探究臺灣五至八年級學生積木方塊三視圖的表現：問卷調查與教學實驗

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(1)國立臺灣師範大學數學系博士班博士論文. 指導教授：林福來博士. 探究臺灣五至八年級學生積木方塊三視圖的表現：問卷調查與教學實驗. 研究生：陳韻如. 中華民國 106 年 8 月.

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(3) 謝誌學習是一條耐磨的道路，能夠完成這篇論文，要感謝的人太多了。首先要感謝我的指導教授. 林福來老師一路的提攜與指點。林老師最常掛在嘴邊的話是. 《禮記．學記篇》的一段話：「君子之教，喻也。道而弗牽，強而弗抑，開而弗達。」這也表現在林老師教導我們的一言一行當中。而我，就以不參與的觀察者的身份，看著林老師帶領「以設計為本的」教師成長工作坊、帶領奠基活動的設計。而我的學習，也逐漸起步。在博士學位進修期間，有許多參與國際研討會的機會。對我而言，這是一個展現自我的機會，可以在大眾面前，發表自己的論文；有機會和國際學者進行交流，也有機會到不同的國家增廣見聞。這些國際交流的機會，使我找到自己在數學教育社群的定位。更堅定我完成數學教育博士學位的信心。我要感謝我的口試委員：楊凱琳教授、左台益教授、襲充文教授、熊召弟教授，感謝您們仔細閱讀我的論文，對於細節和論文的修改方向提出許多寶貴意見。從您們身上，我學習到學者的風範，以及做學問時，博學、審問、慎思、明辨、篤行的態度。我要感謝許多學習的典範：建誠學長、慧玉學姐、育萍學姐，許多一起成長的夥伴：逸超、介興，以及許多一同修課討論的同學。數學教育是一門需要不斷反芻的學問，知識理論透過實作與討論，最終進入我們的知識、信念。最後，要感謝我的家人。我的先生：逸超，是我最好的討論夥伴；父母親和公婆是我最好的家庭支柱；三個寶貝們：小比、小米、小菲是我最好的問卷訪談，和教學實驗對象。我的博士學位論文，也隨著寶貝們的成長，終於完成。. 韻如謹誌 2017 年 8 月 17 日.

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(5) 探究台灣五至八年級學生積木方塊三視圖的表現：問卷調查與教學實驗摘要本研究的主要目的在建立三視圖的假設性學習路徑，研究分三個階段進行。第一階段，藉由訪談，了解學生對於三視圖的自發性解題策略。第二階段，發展問卷，以調查五至八年級學生的積木方塊三視圖的表現。第三階段，形成三視圖的假設性學習路徑，並以教學實驗檢驗其有效性。分述各階段的研究方法如下。第一階段的研究，是以半結構性訪談的方式進行，訪談對象是六位十年級學生，問題的變項包含：積木數量與可否懸空。第二階段的研究，是以問卷調查的方式進行，受測對象為 551 位五至八年級學生。共發展三項三視圖相關任務：「由視圖選立體圖」、「由底層和視圖計數」和「由視圖選出相容視圖」。其中，按給定的視圖資訊，「由視圖選出相容視圖」又分為三種題型：右俯、前俯，和前右。本研究探討了年級、積木的有無、任務類型對學生表現的影響。第三階段的研究，是以單一組前後測的教學實驗方式進行，教學實驗的對象包含一個五年級、一個六年級，與一個十年級的班級。研究結果發現，學生對於積木方塊三視圖的解題策略包含：視覺與局部推理，而使用的表徵包含：語言、圖像、模擬以建立心像。當積木數量由二立方增至三立方時，需積木模擬才能解題的學生增加，當積木由不懸空發展成可懸空時，局部推理的學生減少。可見二立方不懸空的情境下，有利學生發展多種不同的解題表徵。三視圖問卷的發展，即鎖定二立方不懸空的情境，調查結果發現，年級和任務、積木和任務之間有交互作用。就主效果而言：有操作物時學生表現較無操作物時好。較高年級學生表現顯著優於較低年級學生。「由視圖選立體圖」和「由底層和視圖計數」表現顯著優於「由視圖選出相容視圖（右俯）」和「由視圖選出相容視圖（前俯）」，又顯著優於「由視圖選出相容視圖（前右）」（p<.01）。三視圖的假設性學習路徑，包含：編碼、解碼，和空間推理三階段。編碼階段主要訓練學生以積木方塊的各種表徵（示意圖、三視圖、分層圖）進行溝通；解碼階段，是由視圖建造出相符的積木模型；空間推理階段，學生需在無積木的情境下論述積木方塊的組態。根據該假設性學習路徑，發展教學活動並進行單一組前後測，其結果為：五、六年級學生在「由底層和視圖計數」表現有顯著進步。十年級學生在「由視圖選出相容視圖」表現有顯著進步。綜而言之，本研究可貢獻在三視圖學習與教學的三個面向：描述學生的解碼策略、區別學生的三視圖表現層次，並形成積木方塊三視圖的假設性學習路徑。關鍵詞：方塊、假設性學習路徑、問卷、三視圖、空間推理. i.

(6) Exploring Taiwan Fifth to Eighth Graders’ performance on Orthogonal Views of Cubes: A Questionnaire Survey and Teaching Experiments Abstract The study aimed to explore Taiwan fifth to eighth graders’performance on orthogonal views of cubes in three phases：The spontaneous concepts, the accuracy with regard to different kinds of tasks, and the teaching effects. The first phase, a survey was conducted on spontaneous concepts and decoding strategies among six 10th graders. The survey was based on a semi-structured interview with three tasks varied in numbers of the cube, and cube situation （with floating cubes or not）. The second phase, a questionnaire was developed which included three tasks：Choosing isometric, cube enumeration, and the compatible task. The sample included 551 5th -8th graders. The study aimed to investigate the effects of three variables：concrete manipulatives, grades, and tasks on students’ performance. The third phase, teaching experiments were conducted in a 5th, a 6th, and a 10th-grade class by pretest-posttest designs. The results were as follows. Spontaneous concepts of orthogonal views included seeing one view as one layer. Decoding strategies（visual/analytic） and modes of representation（discursive/visualization/simulation/mental image） all influenced students’ decoding performance. The effect of concrete manipulatives, grades, and tasks were as follows. There were interactions between grades and tasks; and also between concrete material and tasks. As main effects, the elder outperformed the younger for each age group. The groups with manipulation outperformed the group without. And as for item difficulty, choosing isometric and cube enumeration were significantly easier than the compatible task（p<.01）. The hypothetical learning trajectory （HLT） for orthogonal views of cube follows the teaching sequence：Coding, decoding, and reasoning. One teaching experiment conducted in a 5th and a 6th-grade class resulted in a significant improvement in cube enumeration. Another teaching experiment conducted in a 10th-grade class resulted in a significant improvement in the compatible task. In conclusion, the study contributed the teaching and learning of orthogonal views of cubes in 3 faces：describing students’decoding strategies, distinguishing students’performance in different levels, and formulating HLT for orthogonal views of cubes. Keywords： Cubes, hypothetical learning trajectory （HLT）, questionnaire, orthogonal views, spatial reasoning ii.

(7) 目次第壹章、緒論 ………………………………………………………… 第一節、研究背景與動機 ………………………………………… 第二節、研究理念 ……………………………………………… 第三節、研究目的與待答問題……………………………………… 第四節、名詞解釋 ………………………………………………. 1 1 7 9 10. 第貳章、理論背景 ……………………………………………………… 第一節、幾何物件的認知歷程 …………………………………… 第二節、三視圖與空間推理………………………………………… 第三節、積木方塊三視圖的任務與表現 ……………………… 第四節、假設性學習路徑 ………………………………………. 15 15 18 22 28. 第叁章、積木方塊三視圖的解題策略 ……………………………… 第一節、理論背景 ……………………………………………… 第二節、研究方法和樣本 ……………………………………… 第三節、資料分析 ……………………………………………………. 35 35 40 41. 第四節、結果與討論………………………………………………… … 43 第肆章、積木方塊三視圖的評量 ……………………………………… 第一節、理論背景…………………………………………………… 第二節、前置研究 ……………………………………………… 第三節、研究工具 ……………………………………………… 第四節、研究方法和樣本 ……………………………………… 第五節、資料分析 …………………………………………………… 第六節、問卷的信效度………………………………………………. 47 47 49 50 53 55 55. 第七節、三視圖的表現評估………………………………………… … 57 第伍章、三視圖的假設性學習路徑 ………………………………… 第一節、理論背景 ……………………………………………… 第二節、研究方法和樣本 ……………………………………… 第三節、資料分析 …………………………………………………… 第四節、結果與討論…………………………………………………. iii. 71 71 74 74 74.

