兒童位值概念與整數加減運算之相關研究

學童的學習與教師的教學是教學現場兩個重要的部分，過去有研究者 以學生的位值概念表現來做研究，亦有以教師的教學方式來探討教學法對 學生位值的學習的影響，或者探究教師本身的位值概念對學童在位值概念

學習的影響。本節就過去之相關研究進行整理，以下分別對過去研究做簡 要敘述：

黃偉鵑（1994）以加、減、乘、除四種運算方式之測驗試題，對 1782 位國小二、三、四年級學童進行數學基本運算能力錯誤類型之研究，且利 用與晤談的方式來了解兒童的思考歷程，試圖找出這些錯誤類型發生的原 因。研究發現學童最常犯的錯誤為「相加時未加上進位數 」，但此類型錯 誤多為隨機產生的，可能來自於學童的疏忽或不小心，或是缺乏練習所造 成，再進一步與學童晤談過程，發現學童進位概念不夠以至於犯錯；較有 規則可循的錯誤類型為「個位數未進位至十位」及十位和「不對稱相加」

（不同位數彼此相加），二種錯誤的產生與學童誤用對齊相加的概念有關；

學童處理借位減法時，常常在被借位值仍舊維持原數，而未將被借位值減 一，以至於產生錯誤，認為學童若對減法更熟練或在計算上更用心，那麼 錯誤就會減少；在「大數減小數」及「0 減任何數為 0」這二種類型錯誤，

可能錯誤的原因與兒童自行建構錯誤算則及對0 的概念不清楚有關，由學 生的晤談中可加以佐證；兒童其他類型（由左而右運算及未退位相減）較 少有系統的表現出來，屬於隨機發生。

林宜城（1995）利用問卷個別訪談 135 位兒童，探討不同文化背景的 二、三、四年級兒童在位值概念及其相關知識的發展情形。研究發現在不 同年級間，四年級兒童的數概念顯著優於二、三年級；四年級兒童計數知 識、位值概念也顯著優於二年級，這些概念可能是隨年齡成長而漸趨成熟。

在地區籍別間，山區平地籍與市區平地籍學生之計數知識、位值概念的表 現並無差異，但顯著優於山區山地籍兒童，亦即在地區間無顯著差異，在 籍別之間有顯著的差異。二、三年級原住民兒童在唱數及數數方面與平地 籍兒童有極顯著的差異，研究者認為這種差異是受原住民傳統文化的影響。

山地地區兒童能瞭解教具積木表徵之數字位值對應問題，但不一定能瞭解

生活實物表徵之位值數字對應問題，可能因山區兒童較缺乏有關數的活動 與經驗。

胡豐榮（1995）利用自編的紙筆測驗研究臺中縣二十三所學校 842 位 五年級學童，了解兒童『十進數』單元位值相關概念之學習成果與位值相 關概念之關聯結構，並配合晤談加深了解兒童對位值相關概念之理解情形。

研究結果顯示，學童對位值相關概念之學習成果有偏低現象，且存有許多 另有想法，在末位是0 的乘除方面，學童主要的另有想法是認為把 0 畫掉 之後再計算的用意與小數末位的0 可以畫掉的道理相同；十進數結構方面，

學童主要的另有想法是從字面上去了解這些意義，學童無法理解多少進數 即為多少乘冪的結構；在數的表徵方面，學童主要的迷思是對0 與小數點 意義的誤解；在位值概念方面，學童無法理解二進數的位值，然而學童對 十進數位值的理解，受到位名的影響極大，而對於十進數位值的理解學童 極容易經由背誦的方式習得。

呂玉琴（1996）在國小學童數與計算概念的研究中指出，25%到 35%

的國小畢業學童對位值概念仍不清楚，而造成問題的原因因在課本教材當 中呈現位值概念的教學活動，只偏重於單一種方式，如：356 是 3 個百、5 個十、6 個一，使得學童在做答只在部分全體運思的階段練習，未能使學 童提升到測量運思階段，使其同時掌握兩個以上的聚集單位之間的化聚，

那麼學童對位值的關係無法有效、靈活的掌握。

呂玉琴（1997）利用二位數加減法計算題，探究 251 位二年級學生及 257 位三年級對二位數加減法計算題的瞭解。研究發現學童除了個位進位 問題外，不需進退位的計算題答對比率比需進退位的問題高10％，且研究 發現學生能正確解題的策略主要有二：一是將二位數分成幾十和幾，再解 題；二是將二位數分成幾個十和幾個一，再解題。而在進退位題型上發生 的錯誤，主要來自於忘了進退位，而忘了進退位不一定來自於疏忽，而是

