國立臺中教育大學數學教育學系
國小教師在職進修教學碩士班碩士論文
指導教授：謝闓如 教授
國小三年級學童多位數直式加法運
算概念之研究
研究生：雲珊維 撰
中華民國 一○三 年 一 月
摘要 本研究探討小三學童多位數直式加法運算的概念，並透過觀察學童在 錢幣的操作，了解學童在記數、位值、加法計算三個概念上的認知表現。 本研究質量並行，先以自編之多位數直式加法計算試題對雲林縣國小三年 級某班26 位學童進行紙筆施測，再從學童中挑選出 5 位進行錢幣操作晤 談，分析學童在紙筆測驗及錢幣操作時的表現，主要研究發現有： 一、 在多位數直式加減計算試題解題表現方面： 學童計算不進位、進位的題型優於計算雙重進位題型；學童於未知 數字在個位表現最佳，其次為未知數字在百位，而後為十位；學童 於雙重進位題型現不佳。 二、 在學童位值概念的認知表現方面： 學童在數字記錄時，可能採用印-阿記數及中文記數，且由高位開始 記；學童在操作錢幣時由大面額開始，並以最簡約、不零散的方式 表達相同的數量；學童對位值的解讀包含了「數量」和「單位」；學 童操作錢幣以十進位方式進行位值單位間的換算。 三、 學童以具體物操作加減計算題型方面： 學童在不進位題型出現兩種表現，分別為累進性的往上數，繼續添 加錢幣數量，直至界線上方錢幣數量與下方錢幣數量相等；另一種 是將界線上下的錢幣數量相比較，而後將界線上下數量相減求得差 數。學童在進位、雙重進位的題型有四種表現，其一，從高位往低 位逐步比較界線上下面額數量，上下數量遇有差異時，則重組10 個 低一位的面額以補足差異，直至找出未知數量；其二，學童從低為 起算，逢十則進一，湊出未知的量；其三，以嘗試錯誤找出未知的 量；其四，學童將未知數字□視為 0，以計算方式將界線下方錢幣的 值減去界線上所有已知錢幣的值。在操作時，學童會以書寫記錄減
The Study of 3rd Graders’ Concepts and Performance on Column Addition with Multidigit
Abstract
In an attempt to understand connections between children's concpts and performance of addition with multidigit column, this study investigated
conceptualizations and solution strategies of 26 third-graders presented with several multidigit column addition problems. In addition, 5 students were selected for interview via hands-on activites. The results of this study were as follows:
1. Results indicated that the 26 students perform the questions of no carrying and carrying category to be better than regrouping twice.About the place of unknown digit the best performance followed by an unknown digit in unit, hundred , then to ten.
2. When the 5 hands-on listen number they wrote numbers in hundreds , tens to units order with Chinese word or Arabic numbers. In the same way as writing numbers, the 5 hands-on took the money from hundreds, tens to ones. They never took the same denominations more than 10 to mean the same amount. For example,they took one hundred, two tens and five ones but not one hundred, one ten and fifteen ones to show 125. They considered that place value include quanity and unit.They regrouped or decomposed money by decimal system.
3. The performances of the 5 hands-on operating money to find the unknown place are as follows. About no carrying problem,one way the students focused on the unknown place and counted on from how many coins(bank notes) they saw over the blue line. The answer is the number of amount coins(bank notes) under the blue line. Another way is that the students compered every amount of each denomination. When amount of the same denomination was different,students substrcated amount under the blue line and the amount over the blue line. The answer is the unknown place. About carrying and carrying twice problem, students compered every amount of each denomination from high place to low place. When the amount of the same denomination were different, students took ten lower denominations in place of one and then counted step by step from ones. Students operated each ten denominations to be a set to mean a higher
denominations until finding the answer. Someone even found the unknown place throhgh trail and error. Someone looked on unknown place as zero, and he use the total under the blue line to substrcted the total over the line. Students all record what they saw by numbers to reduce many times of counting money.
目 次
第一章 緒論 ………1 第一節 研究動機 ………1 第二節 研究目的 ………3 第三節 研究範圍與限制 ………4 第四節 名詞解釋 ………4 第二章 文獻探討 ………7 第一節 建構理論下的知識學習 ………7 第二節 位值之發展與意涵 ………9 第三節 兒童加減法運算之發展………14 第四節 兒童位值概念與整數加減運算之相關研究………19 第三章 研究方法 ………27 第一節 研究流程………27 第二節 研究對象………29 第三節 研究工具………31 第四節 資料蒐集………35 第五節 資料分析………36 第四章 研究結果………37 第一節 學童「多位數直式加法運算」試題解題表現………37 第二節 學童位值概念的認知表現情形………45 第三節學童以錢幣操作加法計算題型之情形 ………56 第五章 結論討論與建議………81 第一節 結論與討論………81 第二節 建議………88 參考文獻 ………91 中文部分 ………91 西文部分 ………96 附錄………100 附錄一多位數直式加法運算自編試題………100 附錄二小翔訪談逐字稿………102 附錄三小宸訪談逐字稿………109 附錄四小華訪談逐字稿………117 附錄五小君訪談逐字稿………124 附錄六小宬訪談逐字稿………130表 次
