全體學童於小數概念之解題表現

壹、概念認知屬性分析

本研究使用自編之「國小四年級學童小數概念認知診斷測驗」作為施測工具，

藉以蒐集學童原始作答資料，有效樣本共 955 人，將全體學童原始作答資料轉換成 0、1 作答反應矩陣，再和 Q 矩陣同時輸入 G-DINA 模式進行分析，可得知全體學童

的小數概念認知屬性之精熟度(attribute prevalence)，如表 4-4。由於本研究之自編測 驗為精熟測驗，目的在診斷學童對小數概念精熟與否，試題均為基礎概念問題，因 此，學童整體概念認知屬性精熟度高，在 0.62 以上，平均值為 0.74，表示學童對小 數概念普遍熟悉，表現佳。其中，以「K4 能完成二位小數的化聚」之概念認知屬性 表現最為熟悉，達成 83%；然而，學童在「K8 能做公分與公尺的關係轉換」、「K1 能讀寫二位小數」這兩個概念認知屬性表現相對低了一些，達成 62%、63%，表示 學童在解題時產生疑惑。

表 4-4 全體學童小數概念認知屬性之精熟度分析表全體學童小數概念認知屬性之精熟度分析表全體學童小數概念認知屬性之精熟度分析表全體學童小數概念認知屬性之精熟度分析表

小數概念認知屬性 全體學童之精熟度

K1 能讀寫二位小數 0.63

K2 能認識二位小數的位名與位值 0.76

K3 能認識圖形表徵所代表的二位小數 0.73

K4 能完成二位小數的化聚 0.83

K5 能認識二位小數的稠密性 0.74

K6 能比較小數的大小 0.71

K7 能完成小數與分數的互換 0.75

K8 能做公分與公尺的關係轉換 0.62

K9 能在小數加減計算時先對齊小數點 0.79

K10 能完成小數的進退位加減計算 0.79

平均精熟度 0.74

依據 G-DINA 模式分析產生的 est.out 資料檔，查得所有試題的概念認知屬性之 參數估計，反映出學童答題時其具備概念之間在答對率上的影響，若概念全具備時 參數估計值最高，反之，概念完全不具備時參數估計值最低，此數值是學童答對試 題的猜測率。試題若同時診斷二個概念認知屬性之參數估計情形，其排列順序為 (0,0)、(1,0)、(0,1)、(1,1)，都以(1,1)概念全具備之參數估計值最高，如表 4-5；試題

若同時診斷三個概念認知屬性之參數估計情形，其排列順序為(0,0,0)、(1,0,0)、

(0,1,0)、(0,0,1)、(1,1,0)、(1,0,1)、(0,1,1)、(1,1,1)，都以(1,1,1)概念全具備之參數估計 值最高，如表 4-8。

表 4-5 試題之概念認知屬性參數估計表試題之概念認知屬性參數估計表試題之概念認知屬性參數估計表試題之概念認知屬性參數估計表

參數估計值 試題(測量的概念認知屬性)

(0,0) (1,0) (0,1) (1,1) 1 (K1、K2) 0.42 0.99 0.67 0.97 2 (K1、K2) 0.84 0.99 0.98 0.96 3 (K1、K2) 0.49 0.70 0.95 0.97 4 (K1、K2) 0.29 0.71 0.26 0.90 5 (K3、K5) 0.31 0.12 0.33 0.87 8 (K2、K4) 0.24 0.15 0.25 0.83 9 (K2、K4) 0.52 0.88 0.84 0.95 10 (K5、K6) 0.26 0.99 0.55 0.95 11 (K2、K6) 0.18 0.66 0.99 0.95 12 (K2、K6) 0.36 0.45 0.42 0.88 14 (K4、K7) 0.74 0.73 0.74 0.97 15 (K4、K7) 0.30 0.16 0.30 0.96 16 (K4、K8) 0.34 0.63 0.34 0.95 17 (K4、K8) 0.28 0.17 0.28 0.89 18 (K4、K8) 0.66 0.86 0.66 0.97 一、研究者將表 4-5 中的試題歸納成二種類型，說明如下：

(一)第一種類型有第 1、3、10、11 題，此類型題目的最大特點，即為學童只要具備 專家歸類該題兩個概念認知屬性中較為重要的一個，就可以有很大的答對率，

且幾乎與同時具備兩個概念之答對率相差無幾，研究者分析造成此種現象的原 因有二。首先，這類型除了說題目難度值普遍較為簡單外；其次，此較為重要 的概念認知屬性，其重要性占答對該題的比重，必然是遠高於另一次要概念。