(8) 第陸章、結論與建議 ………………………………………………… 93 第一節、結論 ……………………………………………………… 93 第二節、建議 ……………………………………………………… 100 ………………………………………………………………. 105. 附錄一、數學課程中空間內容的比較……………………………………. 113. 參考文獻. 附錄二. 前置研究的三視圖能力問卷（二立方）……………………… 117 附錄三. 前置研究的三視圖能力問卷（三立方）……………………… 129 附錄四、正式研究中的三視圖問卷………………………………………. 141. 附錄五、三視圖的實徵研究………………………………………………. 157. iv.

(9) 表目次表 2-1-1、對照 van Hiele 幾何認知與三視圖認知歷程…………………………. 15. 表 3-2-1、前置研究的訪談問題架構…………………………………………….. 40. 表 3-3-1、三視圖解碼的思考策略……………………………………………….. 42. 表 3-3-2、受試者的三視圖解碼策略…………………………………………….. 43. 表 3-4-1、不同積木情境下受試者的三視圖策略編碼………………………….. 44. 表 4-1-1、SOLO taxonomy 試題設計的層次…………………………………….. 48. 表 4-3-1、積木方塊三視圖試題的命題架構…………………………………….. 50. 表 4-3-2、視圖相容任務中 A, B, C 卷的作答順序………………………………. 52. 表 4-4-1、主要研究的有效樣本………………………………………………….. 54. 表 4-6-1、積木方塊三視圖測驗信度分析……………………………………….. 55. 表 4-6-2、積木方塊三視圖測驗因素分析……………………………………….. 56. 表 4-7-1、三視圖測驗各細格描述統計 M（SD）…………………………………. 57. 表 4-7-2、年級 A、積木 B、任務 C 在三視圖分數上之 ANOVA…………………. 59. 表 4-7-3、三視圖混合線性模式的固定效應檢驗……………………………….. 60. 表 4-7-4、具有「視圖即積木方塊某一層」迷思概念的學生比例………………. 65. 表 4-7-5、選取「定向錯誤」誘答選項的學生比例…………………………….. 65. 表 4-7-6、學生的三視圖表現類型與思考特徵………………………………….. 66. 表 5-4-1、專家教師三視圖教學的課室觀察…………………………………….. 76. 表 5-4-2、五和六年級的三視圖教學活動（二立方）（不懸空）…………………. 78. 表 5-4-3、五和六年級三視圖教學實驗的成效………………………………….. 84. 表 5-4-4、十年級的三視圖教學活動（二立方和三立方）（可懸空）…………. 85. 表 5-4-5、十年級三視圖教學實驗的成效……………………………………….. 90. v.

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(11) 圖目次圖 1-1-1、空間能力測驗：（A）空間關係（B）空間定位（C）空間視覺化…. 2. 圖 2-1-1、幾何活動中的三種認知歷程…………………………………………. 16. 圖 2-1-2、視覺化不一定有助於推理……………………………………………. 17. 圖 2-2-1、三視圖（第三角投影法）……………………………………………. 19. 圖 2-2-2、投影法的分類。等角投影、斜投影與透視投影………………………. 19. 圖 2-2-3、結合三個不同視圖的數學能力試題…………………………………. 20. 圖 2-2-4、由三視圖出發的積木構造問題………………………………………. 21. 圖 2-3-1、由立體圖選出視圖……………………………………………………. 22. 圖 2-3-2、由立體圖畫出視圖……………………………………………………. 22. 圖 2-3-3、由視圖選出立體圖……………………………………………………. 23. 圖 2-3-4、由編碼俯視圖選出視圖………………………………………………. 23. 圖 2-3-5、由編碼俯視圖畫出視圖………………………………………………. 23. 圖 2-3-6、Cooper（1990）的視圖相容任務及再認作業…………………………. 24. 圖 2-3-7、Shyi 與 Huang （1995）視圖相容任務（三立方）（可懸空）………. 24. 圖 2-3-8、空間組織能力量表……………………………………………………. 25. 圖 2-4-1、Mathematics Teaching Cycle……………………………………………. 28. 圖 2-4-2、空間能力的分類………………………………………………………. 30. 圖 2-4-3、描繪立體圖形示意圖的不同發展階段………………………………. 32. 圖 3-1-1、數學任務中的視覺化歷程……………………………………………. 38. 圖 3-1-2、數學理解的認知結構…………………………………………………. 39. 圖 3-1-3、以 Duval（2000）數學理解的認知結構詮釋三視圖認知歷程…….. 40. 圖 4-2-1、積木方塊的編碼俯視圖………………………………………………. 49. 圖 4-3-1、試題範例：由視圖選立體圖…………………………………………. 51. 圖 4-3-2、試題範例：由底層和視圖計數………………………………………. 52. vii.

(12) 圖 4-3-3、試題範例：由視圖選相容視圖……………………………………….. 53. 圖 4-7-1、（A）積木有無（B）不同年級三視圖任務的表現………………….. 61. 圖 4-7-2、達各三視圖層次學生所占的百分比………………………………….. 67. 圖 4-7-3、學生無法協調兩個視圖……………………………………………….. 67. 圖 4-7-4、學生藉由調整立體圖以形成積木方塊的心像……………………….. 68. 圖 4-7-5、學生由雙視圖形成積木方塊的心像………………………………….. 68. 圖 5-1-1、視圖解碼：心像與外在表徵的互動歷程…………………………….. 73. 圖 5-4-1、專家「積木方塊三視圖」的教學…………………………………….. 77. 圖 5-4-2、「積木方塊三視圖」的認知地圖………………………………………. 77. 圖 5-4-3、國小高年級生所繪的積木房子……………………………………….. 81. 圖 5-4-4、國小高年級生所繪的三視圖………………………………………….. 82. 圖 5-4-5、國小高年級生在解碼過程所呈現的積木多元表徵………………….. 82. 圖 5-4-6、十年級學生的解題表徵積木可懸空………………………………….. 88. 圖 5-4-7、十年級學生的解題表徵：積木不懸空……………………………….. 89. 圖 5-4-8、積木方塊三視圖的學習歷程………………………………………….. 90. 圖 5-4-9、積木方塊三視圖的學習序列………………………………………….. 91. 圖 6-1-1、視覺整合成功與不成功的例子……………………………………….. 94. viii.

(13) 第壹章緒論. 第壹章緒論第一節研究背景與動機一、研究動機空間能力與數學學習有密切關聯。學生若具有較佳的空間能力，有助於數學解題，畫出有利於解題的圖示；也有助於其解決分數、面積估測等相關問題（Bishop, 1980；Fennema & Tartre, 1985；Tartre, 1990；Boonen, Wesel, Jolles, Schoot, 2014）。空間能力也與科學、科技、工程，與數學領域（science, technology, engineering, & mathematics, STEM）的科系選擇與學習相關（Wai, Lubinski, & Benbow, 2009）。Uttal 與 Cohen （2012）進一步指出空間能力與 STEM 科目學習的關聯性。為了解空間能力對各學科教學的影響，研究者在 2013 年 12 月，訪談了七位現職的高中職教師，這七位教師分別任教於：地理、物理、化學、地球科學、建築、鑄造和電子等學科。訪談結果發現，教師普遍認知到空間能力與其任教學科之間的關聯。為了幫助學生理解書本上呈現的二維表徵（如：化學式），教師大部分透過模型加以解說，也有教師會請學生自行製作模型以加深印象。但教師們也體認到，學生空間素養不足所造成的學習困難。例如：地理科的教師談到：「有一題學測題，只是畫出地球，標上經緯度，答案就出來了，但是學生就是不會。」由此可知，雖然實物模型經常在課堂上被使用，但部分學生仍缺乏主動以空間表徵進行溝通和推理的能力。從學生能力國際評量計劃（the Programme for International Students Assessment, PISA）的數學素養的觀點，空間與形體（space and shpae）的內容包含：了解視點、閱讀地圖、形體變換、閱讀視圖，與表徵。因此，我們可以形體、變換、表徵、定位四個空間內容向度，對現有課綱進行分析。研究者比較了台灣 1.