表3-3-1 多位數直式加法運算─部分被加數未知自編試題 ………32 表3-3-2 多位數直式加法運算─部分加數未知自編試題 ………33 表4-1-1 多位數直式加法運算整體得分表現 ………37 表4-1-2 多位數直式加法運算各題得分表現 ………38 表4-1-3 不進位題型之得分表現 ………39 表4-1-4 進位題型之得分表現 ………39 表4-1-5 雙重進位題型之得分表現 ………40 表4-1-6 多位數直式加法運算，個位數未知之得分表現 ………41 表4-1-7 多位數直式加法運算，十位數未知之得分表現 ………41 表4-1-8 多位數直式加法運算，未知在百位之得分表現 ………42 表4-1-9 多位數直式加法運算，部分被加數未知之得分表現 ………43 表4-1-10 多位數直式加法運算，部分加數未知之得分表現………44 表4-3-1 五位訪談學童施測試題答題方式與錢幣操作答題方式之比較 …78圖 次
圖2-2-1 甲骨文：六千七百八十九………10 圖2-3-1 中國算籌的數量表示………17 圖3-1-1 研究流程………28 圖3-3-1 錢幣布題示例………34 圖4-3-1 小愷施測試題第 1 題作答方式………59 圖4-3-2 小宬施測試題第 1 題作答方式………59 圖4-3-3 小翔施測試題第 1 題作答方式………61 圖4-3-4 小華施測試題第 1 題作答方式………62 圖4-3-5 小君施測試題第 12 題作答方式………65 圖4-3-6 小君施測試題第 15 題作答方式………65 圖4-3-7 小愷施測試題第 9 題作答方式………70 圖4-3-8 小宬施測試題第 6 題作答方式………71 圖4-3-9 小華施測試題第 9 題作答方式………77第一章 緒論
本研究探討國小三年級學童之位值概念與學童如何以演算能力解決 多位數加法計算問題。本章闡述本研究之研究動機、研究目的、研究範圍 與限制、名詞解釋，分別說明如下：第一節 研究動機
「數」一直以來都是學習數學的第一道門檻，人類從採集、眷養牲口 的自然活動中獲得數量的概念，人對數量的直覺感知能力稱做「數感」， 數感其主要元素為了解整數的位值概念與比較數的大小，以及了解加減乘 除的運算性質與運算對數的影響，同時能透過技巧將數分解或合成以便於 運算和解題（劉曼麗、侯淑芬，2006），國內外教育學者一致肯定數感的 重要性，認為數感教育對學生的數學概念發展十分重要（劉曼麗、侯淑芬， 2006；蘇雅雯，2008；Caray，1992）。數概念為其它數學概念的根基，「數 與量」在小學數學中佔了極大的份量，其中，須運用到加減乘除算則的單 元更佔了小學數學課程一半以上，因此計算是學童學習數學時很重要的一 環，學童在小學階段應培養穩固的基本四則運算能力，有計算能力才具備 了未來成人世界中生活的基本技能，台灣近年來國中小學數學課程與教學 趨勢大致著眼於數學本質以及數學讀寫能力，在國小數學課程中，數和計 算佔了相當的比例，學童認識數而後才能對數進行運算，「全數」是學童 最早接觸的數學教材，認識數即從數數詞序列和位名開始，學童須能掌握 整數數詞序列的規律，並能以具體的量、聲音、圖像、數字，進行說、讀、 聽、寫、做的活動來表徵數，所以欲瞭解計算原理，必須對位值概念有相 當的認識，美國數學教師協會（NCTM，2000）曾指出，位值這樣的基礎 概念應在數學課程中佔有重要地位，學生具有位值概念之後，才能連結數學領域中的其他概念，而記數系統就是運用了數字符號及位置來產生位值， 以表達具體數量，尤其是小學生在計算時需要位值概念做為基礎，而位值 概念隱含在數字當中，是兒童在學習多位數的加減乘除之前所必須具備的 基礎概念，當學生位值概念發展不足，對數字基本知識及位值等概念的缺 乏，會導致學童學習多位數整數加減、小數加減、乘法直式計算的障礙。 （王雪瑜，2006；教育部，2003；梁明華，2013；甯自強，1995；楊德清， 2000；戴久永，1984；羅素真，2005;Cobb ＆ Wheatley，1988；Fuson， 1992；Nataraj＆Thomas，2007； Ross，2002）。 當前通用全世界的十進位制記數系統的結構，其事先預設了學童數概 念的組織活動，一直以來大多數的課本介紹位值和算數演練時，會要求學 童重組，學童並不需要理解位值是將10 視為一個組合，因為在計算演練 時，學童透過記住了標準的計算程序而形成了位值概念，然而Hiebert 和 Weame（1994）觀察兩位兒童位值概念的表現及兩位兒童在整數、小數加 減運算的表現，發現其中一位兒童在二年級時接受老師指導在加減運算時 要將右邊數字對齊，學生儘管不知道為何要這麼做，但在整數加減的問題 還能算出正確答案，但到四年級進行小數加減運算時，學童不管位值是否 相同，仍將最右邊的數字對齊相加減，至此學童已無法算出正確的答案， 由此看出學童經過這些標準計算程序並無建立起正確的位值概念。 數學概念的理解一直是學者研究的焦點，學童某類型數學問題演算的 純熟，常能同時促使新舊數學概念的連結與落實，演算亦是學童獲得新數 學經驗的方法，新的經驗將會再形成學生下一階段新主題學習所需的具體 經驗（林素微，2005；教育部，2008）。而加減法運算是學童學習計算的 開端，加減法計算的純熟會成為往後數學概念的基礎，學童加減法計算可 透過數數、心算、分解、直式計算，其中直式計算是利用不同位值來表達 數字的意義，並理解進位、借位的意義，直式計算與位值息息相關，Hiebert
和Weame（1996）發現對學童十進位概念愈了解愈能找出合適的多位數加 減策略。學童學習加減法直式計算的順序從無進位、無借位開始，一直到 雙重進位，雙重借位的減法較難，我國在國小三年級才進行，當兒童理解 了三位數的加減法直式計算之後，若能夠將計算能力提升，則三位數以上 的多位數加減法直式計算就不會有多大問題，然而學童在數學的計算上做 到程序化、技術化，雖可以提高效率卻容易流於表面，但對正在做的東西 常常未必理解，此現象對教學現場的教師而言是個值得探討的問題。（呂 玉琴，1988；林慶旺，2004；教育部，2003；郭華光、張曉磊，2001）。 位值概念是數的根基，但位值概念的研究並不特別多，當前研究主要 在比較不同年級學童之間的表現差異、或不同族群學童的表現差異（林宜 城，1995；林晉如，2006；胡豐榮，1995；羅素貞，2005），研究者有感 位值對數學學習的重要且位值與運算密不可分，實為數學之基礎，亦因錢 幣為生活中熟悉之交易媒介且不占太多空間又方便操作常做為教學位值 概念之教具，本研究除了對學童位值概念進行探究外，透過學童多位數加 減法直式計算之解題，以及學童數字符號記錄、錢幣操作過程來了解學童 在記數、位值、運算三個概念上的理解程度，從學童的表現結果來做教與 學上的改進。研究者先以紙筆計算過程取得學童外在表現，再針對學童表 現進一步探討其內在對記數、位值、運算的概念認知程度。
第二節 研究目的
根據研究動機，研究者提出以下之研究目的： 一、 了解某班小三學童在「多位數直式加法運算」試題的解題表現。 二、 探討五位小三學童透過錢幣操作在記數、位值、運算概念的認知表 現情形。 三、 分析五位小三學童以錢幣操作加法計算題型之情形。第三節 研究範圍與限制
本研究以 100 學年度雲林縣某班三年級學童做為紙筆測驗對象，紙筆 測驗內容為「多位數直式加法」計算，其內容只在全數範圍，並不討論全 數以外之數。 本研究只對單一地區、單一班級之小學三年級學童做為研究對象，又 每位學童其社經背景、認知發展階段並不相同，因此學童雖在同一班級中 接受相同的教學內容及教學方法，各個學童的概念表現並不會完全相同， 學童在錢幣的使用也可能因學童本身的生活經驗的多寡而有所影響，研究 結果並未能推論至所有三年級學童之概念表現，此為本研究之限制。第四節 名詞解釋
