第四章 研究結果
第二節 學童位值概念的認知表現情形
研究者透過對高分組小愷、小君，低分組小翔、小華以及中分組小宬，
五位代表學童對數字的記錄及錢幣的操作和晤談加以了解，得到以下的結 果。
一、 學童的數字記錄表現
研究者從學童的記錄中，觀察學童在自己使用的語言環境下，將數量 從聽覺轉譯成符號時其所使用的表徵方式。當學童學會以符號表示數量後，
計數時就不再需要從頭點數，且其使用的符號有了數量的含意。
在晤談過程中，研究者給予學童紙筆，要求學童記錄下所聽見的數字，
學童即聽即寫，五位代表學童皆依序從高位往低位記錄，小愷、小翔、小 宬三位男學童皆不假思索的以印─阿記數系統記之，三人表現相同。原案 一為小愷的表現過程。
原案一
師：如果老師說六百五十三，你聽到這個數字，你會怎麼記？
愷：六百五十三喔？
師：對。我要你用筆記錄下來，你都是怎麼記的？你用這個筆好了，
字寫大一點。
愷：（手執彩色筆）
師：會記成什麼樣子？
愷：（寫653）
而原案二中，可看見高分組小君原先以印─阿記數系統記數，而後向 研究者問及：「要寫國字嗎？」，確定此問題為開放回答的情況，小君選擇 以印─阿記數系統記數。
原案二
師：小君你寫下五百三十六，聽到五百三十六你要怎麼寫？
君：（寫536，擦掉）要寫國字嗎？
師：你喜歡怎麼寫就怎麼寫。
君：（寫536）
在原案三中，低分組小華在聽完研究者要求後，將所聽見的數字以中 文「六百五十三」記之。
原案三
師：好，小華，老師有問題要問你囉，你把你會的跟老師講，用說的 也可以，用寫的也可以。好，開始囉。耳朵聽，六百五十三，你 要怎麼記？
華：（寫國字六百五十三）
從上述三個原案中發現，小愷、小翔、小宬的反應相較小君、小華來 得快速直接，聽見數字即不假思索以印─阿記數。小君的數字記錄方式則 有兩種，一為中文記數，二為印─阿記數。不論學童的紀錄方式為印─阿 記數或中文記數，學童在記數上皆呈現從高位往低位記。先有溝通的語言 後有符號的發展，在數的發展亦是如此，研究者以中文與學童溝通，而一 字一音是中文的特性，在數字讀法上從高位開始讀起，從晤談中可發現當 從高位開始讀數，學童也從高位開始記數，可推知學童在面臨不同數量單 位時，先掌握大的單位。
藉由錢幣操作，研究者觀察學童在符號和數量之間的認知，學童能以 符號對應語言，且用符號記錄了在語言上所表示的數量，然而符號背後所 代表的真實數量為何，研究者提供了壹元、拾元、百元之教具供學童操作，
用以表現其內在想法。 當研究者給予學童指令，要求學童拿取一定數量 的錢幣，每位學童皆從面額最大的錢幣開始拿取，從百元的數量開始，而 後拾元的數量，最後為壹元的數量，依序拿取。
在原案四中，高分組小愷在拿取時，每次拿取不同面額的錢幣時，皆 從1 開始口誦點數。在原案五、原案六、原案七中，小翔、小君、小華的 操作並未口誦點數。從1 開始點數是數數的最初階段，故口誦點數的學童 表現出最初始的數數方式，而未口誦點數的學童雖然沒有外顯表現，無法 推論是否在心中默數或是有其它的策略，如：兩兩一數、視覺對紙張數量 特別敏銳等方式，但研究者認為未口誦點數的學童在此符號與數量對應操 作上，其對數量掌握比口誦點數的學童在數數上表現更好。
原案四
師：那你剛剛記錄的六百五十三。那如果老師叫你拿六百五十三，你 都會怎麼拿？
愷：六百，一二三四五六（拿百元）， 一二三四五（拿拾元）， 一 二三（拿壹元），這樣阿。
原案五 師：那你從中間拿出五百三十六給老師看。
翔：（抽5張百3個拾6個壹）
原案六
師：好，接下來，這些通通給你使用，你拿出六百五十三給我看。
君：（拿6張百，5個拾，3個壹）好了。
原案七
師：那如果老師要你拿六百五十三，你要怎麼拿？
華：（拿6張百，5個拾，3個壹）這樣吧。
原案八中，在進行中分組小宬的晤談時，研究者疏忽了操作說明，未 約束學童只能以百、拾、壹三種面額來拿取時，學童操作時運用了市面流 通的五百元及五十元面額錢幣。
原案八
師：那我們要將這六百五十三用平常的錢幣來拿，你會怎麼拿呢？你 可以畫下來你會拿的方式。
宬：（畫1張五百，1張一百，1個伍拾，3個壹。）
師：如果我們的錢幣只有一千、一百、十元、壹元，這四種，你會怎 麼拿六百五十三？
宬：（畫6張一百，5個拾，3個壹。）
由原案四至原案八可知，學童在「聽數字，拿錢幣」具體操作時，從 高位開始逐步往低位進行，且未約定使用面額的情況之下，中分組學童能 使用最簡約的方式來達到要求的數量，六百即以1 張五百面額及 1 張一百 元面額鈔票表示，而不以6 張一百元鈔票表示。小宬的表現顯示出其生活 經驗中接觸過五百及五十的面額，且習慣以最簡約、完整而不零散的方式 表達相同的概念，但也顯示教師以錢幣做為十進位教學的教具時應特別的 小心，個、十、百、千是十進位系統所使用的位值單位，教學時出現非十 進位的位值單位「五百」「五十」，容易造成學童在學習以十進位位值表 記錄數量時出現困擾及混淆。
