結論與討論

綜合本研究之結果，本節分別就「學童多位數直式加法運算試題解題 表現」、「學童位值概念的認知表現情形」、「學童以錢幣操作加減計算 題型之情形」之結果綜合討論。

一、學童多位數直式加法運算試題解題表現

（一）學童計算不進位、進位的題型優於計算雙重進位題型

以不進位、進位、雙重進位三種進位題型得分情形分析，學童在不進 位題型其的通過率達98％。學童的通過率達表示進位的六題中，學童通過 率達94％，而進雙重進位的題型學童通過率為 62％。雙重進位的平均得 分低、通過率低，表示學童以計算方式計算不進位、進位的題型優於計算 雙重進位題型。

以部分加數未知和部分被加數未知而言，部分加數未知時平均得分 0.86，得分表現高於未知在被加數時的 0.83，但兩者之整體差異並不大。

並從研究結果中發現，當未知在加數和未知在被加數題型中包含了十位數 未知（雙重進位）、百位數未知（雙重進位）時，降低了學童整體得分表 現。

從進位次數、未知數字在不同位數、部分被加數未知或部分加數未知 所得到的結果來看，學童處理多位數多位數直式加法運算的表現優劣，最

主要為進位次數，當進位次數愈多，表現愈不理想；其次為「未知數字在 不同位數」，當個位數未知時，不論題型其進位次數，也不論未知在被加 數或加數，通過率高達96％；最後為「部分被加數未知或部分加數未知」，

學童於此兩者的表現相當。

研究中發現，學童以計算方式多位數多位數直式加法運算，未能成功 解題的關鍵在於學童只關注未知數字所在的位置，並未從個位起算，而是 將未知數字所在位置視為最低位，以至於未顧及其低位是否進位使得未能 解題成功；另外，若個位數未知，因整數未有比個位更低位的數，在解題 時學童並不會受低位進位與否的影響，故當個位數未知時，解題表現優於 十位數未知及百位數未知的情況。

本研究與羅素貞等人（2005）、呂玉琴（1997）的研究結果相符，均 發現當個位數未知時，不論進位與否學童都能成功解題。

（二）學童於個位數未知的表現最佳，其次為百位數未知，而後為十 位數未知

以未知處在不同位而言，學童其成功解題的最佳表現為個位數未知，

通過率達96％；其次依序為百位數未知，80％；最後是十位數未知，78％。

而影響學童百位數未知及十位數未知得分較低的關鍵，在於題型中同時出 現了「雙重進位」的進位方式。因十位數位於個位數與百位數中間，當學 童運用「部分和減去部分已知」方式來運算時，未能以較為全面的「所有 和減去所有已知加數」、「所有和減去所有已知被加數」來尋求答案，往 往只運到未知□即停止運算，未能顧及個未所帶來的進位亦會影響到十位 數，造成十位數未知的表現最不理想。

二、學童位值概念的認知表現情形

（一）學童在數字記錄時，可能採用印─阿記數及中文記數，且由高

從晤談中可發現，在單純記數時學童對於數字記錄的方式不侷限於課 室當中常用的印─阿記數系統，會交雜以中文記數。但涉及計算的過程學 童又以印─阿記數系統記之。學童以中文報讀數字時，以「數量」搭配「位 值單位」，從高位往低位讀，不論學童的書寫紀錄方式為印─阿記數或中 文記數，學童在記數上皆呈現與報讀的順序相同，從高位往低位記。先有 溝通的語言後有符號的發展，在數的發展亦是如此，當從高位開始讀數，

記也從高位開始記數，可推知學童在面臨不同數量單位時，會先掌握大的 單位。

本研究與 Mann 等人（2012）所做研究部分雷同，均觀察到使用中文 的學童從高位開始讀數字、記錄數字；王渝生（2006）表示能記數並不構 成數學，必須能以抽象符號運算實體的量，而研究中發現學童單純記數以 中文記數或印─阿記數系統記錄，雖中文記數與印─阿記數的進位制相同，

兩者差異只在於符號的不同，但涉及運算時學童又改以印─阿記數系統紀 錄，顯示印─阿記數是為學童所認為的「數學」符號。

（二）學童在從操作錢幣時由大面額開始，並以最簡約、不零散的方 式表達相同的數量

學童在「聽數字，拿錢幣」具體操作時，從大面額錢幣開始拿取，且 未約定使用面額的情況之下，中分組學童運用了壹、拾、百以外的面額，

顯示學童的生活經驗中曾接觸過壹、拾、百以外的面額，有大面額可供使 用的情況之下，學童會選擇使用少量的大面額以取代大量的小面額，用最 簡約、不零散的方式表達相同的數量。顯示教師以錢幣做為十進位教學的 教具時應特別的小心，個、十、百、千是十進位系統所使用的位值單位，