(14) 第壹章緒論. 與美國、英國、南韓、日本、中國大陸、加拿大的數學課綱也發現，空間內容在數學課程中受到重視。例如：日本將不少空間相關的單元提早學習（文部科學省， 2008），中國大陸和加拿大將視點、定位、三視圖列為學習內容（中華人民共和國教育部, 2011；WNCP, 2006），美國強調電腦軟體的操作以進行伸縮、平移等概念的學習（CCSSO & the NGA Center, 2010）。而不少歐洲國家，如：英國、法國，因著強調工藝教育，早已將立體圖形的繪製，列為數學課程的一部分。相較於其他國家，台灣的數學課程中，除了展開圖外，其他空間表徵較少在課堂上被教導（見附錄一）。空間能力包含哪些內容呢？Lohman（1988）以因素分析的方法，分析既有空間能力測驗，得三個主要面向：空間關係（spatial relations）、空間定位（spatial orientation），與空間視覺化（spatial visualization）（Lohman, 1988）。空間關係需要受試者對 2D 或 3D 物件進行心像旋轉，例如：連方塊的旋轉。空間定位是指受試者想像自身的位置改變所帶來的視圖改變，例如：三視圖測驗。空間視覺化是需要受試者想像空間物件的組成元素移動或改變，例如：立體圖形的展開與摺合。. （A）. （B）. （C）. 圖 1-1-1、空間能力測驗：（A）空間關係（B）空間定位（C）空間視覺化（引自 Harle & Towns, 2010）. 2.

(15) 第壹章緒論. 空間能力和性別的關聯如何呢？Linn 與 Peterson（1986）發現，若以男女生的分數差異除以標準差，作為衡量差異的效果量，可得：空間關係受性別影響最大，空間知覺居中，而空間視覺化受性別影響最小。Voyer、Voyer，與 Bryden （1995）的研究也呼應 Linn 與 Peterson（1986）的研究結果，且發現年齡對受試者的影響，性別差異隨著三個年齡層：孩童（未滿 13 歲）、青少年（13 至 18 歲）、成年人（超過 18 歲），而不斷增長。是什麼因素影響空間能力的性別差異？ Kaufman（2007）的研究發現，空間工作記憶（spatial working memory）可作為空間能力與性別之間的中介因子（mediator），亦即空間工作記憶可部分解釋性別對空間能力的影響。空間能力是可以學習的嗎？如果可以，現有的空間能力學習模式有哪些？ Uttal、Meadow、Tipton、Hand、Alden，與 Warren（2013）對 217 篇既有文獻進行後設分析，發現空間能力的練習成效顯著。既有的空間能力訓練，大概可分為三類：一是對於各種空間能力項目進行訓練。例如，Sorby（2001）為了增進工程類科學生的空間能力，發展一系列空間能力訓練的課程。二是針對特定空間能力進行訓練。例如，Cohen 與 Hegarty（2014）以電腦模擬操作，訓練研究生截面想像的能力，Cheng 與 Mix（2014）訓練 6 至 8 歲的學生空間旋轉的能力。三是不針對特定空間能力進行訓練，但以實物操作或電腦模擬，增進受試者空間想像的能力。例如，Ben-Chaim、Lappan，與 Houang（1988）訓練六至八年級學生積木方塊各種表徵的編碼與解碼，發現空間視覺化能力的進步顯著。空間能力的學習，應該以什麼為主軸？有鑑於資訊爆炸的現代，眾多的資訊皆是以圖像的方式呈現，美國地理科學學會因此提出空間素養的主張，認為每個現代公民都應具備根據空間資訊作推論，並明白其有效性的能力。他們也認為：空間思維是能夠學習的；在任何教育階段，空間思維都應該也能夠被教導（Geographical Sciences Committee, 2006）。如何使學生具備空間推理的能力與空間思考的習慣？根據 Yore、Pinn，與 Tuan （2007）的觀點，素養的培養必須透. 3.

(16) 第壹章緒論. 過相關知識的學習，並透過問題解決，進而將知識內化，成為思考的一部分。在空間問題解決的過程中，除了強調相關知識、概念與表徵的學習，也應強調空間推理和思考的歷程。空間素養包含：空間視覺化、空間溝通，和空間推理三個向度（Moore-Russo, Moore-Russo, Viglietti, Chiu, & Bateman, 2013）。其中，空間視覺化，是指藉由視覺影像對空間物件產生認知表徵；空間溝通，是指學習者藉由語言、文字、圖像，或動作等表徵傳達空間資訊給他人；而空間推理，是指組織、比較，與分析給定資訊：空間物件與關係，而產生結論。在這個架構下，空間推理不一定要透過視覺化，例如：我們可以透過代數推理，知道正方形長變兩倍時，面積變為四倍。如何增進學生空間溝通的能力？Ben-Chaim、Glenda 和 Richard（1989）調查六至八年級學生空間溝通的表現，發現學生缺乏利用空間表徵進行溝通的能力。他們也建議，在中學課程中，應使學生有機會經歷積木方塊的編碼（畫出 2D 圖形）與解碼（根據 2D 圖形建構立體積木）的歷程。 Clements 與 Battista （1992）對空間推理下了以下定義：空間推理是受試者對空間物件、表徵與變換，產生與操弄心智表徵的認知歷程。在這個定義底下，空間推理也包含了視覺化的歷程。空間推理的困難來自於哪裡呢？Ragni 與 Knauff （2013）認為，受試者在處理空間問題時，需面對兩種模式的複雜度。第一種模式，是建立與操弄心智模型（mental model）的複雜度；第二種模式，則可以模式理論（model theory）來解釋，即符合已知條件的可能模式越多，解題越加困難。如何培養中小學生的空間推理能力？最好是以學生熟悉的題材出發。例如： Ben-Chaim 等人（1988）選擇以積木方塊為題材，發展示意圖、三視圖各種表徵間轉換的任務。Moor（1991）也以小立方塊堆積而成的積木房子為題材，透過由三視圖出發的積木構造問題，提供學生提出假設、嘗試所有可能、反駁假設、證實假設的空間推理機會。以積木方塊三視圖出發的編碼和解碼，除了可以培養. 4.

(17) 第壹章緒論. 學生心智想像的能力；且因單一視圖可能對應到多種積木組態，故三視圖是培養學生空間推理能力的可能路徑。既有的空間能力教學研究，多是對於孩童（未滿 13 歲）、青少年（13 至 18 歲）或成年人（滿 18 歲）單一年齡階段的表現進行探究，跨階段的研究較少。而所用來培養空間能力的任務，以兩個空間能力向度（內在/外在、靜態/動態）來區分，屬於外在─動態的任務較少（Uttal, et al., 2013）。但由於科學知識的學習除了需要靜態的空間資訊的理解，也需要進行動態的空間想像（Wu, Lin, & Hsu, 2013），而外在動態的空間能力也與觀察者如何根據資訊探索外在環境的能力相關（ Hegarty, Richardson, Montello, Lovelace, & Subbiah, 2002; Kozhevnikov, 2006）。對於中小學生而言，發展可評量其外在─動態空間能力的任務，可提升其空間推理的能力，並有助於其他空間相關學科的學習。本研究的目的即在透過三視圖，培養與檢測五至八年級學生空間推理的能力。. 二、研究背景在素養導向的課程設計理念下，十二年國教數學課綱預計在七年級的幾何教學以直觀幾何為主軸，並引入由小立方塊堆積而成的積木方塊的三視圖，為了減輕學生空間記憶的認知負荷，立體積木限制內嵌於二立方的積木方塊且不得懸空（教育部，2016）。三視圖不只是工程製圖時必備的工具，在 3D 列印的新潮流下，三視圖也是空間溝通的工具。積木方塊三視圖的學習，可連結國小積木方塊計數的舊經驗，以及高中空間坐標的學習。既有的三視圖的研究，可分為三大主軸。一是以學習者為主軸，主要在探討受試者是如何對立體物件的表徵進行編碼與解碼，以及相關的自發性概念（Cooper & Sweller, 1989；Gutierrez, 1996；Battista & Clements, 1996；林玉珠， 2009；Ö zgen, 2012）。二是以三視圖的任務設計為主軸，以評量的觀點，探討不同的試題設計對受試者帶來的影響（Ben-Chaim, et al., 1988；Cooper, 1990; Shyi &. 5.