為使本研究中所使用的名詞有更明確的解說，將重要名詞界定如下： 一、多位數： 數字的位數在兩位以上稱為多位數，在本研究中之多位數系指三個位 數位以上之正整數。 二、位值： 位值是指在記數系統中出現多位數時，每個數碼因其所在位置的不同 而產生不同的數值，數值是由數碼的面值（face value）和位置所代表的值 而定。本研究中所指之位值概念為學童操作錢幣時所展現不同單位錢幣之 間的化聚表現。 三、進位： 於九年一貫課程綱要數學領域分年細目詮釋，其將加法過程中只在單 一位數之和超過10 稱做進位。本研究所稱之進位亦為加法過程中單一次它位數之和並未超過10 的情況為進位。 四、雙重進位： 於本研究中，雙重進位指加法過程中相鄰的兩個位數其和皆超過 10， 在加法運算過程中連續的進位稱為雙重進位，如159+256=415，個位數之 和為15，故進位到十位數，十位數之總和為 11 又進位到百位數，個位數 與十位數接連著產生進位，稱雙重進位。 五、錢幣： 錢幣指有標準價格、可作為交易媒介的東西，本研究所使用的錢幣為 1 元、10 元教具硬幣、百元及千元教具紙鈔。 六、演算能力： 依照九年一貫課程綱要說明，演算能力是透過理解並能將觀念與計算 結合的能力。本研究中指學童以自己對多位數直式加法問題的認知，運算 出多位數加法問題中未知面值的能力。
第二章 文獻探討
本研究以建構理論為基礎來探討小三學童在多位數加法計算題型之 下處理未知位值之表現，以下分別說明建構理論下的知識學習、位值之發 展與意涵、兒童加減法運算之發展、兒童位值概念與整數加減運算之相關 研究。第一節 建構理論下的知識學習
學習過程中，從無知到有知的中間歷程，這個獲取知識的過程稱做「認 知」（cognition），亦即對問題的答案能「知其然」，認知也就是一種思維方 式，在教學現場中，教師的「教」與學生的「學」是兩個不斷被討論的要 項，知識的傳遞與獲得一直是教師的教學重心，而人類的知識學習過程極 為奧妙，教學者掌握認知心理可在教學時遊刃有餘，學習理論是能提供教 師教學依據，因此學生如何學習、學習的內在歷程為何，一直是教育心理 學所探討的重點（鄭麗玉，2000） 理性主義與經驗主義視知識為客觀存在與而建構主義將知識視為個 體主動建構。從蘇格拉底（Socrates）的理性主義及亞里斯多德（Aristotle） 的經驗主義，對「知識」的定義分為二種，一是知識是客觀存在在世界上 的事物，等著個體去發現知識的存在；二是知識是個體的經驗，須經由個 體本身去感覺、體驗而得到知識，兩者都將重點認知的重心放在知識上（引 自葉學志，1989；鄔昆如，1992）。而另一種對知識的看法有別於理性主 義與經驗主義將重心放在客觀存在的事物，其將認為知識是由個體主觀、 主動建構而來，Vico 和 Kant 主張知識的形成是由人的心靈主動建構而非 被動吸收；Piaget 提出兒童認知發展理論，此為建構主義的前驅（陸美靜， 2002）。 建構主義皆以學習者本身為重心，但因對知識的獲得又有不同的看法，又分為根本建構主義和社會建構主義：（張建偉、陳琦，1999） （一）根本建構主義（radical constructivism） 根本建構主義是以Piaget 思想基礎而發展的建構主義，Piaget 提出「組 織」和「適應」的觀點，組織是個體統合運作心智的各種功能來處理週遭 事物；而適應則包含了「同化」與「調適」，將新事物納入既有的認知結 構中為同化，若個體為了順應環境而調整認知結構則為調適，個體不斷在 同化與調適間取得平衡，在這過程中也提升了智力水準。（引自張春興， 2001）。 根本建構主義有兩條基本原則：（1）知識不是通過感覺而被個體被動 地接受的，而是由認知主體主動地建構起來的，建構是通過新舊經驗的相 互作用而實現的；（2）認識的機能是適應自己的經驗世界，幫助組織自己 的世界。其相信世界的本來面目是人類無法知道的，而且也沒有必要去推 測它，人類所知道的只是我們的經驗，只要知識能幫助人類解決具體問題， 或能提供關於經驗世界的一致解釋，那它就是適應的，就是有「生存力」 的，不需去追求經驗與外在客體一致（甯自強，1987；張靜嚳，1995）。 這種建構主義主要關注個體與其物理環境的相互作用，對學習的社會性一 面則重視不夠。 （二）社會建構主義（social constructivism） 社會建構主義是以Vygotsky 認知發展理論為基礎，Vygotsky 認為人生 活在屬於人的社會中，社會的宗教、文化、制度等無一不影響個體，使之 成為一個符合社會要求的成員（引自張春興，2001），而個人高層次心理 能力的發生是根源於社會，與社會互動的學習過程造成個體認知的發展， 也就是學習先於發展，與社會文化的互動可使認知發展提升（賴淑媛， 2003）。 社會建構主義認為世界是客觀存在的，對每個認識世界的個體來說是
共通的，且知識是在人類社會範圍裡面建構起來的，又再不斷的被改造以 趨於與世界本來的面目相一致，個人建構起之式是由於個體與他人互動磋 商而形成了共識，在此過程中語言符號具有極為重要的意義，學習者在自 己的日常生活和游戲等活動中，從具體經驗走向以語言符號統稱具體經驗 是一種「由下而上的知識」，因此知識具有了理解性和溝通性（劉秋木， 1996；張世忠，2003）。 社會建構主義主張個體從具體經驗中歸納出抽象的「符號」，或從與 他人互動中了解符號的意義，符號的出現促使個體能做高層次的抽象思考， 極其強調人與人之間的語言和符號溝通，知識不僅是個體與物理環境的相 互作用內化的結果，更是人與人之間的互動所形成之共識，互動來自於溝 通，而溝通又倚賴語言和文字，故語言符號在知識學習上具有極為重要的 意義，它語言符號除了有助於個體的內在知識建構之外，語言符號尚可歸 納出個體的具體經驗，或個體透過符號重新體現他人的經驗，因有語言符 號，知識有了溝通性，數字記錄即是一種人與人溝通用的符號，在數學算 數過程中使用到的數字或符號，即是傳遞訊息想法給他人的重要媒介。 本研究先將學童放置於「接近全知又不能全知」的境地，未施以教學 而讓學生透過個人認知並以自身能力來運算解題，研究者從學童的記錄方 式和操作錢幣過程的對話與學童達成溝通共識，探討小三學童在記數、位 值及加減法運算之認知發展。
第二節 位值之發展與意涵
兒童學習數學從唱數、數數到記數，一連串的運思活動建立起數學 概念，在學習過程中，「記數」─將數量記錄成符號，儼然是重要的一環。 趙文敏（1984）從歷史的角度介紹記數的方法，認為先有數的念法而後有 數的記法，語言發展早於文字符號，而數的語言是用來表達人類心靈最抽象觀 工具 經由 的學 位值 一 為三 及人 記數 古羅 進制 現今 郭書 數法 址的 門記 得以 中可 以表 千 合成 觀念的工具 具。 從古至今 由傳教或通 學習，記數 值之相關研 、 中國記 以一定的 三類：第一 人、巴比倫 數，古羅馬 羅馬記數法 制乘法系統 今最為廣泛 書春，199 十進位制 法，在西元 的陶片上已 記錄的人員 以整理，中 可以整理出 表示1、2 、百、十， 成一個字， 具，數字的 今各地所發 通商的交流 數法漸漸趨 研究： 記數法與印 的方式將數 一類是用專 倫人、馬雅 馬人字母記 法現今尚常 統，如：中國 泛使用的為 4）。 制乘法系統 元前三、四 已有文字用 員，也因為 中國記數法 出十三個關 、3、4、5 ，為四種位 ，做為合體 的記錄亦即 發展出的記 流使得數學 趨於統一以 印─阿記數 數量記錄成 專門的符號 雅人使用的 記數的方式 常見到在鐘 國古代記數 為第三類─ 統以中國記 四千年前西 用以表示1 為記錄工作 法至商代已 關於「數」 、6、7、8 位值符號位 體文字來表 即思考過程 記數法各有 學知識相互 以利溝通。 數法之發展 成符號，即 號來記數， 的記數法為 式來表標示 鐘面、月曆 數法、印─ ─十進乘法 記數法和印 西安半坡遺 、2、3、4 作的專職化 已經有位值 的字，有 、9 九個數 位值單位。 表示數量， 程之記錄，也 有不同，直至 互傳播，為求 以下分述中 展與意涵 即稱為記數系 一個符號即 為此類；第二 示順序，如 曆、書稿章節 ─阿記數法 法系統（汪菁 印─阿記數法 遺址和西元前 4、5、6、 化，使得原先 值概念的初步 有 數量，尚有 甲骨文將數 如圖 2-2-也是溝通和 至世界交通 求經商之便 中西位值發 涵 系統。記數 即代表一個 二類是用現 I 、II、II 節中出現 法，而這三類 菁，2010；胡 法為代表 前約兩千年 7、8、70 先鬆散粗糙 步，從已發 有 數字符號與 1 甲骨文合 和表達想法 通路線開啟 便或是學術 發展與意涵 數系統大致 個數量，古 現成的字母 II、IV、V ；第三類是 類記數法中 胡重光，200 ，關於中國 年的二里頭 。商代出現 糙的數學符 發現的甲骨 表示萬 與位值符號 合文：六千 法的 啟後， 術上 涵及 致分 古埃 母來 V， 是十 中， 08； 國記 頭遺 現專 符號 骨文 用 萬、 號結 千七
