學童以錢幣操作加法計算題型之情形

研究者從施測試題中找出學童表現在多位數直式加法運算時表現差 異較大之題型，將試題中的數字以 百元、拾元、壹元之面額錢幣代之，

以錢幣重新布題，接受晤談學童藉由操作錢幣解答多位數加減互逆題型，

找出空格處應放錢幣的數量。根據五位晤談學童的操作表現加以記錄，分

析他們的解題過程。

一、學童處理不進位問題之方式

學童在施測試卷的分析中，以不進位題型的得分表現最佳，研究者將 試題改以錢幣布題，從學童操作的表現檢視學童在處理多位數直式加法運 算時的內在思考方式。

以下為中高分組小愷、小君、小宬三位面對不進位問題23□+114=346 時，所做的操作及記錄過程。學童皆從最高位開始比較，學童發現界線上 的百元總數量為3個，拾元的總數量為4個，與界線下面的4個百元、3個拾 元數量一致，因此只觀察比較壹元位置，界線上方的壹元數量共有4個，

而界線下的壹元數量有6個，故學童觀察壹元其間差了2個。

在原案十六中可看出，研究者要求小愷以數字記錄再表現如何找到 23□+114=346的未知數字，發現小愷記下被加數為232與加數114，但小愷 找到未知數字的過程只著眼於具有差異之壹元處。

原案十六

師：那這個地方（有色空格）你會放什麼東西？

愷：（點界線上面的百和界線下面的百，點界線上面的拾和界線下面 的拾），一、二（放入兩個壹元），兩個壹。

師：你會放這樣子。

愷：恩。

師：它們就會？

愷：一樣。

師：剛剛我們擺的這個東西我要小愷你把它寫下來。我們擺的這個是 多少？

愷：只有那一排（指被加數）喔？

師：這一排（指被加數）跟哪一排合起來會跟它（和）一樣多？

愷：跟這一排（指加數）。

師：那一排（指被加數），那一排你會怎麼記？

愷：（寫232）

師：那他們合起來會是多少呢？

愷：（點算，寫346）

師：好，合起來是三百四十六

師：那你可以告訴老師你剛剛怎麼知道這裡要放兩個嗎？

愷：因為那裏有四，阿這裡有一二三四五六，阿六減四等於二阿。

在原案十七中，高分組小君比照了各個位數的數量，直接畫出「2」

個壹，而小君如何判斷缺2個壹，並未加以說明。

原案十七

師：好，那你想看看，這裡（灰格）要放多少，才能讓界線的上面跟 界線的下面會一樣多？

君：（畫2個壹）

師：好囉？

君：嘿

師：那你告訴我，你怎麼會畫2個？

君：因為這裡缺兩塊，我就補兩塊。

原案十八中，中分組小宬以運算方式告訴研究者如何算出答案「2」，

其想法綜合了小愷與小君，比照了各個位數的數量之後，對於有差異的壹 元，以6-4計算出來。

原案十八 宬：（畫2個壹元。）

師：你畫好囉？那你跟老師說你怎麼樣知道要畫2個壹塊錢？

宬：因為下面這裡有3張一百，上面也有3張一百，下面有4個拾元，

上面也有4個拾元，這裡有6個壹，這裡有4個壹，就6-4等於2。

師：所以你找到這裡要放2個壹。

由原案十六和原案十八剖析高分組小愷、中分組小宬兩位學童的操作，

學童從高位開始觀察比較，只著眼於具有差異之壹元處，在紀錄操作過程 時，因其僅關注有差異的個位部分，故過程的記錄亦僅就個位數來列出算

4-3-1，以「和減去加數」的策略求得被加數答案，再對照被加數的各個位 值，找到未知數字。（346-114=232，求得□為2），但使用錢幣操作時則 僅關注在個位數量之差異，小愷試卷表現和小愷錢幣操作的表現並不一致；

中分組學童小宬的試卷表現如圖4-3-2，此和小宬錢幣操作時的表現則無 異。

圖4-3-1 小愷施測試題第1題作答方式

圖4-3-2 小宬施測試題第1題作答方式

然而在晤談時，發現低分組學童的解題策略與中高分組學童的處理方 式不同，低分組學童採用直接找出答案，並掌握全體數量之差異來做算式 記錄。原案十九、原案二十為小翔、小華在研究者布題不進位問題

23□+114=346後所進行的操作及記錄過程。

原案十九中，當研究者布題結束後，小翔即立刻擺放出答案所需的2 個壹元。當研究者問及何以知道要擺放2個壹元？小翔將界線上之所有錢

幣加總後得到344，又界線下之總數為346，以「344+2=346」記錄。

原案十九 翔：（放兩個壹元）

師：好了？這麼快？你怎麼知道要擺這樣子？

翔：（寫344+2=346）

師：怎麼想到這裡是2？

翔：這裡（上面百元和下面百元的總數、上面拾元和下面拾元的總數）

都一樣，那裏有四個壹，這裡有六個壹，四減六等於，阿，四加 二等於六。

原案十九，小翔以加法計算「344+2=346」告訴研究者何以知道「2」

為答案，但試題中「2」是未知數字，學童卻在過程當中運用答案「2」來 計算，表示學童內心已有答案「2」，其所寫下的計算過程是驗算的紀錄，

答案「2」並非小翔透過紙筆計算的結果，而是從高位逐步比較而來，另 從小翔的敘述中「四減六等於…阿，四加二等於六。」可窺知其內在思考 裡面，加法運算和減法運算之間隱有關係。