(18) 第壹章緒論. Huang, 1995；林慧美，2011）。三是探討三視圖的教學，主要探討教學路徑的設計與學習成效（Ben-Chaim, et al., 1988；Olkun, 2003；Sack, 2013）。以下我們就分別敍述這三大主軸下的研究發現。學習者如何解讀空間表徵？由立體圖形畫出其平面表徵的歷程，稱為編碼；由立體圖形的平面表徵建造出其立體模型的歷程，稱為解碼。既有的研究發現，對於中小學生而言，三視圖的編碼相對簡單，而三視圖的解碼相對困難（Cooper & Sweller, 1989; Gutierrez, 1996）。三視圖的解碼困難，以 Ragni 與 Knauff （2013）空間推理的模式來區分，可分為兩點：第一種困難，來自於建立與操弄心智模型的複雜度，對積木方塊的表徵進行解碼，需要空間結構化、協調和整合的能力（Battista & Clements,1996）。第二種困難，則來自於空間模式的複雜度，由於空間表徵可能對應到多種空間組態，欲完成空間表徵的解碼，還需要彈性思考的能力，即想像空間物件可能有多種可能的組態（林玉珠, 2009；Ö zgen, 2012）。僅管現有的研究，描述了三視圖解碼的困難；也指出在解碼過程中，協調、整合、結構化等能力的重要性。但對於能成功完成三視圖解碼，與不能順利完成解碼的的受試者，其解題時使用表徵與推論歷程有何差異？仍缺乏進一步描述。以評量為主軸的三視圖研究，需對三視圖所需的認知歷程，進一步分析。三視圖的編碼與解碼，與空間定位（spatial orientation）的能力相關，受試者必須想像自己的位置改變，而空間物體內部各部分的相對位置不變（McGee,1979）。而三視圖的解碼，除了需要空間定位，也需要空間組織能力：由不同方向觀察物體之空間影像，而揣想其另一方向之影像或立體（康鳳梅、鍾瑞國, 2000）。現有的三視圖任務，按空間想像的維度，可分為三類（林玉珠，2009；林慧美，2011； Ben-Chaim, et al., 1988）。第一類：三維至二維空間組織，例如：由示意圖選出視圖，或由立體模型畫出其視圖。第二類：二維至三維空間組織，例如：由視圖選出示意圖，或由視圖造出立體模型。第三類：二維至三維至二維空間組織，例如：由編碼俯視圖選出視圖，或由視圖選出相容視圖。但對於國中和國小學生，給定. 6.

(19) 第壹章緒論. 三視圖或部分視圖時，學生能否不經立體模型的操作，想像出空間物體的組態，缺乏進一步探究。積木方塊三視圖的假設性學習路徑為何？學生首先需要空間定位的能力，以了解視圖的意義，並完成三視圖的編碼。對於可以完成三視圖編碼，但無法完成三視圖解碼的學生，其學習困難並非來自於空間定位，而是缺乏操弄影像的視覺化能力。既有的研究發現，實體積木與電腦輔助教學有助於三視圖學習（Sack, 2013；Ben-Chaim, et al., 1988），而繪圖則有助於提升空間能力（Parzysz, 1991; Olkun, 2003）。雖然實體積木的操弄，有助於提升學生空間視覺化的能力，但教師如何設計教學活動，協助學生將積木方塊操作的經驗內化，以進行空間推理？目前仍缺乏進一步的研究探討。. 第二節研究理念現有的教育思潮下，評量有三個目的，一是評量學生的學習表現，即學習結果的評量（assessment of learning）；二是使教師了解學生的學習起點行為，即促進學習的評量（assessment for learning）；三是評量即學習（assessment as learning），強調學生透過學習過程中主動學習，以及學習後的反思（Black & Wiliam, 1998； 2009）。為了發展積木方塊三視圖的假設性學習路徑，我們有必要發展三視圖的評量試題，評估在未經學習的情況下，中小學生對於三視圖的表現，以及在教學後學生的成長，以作為後續教學的參考。假設性學習路徑（hypothetical learning trajectory, HLT），包含三個重要元素：教學目標、教學活動，與假設性的學習過程（Simon, 1995）。Gravemeijer（2004）指出假設性學習路徑在課程改革中的重要性，教師可針對特定內容，在自己的教室情境下，發展教學活動，以檢驗假設性學習路徑的有效性，並形成局部的教學理論。對於特定的幾何內容，已形成不少假設性學習路徑。例如：Clements、Wilson，. 7.

(20) 第壹章緒論. 與 Sarama （2004）探討學生如何以 2D 的幾何形體拼組成指定的圖形（composition of geometric figures），發現圖形拼組的學習歷程為：以實物進行拼組、以語言描述拼組歷程，視覺想像圖形的拼組與拆解歷程。Clements 與 Sarama（2014）在 van Hiele（1986）的幾何認知層次理論之下，綜合相關的研究，描述幾何形體的認知歷程，包含四個子歷程：比較兩個幾何形體是否相同、對幾何形體進行分類、分析幾何形體的組成元素，畫出或造出幾何形體。由此可知，幾何相關內容的學習，大致上仍是遵循從實物操作到視覺化，再進入解析推理的歷程。假設性學習路徑的發展，首先需透過對學生非正式解題思維的了解，形成教學任務（Clements & Sarama, 2004）。由積木方塊的三視圖進行解碼，對積木方塊的組態進行推論時，學生會有哪些不同的解題策略呢？變化積木方塊的數量和限定不同的情境（可懸空或不能懸空），又如何影響學生的解題呢？透過不同的任務設計，探究在未經教學時，學生的自發性解題策略，可幫助我們了解學生的起點行為，以作為後續教學的參考（assessment for learning）。在形成假設性學習路徑時，需進行一連串的教學實驗，以對該假設性學習路徑進行修正。而為了檢驗教學實驗的有效性，需要使用適當的評量工具，以評量該假設性學習路徑的有效性。Ben-Chaim 等人（1988）雖已為中小學生發展了積木方塊相關表徵的視覺化測驗，但由於該測驗的試題，均為使用題目中資訊可立即解題，缺乏 SOLO taxanomy 中關係性或延伸抽象層次的試題（Biggs & Collis, 1982），也缺乏一題多解的可能性，無法同時測驗 Ragni 與 Knauff （2013）所指出的空間推理的兩個模式：對積木方塊位置想像的空間視覺化的能力，以及對積木方塊各種可能空間模式進行推理的能力。因此，有必要發展新的評量任務，以區別學生三視圖推理的表現層次。. 8.