百八十九，當「 」和「 」字合體成一個文字，即表示6 乘以 1000， 意即6000，合體文字的紀錄表現，顯示了中國古代在表示數的能力極佳； 而後歷代一直沿用，直到將數字符號和位值符號分開寫，數字符號在前， 位值符號在後，如記錄成數量200 記錄成「二百」，這種記數法已經非常 接近十進位位值制的記數法，差別只在於尚未有零的符號，零的表示僅以 一個空位不寫表示。中國古籍中有用「□」符號表示文字脫漏，為了書寫 方便「□」逐漸變成「○」，而在數字的紀錄原本以空位不寫表示零，文 獻上直到《金史》大明曆出現「四百○三」的數字記錄，至此時中國則用 脫漏符號「○」來表示零（王渝生，2006；李如弘，2008；汪菁，2010； 胡重光，2008；郭書春，1994）。 圖2-2-1 甲骨文合文-六千七百八十九（華強遠古史研究，2011） 至於印─阿記數系統成為通行現今世界的記數法，乃由於印度地理位 置上的關係，印度受過許多外來文化的影響，也顯現在數字上，推測印度 的橫式數字記錄，可能學自於中國，東晉曾有高僧前往印度取經，又在唐 朝曾派使節前往協助平定印度的宰相之亂，中印的關係極為密切。印度的 記數法在九世紀中葉出現零的符號「‧」（以一個點表示零），此符號用來 確定各數字的位值，使十進位位值制更臻完備。Fibonacci 曾寫書介紹阿拉 伯人的記數方法，指出印─阿數字的記數法優於羅馬數字，因為印─阿數 字只用了10 個符號即可表示出任何的整數，在十三、十四世紀歐洲商業 掌握在義大利人手裡，為了能與阿拉伯人貿易，印─阿數字在商場上廣為 流傳，至十三世紀末葉，歐洲科學界都熟悉使用印─阿記數法，至十四世
紀，世界上大部分的科學著作都使用印─阿記數了（李如弘，2008；汪菁， 2010；郭書春，1994；趙文敏，1984）。 中國記數法與印─阿記數法皆為十進位位值制，不僅使用符號代表數， 更配合位置的使用，這為兩種記數法奠定下位值基礎，之所以採用十進位 系統，學者專家推測此位值制之發展可能來自於人類因生理因素，與生俱 有十隻手指頭，故對十進位感到習慣和簡單，十是我們常用且熟悉的數， 即使非十進位的羅馬數字，其9 的表示方法為 IX，也可看出是以十為概念， IX 表示 X 減 I（10 減 1）的意思；愛奴人也以十為概念，用「10 減 4」的 說法表示6；拉丁文的 19（un─de─viginti）亦即「20 差 1」；而源自於德 語系字源ain─lif（哥德語）的英語數字 11 則是以 one─left（10 餘 1）表示， 而12 以 twalif（10 餘 2）表示， 13 則是以 thirteen（3 和 10 合併）表示， 上述各地記數10 都是一個重要的基礎，故可知十是大家廣為熟悉的數， 中文記數法與印─阿記數法採用十進位系統是其來有秩，中國記數法原以 數字符號搭配單位符號，後移去了位值單位符號，只剩下數字符號，例如： 34825 中國記數法原記成三萬四千八百二十五，改記成三四八二五，數字 的位置即賦予了單位，十進位位值制至此成立，而印─阿記數法，具備了 0 的符號後，也完備了十進位位值制（李如弘，2008；唐文標，1980；曹 亮吉，1980）。 胡豐榮（1995）指出記數極為重要的概念即是「位值」，其認為位值 包含了兩個原則：表記原則和數值原則，表記原則是指在數字符號中每個 阿拉伯數碼所在的位置各有其指定的數值；數值原則是指在數字中，相鄰 的兩個數字的冪次關係決定了數字中各個數字的位值。而 Baturo（1997） 也提出印─阿記數系統的十進位位值制表明了數字的位置之間有一定的 關係存在，兩相鄰數字符號之間的關係為10 倍，左邊位置 1 個單位為右 邊位置10 個單位組成，也分別給予「個位」、「十位」、「百位」、「千位」
的位名，在位名當中的「個」、「十」、「百」、「千」則表示位置的「位值」， 在「十位」的8 表示有 8 個十，故為 80，由此，在印─阿記數系統當中各 個數碼所表示的數量是由數碼0 到 9 的面值(face value)和數碼所在的位置 的位值相乘而得。Price（2001）提出其對印─阿記數的看法，印─阿記數 可以用0、1、2、3、4、5、6、7、8、9 此十種數碼表徵所有的數；兩相 鄰的數碼中，左邊位值為右邊位值的十次方，此二位值成10 倍的關係； 數碼的面值與位值相乘為數碼的值；進行數運算時使用符號來表徵，對於 每個位置的運算都有一致性。 Ross（1989，2002）歸納了印─阿記數系統在位值的四個共通性，分 別為十進位、位置性、加法性、乘法性。十進位即為數字左右相鄰位置為 10 倍關係；位置性是指數碼所在的位置決定了數碼的數值，若 5 在百位， 則數值為500；加法性則是數字的總值來自於個數碼所在位置相加而來； 而乘法性質指每個數碼的數值是由面值和位值相乘所得。 Kamii（1986）曾以數字對應方式觀察兒童對位值概念的理解，他首 先在一張白紙上呈現一些圈圈，要求兒童計數這堆圈圈的數量，並在白紙 下方寫出可以表徵這堆圈圈數量的數字，當兒童寫出「16」後，Kamii 將 「16」中的「6」圈起來，要求兒童在圈圈中，圈出可以代表這個數字的 圈圈量，接著又以紅筆圈出「16」的「1」，要求兒童同樣地指出可以表徵 這個數字的圈圈的數量，學童能夠知道「16」中的「1」表示「10」的比 例，一年級的兒童佔0﹪，四年級 35﹪，六年級 60﹪，換言之，這些高年 級的兒童即使已能進行多位數的四則運算，並不必然保證他們有正確的 「位值」概念，但位值概念隨著年紀增長愈來愈清楚。Cooper 和 Tomayko(2011)則觀察記錄學生在同時看了26 和 62 這兩個數字，發現學 生會讀錯這兩個數，並且不認為數字可以由「十」和「一」組成，也不管 26 的個位「6」和 62 的個位「2」只佔個位數位置，認為只要個位 6 比個
位2 大，此 26 就比 62 大等錯誤。
Ross(1989)對兒童二位數概念提出五個發展階段的觀點，分別為全數 (whole numeral)、位置性(positional property)、面值(face value)、建構區 (construction zone)、理解(understanding)，以 52 做為例子，在最初的全數 階段，學童對二位數數字符號的認識是一個全部數量，例如52 代表 52 個 物品，並不知道十位數5 和個位數 2 的意涵；在位置性階段，學童能指出 5 是十位，2 是個位，但尚不了解 5 在十位表示 50，2 在個位表示 2；在面 值階段，學童對52 的 5 所對應的物體是 50 個物體，而非 5 個由 10 個「一」 所組成的物體；在建構區階段，學童知道52 十位的 5 表示 5 個「十」個 位的2 表示 2 個「一」，但學童在此階段的認知屬於過渡階段並不穩定； 在理解階段，學童已掌握位值概念，物體和數字的對應都能清楚正確。 綜合上述可知位值概念涵蓋了加法性與乘法性，所以數字不僅是將數 以符號表徵，印─阿記數的十進位系統更強大的將數加入運算的概念，系 統化的呈現出數的記錄；另外，學童在位值概念的發展具有階段性。
第三節 兒童加減法運算之發展