列舉第 11 題試題內容分析表，即可對照出其箇中原由，如 4-6，試題 11 為小數 比較大小的問題，「K2 能認識二位小數的位名與位值」是學童的先備概念認知 屬性(答對率 0.66)，學童在解答試題 11 時，以是否具備「K6 能比較小數的大 小」之概念認知屬性為關鍵(答對率 0.99)。

表 4-6 第第第第 11 題試題分析表題試題分析表題試題分析表 題試題分析表

11.( )將三個小數 1、0.1、0.01 由小到大排列出來，何者正確？

○１1＜0.1＜0.01 ○２0.1＜0.01＜1 ○３0.1＜1＜0.01 ○４0.01＜0.1＜1 概念認知屬性 K2 能認識二位小數的位名與位值

K6 能比較小數的大小

人數 答對人數 答對率(%) 錯誤選項率 難度=0.82 鑑別度=0.30

1 2 3 4*

955 780 81.68

0.12 0.04 0.02 0.82 高分組(錯誤選項率) 0.01 0.00 0.00 0.99 低分組(錯誤選項率) 0.28 0.11 0.05 0.55 註：* 代表正確選項

(二)第二種類型有第 5、8、15、17 題，此類型試題必須同時具備二個完整之概念認 知屬性才可大幅提升答對率，若學童都不具備任一概念認知屬性或僅具備其中 之一，則答對率明顯較低不會有太大差別，列舉第 5 題試題內容分析表，即可 瞭解學童實際作答的情形，如表 4-7 所示。學童在第 5 題的答對率僅 61%，以 精熟測驗之標準來看，有些偏低，表示學童若只具備「K3 能認識圖形表徵所代 表的二位小數」代表其會看小數數線，但尚且不能答對此試題，同時還必須具 備「K5 能認識二位小數的稠密性」代表其知道小數之間還可分割成更小的小 數，才可提高答對情形。

表 4-7 第第第 5 題試題分析表第 題試題分析表題試題分析表題試題分析表

5.( )下圖中箭頭↑所指位置是代表哪一個數？○１ 12.3 ○２ 1.5

○

３ 1.24 ○４ 1.23

概念認知屬性 K3 能認識圖形表徵所代表的二位小數 K5 能認識二位小數的稠密性

人數 答對人數 答對率(%) 錯誤選項率 難度=0.59 鑑別度=0.64

1 2 3 4*

955 587 61.47

0.15 0.23 0.01 0.61 高分組(錯誤選項率) 0.15 0.23 0.01 0.62 低分組(錯誤選項率) 0.23 0.49 0.02 0.25 註：* 代表正確選項

二、研究者探究表 4-8 中的試題參數估計值，發現試題 6 與 7 的某單一概念認知屬 性之數值偏低，幾乎為 0，表示學童在實際解答試題時，其不需使用此一概念 認知屬性，與專家歸類該試題的 Q 矩陣有落差。除此之外，其餘的參數估計值 在試題若同時診斷三個概念認知屬性時，交互作用的影響下有高有低，但概念 認知屬性在完全具備時，答對率也都有 0.92 以上，尚屬可接受的範圍內。

表 4-8 試題之概念認知屬性參數估計表試題之概念認知屬性參數估計表試題之概念認知屬性參數估計表試題之概念認知屬性參數估計表

參數估計值 試題(測量的概

念認知屬性)

(0,0,0) (1,0,0) (0,1,0) (0,0,1) (1,1,0) (1,0,1) (0,1,1) (1,1,1) 6 (K1.K3.K4) 0.32 0 0.99 0.99 0.99 0.38 0.80 0.95 7 (K1.K2.K4) 0.32 0.88 0.54 0.23 0.07 0.35 0.87 0.92 13 (K2.K4.K7) 0.57 0.99 0 0.57 0.61 0.99 0.91 0.96 19(K2.K9.K10) 0.35 0.21 0.35 0.35 0.21 0.21 0.99 0.95 20(K2.K9.K10) 0.31 0.80 0.31 0.31 0.80 0.80 0.70 0.96

貳、學童解題表現與迷思概念

本研究進行 G-DINA 模式分析後，能得知全體學童概念認知屬性的精熟程度情 形(見表 4-4)，可以發現學童在「K4 能完成二位小數的化聚」上表現最為熟悉，精 熟程度高達 83%，對照 Q 矩陣找出診斷 K4 之試題有 6、7、8、9、13、14、15、16、

