當 b 值(都市中心密度的瞬間改變率)<0 時，則會產生下圖:
圖 二-2 b 值<0 指數模型圖 (2) 當 b 值(都市中心密度的瞬間改變率)=0 時，則會產生下圖:
圖 二-3 b=0 指數模型圖
0 2 4 6 8 10
0 2 4 6 8 10
密 度
距離
0 2 4 6 8 10
0 5 10 15 20 25 30
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(3) 當 b 值(都市中心密度的瞬間改變率)>0 時，則會產生下圖:
圖 二-4 b>0 指數模型圖
Newling 模型，當 c=0 而 b>0 時即成為 Clark 模型，當 b=0 時，c>0，則成為 Sherrat 模型。此模型經過許多學者研究驗證，提出西方國家成是在不同發展階 段時的人口分布變動，即分別代表城市在發展早期、中期、後期的人口密度分布 模型(謝守紅、宁越敏,2006)。
透過上述三圖繪製出的二次指數模型的圖示，發現當二次指數為負值時，其 二次指數函數圖形微一個開口向下的拋物線。經驗證二次指數的曲線較能反映出 都會區的人口分布趨勢(何金銘,1991;王宇等人,2008)。
圖 二-5 Newling 二次指數模型
0 2 4 6 8 10
0 5 10 15 20 25 30
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延續 Newling 再透過上述之(6)式，再將方程式層層導出，即推論出都市的發 展時期的四個階段:青年期(Youth)、早成熟期(Ear maturity)、晚成熟期(Late maturity)、老年期(Old age)。在青年時期，b 值為負值，c 值為正值;到了早熟期，
b 值為負值，c 值為正值，但密度斜率更為陡峭，b 值負數值更大。以上是人口 朝向中心商業區聚集的時期，其人口密度最高點位於中心商業區，但人口密度火 山口之情況仍尚未出現。晚成熟期，c 值為負值，b 值為正值，開始出現人口密 度火山口的情況，並發生人口郊區化的現象;老年期，b 值為正值，但會變小，人 口密度火山口開始擴大。再晚成熟期，老年期的兩階段皆為人口郊區擴散的時期 (Newling,1969)。
都市發展階段 b 值 c 值 青年期(young) 負值 正值 早成熟期(Early maturity) 負值 正值 晚成熟期(late maturity) 正值 負值 老年期(old age) 正值 負值
圖 二-6 都市發展階段
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Newling 模型說明了從都市中心的中心商業區外圍地區的人口密度斜率減小，
人口分布逐步趨向均衡，其原因是中心商業區的人口向外圍地區遷徙，並開始出 作是距離的連續函數(Continuous Function)。如果把一都會區自市中心點開始，劃 分為無數個差距即微小的同心圓，每個同心圓的面積πr2，r 為該同心圓的周邊對
因此可以用來表示都會區的擁擠(Winsborough，1963)。
根據上述的推導，我們可以發現人口密度模型乃是一利用 Burgess 都會區位
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同心圓理論來推導之函數。根據其模型估計結果，我們能藉由係數的變化來得知 都會區的擁擠程度以及郊區化現象等重要的都會研究指標，並可有效的和都市理 論作結合與比較討論。