一、假設性學習路徑
從知識建構的觀點，該如何設計數學教學活動？ Simon（1995）提出假設 性學習路徑（hypothetical learning trajectory, HLT），包含三個重要元素：教學目 標、教學活動，與假設性的學習過程。在這個觀點下，教師必須根據課堂上學生 的反應，修正其教學目標，以使教學符合學生的認知路徑。也就是說，教學設計 是不一個不斷循環的過程，如圖 2-4-1 所示。
圖 2-4-1、Mathematics Teaching Cycle（Simon, 1995）
Clements 與 Sarama（2004）也認為，發展假設性學習路徑的目的，在使教 學序列和學生的認知發展序列自然的結合。也就是說根據學生對於特定數學內容 的的思維模式，發展假設性的學習路徑：包含一連串的教學活動，以引導學生進 入更深一層的思維層次，完成階段性的教學目標。
Gravemeijer（2004）指出假設性學習路徑在課程改革中的重要性，透過這個 理論，教師有機會針對特定內容，發展出假設性學習路徑，並在自己的教室情境 下，發展活動、形成教學，檢驗該假設性學習路徑的有效性，以形成局部的教學 理論。Clements 與 Sarama（2004）總結過去的研究，認為假設性學習路徑的發 展有三個階段：階段一，主要發生在日常的課室活動中，教師透過對數學的發展
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脈絡和學生的非正式解題思維的了解，形成教學任務；階段二，是將第一階段的 教學活動精鍊後，重新規劃後所進行的教學實驗，結合教學任務、教師角色、課 室文化，以發展成為更精錬的教學序列。階段三，其目的是結合理論與實務，對 精鍊過後的教學序列形成一般性的描述。
二、空間能力的假設性學習路徑
空間能力包含哪些不同的子能力？心理學家最早是以因素分析（factor analysis）的方法將空間能力加以分類。例如：Lohman（1988）分析出空間能力 的三個主要因素：空間關係（spatial relationship）、空間定位（spatial orientation），
與空間視覺化（visualization）。其中空間關係指的是受試者不動，物體與環境相 對位置改變，也就是在心靈裡快速旋轉空間影像的能力；空間關係的測驗主要以 二維和三維的心智旋轉（mental rotation）為代表。空間定位指的是觀察者假想自 己的位置改變，而空間物體與環境的相對位置不變所造成的影響；空間定位的測 驗以觀點取替任務（perspective taking）為代表。空間視覺化需要受試者透過視 覺想像對空間表徵進行一連串的變換；空間視覺化的測驗，主要以紙張摺合
（paper folding）和立方體展開（cube unfolding）為代表。
另外，也有心理學家以理論的分析方式，建立空間能力的架構。例如：Uttal 等人（2013）以所探討的空間物件關係（物件的內在或外在關係），以及解題者 所進行的活動（靜態的編碼或動態的轉換）兩個向度，來對空間能力進行分類，
如圖 2-4-2 所示。在該空間能力架構下，空間能力被分為四類：
1. 內在-靜態（Intrinsic-Static）：辨識出圖形中的組成元素，例：藏圖測驗。
2. 外在-動態（Extrinsic-Static）：空間感知，例：水平面測驗。
3. 內在-動態（Intrinsic-Dynamic）：空間視覺化，例：截面、展開圖測驗。
4. 外在-動態（Extrinsic-Dynamic）：觀點取替，例：空間定位測驗。
在這個架構下，三視圖所需的空間定位能力，即屬於外在-動態的空間能力。
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圖 2-4-2、空間能力的分類（Uttal, et al., 2013, 圖來自 Davis, 2015）
Piaget 與 Inhelder（1967）將孩童的認知發展，分為四個階段，想像不同視 點下所見的視圖，大約開始於前運思期（2 至 7 歲），而完全成熟於具體運思期
（7 至 12 歲）。以下分述各階段的主要發展：
第一階段、感覺動作期（sensorimotor stage）（0 至 2 歲）：個體透過協 調感覺經驗和身體運動來建構對外在世界的了解，漸發展遠近、上下、
大小的空間概念。這個階段的發展結果，主要完成物體恆存（object permanence）的概念。
第二階段、前運思期（preoperational stage）（2 至 7 歲）：主要的思考特 徵是自我中心（egocentric），因此無法想像別人所見的視圖。這個階段 的發展結果，主要能夠體會別人所見的和自己所見的不同。
第三階段、具體運思期（concrete operational stage）（7 至 12 歲）：是邏 輯思維的開始，能夠透過想像，對物體進行操弄，能夠想像不同視點所 見的視圖，也能夠在繪畫中呈現樹木鉛直生長和水平面等特徵。這個階 段的主要發展結果，在了解即使物體的外在形狀改變，仍具有等量的體 積或重量。這個時期的孩童，能夠對具體的情境作推論。
第四階段、形式運思期（formal operational stage）（12 歲以上）：能夠發
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展抽象概念，能檢驗假設是否為真。這個階段的主要發展結果，在於能 夠對假設或抽象的情境作推論，並且透過演繹推理證實推論的有效性。