(21) 第壹章緒論. 第三節研究目的與待答問題一、研究目的在未經學習以前，學生對於三視圖，有什麼自發性的解題策略？三視圖評量問卷該如何設計，以測驗不同型態的三視圖空間推理能力？又如何設計可增進學生空間推理能力的三視圖教學？透過積木方塊三視圖能力的調查，可了解學生的認知表現，形成假設性學習路徑：設定教學目標、形成教學序列，並預測學生的可能反應。而為了檢驗該假設性學習路徑的有效性，則需要進行一連串的教學實驗。針對不同能力或不同年級的學生進行教學實驗，可確立研究的效度，並可根據教學實驗的結果，修正假設性學習路徑。本研究的主要研究對象：五至八年級學生，以 Piaget 與 Inhelder （1967）的認知發展階段來看，正從具體運思期進入形式運思期。其特徵為：可以了解視點改變所帶來的視圖改變、具有投影的能力，可在抽象的情境中進行推理。以五至八年級學生為研究對象，其年齡層橫跨孩童（13 歲以下）與青少年（13 至 18 歲之間），預期見到學生在三視圖的表現有較大幅度的成長。綜合而言，本研究的目的有三。一是透過訪談，了解學生對於積木方塊三視圖的自發性解題策略；二是藉由積木方塊三視圖評量問卷，調查孩童至青少年（五至八年級學生）空間推理能力的發展；三是形成積木方塊三視圖的假設性學習路徑，並進行教學實驗。根據以上的研究目的，形成以下的研究問題。. 二、研究問題研究目的一之研究問題 1.. 青少年對於積木方塊三視圖的自發性解題策略有哪些？. 2.. 不同的積木情境（積木數量、是否懸空）對於學生的三視圖表現有何影響？. 9.

(22) 第壹章緒論. 研究目的二之研究問題 3.. 受試者年級、積木有無，和任務類型，對學生的三視圖表現的影響為何？. 4.. 五至八年級學生對於三視圖任務表現有幾種不同類型？各類型的學生有何思考特徵？. 研究目的三之研究問題 5.. 本研究所支持的積木方塊三視圖的假設性學習路徑為何？. 6.. 本研究所預設的積木方塊三視圖的假設性學習路徑之有效性如何？. 第四節名詞解釋 1.. 積木方塊本研究中，積木方塊是指由大小相同的正立方塊，面與面密合相連，所形成的立體模型。本研究中，積木方塊限制內嵌於 2  2  2 （二立方）或 3  3  3 （三立方）的正方體；且除非特殊註明，均不懸空。. 2.. 示意圖積木方塊的示意圖指的是能同時呈現積木方塊三個維度的資訊的平面表徵，常見的有：等角視圖（isometric）、斜投影圖。. 10.

(23) 第壹章緒論. 3.. 各層平面圖（layers）各層平面圖是積木方塊的一種平面表徵，藉由許多不同高度的平行截面，畫出從第一層（底層）到最上層（頂層）的積木組態，以表徵積木方塊。. 4.. 三視圖（orthogonal views）三視圖指的是透過平行投影的方式，所得的積木方塊的三種正投影圖：前視圖、俯視圖，和右視圖，本研究中所指稱的三視圖，是將投影面置於觀察者和積木方塊之間，由第三象限投影法投影所得。. 5.. 編碼視圖（coded orthogonal）編碼視圖，是在積木方塊的視圖上標註數字，以代表該位置的方塊數目。當積木方塊是由堆疊產生（不懸空）時，由編碼俯視圖（map plan）即可唯一決定積木方塊的組態。. 11.

(24) 第壹章緒論. 6.. 積木方塊的編碼與解碼對積木方塊進行編碼（coding），是指根據積木方塊模型，畫出其平面表徵（如：示意圖或三視圖）；或是由一種平面表徵轉譯成另一種平面表徵。對積木方塊進行解碼（decoding），是指由平面表徵建造出積木模型。. 7.. 三視圖協調 Battista 與 Clements （1996）對視圖協調（coordination）的描述為：受試者能在未調整積木以前，就先預測積木方塊的調整，所帶來的視圖改變。本研究中對三視圖協調下操作型定義為：三視圖的協調指的是學習者能透過積木的調整或立體圖形的改造；建造出符合已知視圖的積木模型或繪出積木的平面表徵。. 8.. 三視圖整合 Battista 與 Clements （1996）對視圖整合（integration）的描述為：受試者不需透過積木試誤，即能自行統合已知資訊，直接建造出符合已知視圖的積木模型。本研究中對三視圖整合下操作型定義為：三視圖整合指的是學習者能透過語言或圖形表徵以整合資訊，進而產生積木方塊的心像，並對積木方塊的組態進行推論的能力。. 9.. 空間結構化積木方塊的空間結構化（spatial structuring），是指對於小立方塊如何在空間中堆疊成為積木方塊的具體想像，包括由多少個方塊組成行，多少行組成面，多少個面堆疊起來成為積木模型（Battista & Clements , 1996）。本研究中，空間結構化特指透過積木方塊的示意圖或三視圖，所認知到的積木方塊的組態。 12.

(25) 第壹章緒論. 10.. 積木方塊三視圖的假設性學習路徑假設性學習路徑（hypothetical learning trajectory, HLT），包含三個要素：教學目標、教學活動，以及預期的學生反應（Simon, 1995）。本研究中，積木方塊三視圖的假設性學習路徑，指的是研究者以訪談、問卷調查，和空間相關學習理論為基礎，所形成的三視圖學習序列。. 11.. 積木方塊的空間推理 Clements 與 Battista （1992）對空間推理所下的定義為：空間推理是受試者對空間物件、表徵與變換，產生與操弄心智表徵的認知歷程。積木方塊的空間推理，包含 Ragni 與 Knauff（2013）所指出空間推理的兩種模式：是指是受試者不需透過積木操作，能對積木方塊位置進行想像的空間視覺化能力，以及對積木方塊各種可能空間模式進行推理的能力。. 13.

(26) 第壹章緒論. 14.

(27) 第貳章理論背景. 第貳章理論背景第一節幾何物件的認知歷程三視圖的學習，以對各種表徵的理解和轉換為基礎，而幾何的學習，亦在透過對幾何物件表徵的解讀和性質的了解作推論。因此，我們參照 van Hiele（1986）的幾何認知層次，作為三視圖學習理論發展的基礎。從視覺至公理化，孩童對平面幾何圖形的思考共區分為五個層次，表現在其對於幾何圖形的不同的語言描述。以下，我們將 van Hiele（1986）的幾何物件的認知歷程和研究者假定的三視圖的認知歷程作一個對照。. 表 2-1-1、對照 van Hiele 幾何認知與三視圖認知歷程層次. van Hiele（1986）幾何認知的. 三視圖的認知的描述. 描述 1. 視覺. 2. 解析. 該階段的學生依據視覺上的完形（gestalts）來辨認幾何圖形，容易受典型心像影響，例如：認為直角三角形的兩個邊必須分別是鉛直和水平。該階段的學生能夠依據幾何圖形的組成元素與關係來分析圖形，能依據經驗得到圖形的性質，並依據性質來解題。. 3. 非形式演繹. 該階段的學生能形成並使用定義來發現幾何圖形和性質的關係，並依據演繹關係來進行推理。 4. 形式該階段的學生能在公理化的系演繹統下，建立並組織定理間的關係。 5. 5. 嚴密性該階段的學生已發展到如數學家對數學了解的層次，明白公理或公設，並且了解只要改變 15. 該階段的學生以視覺來進行視圖判斷，容易受典型心像影響，例如：認為前視圖一定是最前層、右視圖一定是最右層。該階段的學生能夠每次考量積木方的一層或一個位置，並調整積木，以同時符合多個視圖。該階段的學生能夠結合視圖資訊作推理。也可能形成一般化的推論，如：積木不懸空的情境下，俯視圖即底層。.

