兒童加減法運算之發展

印─阿記數除了以 0、1、2、3、4、5、6、7、8、9 十個符號來表徵 數，其中更運用了位值概念，而位值概念涵蓋了加法性與乘法性，討論位 值概念勢必牽涉到運算，要進行數運算非得先對數有基礎的認識，而對數 的認識又來自於個體對世界的經驗和互動，產生了數概念、記數法、數運 算等。數學的「讀寫能力」是指在進行數字的加、減、乘、除運算時能了 解自己在做什麼、可以靈活地思考數字的意義並了解數字如何以不同的方 式來表示，以達到紀錄和溝通的效果，明白數字在日常生活擁有多樣化的 用途，「數與量」更是在我國教育部九年一貫課程綱要數學領域五大主題 的第一位，而所謂能熟練數的計算，是指在能夠理解數學概念或演算規則

的情況下進行的純熟操作，這種透過理解並能將觀念與計算結合的能力才 是演算能力，數感、讀寫能力與演算能力實為一體，皆是建立在理解之後 的計算。（教育部，2003；許長壽，2005；鍾靜，2005； Usiskin，1999）。

對整數加減的內涵，以下又以兒童數運思之發展、運算輔助工具、數運算 與理解分別敘述：

一、 兒童數運思之發展

數運算是個體在心中操作一個數概念與另一個數概念的過程，不同個 體可以操作出相同的結果，但操作的過程不一定相同，因此在相同的情境 之下，因有不同的數概念，所以可以產生不同的操做過程但卻有相同結果 的情形，在談到須要用到運算的情境時，可能因為數運算方式的限制而有 不同的解題表現（甯自強，1995）。

兒童數運思之發展可分為四個階段：合成運思、累進性合成運思、部 分─全體運思、測量運思。

(一) 合成運思：

此運思階段是以「一」為單位，逐一往上點數，將數個「一」合成為 一個新的數，以21 為例，表示有 21 個「一」，在加法概念時，學童心理 須同時有兩個的計數器來處理計算，以12+21 為例，數了十二個「一」之 後，必須再數二十一個「一」，心理要有兩個計數器同時運算，1、2、3、

4、5、6……12，同時產生二十一個「一」，接著數 22、23、24、25……33 完成計算（甯自強，1995）。

(二) 累進性合成運思：

此為使用「一」合成一個新的聚集單位，例如已經有點數 5 的經驗和 概念，則8 就是從 5 開始，再數三個「一」，6、7、8，以 21+12 為例，即 以被加數為聚集單位，直接從此聚集單位21 開始，再數十二個「一」，即 21，22、23、24、25、26……33，能清楚明辨「一」與一個聚集單位，在

「一」與其他聚集單位混合使用時，不會混淆「一」與其他聚集單位，而 且能將數個「一」與數個其他聚集單位合而為一，形成一個新的聚集單位，

將單位「十」作計數以及單位「一」做計數，得到三個「十」與三個「一」，

亦即33（甯自強，1995）。

(三) 部分─全體運思：

此運思階段以掌握「一」與集聚單位之間的部分全體關係為基礎，例 如「一」和「十」之間，十個「一」可以換成一個「十」，進而能掌握此 集聚單位與以其為元素所合成的另一集聚單位，如十個「十」換成一個「百」

的部分全體關係（甯自強，1995）。

(四) 測量運思：

此階段的運思是同時掌握兩個層次以上的部分全體關係。例如學童可 以掌握「一」和「十」的部分─全體關係，又能掌握「十」和「百」的部 分─全體關係，同時掌握了「一」「十」「百」三者之間的關係時，則達到 了測量運思階段（Carpenter, Fennema, Franke, Levi ＆ Empson，1999）。

依照學童數運思之發展進程，國小數學課程依序在國小二下數學領域 提供學童觀察、經驗加減法互為逆運算關係，但不要求學童皆可察覺到加 減互為逆運算關係。此時所提供的活動在比對加、減兩種運算使三個數字 之間有關係存在（甲+乙=丙， 丙─乙=甲）。在二下階段只著重學童能「注 意」、「觀察」到加法以及減法運算上的記錄，進而比對結果。三年級後才 繼續進行加減互逆活動，幫助學童掌握加減互為逆運算的關係。三下學童 已經逐漸發展出部分─全體運思，學童已能掌握數量之間的關係，能做「甲 部分和乙部分合成全體」和「全體可分為甲部分和乙部分」間的轉換，能 掌握部分─全體之間互為可逆轉換、加減互為逆運算的概念（林淑君、陳 竹村、陳俊瑜、蔣治邦、謝堅，2002）。

二、 運算輔助工具

王渝生（2006）表示數學是一門關於運算的學問，學童透過「記數」

雖然可將具體物或半具體物的操作過程記錄下來，但能記數並不構成數學，

記數的過程是一座橋梁，將實體的數量過渡到抽象表達，此過程是數學概 念發展之初極為重要的一步，概念一旦形成，接著學童才以抽象的數字符 號運算實體的量，以此為數學運算的基礎工具。運算必須建立在「符號」