在原案二十中，小華操作錢幣時，將界線上所有已知的被加數和已知 加數的錢幣值合計後，得344，再與界線下方錢幣幣值346相減，得到界線 上、下幣值總量的差異為2。

原案二十 華：（畫2個壹）

師：好囉？這麼快。那你告訴我你怎麼畫的，你怎麼知道要畫這樣。

華：因為這裡有三百四十六。

師：三百四十六。

華：然後這邊只有三百四十四。

師：三百四十四。所以 華：缺兩元。

師：哇！那你可以用數字寫給我看嗎？

師：然後呢？你是用看出來？還是算出來？

華：可以算，（346-344=002，把前兩個0劃掉）

原案二十，在研究者問及答案「2」是以觀察或是計算得知時，小華 以「可以算」回應，「可以算」一詞表示可以透過計算，也可以不透過計 算，小華以「346-344=002」為其算式記錄過程。

由原案十九、原案二十，兩位低分組學童未以算式記錄之前，就能找 出所需面額的數量，表示小翔和小華在心中能抽象的運作，運作時並不需 藉助符號的記錄。而小翔、小華在記錄算式時，掌握全體量的差異；與中 高分組受訪學童微觀記錄算式，只做差異部分的比較不同。

從圖4-3-2來看，小翔、小華在施測試題23□+114=346的計算表現，小 翔以「4+2=6」為計算過程，如圖4-3-3所示；而小華則以「6-4=2」計算得 知□為2，如圖4-3-4所示。但在錢幣操作時，兩學童卻是掌握全體數量來 記錄和操作。學童在試卷表現上只關注未知數字□所在位置，只做□該位 的計算，雖然試卷上的作答和錢幣的操作，學童都成功解題，但試卷作答 策略與錢幣操作時的操作策略並不一致。

圖4-3-3 小翔施測試題第1題作答方式

圖4-3-4 小華施測試題第1題作答方式

二、 學童處理需進位問題之表現

學童於施測試卷上最主要的表現差異在於涉及進位及雙重進位的題 型，而研究者將試題轉換成錢幣重新布題後，受訪學童的操作與記錄方 式亦各自有不同表現，學童主要操作方式有四種，分別為從高位往低位 逐步比較界線上下面額數量；從低為起算，逢十則進一，以湊出未知數 字的量；以嘗試錯誤找出未知數字；將未知數字□視為0，以和減去界線 上所有已知數量。

(一) 學童從高位往低位逐步比較界線上下之面額數量

學童操作需進位問題時，將界線上的被加數和加數依照面額分別加總，

之後再與界線下方之錢幣面額分別比較，百元與百元數量比較，拾元與拾 元數量比較，壹元與壹元數量比較，若出現數量的差異則由低一位的10個 集合補齊，在五位學童中，在原案二十一中小君操作1□4+285=459為此種 操作方式。

原案二十一

師：現在你只能放在這個格子（灰格），這裡要放什麼的？

君：拾

君：（彈琴似的動手指頭，畫7個拾）好了 師：好了？那你怎麼找的？你畫了幾個拾？

君：7個拾 師：怎麼找的？

君：因為這裡少1張一百，所以要10個拾組成1個一百。

師：少一百，所以要10個拾組成1個一百給它，哪邊有10個可以給它？

君：一、二、三、四、五、六、七、八、九、十（點拾位中的10個十 元）

君：（寫174,285,459）好了

師：那要不要檢查看看？上面下面有沒有一樣多？

君：（寫174+285=459）好了 師：有嗎？

君：有

原案二十一中，當小君觀察出界線上與界線下相同面額的錢幣數量不 一致，又只能操作□所在的面額，小君即往低位退，利用低一位的10個集 合補之。找到未知□的數量後，小君分別將幣值寫成數字，列成被加數、

加數以及和，再將被加數與加數相加，檢驗所得之和是否與界線下之幣值 相同。

原案二十二 師：空格裡面要放

君：拾 師：對，拾

君：（畫9個拾）好了 師：真？

君：恩

師：好那你檢查看看

君：（寫197，266，453，197+266=463，擦掉算式，重新點錢幣，

寫197+266=463）

師：上面多少？

君：197

師：藍色的上面總共是多少？

君：463

師：那下面是多少？

師：所以

君：（擦掉1個拾，重點錢幣，寫187，187+266=453）

師：你想看看，為什麼你會放8個，不放9個了？

君：因為這裡只有6個（拾），放4個（拾）就可以多一個一百。

師：恩

君：然後這裡剩一、二、三、四（點拾元），剩下4個。

師：恩

君：然後，呵，（點數壹元）7個加6個就，7個壹加6個壹就可以進位，

變成1個拾。

師：恩，變成1個拾，所以這邊留幾個？

君：3個

師：其它的壹呢 君：變成拾 師：好

在原案二十二中，小君面對雙重進位題型1□7+266=453，以錢幣布題 後，小君即放置9個拾元到未知□，待其以數字記錄被加數197、加數266、

和453，而197+266=463與界線下之幣值453並不吻合，故移走1個拾使之與 453相符，學童透過驗算自我發現錯誤，並修正錯誤。當題型為十位未知

（雙重進位），因界線上下百元數量差1個百，故小君退到拾元並將被加 數與加數湊齊10個拾元做為1個百，再觀察界線下方之拾元數量，將界線 下方拾元的數量，繼續補在被加數未知處，即得到□解答，因□處在十位，

小君著手操作完拾元便停止，並未顧及到更低位的壹元是否對十位有進位

小君著手操作完拾元便停止，並未顧及到更低位的壹元是否對十位有進位