(28) 第貳章理論背景. 公設的敍述，就可以有不同的幾何系統。例如：發展球面上三角形的定義。簡單的說，幾何思考層次的進展，代表學生逐漸地脫離視覺的直觀，進入解析的推理；而三視圖的學習，也從表徵開始，逐步進入推理。所不同的是，幾何物件的學習，逐步由性質進入公理化系統；而三視圖的學習，是由特定情境下任務的操作，逐步發展出特定的解題的規則，即 Vergnaud （1983,1988）所謂行動中的定理（theorem-in-action）。而對特定的任務，所發展出的特定解題模式（models of ），也應有機會發展成一般化的結論（model for），此即 Gravemeijer 與 Stephan （2002）所謂浮現的模型（emergent model）。而三視圖教學設計的主要任務，即在引領學生進入三視圖解碼策略的發展或定理發現的歷程。學生進行空間推理時，困難來自於何處？Duval（1998）所提出的，幾何活動中的三種認知歷程，有助於釐清困難所在。Duval（1998）認為，在幾何活動中，有三種重要的認知歷程：視覺化（visualization）、構圖（construction）和推理（reasoning）。其間的互動關係，可用箭頭示意如下：. 圖 2-1-1、幾何活動中的三種認知歷程（Duval, 1998）其中，視覺化到推理之間以虛線表示，代表視覺化不一定有助於推理。例如： Parzysz（1991）調查高中生空間推理表現，發現受試者會把代表平面的平行四邊形表徵看作是物件，因此認為兩平面可能只交於一點；或是認為兩不平行的平面可能沒有交點，如圖 2-1-2 所示。視覺化對學生空間推理的影響有多大呢？ 16.

(29) 第貳章理論背景. Fujita、Kondo、Kumakura 與 Kunimune（2017）調查國中生的空間推理的表現，發現能否在視覺上操弄立方體表徵是其能否順利解決空間幾何問題的關鍵。. 圖 2-1-2、視覺化不一定有助於推理（Parzysz, 1991）學生能否由積木方塊的三視圖進行推理？其表現必然受到對三視圖表徵的編碼與解碼、以及作圖能力的影響。而透過對構圖（建造）、視覺化、推理三個名詞的重新定義，三視圖的認知歷程亦可以建造、視覺化、推理的互動歷程詮釋。在三視圖的編碼和解碼活動中，建造有兩種意涵：一是積木方塊的操弄，二是外在表徵的建立（如：畫出示意圖）；而視覺化則包括心像的建立；推理包括透過：自然語言的論述、心像的操弄和非形式演繹，對立體物件的組態進行推理。研究者認為，語言的論述、圖形表徵的使用、過去積木模擬的經驗，都可能影響心像的建立與操弄，進而影響三視圖推理表現。學生對於幾何圖形的了解，會表現在哪些不同面向？Duval（1995）提出幾何圖形的了解（apprehension）架構，包含:知覺性（perceptual）、構圖性（sequential）、論述性（discursive）和操作性（operative）的了解。其中知覺性的了解，包含把圖形拆解成多個子圖形的能力；而構圖性的了解，是指由幾何性質的了解和尺規作圖的限制，對於作圖過程所成的序列性描述；論述性的了解，意指由定義和幾何性質所作的合理論述；操作性了解，包括在視覺上對於圖形大小、位置或方向動態的想像。對於幾何圖形的了解，Duval（1995）用了 apprehension 這個字，而不是 comprehension。韋伯同義字字典（Merriam-Webster,1984）區別兩字定義如下： aprehend 和 apprehension 意指不完全的了解，代表對於物件本質、意義約略的了解；而 comprehend 和 comprehension 意指對於物件本身全面性的了解。 17.

(30) 第貳章理論背景. Duval（1995）認為，幾何圖形的了解，至少包含了知覺性的了解和其他三種了解之一，這也意指，幾何圖形的了解可能是漸近式的，例如：在看到幾何圖形時，先透過視覺想像，旋轉圖形以找出全等或相似的三角形，這是知覺和操作性的了解，再透過幾何性質以論述，三角形為何全等或相似，這是論述性的了解。對於積木方塊的各種 2D 表徵（三視圖、示意圖、編碼俯視圖）進行編碼和解碼，又需哪些不同面向的了解？研究者以 Duval（1995）的幾何了解結構詮釋三視圖的關鍵認知歷程如下：看見積木方塊的立體圖，可正確的計數積木方塊的個數，這是知覺性了解；由立體圖，透過視覺想像和定位，畫出積木方塊的三視圖，這是操作性了解；調整既有的立體圖，透過增減或移動方塊，構造出符合三視圖的積木心像，這是構圖性理解；而由積木方塊的三視圖，透過局部推理，論述某位置是否有方塊，這是論述性了解。綜合言之，幾何物件的認知歷程，幫助我們了解學生對於積木方塊三視圖學習時，可能必須經歷的認知歷程。有助於描述學生在三視圖解碼時的策略與表現，也有助於形成積木方塊三視圖的教學序列以進行教學實驗。. 第二節三視圖與空間推理欲了解三視圖的意義，首先需要透過對於投影概念的了解。三視圖是一種正投影圖（orthogonal views），是藉由平行投影的方式，將投影面以垂直於光線的角度放置，所得的一種投影圖。其中，將投影面置於觀察者和積木方塊之間進行投影（第三角投影法），最為廣範使用，也是本研究所採用的模式。因著視圖間的對稱性，取前視（front view）、右視（right view）和俯視（top view）三個視圖，即足以表達立體物件。以下所稱的三視圖，即指前視、右視和俯視圖。. 18.

(31) 第貳章理論背景. 圖 2-2-1、三視圖（第三角投影法）（歐陽弘、廖美雯，2010）以下說明透視投影和平行投影的區別：常用的斜投影、正投影，和等角投影皆是屬於平行投影，在投影前後平行線保持平行。但在繪畫時經常使用的是透視投影，符合真實情境下，平行線在無窮遠處在視覺上會交於一點。. 圖 2-2-2、投影法的分類。等角投影、斜投影與透視投影（引自：https://www.nmri.go.jp/eng/khirata/mechdesign/ch04/ch04.html）結合三個不同方向的視圖，以進行推的能力也被認為是數學能力的一部分，例如以下 Werdelin（1958）為探討數學能力與其他能力的關聯，對於 14、15 歲學生所發展的試題任務。任務中給定正立方體的三個方向所見視圖，每個英文字母都代表一個不同的顏色。學生必須找出每個面所相對的面。欲完成這個任務，學生需要空間定位和空間組織的能力。. 19.

(32) 第貳章理論背景. 圖 2-2-3、結合三個不同視圖的數學能力試題（Werdelin, 1958；引自 Krutetskii, 1976）閱讀積木方塊的視圖，學生遇到哪些困難？Battista 與 Clements （1996）研究學生在由立體圖計數積木方塊的小立方塊個數的過程，發現部分學生因缺乏協調與整合的能力，以致於對不同面向所見的積木重覆計數。在由立體圖或三視圖計數小立方塊個數時，關鍵的認知能力有：協調（coordination）、整合（integration）和空間結構化（spatial structuring）。其中，空間結構化指的是：辨識空間物件的組成元件，結合元件成為空間組合物，以及建立元件和組合物之件的關係。例如：學生對每邊由五個小立方塊組成的積木模型的了解為：每層皆由二十五個小立方塊組成，而積木方塊共有五層。 Battista 與 Clements （1996）也認為，協調與整合可界定學生在由三視圖進行積木方塊計數時的不同層次。在由三視圖進行積木方塊小立方計數的過程中，受試者必須明白各視圖之間的關係，哪些正方形代表同一個小立方塊，稱為協調；更深層的協調包括單憑視覺想像，預測方塊的移動所造成的視圖改變。整合能力表現在建造積木模型之前，受試者即能由各視圖形成積木模型的心像，因此不需調整即能完成積木模型的建造。而能否成功建立心像，則有賴於學生空間結構化的能力，例如：常見的分層策略。解讀積木方塊的三視圖能力，和哪些數學能力相關呢？Clements 與 Sarama （2014）則認為空間結構化的能力，是明白坐標概念的基石。空間結構化代表學生能夠明白二維或三維物件的組成，例如：在方格紙上計數長方形面積，學生需了解長方形是由幾個方格組成列、由幾個方格組成行；進一步指向方格之間的次序關係的了解。相同的，坐標是來自於點和格線之間的對應關係；進一步指向格 20.

