第壹章 緒論
第一節 研究背景與動機
一、研究動機
空間能力與數學學習有密切關聯。學生若具有較佳的空間能力，有助於數學 解題，畫出有利於解題的圖示；也有助於其解決分數、面積估測等相關問題
（Bishop, 1980；Fennema & Tartre, 1985；Tartre, 1990；Boonen, Wesel, Jolles, Schoot, 2014）。空間能力也與科學、科技、工程，與數學領域（science, technology, engineering, & mathematics, STEM）的科系選擇與學習相關（Wai, Lubinski, &
Benbow, 2009）。Uttal 與 Cohen （2012）進一步指出空間能力與 STEM 科目學 習的關聯性。
為了解空間能力對各學科教學的影響，研究者在 2013 年 12 月，訪談了七位 現職的高中職教師，這七位教師分別任教於：地理、物理、化學、地球科學、建 築、鑄造和電子等學科。訪談結果發現，教師普遍認知到空間能力與其任教學科 之間的關聯。為了幫助學生理解書本上呈現的二維表徵（如：化學式），教師大 部分透過模型加以解說，也有教師會請學生自行製作模型以加深印象。但教師們 也體認到，學生空間素養不足所造成的學習困難。例如：地理科的教師談到：「有 一題學測題，只是畫出地球，標上經緯度，答案就出來了，但是學生就是不會。」
由此可知，雖然實物模型經常在課堂上被使用，但部分學生仍缺乏主動以空間表 徵進行溝通和推理的能力。
從學生能力國際評量計劃（the Programme for International Students
Assessment, PISA）的數學素養的觀點，空間與形體（space and shpae）的內容包 含：了解視點、閱讀地圖、形體變換、閱讀視圖，與表徵。因此，我們可以形體、
變換、表徵、定位四個空間內容向度，對現有課綱進行分析。研究者比較了台灣
2
與美國、英國、南韓、日本、中國大陸、加拿大的數學課綱也發現，空間內容在 數學課程中受到重視。例如：日本將不少空間相關的單元提早學習（文部科學省，
2008），中國大陸和加拿大將視點、定位、三視圖列為學習內容（中華人民共和 國教育部, 2011；WNCP, 2006），美國強調電腦軟體的操作以進行伸縮、平移等 概念的學習（CCSSO & the NGA Center, 2010）。而不少歐洲國家，如：英國、法 國，因著強調工藝教育，早已將立體圖形的繪製，列為數學課程的一部分。相較 於其他國家，台灣的數學課程中，除了展開圖外，其他空間表徵較少在課堂上被 教導（見附錄一）。
空間能力包含哪些內容呢？Lohman（1988）以因素分析的方法，分析既有 空間能力測驗，得三個主要面向：空間關係（spatial relations）、空間定位（spatial orientation），與空間視覺化（spatial visualization）（Lohman, 1988）。空間關係需 要受試者對 2D 或 3D 物件進行心像旋轉，例如：連方塊的旋轉。空間定位是指 受試者想像自身的位置改變所帶來的視圖改變，例如：三視圖測驗。空間視覺化 是需要受試者想像空間物件的組成元素移動或改變，例如：立體圖形的展開與摺 合。
圖 1-1-1、空間能力測驗：（A）空間關係（B）空間定位（C）空間視覺化
（引自 Harle & Towns, 2010）
（A）
（B） （C）
第壹章 緒論
3
空間能力和性別的關聯如何呢？Linn 與 Peterson（1986）發現，若以男女生 的分數差異除以標準差，作為衡量差異的效果量，可得：空間關係受性別影響最 大，空間知覺居中，而空間視覺化受性別影響最小。Voyer、Voyer，與 Bryden