與「指稱物」的連結，指稱物應是日常生活的物質，如：錢幣、公制測量 物質，或是特別設計的教具，如：各類數學積木，學生以指稱物的運算為 基礎連結到數學符號運算，從中找出符號運算的答案（劉曼麗，2002）。

透過這一連串的活動學童對記數（符號）和數（指稱物）才能達到彼此之 間的連結。

人類有了數概念後，為了運算之便發明了各種計算的輔助工具，中文

「算術」一詞原是指籌算的技術，如圖2-3-1 中國算籌的數量表示法，算 籌是以小竹棒排列出數量的記數工具，此記數工具的出現也意涵著中國古 代的數學以計算為中心，郭書春（1994）引《老子》「善數不用籌策」證 明在春秋末年之前算籌就是人們的主要計算工具，又引《孫子算經》「凡 算之法，先識其位」，表示籌算在進行時要確認算籌擺放的「位置」，用籌 擺出數字符號。唐朝中葉，籌算原本的三層計算已經簡化到一層，籌算口 訣很快，但擺放算籌的速度卻很慢，動作跟不上口訣，因此又有珠算的基 礎模型漸漸形成，籌算和珠算兩者記數法的概念相同，珠算計算速度極快，

珠算盤可說是中國古代最優秀的計算工具，直至目前仍在使用。（郭書春，

1994；王渝生，2006）

  圖2-3-1 中國算籌的數量表示（胡重光，2008，頁 83）

周筱亭（1987）指出學童在學習直式計算時，須熟悉位值單位間的重 組操作（10 個一可以換成 1 個十，或是將 1 個十換成 10 個一），重組操作 和位值總是密不可分，因涉及到進位和退位時，重組就出現，所以直式計 算是一種強調位值的計算方式她認為兒童對計算的原理原則並未了解的 很透徹，欲了解計算的原理原則又需對位值的概念有相當的認識才行，指 出學童在紙筆計算以前，必須先熟悉運作交換和重組的過程，並在定位板 記錄交換而重組的過程，故以古氏積木、豆籤、捆冰棒棍、位值算盤、籌 碼、錢幣等教具讓學童熟悉操作有其必要，學童遇到「關卡」（如：19 要 進入到下一個數20；或 67 是 6 個十，7 個一，將 67 改成 5 個十 17 個一）

的地方，重組就出現，以具體物體驗重組關卡並加以記錄，可看出重組如 何影響數字在定位板上的變化。當學童學會重組後，一定要用成比例的教 具來引導學生擴展至千以上的大數，使學童感受到用具體物來表示大數是 一件累贅的事，如此才能讓學童感受到抽象化符號的威力。

直式計算與籌算的概念相同，亦是透過位值的特性表徵出數量，直式 計算與籌算之差異在於籌算以算籌做為數量記錄，而直式計算則是以印─

阿記數記錄數量，人類在運算時有了符號記錄的幫助，不須再將龐大的數 字儲存在腦內，如此可以減輕大腦的負擔，因此直式計算可視為運算的工 具，然而傳統直式計算的紀錄方式對學童的位值概念並沒有助益，即使兒 童對於數的四則運算的題目能正確計算，但卻不瞭解他們在計算程序中所 用到的位值的意義，在教室中進行的學習活動大多著重在教師講解後，學 生直接練習，較少進行解題策略的發展，因此多數學童在加減直式計算的 紙筆測驗都能有不錯的表現，但進一步探討，學童雖能做對題目，但對數 字的基本知識、位值等數學缺乏概念性的理解（黃克倫、楊德清，2007；

Kamii＆Joseph，1988）。

三、 數運算與理解

在國小階段的學童，與日常生活最相關的數學即是數與量，學童要建 立起數感、體會到數量的存在，只有靠各種計算的練習與應用才能慢慢建 立，精確的計算須經過嚴格的推理，因此才能有正確的解（翁秉仁，2003）。

流暢的計算能力是指連結概念理解的和計算精熟，概念理解和計算精熟在 數學學習過程中缺一不可（施乃文，2005）。部分教學現場老師觀察到學 生對於概念的不清楚，乃由於學生記住學習的規則而不去探究事物背後的 原因，而導致常常犯下相同的錯誤類型（Kalb & Gravett，2012），而只有 理解卻無法有效、正確計算以解決生活問題，也將阻礙學習歷程，教師透 過多樣舉例，可以讓學生理解運算意義進而順利掌握計算方式。對整數的 計算而言，在教與學之中，計算的定義可以藉由廣泛的方式加以解釋當學 童對數字的知識懂得越多，學童對計算就越能掌握，可以明確的將注意力 放在數字和數字之間的關係上，數學問題也會變得越容易解決（林月芳、

陳嘉皇，2006）。

學生若能了解數學概念的意義，便可以自行遷移學習和類推，即使教 師未教過學生也可以根據之前所學獨力解決問題，學生必須理解計算過程 中的規則、邏輯順序及關聯，才能在學習計算的過程中靈活運用，計算也 才會有多樣性的可能。因此熟練演算的能力是也是學生獲得新數學經驗的 方法，新經驗將又成為下一階段學習的具體經驗（施乃文，2005；教育部，

2003；許長壽，2005；黃克倫，2008）。