空間概念是如何發展而來的呢？根據 Piaget 與 Inhelder（1967）的觀點，空 間概念包含拓樸、投影、歐氏三種空間性質，其中，拓樸空間代表孩童是以接近、 孩童的困擾。這也印證了 Piaget 與 Inhelder（1967）的觀點，二至七歲的兒童，
屬於前運思期，主要特徵即為自我中心，因此無法體會別人所見的和自己所見的 不同。
空間定位是重要的空間能力，其中，線索學習和方位學習是外在參照定位的 重要方式（Newcombe & Huttenlocher, 2003）。線索學習，指的是觀察者依據物體 與地標之間的關係作編碼。例如：某物體是在另一個物體的下方。而方位學習，
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繪圖的能力與定位、協調的能力相關。有關孩童如何繪製立體圖形的示意圖，
Mitchelmore（1978, 1980）對國小至國中的學童進行了一系列的研究。他把孩童 所繪製的長方體、圓柱、角錐和立方體，按所表現的層次分成幾個階段。階段一、
平面（plane schematic），代表孩童只能注意到一個面向的資訊。階段二、空間
（space schematic），代表孩童能注意到多面向的資訊，但是無法整合，因此把多 面的資訊畫在一起。階段三、擬現實（prerealistic），孩童嘗試從一個視點去整合 多面向的資訊，已接近現實所見。階段四、現實（realistic），孩童能夠從一個視 點去整合多面向資訊，現實中的平行線在圖畫中能以接近平行的方式呈現。
圖 2-4-3、描繪立體圖形的示意圖不同發展階段 （Mitchelmore, 1978）
綜合以上兩個研究可發現，國小孩童雖已具有辨別不同方向所見視圖的能力，
但不一定能畫出能符合規約（convention）的視圖；而畫出不同幾何形體的能力 也顯然不同。因此，立體圖形的繪製，與各種表徵的協調，需要進一步的學習。
空間能力如何影響幾何學習的表現呢？張碧芝、吳昭容（2009）的研究發現，
六年級學生的積木計數表現，主要受空間視覺化能力影響，而非空間定位。左台 益、梁勇能（2001）調查八年級學生空間能力與 van Hiele 幾何思考層次的關聯 性，發現空間能力與 van Hiele 幾何思考層次，以及解決空間幾何問題的表現均 呈現正相關。林福來（1987）調查國中學生對於平面幾何變換：平移、旋轉、伸
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縮的了解，發現學生對於幾何變換有許多自發性解題概念，例如：認為水平線經 過鏡射之後還是水平線，即受到鉛直反射面的典型心像的影響。
孩童對於空間與幾何學習的假設性學習路徑為何？Clements 與 Sarama（2014）
在 van Hiele（1986）的幾何認知層次理論之下，綜合相關的研究，發展幾何形 體的教學活動。幾何形體（Shape）的學習路徑包含四個子路徑：比較、分類、
部分、表徵。在比較活動中，學生必須比對出相同的形體，從完全相同（identical）、
大小不同（sizes），到方向不同（orientation）。分類活動，包含其前置活動：辨 認、命名、分析與分類。部分代表對幾何形體組成元素的描述，如：辨別、命名、
描述、和量化。表徵代表局辨與出幾何形體。
Clements、Wilson，與 Sarama（2004）結合了假設性學習路徑，探討學生 如何以 2D 的幾何形體拼組成指定的圖形（composition of geometric figures）。該 研究包含幾個面向：首先對學生進行訪談，以了解學生如何拼組幾何圖形。發現 其間關鍵的認知元素有：建立幾何形體的心像並保留該心像、組合多個幾何形體
（從試誤法到分析特徵）、把組合成的形體視為新的元件再加以拼組。接著發展 問卷，將拼組任務分為七個層次，並發展對應的試題任務。對 72 位學生（4 至 7 歲）所作的研究發現，學生的表現隨著年級而進展，且各年級表現皆有顯著差異。
從以上兩個例子，我們看到，發展假設性學習路徑的可能途徑：一、發展評 量工具；二、發展教學活動並進行教學實驗。評量工具可以將學生表現分為不同 的層次，而教學活動的設計，也可以針對如何使學生由一個階段過渡到另一階段 而設計。而這些教育實驗的結果，除了貢獻到教學活動設計，更有機會貢獻到課 程的設計與發展。
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第叁章 積木方塊三視圖的解題策略
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第叁章 積木方塊三視圖的解題策略
學生是以什麼方式進行積木方塊三視圖的解碼？能夠順利解碼的學生和不 能順利解碼的學生表現有何不同？以 Battista 與 Clements（1996）所作的分類，
學生對於積木方塊平面表徵的理解可分為四個層次：視點的拼湊（a medley of viewpoints）、組合單位（composite units）、協調（coordination），與整合（integration）。 視點的拼湊，是指學生每次只注意到立體物件的一個表面；組合單位，是指學生 以分解成更小單位的方式來結構立體物件；協調，是指學生能夠想像移動積木方 塊所帶來的視圖改變；整合，是指學生能夠依據視圖建構積木方塊模型的心像並 進行操弄。
基於以上的描述，能夠協調的學生可在積木的輔助下進行三視圖的解碼，而 能夠整合的學生則可不依賴積木進行解碼。在沒有積木的情境下，學生可以何種 認知表徵來進行三視圖的推理？學生對於三視圖的解碼與推理表現適合用什麼 架構來分析？在不同的積木情境下（二立方/三立方、可懸空/不懸空），學生的三 視圖表現又有何差異？這是本研究所希望探究的。