印─阿記數除了以 0、1、2、3、4、5、6、7、8、9 十個符號來表徵 數，其中更運用了位值概念，而位值概念涵蓋了加法性與乘法性，討論位 值概念勢必牽涉到運算，要進行數運算非得先對數有基礎的認識，而對數 的認識又來自於個體對世界的經驗和互動，產生了數概念、記數法、數運 算等。數學的「讀寫能力」是指在進行數字的加、減、乘、除運算時能了 解自己在做什麼、可以靈活地思考數字的意義並了解數字如何以不同的方 式來表示，以達到紀錄和溝通的效果，明白數字在日常生活擁有多樣化的 用途，「數與量」更是在我國教育部九年一貫課程綱要數學領域五大主題 的第一位，而所謂能熟練數的計算，是指在能夠理解數學概念或演算規則的情況下進行的純熟操作，這種透過理解並能將觀念與計算結合的能力才 是演算能力，數感、讀寫能力與演算能力實為一體，皆是建立在理解之後 的計算。（教育部，2003；許長壽，2005；鍾靜，2005； Usiskin，1999）。 對整數加減的內涵，以下又以兒童數運思之發展、運算輔助工具、數運算 與理解分別敘述： 一、 兒童數運思之發展 數運算是個體在心中操作一個數概念與另一個數概念的過程，不同個 體可以操作出相同的結果，但操作的過程不一定相同，因此在相同的情境 之下，因有不同的數概念，所以可以產生不同的操做過程但卻有相同結果 的情形，在談到須要用到運算的情境時，可能因為數運算方式的限制而有 不同的解題表現（甯自強，1995）。 兒童數運思之發展可分為四個階段：合成運思、累進性合成運思、部 分─全體運思、測量運思。 (一) 合成運思： 此運思階段是以「一」為單位，逐一往上點數，將數個「一」合成為 一個新的數，以21 為例，表示有 21 個「一」，在加法概念時，學童心理 須同時有兩個的計數器來處理計算，以12+21 為例，數了十二個「一」之 後，必須再數二十一個「一」，心理要有兩個計數器同時運算，1、2、3、 4、5、6……12，同時產生二十一個「一」，接著數 22、23、24、25……33 完成計算（甯自強，1995）。 (二) 累進性合成運思： 此為使用「一」合成一個新的聚集單位，例如已經有點數 5 的經驗和 概念，則8 就是從 5 開始，再數三個「一」，6、7、8，以 21+12 為例，即 以被加數為聚集單位，直接從此聚集單位21 開始，再數十二個「一」，即 21，22、23、24、25、26……33，能清楚明辨「一」與一個聚集單位，在
「一」與其他聚集單位混合使用時，不會混淆「一」與其他聚集單位，而 且能將數個「一」與數個其他聚集單位合而為一，形成一個新的聚集單位， 將單位「十」作計數以及單位「一」做計數，得到三個「十」與三個「一」， 亦即33（甯自強，1995）。 (三) 部分─全體運思： 此運思階段以掌握「一」與集聚單位之間的部分全體關係為基礎，例 如「一」和「十」之間，十個「一」可以換成一個「十」，進而能掌握此 集聚單位與以其為元素所合成的另一集聚單位，如十個「十」換成一個「百」 的部分全體關係（甯自強，1995）。 (四) 測量運思： 此階段的運思是同時掌握兩個層次以上的部分全體關係。例如學童可 以掌握「一」和「十」的部分─全體關係，又能掌握「十」和「百」的部 分─全體關係，同時掌握了「一」「十」「百」三者之間的關係時，則達到 了測量運思階段（Carpenter, Fennema, Franke, Levi ＆ Empson，1999）。 依照學童數運思之發展進程，國小數學課程依序在國小二下數學領域 提供學童觀察、經驗加減法互為逆運算關係，但不要求學童皆可察覺到加 減互為逆運算關係。此時所提供的活動在比對加、減兩種運算使三個數字 之間有關係存在（甲+乙=丙， 丙─乙=甲）。在二下階段只著重學童能「注 意」、「觀察」到加法以及減法運算上的記錄，進而比對結果。三年級後才 繼續進行加減互逆活動，幫助學童掌握加減互為逆運算的關係。三下學童 已經逐漸發展出部分─全體運思，學童已能掌握數量之間的關係，能做「甲 部分和乙部分合成全體」和「全體可分為甲部分和乙部分」間的轉換，能 掌握部分─全體之間互為可逆轉換、加減互為逆運算的概念（林淑君、陳 竹村、陳俊瑜、蔣治邦、謝堅，2002）。 二、 運算輔助工具
王渝生（2006）表示數學是一門關於運算的學問，學童透過「記數」 雖然可將具體物或半具體物的操作過程記錄下來，但能記數並不構成數學， 記數的過程是一座橋梁，將實體的數量過渡到抽象表達，此過程是數學概 念發展之初極為重要的一步，概念一旦形成，接著學童才以抽象的數字符 號運算實體的量，以此為數學運算的基礎工具。運算必須建立在「符號」 與「指稱物」的連結，指稱物應是日常生活的物質，如：錢幣、公制測量 物質，或是特別設計的教具，如：各類數學積木，學生以指稱物的運算為 基礎連結到數學符號運算，從中找出符號運算的答案（劉曼麗，2002）。 透過這一連串的活動學童對記數（符號）和數（指稱物）才能達到彼此之 間的連結。 人類有了數概念後，為了運算之便發明了各種計算的輔助工具，中文 「算術」一詞原是指籌算的技術，如圖2-3-1 中國算籌的數量表示法，算 籌是以小竹棒排列出數量的記數工具，此記數工具的出現也意涵著中國古 代的數學以計算為中心，郭書春（1994）引《老子》「善數不用籌策」證 明在春秋末年之前算籌就是人們的主要計算工具，又引《孫子算經》「凡 算之法，先識其位」，表示籌算在進行時要確認算籌擺放的「位置」，用籌 擺出數字符號。唐朝中葉，籌算原本的三層計算已經簡化到一層，籌算口 訣很快，但擺放算籌的速度卻很慢，動作跟不上口訣，因此又有珠算的基 礎模型漸漸形成，籌算和珠算兩者記數法的概念相同，珠算計算速度極快， 珠算盤可說是中國古代最優秀的計算工具，直至目前仍在使用。（郭書春， 1994；王渝生，2006） 圖2-3-1 中國算籌的數量表示（胡重光，2008，頁 83）
周筱亭（1987）指出學童在學習直式計算時，須熟悉位值單位間的重 組操作（10 個一可以換成 1 個十，或是將 1 個十換成 10 個一），重組操作 和位值總是密不可分，因涉及到進位和退位時，重組就出現，所以直式計 算是一種強調位值的計算方式她認為兒童對計算的原理原則並未了解的 很透徹，欲了解計算的原理原則又需對位值的概念有相當的認識才行，指 出學童在紙筆計算以前，必須先熟悉運作交換和重組的過程，並在定位板 記錄交換而重組的過程，故以古氏積木、豆籤、捆冰棒棍、位值算盤、籌 碼、錢幣等教具讓學童熟悉操作有其必要，學童遇到「關卡」（如：19 要 進入到下一個數20；或 67 是 6 個十，7 個一，將 67 改成 5 個十 17 個一） 的地方，重組就出現，以具體物體驗重組關卡並加以記錄，可看出重組如 何影響數字在定位板上的變化。當學童學會重組後，一定要用成比例的教 具來引導學生擴展至千以上的大數，使學童感受到用具體物來表示大數是 一件累贅的事，如此才能讓學童感受到抽象化符號的威力。 直式計算與籌算的概念相同，亦是透過位值的特性表徵出數量，直式 計算與籌算之差異在於籌算以算籌做為數量記錄，而直式計算則是以印─ 阿記數記錄數量，人類在運算時有了符號記錄的幫助，不須再將龐大的數 字儲存在腦內，如此可以減輕大腦的負擔，因此直式計算可視為運算的工 具，然而傳統直式計算的紀錄方式對學童的位值概念並沒有助益，即使兒 童對於數的四則運算的題目能正確計算，但卻不瞭解他們在計算程序中所 用到的位值的意義，在教室中進行的學習活動大多著重在教師講解後，學 生直接練習，較少進行解題策略的發展，因此多數學童在加減直式計算的 紙筆測驗都能有不錯的表現，但進一步探討，學童雖能做對題目，但對數 字的基本知識、位值等數學缺乏概念性的理解（黃克倫、楊德清，2007； Kamii＆Joseph，1988）。
三、 數運算與理解 在國小階段的學童，與日常生活最相關的數學即是數與量，學童要建 立起數感、體會到數量的存在，只有靠各種計算的練習與應用才能慢慢建 立，精確的計算須經過嚴格的推理，因此才能有正確的解（翁秉仁，2003）。 流暢的計算能力是指連結概念理解的和計算精熟，概念理解和計算精熟在 數學學習過程中缺一不可（施乃文，2005）。部分教學現場老師觀察到學 生對於概念的不清楚，乃由於學生記住學習的規則而不去探究事物背後的 原因，而導致常常犯下相同的錯誤類型（Kalb & Gravett，2012），而只有 理解卻無法有效、正確計算以解決生活問題，也將阻礙學習歷程，教師透 過多樣舉例，可以讓學生理解運算意義進而順利掌握計算方式。對整數的 計算而言，在教與學之中，計算的定義可以藉由廣泛的方式加以解釋當學 童對數字的知識懂得越多，學童對計算就越能掌握，可以明確的將注意力 放在數字和數字之間的關係上，數學問題也會變得越容易解決（林月芳、 陳嘉皇，2006）。 學生若能了解數學概念的意義，便可以自行遷移學習和類推，即使教 師未教過學生也可以根據之前所學獨力解決問題，學生必須理解計算過程 中的規則、邏輯順序及關聯，才能在學習計算的過程中靈活運用，計算也 才會有多樣性的可能。因此熟練演算的能力是也是學生獲得新數學經驗的 方法，新經驗將又成為下一階段學習的具體經驗（施乃文，2005；教育部， 2003；許長壽，2005；黃克倫，2008）。