(33) 第貳章理論背景. 線的次序與距離的了解。三視圖還提供了哪些推理機會？Moor （1991）在「小學的現實數學教育（Realistic mathematics education in primary school）」一書中則提到，邏輯推理對於空間推理（spatial reasoning）的重要性。例如：學生在由以上三個視圖建造出積木模型的過程，需判斷側視圖就究竟是右視或左視圖，需發展如下的論述：「如果是左視，那麼…..」。在推論的過程中，學生經歷了數學發展的歷程：提出假設、嘗試所有可能、反駁假設、證實假設。. 俯視. 前視. 側視. 圖 2-2-4、由三視圖出發的積木構造問題（Moor, 1991）學生的三視圖推理困難可能來自於哪裡呢？三視圖的推理困難，可能來自於學習者綜合已知視圖資訊，建立心智模型的困難；也可能來自於單一視圖可對應多種不同積木模式。也就是說，使學生無法構造出同時符合兩個視圖的立體積木的可能原因，除了空間組織或協調能力不足，也可能是因學生缺乏對於單一視圖可能對應到不同模式的想像，即學生只把單視圖想像成積木方塊的某一層。這些推理上的困難，可作為發展三視圖試題的誘答選項，以診斷學生的學習困難，以及設計三視圖教學時的參考。. 21.

(34) 第貳章理論背景. 第三節積木方塊三視圖的任務與表現一、積木方塊三視圖的任務設計既有的研究，將三視圖任務按表徵變換的方式分為：三維至二維空間組織（由立體圖找出三視圖），二維至三維空間組織（由三視圖找出立體圖）以及二至三至二維空間組織（由視圖找出視圖）（林慧美，2011）。然而學生的解題順序不一定是按照從標準圖形到選項圖形的順序。例如：林慧美（2011）的研究發現，從視圖選出立體圖，學生的策略是從立體圖出發，一一檢核每一個視圖是否與之相符。因此，研究者將前兩個任務重新命名為：視圖與立體圖的對應；將第三個任務重新命名為：視圖與視圖的對應。以下是各類型試題的範例： 1. 視圖與立體圖的對應. 圖 2-3-1、由立體圖選出視圖（Ben-Chaim, et al. , 1988）. 圖 2-3-2、由立體圖畫出視圖（林慧美，2011） 22.

(35) 第貳章理論背景. 圖 2-3-3、由視圖選出立體圖（林慧美，2011） 2. 視圖與視圖的對應. 圖 2-3-4、由編碼俯視圖選出視圖（Ben-Chaim, et al. , 1988）. 圖 2-3-5、由編碼俯視圖畫出視圖（林慧美，2011）. 23.

(36) 第貳章理論背景. 視圖與視圖的對應任務，有兩種型式。其一是不需額外假設即可解題，例如：由右視圖選出左視圖，或由編碼俯視圖選出前視或右視圖。此類試題已包含在 Ben-Chaim、Lappan，與 Houng（1988）以五至八年級的學生為對象，所設計的 MGMP（Middle Grades Mathematics Project）空間視覺化測驗中。其二是需要額外假設才可解題，例如：視圖相容任務。受試者必須從給定立體模型的前、俯兩個視圖判斷，第三個視圖（右視圖）是否與之相容。此類試題也包含在 Cooper （1990）、Shyi 與 Huang（1995）的設計當中。. 圖 2-3-6、Cooper（1990）的視圖相容任務及再認作業. 圖 2-3-7、Shyi 與 Huang （1995）視圖相容任務（三立方）（可懸空）康鳳梅、鍾瑞國（2000）以立體模型為刺激物，發展空間能力量表，給大學生和高職生測試，其中，空間組織試題，即由立體模型給定的前視圖，選出相容的右視圖和俯視圖。 24.

(37) 第貳章理論背景. 圖 2-3-8、空間組織能力量表（康鳳梅、鍾瑞國，2000）研究者以刺激物、三視圖任務與受試對象三個面向，將現有的三視圖相關實徵研究分類如附錄五。在這個三視圖研究的分類架構下，刺激物的種類包含：立體模型、積木方塊、立體幾何物件。受試對象分為：成年（18 歲以上）、青少年（12 至 18 歲），和孩童（12 歲以下）。三視圖任務可分為：視圖與立體圖的對應（包含二維至三維、三維至二維），以及視圖與視圖的對應。由附錄五可以發現，三視圖的實徵研究中的受試對象，多數是青少年和成年人。而對於年紀較小的受試者（孩童或青少年），都是以積木方塊為主要刺激物，我們也發現積木方塊具有容易變化難度的特性：方塊組態（可懸空或不懸空）、方塊數目（三立方或四立方）。因此積木方塊適合作為發展國中小學生空間推理能力的測驗工具。. 二、積木方塊三視圖的表現不同年齡的受試者對於三視圖編碼解碼的表現如何？Gutierrez（1996）調查積木方塊的不同表徵：等角視圖（isometric）、三視圖（orthogonal views）、分層圖（layers），其編碼和解碼對學生的難易。研究結果發現，對於二、四、六、八年級的學生而言，編碼最困難的是等角視圖，即使提供斜點紙，學生仍會畫出近似平行四邊形的二維表徵。而解碼最困難的是三視圖，要由三視圖建造出積木方塊的模型，對八年級學生而言仍不容易。更高年級的學生空間表徵的表現如何呢？ Cooper 與 Sweller（1989）發現，雖然九和十一年級學生對於三視圖和分層圖的 25.

(38) 第貳章理論背景. 解碼表現顯著優於七年級學生。但即使對於十一年級的學生，三視圖解碼的答對率仍未達五成。三視圖解碼成功的受試者，其表現又有哪些特徵呢？在積木不可懸空的情境下，Ö zgen （2012）觀察成年人如何由積木方塊的三視圖畫出立體圖，結果發現，成年人會先畫出積木方塊的底層，然後逐層往上畫，也就是成年人可由底層開始，逐層形成積木方塊的心像。他們也掌握了積木不懸空時，俯視圖即底層的特性。這個由俯視圖出發的解題策略，也可見於國小資優生的解題當中。林玉珠（2009）調查六年級國小資優生的積木方塊三視圖解碼表現。結果發現，多數學生是按照視圖給定的順序來解題（先排俯視圖），而彈性思考的能力，也幫助學排出滿足三視圖的多種積木方塊模型。相較於此，三視圖解碼不成功的學生，可能遇到哪些困難呢？Gutierrez（1996）調查國小和國中學童三視圖解碼的表現，發現部分學生只能用試誤法（trial-and-error）來建造積木模型，但因為一次只能注意一個視圖，導致無法建造出同時符合三視圖的積木模型。Battista 與 Clements（1996）對五年級學生所作的研究也發現，學生傾向於以每次考慮單一視圖（序列性思考）的方式來解題，學生把視圖（多層投影的結果）視為積木單層的組態，但部分學生卻無法在符合原視圖的條件下，調整或增減積木方塊以符合新視圖，稱作無法協調。學生所遇到的三視圖解碼困難，包含 Davis（2015）所述，以 2D 表徵來表示 3D 物件，學生所面對的兩種不同的不明確性（ambiguity）。第一種不明確性，是指同一個 3D 物件常具有多種不同的 2D 表徵。例如：學生可能混淆示意圖與三視圖。第二種不明確性，是指相同的 2D 表徵常可表示多種不同的 3D 物件。例如：相同的視圖可能對應到不同的積木組態。另外，對於積木方塊的三視圖而言，還有另一種解題困難，即同時協調三個方向的視圖。正如 Battista 與 Clements （1996）所指出，部分受試者是以拼湊視圖（medley of viewpoints）的方式來知覺長方體的結構，也就是說其空間組織是局部性的。那麼對於這類學生，其根據. 26.