（1995）的研究也呼應 Linn 與 Peterson（1986）的研究結果，且發現年齡對受 試者的影響，性別差異隨著三個年齡層：孩童（未滿 13 歲）、青少年（13 至 18
Uttal、Meadow、Tipton、Hand、Alden，與 Warren（2013）對 217 篇既有文獻 進行後設分析，發現空間能力的練習成效顯著。既有的空間能力訓練，大概可分 為三類：一是對於各種空間能力項目進行訓練。例如，Sorby（2001）為了增進 工程類科學生的空間能力，發展一系列空間能力訓練的課程。二是針對特定空間 能力進行訓練。例如，Cohen 與 Hegarty（2014）以電腦模擬操作，訓練研究生 截面想像的能力，Cheng 與 Mix（2014）訓練 6 至 8 歲的學生空間旋轉的能力。
（Geographical Sciences Committee, 2006）。如何使學生具備空間推理的能力與空 間思考的習慣？根據 Yore、Pinn，與 Tuan （2007）的觀點，素養的培養必須透
4
過相關知識的學習，並透過問題解決，進而將知識內化，成為思考的一部分。在 空間問題解決的過程中，除了強調相關知識、概念與表徵的學習，也應強調空間 推理和思考的歷程。
空間素養包含：空間視覺化、空間溝通，和空間推理三個向度（Moore-Russo, Moore-Russo, Viglietti, Chiu, & Bateman, 2013）。其中，空間視覺化，是指藉由視 覺影像對空間物件產生認知表徵；空間溝通，是指學習者藉由語言、文字、圖像，
或動作等表徵傳達空間資訊給他人；而空間推理，是指組織、比較，與分析給定 資訊：空間物件與關係，而產生結論。在這個架構下，空間推理不一定要透過視 覺化，例如：我們可以透過代數推理，知道正方形長變兩倍時，面積變為四倍。
如何增進學生空間溝通的能力？Ben-Chaim、Glenda 和 Richard（1989）調 查六至八年級學生空間溝通的表現，發現學生缺乏利用空間表徵進行溝通的能力。
他們也建議，在中學課程中，應使學生有機會經歷積木方塊的編碼（畫出 2D 圖 形）與解碼（根據 2D 圖形建構立體積木）的歷程。
Clements 與 Battista （1992）對空間推理下了以下定義：空間推理是受試 者對空間物件、表徵與變換，產生與操弄心智表徵的認知歷程。在這個定義底下，
空間推理也包含了視覺化的歷程。空間推理的困難來自於哪裡呢？Ragni 與 Knauff （2013）認為，受試者在處理空間問題時，需面對兩種模式的複雜度。
第一種模式，是建立與操弄心智模型（mental model）的複雜度；第二種模式，
則可以模式理論（model theory）來解釋，即符合已知條件的可能模式越多，解 題越加困難。
如何培養中小學生的空間推理能力？最好是以學生熟悉的題材出發。例如：
Ben-Chaim 等人（1988）選擇以積木方塊為題材，發展示意圖、三視圖各種表徵 間轉換的任務。Moor（1991）也以小立方塊堆積而成的積木房子為題材，透過 由三視圖出發的積木構造問題，提供學生提出假設、嘗試所有可能、反駁假設、
證實假設的空間推理機會。以積木方塊三視圖出發的編碼和解碼，除了可以培養
第壹章 緒論
5
學生心智想像的能力；且因單一視圖可能對應到多種積木組態，故三視圖是培養 學生空間推理能力的可能路徑。
既有的空間能力教學研究，多是對於孩童（未滿 13 歲）、青少年（13 至 18 歲）或成年人（滿 18 歲）單一年齡階段的表現進行探究，跨階段的研究較少。
而所用來培養空間能力的任務，以兩個空間能力向度（內在/外在、靜態/動態）