第四節 兒童位值概念與整數加減運算之相關研究
學童的學習與教師的教學是教學現場兩個重要的部分，過去有研究者 以學生的位值概念表現來做研究，亦有以教師的教學方式來探討教學法對 學生位值的學習的影響，或者探究教師本身的位值概念對學童在位值概念學習的影響。本節就過去之相關研究進行整理，以下分別對過去研究做簡 要敘述： 黃偉鵑（1994）以加、減、乘、除四種運算方式之測驗試題，對 1782 位國小二、三、四年級學童進行數學基本運算能力錯誤類型之研究，且利 用與晤談的方式來了解兒童的思考歷程，試圖找出這些錯誤類型發生的原 因。研究發現學童最常犯的錯誤為「相加時未加上進位數 」，但此類型錯 誤多為隨機產生的，可能來自於學童的疏忽或不小心，或是缺乏練習所造 成，再進一步與學童晤談過程，發現學童進位概念不夠以至於犯錯；較有 規則可循的錯誤類型為「個位數未進位至十位」及十位和「不對稱相加」 （不同位數彼此相加），二種錯誤的產生與學童誤用對齊相加的概念有關； 學童處理借位減法時，常常在被借位值仍舊維持原數，而未將被借位值減 一，以至於產生錯誤，認為學童若對減法更熟練或在計算上更用心，那麼 錯誤就會減少；在「大數減小數」及「0 減任何數為 0」這二種類型錯誤， 可能錯誤的原因與兒童自行建構錯誤算則及對0 的概念不清楚有關，由學 生的晤談中可加以佐證；兒童其他類型（由左而右運算及未退位相減）較 少有系統的表現出來，屬於隨機發生。 林宜城（1995）利用問卷個別訪談 135 位兒童，探討不同文化背景的 二、三、四年級兒童在位值概念及其相關知識的發展情形。研究發現在不 同年級間，四年級兒童的數概念顯著優於二、三年級；四年級兒童計數知 識、位值概念也顯著優於二年級，這些概念可能是隨年齡成長而漸趨成熟。 在地區籍別間，山區平地籍與市區平地籍學生之計數知識、位值概念的表 現並無差異，但顯著優於山區山地籍兒童，亦即在地區間無顯著差異，在 籍別之間有顯著的差異。二、三年級原住民兒童在唱數及數數方面與平地 籍兒童有極顯著的差異，研究者認為這種差異是受原住民傳統文化的影響。 山地地區兒童能瞭解教具積木表徵之數字位值對應問題，但不一定能瞭解
生活實物表徵之位值數字對應問題，可能因山區兒童較缺乏有關數的活動 與經驗。 胡豐榮（1995）利用自編的紙筆測驗研究臺中縣二十三所學校 842 位 五年級學童，了解兒童『十進數』單元位值相關概念之學習成果與位值相 關概念之關聯結構，並配合晤談加深了解兒童對位值相關概念之理解情形。 研究結果顯示，學童對位值相關概念之學習成果有偏低現象，且存有許多 另有想法，在末位是0 的乘除方面，學童主要的另有想法是認為把 0 畫掉 之後再計算的用意與小數末位的0 可以畫掉的道理相同；十進數結構方面， 學童主要的另有想法是從字面上去了解這些意義，學童無法理解多少進數 即為多少乘冪的結構；在數的表徵方面，學童主要的迷思是對0 與小數點 意義的誤解；在位值概念方面，學童無法理解二進數的位值，然而學童對 十進數位值的理解，受到位名的影響極大，而對於十進數位值的理解學童 極容易經由背誦的方式習得。 呂玉琴（1996）在國小學童數與計算概念的研究中指出，25%到 35% 的國小畢業學童對位值概念仍不清楚，而造成問題的原因因在課本教材當 中呈現位值概念的教學活動，只偏重於單一種方式，如：356 是 3 個百、5 個十、6 個一，使得學童在做答只在部分全體運思的階段練習，未能使學 童提升到測量運思階段，使其同時掌握兩個以上的聚集單位之間的化聚， 那麼學童對位值的關係無法有效、靈活的掌握。 呂玉琴（1997）利用二位數加減法計算題，探究 251 位二年級學生及 257 位三年級對二位數加減法計算題的瞭解。研究發現學童除了個位進位 問題外，不需進退位的計算題答對比率比需進退位的問題高10％，且研究 發現學生能正確解題的策略主要有二：一是將二位數分成幾十和幾，再解 題；二是將二位數分成幾個十和幾個一，再解題。而在進退位題型上發生 的錯誤，主要來自於忘了進退位，而忘了進退位不一定來自於疏忽，而是
對位值概念的不清。 李貞慧（2001）以台南安平國小兩個二年級班級，分別做為實驗組與 對照組，探究低年級學童使用數的分解紀錄對解決加減問題效性，在實驗 教學設計中，藉由「數的分解紀錄」（a =b＋c）引入，協助學生了解加減 問題背後的「部份－全體」的概念，引導學生形成加減互逆概念。在教學 前先進行前測，教學後隨即進行後測，並在一個月後進行延後測；並挑選 高分組、中分組、低分組學生進行訪談。研究結果發現在後測表現上，「數 的分解紀錄」引入對實驗班與對照班學生在學習加減互逆概念上並未有明 顯的影響；在延後測表現上，實驗班與對照班在「數的分解紀錄」引入在 加減互逆概念的保留概念上有顯著影響；實驗班高分組學生已可以掌握加 減問題的「部份－全體」基模，並運用此基模進行解題；對照班高分組、 實驗班中分組、對照班中分組學生則能在形成階段；實驗班低分組與對照 班低分組的學生解數學加減文字題易從題目的關鍵字作答，對加減互逆概 念的形成沒有幫助。 羅素貞（2005）以一到三年級學童為研究對象，針對國小學童位值概 念與多位數加減問題解題表現關係。研究發現一到三年級學童大致都能辨 認多數位名。學童年級越高，越能以幾個十和幾個一的方式來數，其位值 概念越接近「序列的十與一」和「序列─分立的十與一的整合概念」之間。 在加減法的解題策略，學童會因問題情境的不同而有不同的解題策略，在 不須進退位的加減法問題中，學童較能同時操作兩個單位。 林晉如（2006）利用紙筆測驗研究屏東地區六所國民小學 345 名一年 級學童的位值概念學習情形，並選取18 名學童以一對一半結構方式訪談， 來找出學童在位值概念上的學習困難。研究發現在數數方面，國小一年級 學童常常不以位值概念思考進退位的數列，而容易受正向數數與一個一數 所影響，造成答題上的錯誤；在位值概念的學習上，學童單位的轉換能力
較低；學童對於數的大小判斷，容易受到圖像空間大小、長短和個別數字 的影響，而忽略數字的位值；在二位數字的表徵上，會只考慮單一數字或 位置，而無法思考位值意涵。 蔡郁樺（2008）以自編「國小兒童位值單位轉換概念測驗」試卷對苗 栗縣一所小型學校8 位四年級學童進行篩選，選擇得分低於 60 百分比的 學生3 人作為補救教學的實施對象，並利用虛擬教具─萬用揭示板，進行 位值單位轉換概念補救教學，探討虛擬教具是否能成為有效的位值單位轉 換概念補救教學工具，實驗結果發現虛擬教具的介入可以使研究對象提升 和維持位值單位轉換概念的成效，且能降低「數字表徵」、「古氏積木圖像 表徵」、「錢幣圖像表徵」、「文字表徵」四種表徵題型的答題錯誤率，以及 「部分整體─合成」、「部分整體─分解」二個子概念的答題錯誤率。 Moeller 等人（2011）研究學童早期的位值概念對往後的加法算術影響， 研究者以一年級學生為研究對象，從其在位值上的表現一直追蹤至三年級 時加法運算表現，發現學童早期位值概念的理解程度可以預測其往後的算 術表現，研究者更篤定對數字的基本認識是往後算數的基石。 Browning 與 Beauford（2012）對幼稚園學前兒童及幼稚園兒童進行語 言對位值理解研究，將兒童分為二組，一組兒童施以傳統教學，另一組兒 童則進行明確的位值名稱教學。而後用五個二位數字對兩組學童進行測驗， 並以卡方考驗分析傳統教學組和明確位值名稱教學組對五個二位數字的 評量結果之間的關係以及兩組成員對位值定義的關係。研究指出對孩子教 以明確位值和教以傳統數字名稱兩者具有差異，明確教以位值名稱的兒童 對數字的掌握超越了接受傳統教學的兒童。這項研究顯示教孩子使用明確 數字名稱確實對兒童位值理解有的正面影響。 Mann 等人（2012）以說德語的 6 位奧地利學童進行縱向研究，研究 小學生對三位數字的處理發展，這些學童在小學二年級以前學習二位數字，