(39) 第貳章理論背景. 三視圖所拼湊出的積木模型又有什麼特徵呢？缺乏進一步描述。以上我們探討了同時給定三視圖，學生的解碼和推理的表現。當只給予部分視圖時，學生如何進行推論？Cooper（1990）研究大學生對於視圖相容任務的表現，發現當立體模型結構複雜時，受試者傾向於以解析的方式來解題，而當立體模型結構簡單時，受試者傾向於以建立 3D 立體心像的方式來解題。Shyi 與 Huang （1995）改以積木方塊為刺激物對大學生所作的研究也發現，在積木方塊可懸空的情境下，提供前視圖時，有利於受試者形成積木方塊的心像。為何提供前視圖有利於受試者形成心像？若積木方塊不可懸空，結果會不會有所不同？台灣孩童在三視圖的表現如何？林慧美（2011）調查了 600 位台北六年級學生，發現無論是由立體圖選出視圖，或是由視圖選出立體圖，都有六成以上的答對率。但對於由編碼俯視圖畫出視圖，學生的答對率約只有四成。進一步調查不同數學程度的學生表現也發現，高、中數學程度的學生最缺乏「從視圖畫出立體物」，中、低數學程度的學生最缺乏「根據（編碼）俯視圖畫出前視圖、左視圖」。由此可見，學生缺乏由立體物件的 2D 視圖，對 3D 形體進行空間想像的能力，也可能缺乏對編碼俯視圖解讀的能力。. 27.

(40) 第貳章理論背景. 第四節假設性學習路徑一、假設性學習路徑從知識建構的觀點，該如何設計數學教學活動？ Simon（1995）提出假設性學習路徑（hypothetical learning trajectory, HLT），包含三個重要元素：教學目標、教學活動，與假設性的學習過程。在這個觀點下，教師必須根據課堂上學生的反應，修正其教學目標，以使教學符合學生的認知路徑。也就是說，教學設計是不一個不斷循環的過程，如圖 2-4-1 所示。. 圖 2-4-1、Mathematics Teaching Cycle（Simon, 1995） Clements 與 Sarama（2004）也認為，發展假設性學習路徑的目的，在使教學序列和學生的認知發展序列自然的結合。也就是說根據學生對於特定數學內容的的思維模式，發展假設性的學習路徑：包含一連串的教學活動，以引導學生進入更深一層的思維層次，完成階段性的教學目標。 Gravemeijer（2004）指出假設性學習路徑在課程改革中的重要性，透過這個理論，教師有機會針對特定內容，發展出假設性學習路徑，並在自己的教室情境下，發展活動、形成教學，檢驗該假設性學習路徑的有效性，以形成局部的教學理論。Clements 與 Sarama（2004）總結過去的研究，認為假設性學習路徑的發展有三個階段：階段一，主要發生在日常的課室活動中，教師透過對數學的發展. 28.

(41) 第貳章理論背景. 脈絡和學生的非正式解題思維的了解，形成教學任務；階段二，是將第一階段的教學活動精鍊後，重新規劃後所進行的教學實驗，結合教學任務、教師角色、課室文化，以發展成為更精錬的教學序列。階段三，其目的是結合理論與實務，對精鍊過後的教學序列形成一般性的描述。. 二、空間能力的假設性學習路徑空間能力包含哪些不同的子能力？心理學家最早是以因素分析（factor analysis）的方法將空間能力加以分類。例如：Lohman（1988）分析出空間能力的三個主要因素：空間關係（spatial relationship）、空間定位（spatial orientation），與空間視覺化（visualization）。其中空間關係指的是受試者不動，物體與環境相對位置改變，也就是在心靈裡快速旋轉空間影像的能力；空間關係的測驗主要以二維和三維的心智旋轉（mental rotation）為代表。空間定位指的是觀察者假想自己的位置改變，而空間物體與環境的相對位置不變所造成的影響；空間定位的測驗以觀點取替任務（perspective taking）為代表。空間視覺化需要受試者透過視覺想像對空間表徵進行一連串的變換；空間視覺化的測驗，主要以紙張摺合（paper folding）和立方體展開（cube unfolding）為代表。另外，也有心理學家以理論的分析方式，建立空間能力的架構。例如：Uttal 等人（2013）以所探討的空間物件關係（物件的內在或外在關係），以及解題者所進行的活動（靜態的編碼或動態的轉換）兩個向度，來對空間能力進行分類，如圖 2-4-2 所示。在該空間能力架構下，空間能力被分為四類： 1. 內在-靜態（Intrinsic-Static）：辨識出圖形中的組成元素，例：藏圖測驗。 2. 外在-動態（Extrinsic-Static）：空間感知，例：水平面測驗。 3. 內在-動態（Intrinsic-Dynamic）：空間視覺化，例：截面、展開圖測驗。 4. 外在-動態（Extrinsic-Dynamic）：觀點取替，例：空間定位測驗。在這個架構下，三視圖所需的空間定位能力，即屬於外在-動態的空間能力。. 29.

(42) 第貳章理論背景. 圖 2-4-2、空間能力的分類（Uttal, et al., 2013, 圖來自 Davis, 2015） Piaget 與 Inhelder（1967）將孩童的認知發展，分為四個階段，想像不同視點下所見的視圖，大約開始於前運思期（2 至 7 歲），而完全成熟於具體運思期（7 至 12 歲）。以下分述各階段的主要發展： . 第一階段、感覺動作期（sensorimotor stage）（0 至 2 歲）：個體透過協調感覺經驗和身體運動來建構對外在世界的了解，漸發展遠近、上下、大小的空間概念。這個階段的發展結果，主要完成物體恆存（object permanence）的概念。. . 第二階段、前運思期（preoperational stage）（2 至 7 歲）：主要的思考特徵是自我中心（egocentric），因此無法想像別人所見的視圖。這個階段的發展結果，主要能夠體會別人所見的和自己所見的不同。. . 第三階段、具體運思期（concrete operational stage）（7 至 12 歲）：是邏輯思維的開始，能夠透過想像，對物體進行操弄，能夠想像不同視點所見的視圖，也能夠在繪畫中呈現樹木鉛直生長和水平面等特徵。這個階段的主要發展結果，在了解即使物體的外在形狀改變，仍具有等量的體積或重量。這個時期的孩童，能夠對具體的情境作推論。. . 第四階段、形式運思期（formal operational stage）（12 歲以上）：能夠發 30.

(43) 第貳章理論背景. 展抽象概念，能檢驗假設是否為真。這個階段的主要發展結果，在於能夠對假設或抽象的情境作推論，並且透過演繹推理證實推論的有效性。空間概念是如何發展而來的呢？根據 Piaget 與 Inhelder（1967）的觀點，空間概念包含拓樸、投影、歐氏三種空間性質，其中，拓樸空間代表孩童是以接近、閉合、圍繞等線索，去記憶空間物件所在位置；投影空間代表孩童能判斷不同視點之下所見的視圖，也能據物體之間的相對位置來記憶物件所在位置；歐氏空間代表孩童不只考量兩個物件之間的相對關係，也能考量其間的相對距離。陳淑敏（2011）以 5 歲孩童為對象進行調查，請他們畫出記憶中的遊樂場。發現孩童最先注意到的是物體的拓樸性質，如：哪項物品是在哪一項物品的旁邊。部分孩童則是無法記憶物品在空間的方位，以致於畫出的地圖，雖然包含每個區塊，但配置卻是錯誤。同一研究也發現，由地圖找出模型上對應的點時，當地圖和模型方向不同時，部分孩童無法適當地調整視點，可見視點的轉換相當程度造成學齡前孩童的困擾。這也印證了 Piaget 與 Inhelder（1967）的觀點，二至七歲的兒童，屬於前運思期，主要特徵即為自我中心，因此無法體會別人所見的和自己所見的不同。空間定位是重要的空間能力，其中，線索學習和方位學習是外在參照定位的重要方式（Newcombe & Huttenlocher, 2003）。線索學習，指的是觀察者依據物體與地標之間的關係作編碼。例如：某物體是在另一個物體的下方。而方位學習，指的是觀察者依據物體到地標的距離和方位來作編碼，而不必依賴過程中的零碎資訊。國小學生的空間定位能力如何？陳冠州（2008）以個案研究的方式，探究國小二年級學生在真實情境中的空間定位概念，結果發現學生可以突破以自我為中心的限制，選定一物當作參照點，而後對其他物體加以定位，顯示國小低年級學生已具有部分空間定位的能力：具有位置和方向的概念，但對距離概念仍不清楚。這也說明了線索學習較方位學習更為基本。. 31.