對位值概念的不清。

李貞慧（2001）以台南安平國小兩個二年級班級，分別做為實驗組與 對照組，探究低年級學童使用數的分解紀錄對解決加減問題效性，在實驗 教學設計中，藉由「數的分解紀錄」（a =b＋c）引入，協助學生了解加減 問題背後的「部份－全體」的概念，引導學生形成加減互逆概念。在教學 前先進行前測，教學後隨即進行後測，並在一個月後進行延後測；並挑選 高分組、中分組、低分組學生進行訪談。研究結果發現在後測表現上，「數 的分解紀錄」引入對實驗班與對照班學生在學習加減互逆概念上並未有明 顯的影響；在延後測表現上，實驗班與對照班在「數的分解紀錄」引入在 加減互逆概念的保留概念上有顯著影響；實驗班高分組學生已可以掌握加 減問題的「部份－全體」基模，並運用此基模進行解題；對照班高分組、

實驗班中分組、對照班中分組學生則能在形成階段；實驗班低分組與對照 班低分組的學生解數學加減文字題易從題目的關鍵字作答，對加減互逆概 念的形成沒有幫助。

羅素貞（2005）以一到三年級學童為研究對象，針對國小學童位值概 念與多位數加減問題解題表現關係。研究發現一到三年級學童大致都能辨 認多數位名。學童年級越高，越能以幾個十和幾個一的方式來數，其位值 概念越接近「序列的十與一」和「序列─分立的十與一的整合概念」之間。

在加減法的解題策略，學童會因問題情境的不同而有不同的解題策略，在 不須進退位的加減法問題中，學童較能同時操作兩個單位。

林晉如（2006）利用紙筆測驗研究屏東地區六所國民小學 345 名一年 級學童的位值概念學習情形，並選取18 名學童以一對一半結構方式訪談，

來找出學童在位值概念上的學習困難。研究發現在數數方面，國小一年級 學童常常不以位值概念思考進退位的數列，而容易受正向數數與一個一數 所影響，造成答題上的錯誤；在位值概念的學習上，學童單位的轉換能力

較低；學童對於數的大小判斷，容易受到圖像空間大小、長短和個別數字 的影響，而忽略數字的位值；在二位數字的表徵上，會只考慮單一數字或 位置，而無法思考位值意涵。

蔡郁樺（2008）以自編「國小兒童位值單位轉換概念測驗」試卷對苗 栗縣一所小型學校8 位四年級學童進行篩選，選擇得分低於 60 百分比的 學生3 人作為補救教學的實施對象，並利用虛擬教具─萬用揭示板，進行 位值單位轉換概念補救教學，探討虛擬教具是否能成為有效的位值單位轉 換概念補救教學工具，實驗結果發現虛擬教具的介入可以使研究對象提升 和維持位值單位轉換概念的成效，且能降低「數字表徵」、「古氏積木圖像 表徵」、「錢幣圖像表徵」、「文字表徵」四種表徵題型的答題錯誤率，以及

「部分整體─合成」、「部分整體─分解」二個子概念的答題錯誤率。

Moeller 等人（2011）研究學童早期的位值概念對往後的加法算術影響，

研究者以一年級學生為研究對象，從其在位值上的表現一直追蹤至三年級 時加法運算表現，發現學童早期位值概念的理解程度可以預測其往後的算 術表現，研究者更篤定對數字的基本認識是往後算數的基石。

Browning 與 Beauford（2012）對幼稚園學前兒童及幼稚園兒童進行語 言對位值理解研究，將兒童分為二組，一組兒童施以傳統教學，另一組兒 童則進行明確的位值名稱教學。而後用五個二位數字對兩組學童進行測驗，

並以卡方考驗分析傳統教學組和明確位值名稱教學組對五個二位數字的 評量結果之間的關係以及兩組成員對位值定義的關係。研究指出對孩子教 以明確位值和教以傳統數字名稱兩者具有差異，明確教以位值名稱的兒童 對數字的掌握超越了接受傳統教學的兒童。這項研究顯示教孩子使用明確 數字名稱確實對兒童位值理解有的正面影響。

Mann 等人（2012）以說德語的 6 位奧地利學童進行縱向研究，研究 小學生對三位數字的處理發展，這些學童在小學二年級以前學習二位數字，

三年級開始學習三位數字，他們從二年級開始參與研究到四年級。研究者 以前人對二位數字研究的結果，假設學童比較數字大小時，會從高位開始 往低位比較。而在其研究中改比較兩個三位數字的大小，以其百位、十位、

個位三個數碼或大或小交叉設計了八種題型，過程中每位學童單獨在室內 進行40 題三位數字數比大小。發現隨著年級的增加，學童處理數字的策 略不同，而學童產生錯誤來自於對三位數字讀法的順序影響學生判斷數字 的大小（因德語的三位數字讀法先讀百位，然後讀個位，最後讀十位）； 其二是學童處理三位數字受百位及個位影響大於十位，可能來自於視覺上

個位三個數碼或大或小交叉設計了八種題型，過程中每位學童單獨在室內 進行40 題三位數字數比大小。發現隨著年級的增加，學童處理數字的策 略不同，而學童產生錯誤來自於對三位數字讀法的順序影響學生判斷數字 的大小（因德語的三位數字讀法先讀百位，然後讀個位，最後讀十位）； 其二是學童處理三位數字受百位及個位影響大於十位，可能來自於視覺上