一
、積木方塊表徵的解讀
由立體物件畫出其二維表徵，學生會遇到什麼困難（編碼的困難）？第 一種困難，在於對二維表徵名詞的混淆，例如： Cohen（2003）請在職教師 畫出立體幾何物件（圓錐、圓柱）的展開圖時發現，部分教師誤以為斜投影 圖（perspective view）即為展開圖。第二種困難，可能來自於對於規約
（convention）的不了解或自然發展下的限制，例如：Mitchelmore（1978, 1980）
請一、三、五、七、九年級的學生在紙上畫出各種柱體和錐體。將學生的表 現區分為四個層次：平面（plane schematic）、空間（space schematic）、擬現
36
實（prerealistic），和現實（realistic）。其中，平面代表學生只能注意到單一面 向的資訊；空間代表學生能夠注意到多面向的資訊但不能協調（例如：畫出 無法從單一視點同時看到的面）；擬現實代表學生能夠畫出接近日常生活所見 視圖，但無法以平行線代表實際平行的兩稜線；現實代表學生能夠畫出日常 生活所見視圖，且能以平行線代表平行的稜線。
由二維表徵對立體物件作推論，學生又會遇到什麼困難（解碼的困難）？
第一種困難，在於混淆幾何物件和表徵。例如：高中生對代表平面的平行四 邊形表徵作推論，認為空間中兩平面可以只交於一點（Parzysz, 1991）。第二 種困難，是來自於維度處理上的困難，例如：Jones, Fujita, 與 Kunimune（2012）
探究中學生對立方體內接三角形的角度推理表現，發現學生的空間推理受視 覺化影響：當視圖以某特殊角度呈現時，學生才相信該圖形是正三角形。
Parzysz（1988; 1911）進一步以維度改變所帶來的資訊損失，來解釋空間物件 解碼的困難。
由小立方塊堆疊產生的積木方塊，常見於空間能力和計數的測驗當中。
學生對小立方塊的各種表徵進行編碼與解碼的表現如何呢？Gutierrez（1996）
調查不同表徵：等角視圖（isometric）、三視圖（orthogonal views）、分層圖
（layers），其編碼和解碼對學生的難易。其研究發現，對於二、四、六、八 年級的學生而言，編碼最困難的是等角視圖，即使提供斜點紙，學生仍會畫 出近似平行四邊形的二維表徵。而解碼最困難的是三視圖，要由三視圖建造 出積木方塊的模型，對八年級學生而言仍不容易。更高年級的學生空間表徵 的表現如何呢？Cooper 與 Sweller（1989）的研究發現，雖然九和十一年級 學生對於三視圖和分層圖的解碼表現顯著優於七年級學生。但即使對於十一 年級的學生，三視圖解碼的答對率仍未達五成。三視圖的解碼雖然困難，但 也有研究證實，經過訓練之後，學生對於積木方塊各種表徵的解讀均大有進 步（Ben-Chaim, et al.,1988; Sack, 2013）。
第叁章 積木方塊三視圖的解題策略
& Clements, 1996）。
二、視覺化與空間推理
空間視覺化，根據 McGee（1979）的定義，是觀察者對圖像表徵進行操 弄、旋轉、扭轉或倒置心像的歷程。傳統的空間視覺化測驗，以紙張摺合（paper folding）和曲面展開（surface development）測驗為代表。而根據 Ekstrom, French, 與 Harman（1979）的定義，空間視覺化則是對圖形的組成元件進行重組操 兩個主要面向：詮釋圖形資訊（interpreting figural information, IFI）與視覺化
38
過程（visualizing process, VP）。前者指的是閱讀圖表、圖形等較靜態的空間 能力，後者則是指操弄視覺表徵，或把非視覺表徵轉換成視覺表徵的能力。
心像是如何形成的？Clements 與 Sarama（2014）綜合過去的研究，認 為心像的形成是心理學上簡約原則（curtailment）帶來的結果，以視圖取替任 務為例，一開始受試者必須旋轉自己身體來完成任務，接著可以只旋轉手臂 或手就完成定向，最後，不需任何身體的動作即可完成視點改變的心智想像。
如果心像（visual imagery）的操弄，是模擬真實情境的操作歷程，那麼完成 任務所需的時間就與心理距離（如：摺合面數或旋轉角度）有關。Shepard 與 Metzler （1971）的研究證實了這點。他們請受試者判斷某兩物件是否相同或 只是鏡射物，發現受試者的反應時間與旋轉角度成線性關係。這也說明了心 像旋轉的歷程，是類似於物體在現實中轉動的方式。
數學任務也常需要透過視覺化歷程以達成。Gutierrez（1996）指出，視 覺化的歷程中，需要四個元素之間的交互作用：心像、外在表徵、視覺化過 程，與視覺化能力。其中心像，即是指透過視覺或空間資訊所形成的數學概 念或性質的認知表徵。而外在表徵，是指對數學物件所形成的語言或圖像表 徵，藉以幫助心像的建立或變換以進行視覺推理。視覺化過程，則是指與心 像建立有關的心智或操作歷程，包含兩個重要歷程，一是由資訊產生心像，
一是詮釋心像以產生新的資訊（觀察與分析心像、變換心像以成新的心像，
與變換心像以產生新的資訊）。Gutrierrez（1996）也以圖 2-1-3 說明心像與外 在表徵間的互動歷程。
圖 3-1-1、數學任務中的視覺化歷程（Gutierrez, 1996）
第叁章 積木方塊三視圖的解題策略
39
我們可以在三視圖任務底下，說明這個視覺化的歷程。在由三視圖建立 積木方塊心像的時候，需要透過語言的論述或立體圖形的調整，調整積木方 塊心像，以符合所有視圖，此即心像與外在表徵的來回歷程。
三、認知表徵的協調
Duval（2000）認為數學理解，包含多種表徵之間的協調，包含：自動性
（automatic）表徵和意圖性（intentional）表徵。自動性表徵指的是受試者在 感知到物件時，對物件所產生的心像或重製。例如：看到長方形，覺得它很 像門或找到一個長方形的物體來模擬它。而意圖性表徵，是指受試者以外在 符號表徵來代表物件。例如：把所有看起來像門的幾何物件都稱作長方形
（discursive）、繪下許多不同的長方形（non-discursive）。Duval（2000）提出 以下數學理解的認知結構：
圖 3-1-2、數學理解的認知結構（Duval, 2000）
這個數學理解的認知結構，也適合來分析學生的三視圖編碼和解碼歷程：
看到積木方塊的三視圖，產生符合部分視圖的心像；或是進一步的調整心像，
以符合所有視圖，皆是 automatic 的過程。而看到三視圖，繪出其編碼俯視圖 或示意圖，來整合資訊；或以口說的方式，結合視圖資訊以對積木方塊的組
40
態作推理，皆是 intentional 的過程。三視圖的認知歷程，可以圖示如下：
（論述積木組態） （畫出圖形） （拼組積木） （形成心像）
圖 3-1-3、以 Duval（2000）數學理解的認知結構詮釋三視圖認知歷程 如何評定學生對於三視圖的表現呢？在訪談過程中，我們可以 Duval（2000）
的數學理解認知結構來分析學生對於各種表徵的協調。