位值之發展與意涵

兒童學習數學從唱數、數數到記數，一連串的運思活動建立起數學 概念，在學習過程中，「記數」─將數量記錄成符號，儼然是重要的一環。

趙文敏（1984）從歷史的角度介紹記數的方法，認為先有數的念法而後有 數的記法，語言發展早於文字符號，而數的語言是用來表達人類心靈最抽

象觀

百八十九，當「 」和「 」字合體成一個文字，即表示6 乘以 1000，

意即6000，合體文字的紀錄表現，顯示了中國古代在表示數的能力極佳；

而後歷代一直沿用，直到將數字符號和位值符號分開寫，數字符號在前，

位值符號在後，如記錄成數量200 記錄成「二百」，這種記數法已經非常 接近十進位位值制的記數法，差別只在於尚未有零的符號，零的表示僅以 一個空位不寫表示。中國古籍中有用「□」符號表示文字脫漏，為了書寫 方便「□」逐漸變成「○」，而在數字的紀錄原本以空位不寫表示零，文 獻上直到《金史》大明曆出現「四百○三」的數字記錄，至此時中國則用 脫漏符號「○」來表示零（王渝生，2006；李如弘，2008；汪菁，2010；

胡重光，2008；郭書春，1994）。

圖2-2-1 甲骨文合文-六千七百八十九（華強遠古史研究，2011）

至於印─阿記數系統成為通行現今世界的記數法，乃由於印度地理位 置上的關係，印度受過許多外來文化的影響，也顯現在數字上，推測印度 的橫式數字記錄，可能學自於中國，東晉曾有高僧前往印度取經，又在唐 朝曾派使節前往協助平定印度的宰相之亂，中印的關係極為密切。印度的 記數法在九世紀中葉出現零的符號「‧」（以一個點表示零），此符號用來 確定各數字的位值，使十進位位值制更臻完備。Fibonacci 曾寫書介紹阿拉 伯人的記數方法，指出印─阿數字的記數法優於羅馬數字，因為印─阿數 字只用了10 個符號即可表示出任何的整數，在十三、十四世紀歐洲商業 掌握在義大利人手裡，為了能與阿拉伯人貿易，印─阿數字在商場上廣為 流傳，至十三世紀末葉，歐洲科學界都熟悉使用印─阿記數法，至十四世

紀，世界上大部分的科學著作都使用印─阿記數了（李如弘，2008；汪菁，

2010；郭書春，1994；趙文敏，1984）。

中國記數法與印─阿記數法皆為十進位位值制，不僅使用符號代表數，

更配合位置的使用，這為兩種記數法奠定下位值基礎，之所以採用十進位 系統，學者專家推測此位值制之發展可能來自於人類因生理因素，與生俱 有十隻手指頭，故對十進位感到習慣和簡單，十是我們常用且熟悉的數，

即使非十進位的羅馬數字，其9 的表示方法為 IX，也可看出是以十為概念，

IX 表示 X 減 I（10 減 1）的意思；愛奴人也以十為概念，用「10 減 4」的 說法表示6；拉丁文的 19（un─de─viginti）亦即「20 差 1」；而源自於德 語系字源ain─lif（哥德語）的英語數字 11 則是以 one─left（10 餘 1）表示，

而12 以 twalif（10 餘 2）表示， 13 則是以 thirteen（3 和 10 合併）表示，

上述各地記數10 都是一個重要的基礎，故可知十是大家廣為熟悉的數，

中文記數法與印─阿記數法採用十進位系統是其來有秩，中國記數法原以 數字符號搭配單位符號，後移去了位值單位符號，只剩下數字符號，例如：

34825 中國記數法原記成三萬四千八百二十五，改記成三四八二五，數字 的位置即賦予了單位，十進位位值制至此成立，而印─阿記數法，具備了 0 的符號後，也完備了十進位位值制（李如弘，2008；唐文標，1980；曹 亮吉，1980）。