來區分，屬於外在─動態的任務較少（Uttal, et al., 2013）。但由於科學知識的學 習除了需要靜態的空間資訊的理解，也需要進行動態的空間想像（Wu, Lin, & Hsu, 2013），而外在動態的空間能力也與觀察者如何根據資訊探索外在環境的能力相 關（ Hegarty, Richardson, Montello, Lovelace, & Subbiah, 2002; Kozhevnikov, 2006）。對於中小學生而言，發展可評量其外在─動態空間能力的任務，可提升 其空間推理的能力，並有助於其他空間相關學科的學習。本研究的目的即在透過 三視圖，培養與檢測五至八年級學生空間推理的能力。
二、研究背景
在素養導向的課程設計理念下，十二年國教數學課綱預計在七年級的幾何教 學以直觀幾何為主軸，並引入由小立方塊堆積而成的積木方塊的三視圖，為了減 輕學生空間記憶的認知負荷，立體積木限制內嵌於二立方的積木方塊且不得懸空
（教育部，2016）。三視圖不只是工程製圖時必備的工具，在 3D 列印的新潮流 下，三視圖也是空間溝通的工具。積木方塊三視圖的學習，可連結國小積木方塊 計數的舊經驗，以及高中空間坐標的學習。
既有的三視圖的研究，可分為三大主軸。一是以學習者為主軸，主要在探討 受試者是如何對立體物件的表徵進行編碼與解碼，以 及相關的自發性概念
（Cooper & Sweller, 1989；Gutierrez, 1996；Battista & Clements, 1996；林玉珠，
2009；Ö zgen, 2012）。二是以三視圖的任務設計為主軸，以評量的觀點，探討不 同的試題設計對受試者帶來的影響（Ben-Chaim, et al., 1988；Cooper, 1990; Shyi &
6
Huang, 1995；林慧美，2011）。三是探討三視圖的教學，主要探討教學路徑的設 計與學習成效（Ben-Chaim, et al., 1988；Olkun, 2003；Sack, 2013）。以下我們就 分別敍述這三大主軸下的研究發現。
學習者如何解讀空間表徵？由立體圖形畫出其平面表徵的歷程，稱為編碼；
由立體圖形的平面表徵建造出其立體模型的歷程，稱為解碼。既有的研究發現，
對於中小學生而言，三視圖的編碼相對簡單，而三視圖的解碼相對困難（Cooper
& Sweller, 1989; Gutierrez, 1996）。三視圖的解碼困難，以 Ragni 與 Knauff （2013）
空間推理的模式來區分，可分為兩點：第一種困難，來自於建立與操弄心智模型 的複雜度，對積木方塊的表徵進行解碼，需要空間結構化、協調和整合的能力
（Battista & Clements,1996）。第二種困難，則來自於空間模式的複雜度，由於空 間表徵可能對應到多種空間組態，欲完成空間表徵的解碼，還需要彈性思考的能 力，即想像空間物件可能有多種可能的組態（林玉珠, 2009；Ö zgen, 2012）。僅 管現有的研究，描述了三視圖解碼的困難；也指出在解碼過程中，協調、整合、
結構化等能力的重要性。但對於能成功完成三視圖解碼，與不能順利完成解碼的 的受試者，其解題時使用表徵與推論歷程有何差異？仍缺乏進一步描述。
以評量為主軸的三視圖研究，需對三視圖所需的認知歷程，進一步分析。三 視圖的編碼與解碼，與空間定位（spatial orientation）的能力相關，受試者必須 想像自己的位置改變，而空間物體內部各部分的相對位置不變（McGee,1979）。
而三視圖的解碼，除了需要空間定位，也需要空間組織能力：由不同方向觀察物 體之空間影像，而揣想其另一方向之影像或立體（康鳳梅、鍾瑞國, 2000）。現有 的三視圖任務，按空間想像的維度，可分為三類（林玉珠，2009；林慧美，2011；
而三視圖的解碼，除了需要空間定位，也需要空間組織能力：由不同方向觀察物 體之空間影像，而揣想其另一方向之影像或立體（康鳳梅、鍾瑞國, 2000）。現有 的三視圖任務，按空間想像的維度，可分為三類（林玉珠，2009；林慧美，2011；