三年級開始學習三位數字，他們從二年級開始參與研究到四年級。研究者 以前人對二位數字研究的結果，假設學童比較數字大小時，會從高位開始 往低位比較。而在其研究中改比較兩個三位數字的大小，以其百位、十位、 個位三個數碼或大或小交叉設計了八種題型，過程中每位學童單獨在室內 進行40 題三位數字數比大小。發現隨著年級的增加，學童處理數字的策 略不同，而學童產生錯誤來自於對三位數字讀法的順序影響學生判斷數字 的大小（因德語的三位數字讀法先讀百位，然後讀個位，最後讀十位）； 其二是學童處理三位數字受百位及個位影響大於十位，可能來自於視覺上 百位和個位只有單側有其他數字，而十位卻是在兩側都有數字，所以比較 三位數字的大小，十位數字往往最後被考慮。最後提出學童對二位數字概 念不能推論到三位數字的概念的看法。 莊淑如（2008）以桃園縣某國小 3 名在位值概念學習有困難的二年級 學生，進行萬用揭示板設計位值概念教學活動，研究虛擬教具融入教學對 國小二年級學生位值概念的學習成效，以研究對象在位值概念測驗的答對 題數作為分析指標。研究結果顯示虛擬教具融入教學對學生之位值概念學 習有明顯的立即成效且能維持學習成效。 Reed（2008）對 47 位蒙特梭利學校學童及 46 位一般學校的小一至小 三學童，其概念性理解及程序性理解在位值認知上的表現。研究顯示蒙特 梭利學校使用多元的教具操作來學習位值概念，與一般學校學校以傳統課 本、練習單直接教學來學習位值概念，蒙特梭利學校的學童在概念上的理 解表現優於一般學校學童，而在蒙特梭利學校學童在程序上的理解表現與 一般學校學童無異。 Burris（2010）對 76 位三年級學童進行研究，皆提供古氏積木及電腦 虛擬的古氏積木給參與研究的學童操作，並錄下學童在操作教具時的影音 接著進行分析，發現學童以具體物操作以及以電腦虛擬教具操作的表現十
分類似，研究指出電腦虛擬教具對位值的教與學是有效的教學工具。 Tanase（2011）研究 4 位羅馬尼亞一年級教師的位值概念知識與其班 上學生的位值測驗成績之間的相關，每位教師在教學前須接受訪問從訪問 的回答當中，分析教師的位值概念。又請教師針對10─100 的教學提出教 學計畫和策略，教學後研究者出了基礎試題（圈出數字的十位與個位、幾 個十和幾個一可以組成什麼數、比大小、往前數、往後數、找到鄰近的數 字）與進階試題（寫出30─100 中，所有個位為 0 的數，寫出比 10 大比 18 小的數，以及從數列當中找出規則）檢測學生在位值概念上的表現，並 與教師討論是否達成預期的目標。從學生的測驗得分分析，發現教師本身 對位值概念有較深入的理解時，較能替學生營造充足的學習機會，同時學 生對位值概念的理解表現也較佳。 從上述諸多研究可以發現位值概念與運算難以分割，探究位值概念時 須借助運算表現，而學童在運算表現的優劣也與位值概念十分密切。學童 數概念不清在於學童位值概念的缺乏，使得學童在學習數時感到抽象、難 以理解，幼兒機械性的數數、唱數常被解釋為已了解位值，但實則不然， 這些幼兒對位值概念的誤解，常是缺乏適當物件來數數及交換並記錄下來， 以至在加減法的問題，對於進退位的表現不理想，也在於位值概念的不清。 學者在研究學童位值概念和整數加減法運算所採用的方法主要為量化統 計（呂玉琴，1996；呂玉琴，1997；李貞慧，2001；林宜城，1995；林晉 如，2006；胡豐榮，1995；黃偉鵑，1994）；或是針對教學法上的差異進行 研究，比較教學法實施前後的成效差異，再根據數據加以推測得到研究結 果，（李貞慧，2001；莊淑如；2008；Browning＆Beauford，2012；Burris， 2010；Reed，2008），大多並未在學童表現與概念理解有較深入的探討； 此外也有國外學者對兒童使用的語言與對數概念的影響做探討（Browning ＆Beauford，2012；Mann 等人，2012），除林晉如（2006）的研究在進行
量化統計之外尚施以半結構訪談，其餘量化研究並未見半結構訪談。另外， 呂玉琴（1997）強調位值概念的不清楚造成學童在進退位計算上產生錯誤， 此看法與黃偉鵑（1994）的研究並不一致。
本研究除了以量化進行研究，探究小三學童在內在的位值概念表現， 並觀察學童之具體物操作與符號記錄之間的關聯。研究者參考澳洲從2008 年起進行的全國讀寫及計算能力評估計劃（The National Assessment Program -Literacy and Numeracy，簡稱 NAPLAN），此計畫在計算能力測試 中，三年級的部分通常為將錢幣的數量數出來、將眼前所見的物品數量表 示出來、用位值區分處理二位數的加減、重複的累加可以運用乘法來處理 等（The National Assessment Program -Literacy and Numeracy，2012），並從 林晉如（2006）、呂玉琴（1997）、黃偉鵑（1994）三位學者的研究發想， 採林晉如（2006）的研究方法，改以小三學童為研究對象，並參考呂玉琴 （1997）二位數題型設計，改以多位數編製試題，探討小三學童對多位值 的認知，以及透過半結構訪談學童，利用錢幣操作「多位數直式加法運算」 的過程表現，透過學童之操作和記錄了解學童在記數、位值、運算三個概 念的認知程度。
第三章 研究方法
本研究探討小三學童多位數直式加法運算的概念，以及分析學童利用 錢幣操作「多位數直式加法運算」的過程表現，和透過學童以抽象的數字 符號記錄之操作過程來了解學童在記數、位值、加法計算三個概念上的認 知程度。本研究採質量並行方式，第一階段對受試學生進行「多位數直式 加法運算」試題測驗，從各平均得分和標準差分析出值得進一步晤談探究 的試題型態。第二階段分別從樣本學童中找出高分組、低分組及中分組之 代表學童，進行錢幣操作與晤談，以了解學童內在想法。 根據研究目的，本章分為研究架構、研究對象、研究工具、資料蒐集、 資料分析，共五個小節以玆說明。第一節 研究流程
本節用以說明本研究的流程順序。研究者與指導教授討論後擬定研究 計畫，確定研究方向為國小三年級學童多位數直式加法運算概念，主要探 討學童在記數、位值、運算的表現，而後蒐集相關文獻進行研讀探討，編 製出18 題多位數直式加法運算測驗試題對學童施測，研究者於施測後回 收試卷進行批改、分析，再從試卷中挑選出學童表現不佳之題目類型，進 一步從樣本學童中挑選五位代表學童進行錢幣操作，研究者將學童操作晤 談的過程以錄影方式記錄，進而分析學童的操作表現，最終撰寫成研究結 果。研究流程如圖3-1-1，各步驟之說明如下：圖3-1-1 研究流程 擬定研究計畫，確定研究問題 蒐集文獻 編製多位數直式加法運算試題 學童進行錢幣操作、晤談 選擇晤談對象 分析晤談資料 繕打晤談逐字稿 施測資料分析 進行施測 撰寫研究結果
第二節 研究對象
本研究分兩階段進行，第一階段的研究對象為接受「多位數直式加法 運算」紙筆測驗的學童，第二階段的對象則從第一階段的學童中選擇五名 接受晤談。 一、紙筆測驗對象 第一階段研究對象為 100 學年度就讀雲林縣虎尾鎮國小三年級某班學 童。研究對象所就讀的學校規模共50 班，學校地理位置位處於市鎮，家 長多為上班族，家長職業類別士農工商兼俱且多忙於工作，半數以上孩子 於學校放學後安置在補習班或安親班，家長亦多關心學童成績，對學童的 成績表現頗多關注，研究對象就讀之學校雖非都會型態學區，但大多數學 童的學業、行為都有家庭協助約束。又研究學校與某國立科技大學比鄰， 中年級學童星期五在校上半天課，科技大學的服務性社團會到校輔導部分 中年級學童基礎學科或基礎才藝，因此學童除了在學校的教師資源之外， 尚有其他的教學資源協助其課業。 接受紙筆測驗之學童共 28 人，扣除身體病弱長期缺課者 1 人，以及 自閉症受資源班特教服務學童1 人，樣本數共 26 人。學童升上三年級皆 重新以學業成績常態分班，特殊生亦以回歸主流方式S 型分配到各班級中， 因此班級內學童學業成就呈現常態，可視此研究班級為普遍的小三學童分 布型態。此年級共有九個班級，研究者為方便施測，以自己任教班級為受 試班級，班級於100 學年度上學期三次月考中，數學科班級平均分數為 93.14 分、92.67 分、93.84 分，三次月考數學評量皆在 90 分以上，成績理 想，顯示學童數學學習能力良好。 二、晤談對象 第二階段研究對象從第一階段研究對象抽出，研究者在暑假初，分別從接受紙筆測驗學童當中，試卷得分最高的前27％中抽兩位學童進行晤談， 分別為小愷與小君；得分最低的後27％學童中抽出小翔、小華兩位進行晤 談；然而晤談至中分組學童時，因學童在暑假中有各項活動安排，故中分 組學童之晤談已較為延宕，只選擇小宬一人為代表。接受本研究晤談的學 童皆為9 歲，以下分別介紹學童的背景資料。 