胡豐榮（1995）指出記數極為重要的概念即是「位值」，其認為位值 包含了兩個原則：表記原則和數值原則，表記原則是指在數字符號中每個 阿拉伯數碼所在的位置各有其指定的數值；數值原則是指在數字中，相鄰 的兩個數字的冪次關係決定了數字中各個數字的位值。而 Baturo（1997）

也提出印─阿記數系統的十進位位值制表明了數字的位置之間有一定的 關係存在，兩相鄰數字符號之間的關係為10 倍，左邊位置 1 個單位為右 邊位置10 個單位組成，也分別給予「個位」、「十位」、「百位」、「千位」

的位名，在位名當中的「個」、「十」、「百」、「千」則表示位置的「位值」， 在「十位」的8 表示有 8 個十，故為 80，由此，在印─阿記數系統當中各 個數碼所表示的數量是由數碼0 到 9 的面值(face value)和數碼所在的位置 的位值相乘而得。Price（2001）提出其對印─阿記數的看法，印─阿記數 可以用0、1、2、3、4、5、6、7、8、9 此十種數碼表徵所有的數；兩相 鄰的數碼中，左邊位值為右邊位值的十次方，此二位值成10 倍的關係；

數碼的面值與位值相乘為數碼的值；進行數運算時使用符號來表徵，對於 每個位置的運算都有一致性。

Ross（1989，2002）歸納了印─阿記數系統在位值的四個共通性，分 別為十進位、位置性、加法性、乘法性。十進位即為數字左右相鄰位置為 10 倍關係；位置性是指數碼所在的位置決定了數碼的數值，若 5 在百位，

則數值為500；加法性則是數字的總值來自於個數碼所在位置相加而來；

而乘法性質指每個數碼的數值是由面值和位值相乘所得。

Kamii（1986）曾以數字對應方式觀察兒童對位值概念的理解，他首 先在一張白紙上呈現一些圈圈，要求兒童計數這堆圈圈的數量，並在白紙 下方寫出可以表徵這堆圈圈數量的數字，當兒童寫出「16」後，Kamii 將

「16」中的「6」圈起來，要求兒童在圈圈中，圈出可以代表這個數字的 圈圈量，接著又以紅筆圈出「16」的「1」，要求兒童同樣地指出可以表徵 這個數字的圈圈的數量，學童能夠知道「16」中的「1」表示「10」的比 例，一年級的兒童佔0﹪，四年級 35﹪，六年級 60﹪，換言之，這些高年 級的兒童即使已能進行多位數的四則運算，並不必然保證他們有正確的

「位值」概念，但位值概念隨著年紀增長愈來愈清楚。Cooper 和

Tomayko(2011)則觀察記錄學生在同時看了26 和 62 這兩個數字，發現學 生會讀錯這兩個數，並且不認為數字可以由「十」和「一」組成，也不管 26 的個位「6」和 62 的個位「2」只佔個位數位置，認為只要個位 6 比個

位2 大，此 26 就比 62 大等錯誤。

Ross(1989)對兒童二位數概念提出五個發展階段的觀點，分別為全數 (whole numeral)、位置性(positional property)、面值(face value)、建構區 (construction zone)、理解(understanding)，以 52 做為例子，在最初的全數 階段，學童對二位數數字符號的認識是一個全部數量，例如52 代表 52 個 物品，並不知道十位數5 和個位數 2 的意涵；在位置性階段，學童能指出 5 是十位，2 是個位，但尚不了解 5 在十位表示 50，2 在個位表示 2；在面 值階段，學童對52 的 5 所對應的物體是 50 個物體，而非 5 個由 10 個「一」

所組成的物體；在建構區階段，學童知道52 十位的 5 表示 5 個「十」個 位的2 表示 2 個「一」，但學童在此階段的認知屬於過渡階段並不穩定；

在理解階段，學童已掌握位值概念，物體和數字的對應都能清楚正確。

綜合上述可知位值概念涵蓋了加法性與乘法性，所以數字不僅是將數 以符號表徵，印─阿記數的十進位系統更強大的將數加入運算的概念，系 統化的呈現出數的記錄；另外，學童在位值概念的發展具有階段性。