三、 學童的位值解讀表現
研究者透過學童的數字記錄，接著要求學童解釋其記錄的符號各代表
號記錄數量，而這些符號所在的位置即表示位值單位。小華以中文字記數
「六百五十三」，小華的記錄方式同時有了數量和單位；而其餘學童以印
─阿記數系統記數，只有符號未有單位。
在原案九中，高分組小愷在操作時，將數碼配上位值單位，653的6，
小愷解釋為「六百」，小愷的解釋同時呼出數量「六」和單位「百」，所以 6不僅是「6個」，更帶有「百」這個單位詞，653的5稱之為「五十」，接著 繼續澄清「五十」是表示5個十；「3」則表示「3個一元」。
原案九
師：六百五十三，你記的六百五十三，你拿的裡面哪裡有六？你可以 告訴我嗎？
師：這個是六（指數字6）對不對？你拿的這些錢哪邊有6?（手指著 錢幣堆）
愷：六喔？
師：恩，那個六是甚麼？
愷：這一個，六百。
師：這是六百？
愷：恩。
師：那這個五（手指著數字5）是什麼？
愷：這是五十啦。
師：是五十？
愷：恩。
師：五跟五十有一樣嗎？
愷：不一樣。
師：不一樣對不對？那這個五是什麼東西阿？
愷：5是，5個十。
師：5個十，恩，那個3是甚麼呢？
愷：3個一元。
由原案九，小愷在訪談中的表現可知，小愷會依數碼所在的位置給數 碼不同的單位，故小愷記錄下的數碼位置帶有單位意義。
小華與小君對符號的解讀方式相同，在原案十中，可看見小華對符號
的解讀與小愷的差別，只在於小華更清楚的使用「三個百」的說法，「個」
的字眼，將百、拾、壹確定為記數的單位。小華將每個位值單位的數量分 別計數，328解釋成「3個百」、「2個拾」、「8個壹」。而在653的布題時，小 華原將「三」當作位值單位，操作時曾說「1個三、2個三、3個三」，研究 者重複小華的敘述「3個三」，小華聽聞後立刻修正了單位，將「三」改成
「壹」，改口「1個壹、2個壹、3個壹」，顯示小華發現自己的口誤。
原案十
師：好，接下來呢我要拿，然後你告訴我，我拿了多少？（拿3張百，
2個拾，8個壹）
華：（點錢幣）三百二十八 師：寫下來
華：（寫328）
師：三百二十八，然後你記成了328，這個3在哪裡？
華：3個百 師：這個2呢 華：2個拾 師：8呢？
華：8個壹
師：好，接下來呢我要拿，然後你告訴我，我拿了多少？（拿6張百，
5個拾，3個壹）
華：（寫653）這裡有1個百、2個百、3個百、4個百、5個百、6個百。
師：5呢？
華：這邊。
師：怎麼樣說那是呢？
華：1個拾、2個拾、3個拾、4個拾、5個拾。
師：3呢？
華：1個三、2個三、3個三。
師：3個三。
華：呵呵。1個壹、2個壹、3個壹。
由原案十，小華在訪談中的表現可知，小華會依數碼代表數量，數碼
而口誤將「三」視為單位的行為，可推知，視覺的影像會影響個體內在的 思考運作或口語表達。
原案十一中，低分組小翔對不同位置的數碼給了不同的解釋，依序將 3、2、8三個數碼排在一起時，對小翔而言，這並非是三個獨立、無關的 符號。小翔解釋，3表示三百，而只用一個3的符號就能表示三百，是因為 3所處的位置在百位。
原案十一 師：你記成328，這個3是什麼？
翔：是那個（指百元鈔）
師：這個？
翔：（搖頭）這些（指三張百）
師：這些叫做三？
翔：三百。
師：這些叫做三百，那為甚麼你只寫一個3？
翔：因為它....
師：它不是三百嗎？怎麼只寫3？
翔：因為它這裡是百位。
師：那這個呢？這個2。
翔：（比十元幣處）恩 師：這個是二？
翔：二十。
師：二十？那你這裡怎麼只寫了一個2？
翔：因為這裡是十位數。
師：十位數，好。
由原案十一，從小翔說出「百位」、「十位數」可知，數碼所在的位置 對小翔而言具有固定量、固定名稱的功能，從位置的名稱即可知位置所代 表的定量為何，例如從「百位」這位名即知位置的定量是百。
由原案九至原案十一可發現，「數量」和「位置」為小愷、小君、小 華位值概念的兩個要素，以「幾個百、幾個十、幾個一」來表示記錄下的
數字，對學童而言數字不僅是一個圖像符號，還存在著「數量」、「單位」
的抽象意義，此外，研究者透過對話與小翔澄清，如：「這些叫做三百，
那為甚麼你只寫一個3？」小翔會更清楚表明「它是百位」，從中可以更 加確認小翔賦予了名稱給各個數字「位置」，即為「位名」，數碼「3」
在百位就成了「3 個」「百」，表示數量有三百之多。接受晤談的學童所 記錄的數字不僅是數碼的排列，其包含了「數量」和「單位」兩概念，透 過抽象的數碼符號和符號所在位置，表達出一具體的數量。
在百位就成了「3 個」「百」，表示數量有三百之多。接受晤談的學童所 記錄的數字不僅是數碼的排列，其包含了「數量」和「單位」兩概念，透 過抽象的數碼符號和符號所在位置，表達出一具體的數量。