小愷，男生，在家中排行老二，上有一姐，小愷與姐姐會互相討論功 課，其個性溫和沉靜，未參加課後補習，父任教於某大學，母為公務員， 父母皆關心孩子在校的課業和生活學習，雖未補習，但家中社經地位較高， 小愷有充足的學習資源，因其宗教信仰，在主日學的時間常要開口分享， 在校內的課堂表現也喜歡開口表達分享。 小君，女生，在單親家庭成長，由越南籍母親教養，母親在越南所受 教程度為高中，雖為越南籍，但中文的聽說讀寫能力具一般溝通程度，小 君在幼稚園學前教育的工作由母親擔任，曾於課後參加安親班，平時月考 成績大概在班級第10名左右，因母親在街上經營美容小店，平日出入家中 的顧客不少，小君會幫忙招呼客人，人際互動和表達能力佳。 小翔，男生，在家中排行老么，上有兩位姐姐，活潑開朗，家裡經常 旅遊，使小翔生活經驗豐富。小翔未參加課後補習，父親為工程師，母為 家管，父母對小翔的教育較為開放自由，多給予孩子正向鼓勵，並讓孩子 適性發展，平日上課時間喜愛舉手表達意見。 小華，女生，在班上課業表現中下，全班28人中，排名大約在20名， 母親每天檢查小華功課，對小華課業上盡到支持鼓勵和監督，但未對孩子 進行指導，母親並不求孩子學業表現要頂尖出色，小華原先課後參加教會 所提供的安親班，後來改參加有額外提供英文、數學補救的課後安親班， 其在校考試班級排名維持在第20名左右，平時的社交和談吐的反應靈敏， 個性開朗又健談。
小宬，男生，個性沉穩，未參加課後補習，字體端正、做事仔細，畫 圖比例正確，具有良好空間概念，做事有順序，有固定的軌跡可循，不喜 歡被打亂秩序，教師很容易掌握小宬學習上的盲點。小宬上課態度積極認 真，求知慾強，常問「為什麼？」，當遇有學習問題時，會主動向師長請 益或找同學進行討論。
第三節 研究工具
據研究者以「記數」、「位值」、「運算」為主軸，搜尋相關文獻並與指 導教授確定研究主題、研究對象即著手試題編製。本研究採「多位數直式 加法運算」自編試題，用以觀察小三學童如何利用本身具備之能力解決多 位數直式計算題型之未知數字。 一、試題編製 本研究對象所使用之教材內容，其編製依據教育部 92 年國民中小學 九年一貫課程綱要。在數學領域五大主題能力指標「數與量」一項指出， 國小階段一至三年級要「能熟練整數加、減的直式計算」（N-1-05）。在三 年級之分年細目更指出「能熟練加減直式計算」（四位數以內，和<10000， 含多重退位）」（3-n-02）（教育部，2003），據此，設計施測試題之多位數， 在被加數與加數不超過三位數，和則不超過四位數。又Chandler 和 Kamii （2009）指出對年紀較小的學童而言，10 個「一」可以換成 1 個「十」的 概念易於1 個「十」換成 10 個「一」的概念，亦即進位概念易於退位概 念，故施測試題皆以加法呈現。 初次試題編製為九題，考慮了未知數字的位置及進位次數，將未知數 字的位置和進位次數交叉設計，題型如表3-3-1多位數直式加法運算-部分 被加數未知自編試題，分別為：被加數個位數未知（不進位）、被加數個位數未知（進位）、被加數個位數未知（雙重進位）、被加數十位數未知（不 進位）、被加數十位數未知（進位）、被加數十位數未知（雙重進位）、被 加數百位數未知（不進位）、被加數百位數未知（進位）、被加數百位數未 知（雙重進位）共九題。 表3-3-1 多位數直式加法運算─部分被加數未知自編試題 個位數未知 十位數未知 百位數未知 不 進 位 1. 2 3 □ + 1 1 4 3 4 6 4. 6 □ 3 + 2 1 3 8 8 6 7. □ 4 5 + 2 5 3 8 9 8 進 位 2. 3 4 □ + 3 1 7 6 6 2 5. 1 □ 4 + 2 8 5 4 5 9 8. □ 3 2 + 5 3 7 1 2 6 9 雙 重 進 位 3. 5 7 □ + 3 4 8 9 2 4 6. 1 □ 7 + 2 6 6 4 5 3 9. □ 8 4 + 6 3 9 1 4 2 3 與指導教授討論試題後，考慮「部分未知在被加數」及「部分未知在 加數」兩者，學童對此兩者可能會有不同的解題反應，故另再增加九題部 分加數未知之題型加以研究，題型如表3-3-2多位數直式加法運算-部分加 數未知自編試題，分別為：加數個位數未知（不進位）、加數個位數未知
（進位）、加數個位數未知（雙重進位）、加數十位數未知（不進位）、加 數十位數未知（進位）、加數十位數未知（雙重進位）、加數百位數未知（不 進位）、加數百位數未知（進位）、加數百位數未知（雙重進位）共九題。 完成本研究之自編製試題，共計十八題。 表3-3-2 多位數直式加法運算─部分加數未知自編試題 個位數未知 十位數未知 百位數未知 不 進 位 10. 4 2 5 + 3 7 □ 7 9 7 13. 3 6 1 + 5 □ 8 8 7 9 16. 3 1 4 + □ 7 2 8 8 6 進 位 11. 5 3 6 + 3 2 □ 8 6 3 14. 2 7 6 + 4 □ 3 7 2 9 17. 6 5 2 + □ 2 6 1 1 7 8 雙 重 進 位 12. 7 7 4 + 2 5 □ 1 0 3 2 15. 4 6 9 + 8 □ 5 1 3 3 4 18. 8 2 7 + □ 9 8 1 6 2 5 二、晤談方式 在測驗成績得到百分之八十到百分之九十正確分數，表示學生已無學 習的困難或問題（黃光雄，1999），故研究者從學童受測試題中，挑出平 均得分低於0.8 分的試題再做進一步晤談，分別為第 5 題進位被加數十位
第9 數十 □9 試題 題呈 以有 色空 察出 的橫 上面 要放 9 題雙重進 十位數未知 98=1625， 題上的被加 呈現，探究 晤談時將 有色空格提 空格該放的 出此為兩堆 橫線視窗界 面的錢幣和 放幾個才會 進位被加數 知，469+8□ 而後選出接 加數、加數 究學童對位 將題目改以 提醒，並將 的為何種幣 堆錢幣集合 界線，則改 和藍色緞帶 會使上面和 數百位數未 □5=1334 接受晤談的 數、和等數 位值的認知 + 以錢幣呈現 將擺放的各 幣值。被加 合，而在直 改以藍色粗 帶下面的錢 和下面的錢 未知，□84 ；第18 題 的代表學童 數字，研究 知和多位數 1 □ + 2 8 4 5 現，如圖 3-各種幣值之 加數、加數 直式題目記 粗緞帶表示 錢幣要一樣 錢一樣多？ +639=142 題雙重進位加 童進行具體 究者改以百元 數直式加法運 4 5 9 -3-1 錢幣布 之間距離拉大 數之間亦有適 記錄時，被加 示，研究者向 樣多，在有色 3；第 15 題 加數百位數 體物操作和 元、拾元 運算概念 布題示例， 大，以利學 適當距離 加數、加數 向學童說明 色空格該放 題雙重進位 數未知，8 和晤談，施 、壹元錢幣 。如題 5： ，未知的數 學童觀察出 ，以利學童 數以及和之 明：藍色緞 放入何種錢 位加 827+ 施測 幣布 ： 數字 出有 童觀 之間 緞帶 錢幣？
進行的操作內容主要為以下五種： 1.研究者念出數字，學童聽數字並將數字以符號記錄下來，以觀察學童記 數方式。 2.研究者念出數字，學童聽數字並拿取正確的幣值，觀察學童以錢幣表示 位值時的操作表現。 3.研究者拿出錢幣擺放在桌面，學童讀出桌面上呈現的幣值，以觀察學童 在位值單位之間的化聚表現。 4.研究者以錢幣布題，學童操作出空格處應放置多少錢幣，從中觀察學童 以錢幣代替數字運算時的表現。 5.研究者請學童說明其找出空格處所需錢幣數量的解題方式為何，以對比 較學童紙筆運算與錢幣操作的表現異同處。
第四節 資料蒐集
一、 施測時間 為配合研究對象使用之數學教科書版本，避免學童受教科書解題方式 影響，故在101 年 5 月利用第二次月考完後且學童接觸「算出括號中的數 （1）」之前，以班級彈性課程時間讓學童作答自編試題。 二、 施測過程 研究者利用 40 分鐘彈性課程時間進行試題施測，施測前給予學童試 題指導語並帶念試卷說明，研究者告訴學童題目中出現的□皆為一個數字， 請學童把□中的數字找出來，並強調要把解題想法記下來，學童可以在試卷 上做記號。測驗結束研究者自行回收試題並批改、登錄成績。 三、 晤談方式 晤談地點選在原班教室，每位學童完成晤談及操作所需時間約為40過程中，研究者不進行教學，對於學童所提的問題，只給與概念無關的回 答。再將錄影內容繕打成逐字稿，而後從學童的口述、操作、記錄等線索 來分析學童的概念。