教學時出現非十進位的位值單位「五百」「五十」，容易造成學童在學習 以十進位位值表記錄數量時出現困擾及混淆。

本研究與林晉如（2006）的研究結果互相呼應，均發現教學時呈現十 進位概念宜慎用錢幣，使用非等比例較具（錢幣）在位值教學上會有影響。

（三）學童對位值的解讀包含了「數量」和「單位」

在晤談過程中可發現學童位值概念為「數量」和「單位」，記錄的數 字對學童而言不僅是符號，此符號還存在著「數量」、「單位」的意義，

此外，學童賦予了名稱給各個數字的「位置」，即為「位名」，數碼「3」

在百位就成了「3 個」「百」，表示數量有三百之多。學童所記錄的數字 是透過數碼的排列，經由數碼和位置的排列可以更有效的表示數量。

接受晤談的學童所記錄的數字不僅是數碼的排列，其包含了「數量」

和「單位」兩概念，透過抽象的數碼符號和符號所在位置，表達出一具體 的數量。

本研究與羅素貞等人（2005）的研究結果有所差異，發現學童對位值 的解讀不僅是位名而已，位值更具有單位性。造成研究結果的差異有可能 因為本研究對象並不包含小一、小二學童，只針對小三學童進行研究。

（四）學童操作錢幣以十進位方式進行位值單位間的換算

學童以等值觀念說明數字的進位，每逢10 個低階單位即替換成 1 個 等值高階單位，從操作過程和敘述中可發現學童的進位型態為十進位、並 以等值概念來說明何以出現進位的紀錄。當約定面額只有壹、拾、百時，

這種等值化聚的概念在進位記錄上即成了十進位的表現。

本研究與 Cooper 等人（2011）研究結果所稱低年級學童不認為數字可 以由「十」和「一」組成有所差異，造成研究結果的差異可能本研究對象 年齡不同，因為年齡的增加，學童對十進位系統的位值概念愈加清楚。

三、學童以錢幣操作加減計算題型之表現情形

（一）學童不進位題型表現情形

‧累進性的往上數，再繼續添加直至與界線下方錢幣數量相等。

‧界線上下比較，將界線上下數量相減求得差數。

學童於不進位題型求得□中的數，其操作和記錄主要有兩種方式：(1)

累進性的往上數，再繼續添加直至與界線下方錢幣數量相等；(2)界線上下 比較，將界線上下數量相減求得差數，在□處補齊所缺少之數量即得解 答。

所有晤談學童皆從大面額開始比較，學童皆出現合成運思，以「一」

為單位，逐一往上點數，在加法概念時，學童心理須同時有兩個計數器 來處理加數及被加數各種面額的數量。累進性的往上數、界線上下數量 相減求得差，此兩種為學童操作不進位題型之表現。

（二）學童進位、雙重進位題型表現情形

‧從高位往低位逐步比較界線上下面額數量，上下數量遇有差異時，則重 組 10 個低一位的面額以補足差異，直至找出未知數量。

‧從低為起算，逢十則進一，湊出未知的量。

‧以嘗試錯誤找出未知的量。

‧將未知數字□視為 0，以計算方式將界線下方錢幣的值減去界線上所有 已知錢幣的值。

每位受訪學童在操作進位題型時，有自己固定的操作模式，但學童 之間操作模式相異。接受訪談的學童其操作和記錄方式表現各異，主要 表現有以下四種：

（1）學童從高位往低位逐步比較界線上下面額數量，數量遇有差異時則 由 10 個低一位的面額補足差異。雙重進位且未知數字在十位時，學童只 操作到拾元即停止，未考量到更低一位的壹元數量，當壹元數量超過10 個，會影響未知拾元所需數量，因而造成學童解題錯誤。

（2）學童從低為起算，逢十則進一，以湊出未知數字的量。此操作方式 與直式加法步驟相同，10 個壹元換 1 個拾元，10 個拾元換成 1 個百元，

直到湊齊與界線下方錢幣之值相同。

（3）以嘗試錯誤找出未知數字。學童知道未知數字須擺放的面額為百元、

拾元或壹元，擺放進去數量則是不斷嘗試，學童並無有效的方法解題。

（4）學童將未知數字□視為 0，以計算方式將界線下方錢幣的值減去界 線上所有已知錢幣的值。學童先將未知數字□視為0，界線上下方數值相 減答案若為70，□就擺入 7 個拾元，若相減後答案為 600，則□擺入 6 個 百元。

從學童在施測試題的表現與學童操作錢幣並記錄錢幣的表現，可看出 每位學童在施測試題以計算方式算出□中的數時，皆有其個人一致的解題 步驟；而後在錢幣布題操作時，每位受訪學童亦有個人一致的操作步驟。

學童未經教導能以自己本身的經驗和能力找到□中的數。

研究者觀察學童的操作與記錄，當同一種面額數量超過 10 個時，學

研究者觀察學童的操作與記錄，當同一種面額數量超過 10 個時，學