17、18、21 共 11 題，檢視學童在這些試題上的解題情形，並瞭解 17%未達精熟的 學童在「K4 能完成二位小數的化聚」上產生的迷思概念。試列舉其中第 7、8、9 題 試題內容分析表，此三試題的命題設計以測量 K4 之概念認知屬性為最主要，實際 瞭解學童作答的情形，如表 4-9、4-10、4-11 所示。

一、從表 4-9 中可看出學童在試題 7 的作答情形，答對率有 75%，有 16%的學童選 擇錯誤選項 3，認為 0.3 是由 3 個 0.01 合起來的，這是學童「直接移動小數點 決定化聚結果」、「0.a 是 a 個 0.01」的迷思概念。

表 4-9 第第第第 7 題試題分析表題試題分析表題試題分析表題試題分析表

7.( )請問 0.3 是由多少個 0.01 合起來的？○１ 0.03 ○２ 0.3 ○３ 3 ○４ 30 概念認知屬性

K1 能讀寫二位小數

K2 能認識二位小數的位名與位值 K4 能完成二位小數的化聚

人數 答對人數 答對率(%) 錯誤選項率 難度=0.69 鑑別度=0.59

1 2 3 4*

955 715 74.87

0.05 0.04 0.16 0.75 高分組(錯誤選項率) 0.00 0.00 0.01 0.99 低分組(錯誤選項率) 0.20 0.06 0.36 0.38 註：* 代表正確選項

二、從表 4-10 中可看出學童在試題 8 的作答情形，答對率有 65%，分別平均有 11%

的學童選擇錯誤選項 1、2、4。選擇錯誤選項 1 的學童把十分位的 0 省略未看，

直接合成 47 個 0.01，不考量小數點關係；選擇錯誤選項 2 的學童誤看位值，以 為是 4 個 1、0 個 0.1、7 個 0.01 合起來的；選擇錯誤選項 4 的學童受整數位值 的影響，將整數概念套用在小數上，誤認為 4 個 100、0 個 10、7 個 1 合起來的，

學童已經產生「不考量小數點關係」、「把整數的位名與位值概念使用在小數上」

的迷思概念。

表 4-10 第第第第 8 題試題分析表題試題分析表題試題分析表題試題分析表

8.( )請選出「4.07」的正確敘述？○１47 個 0.01 合起來的

○２4 個 0.01、0 個 0.1、7 個 1 合起來的 ○３40 個 0.1、7 個 0.01 合起來的 ○４4 個 100、0 個 10、7 個 1 合起來的

概念認知屬性 K2 能認識二位小數的位名與位值 K4 能完成二位小數的化聚

人數 答對人數 答對率(%) 錯誤選項率 難度=0.62 鑑別度=0.67

1 2 3* 4

955 622 65.13

0.11 0.12 0.65 0.12 高分組(錯誤選項率) 0.01 0.01 0.97 0.02 低分組(錯誤選項率) 0.23 0.32 0.28 0.17 註：* 代表正確選項

三、從表 4-11 中可看出學童在試題 9 的作答情形，答對率有 88%，分別有 5%的學 童選擇錯誤選項 2、3。選擇錯誤選項 2 的學童，直接移動小數點決定化聚結果，

覺得 58 個 0.01 合起來是 5.8；選擇錯誤選項 3 的學童誤認為 0.01 有小數點二位，

所以 58 個 0.01 合起來是 5.08。此外，2%的學童選擇錯誤選項 1，認為 58 個 0.01 合起來是 58.01，少部分學童已經產生「直接移動小數點決定化聚結果」、「把個 數與單位直接合成」的迷思概念。

表 4-11 第第第 9 題試題分析表第 題試題分析表題試題分析表 題試題分析表

9.( )請問 58 個 0.01 合起來是多少？○１ 58.01 ○２ 5.8 ○３ 5.08 ○４ 0.58 概念認知屬性 K2 能認識二位小數的位名與位值

K4 能完成二位小數的化聚

人數 答對人數 答對率(%) 錯誤選項率 難度=0.83 鑑別度=0.29

1 2 3 4*

955 841 88.06

0.02 0.05 0.05 0.88 高分組(錯誤選項率) 0.00 0.01 0.00 0.99 低分組(錯誤選項率) 0.06 0.13 0.14 0.67 註：* 代表正確選項

然而，學童在「K8 能做公分與公尺的關係轉換」的概念認知屬性之精熟程度表 現僅達 62%，對照 Q 矩陣找出診斷 K8 之試題有 16、17、18、21 共 4 題，檢視學童 在這些試題上的解題情形，並瞭解 38%未達精熟的學童在「K8 能做公分與公尺的關 係轉換」上產生的迷思概念。試列舉其中第 16、17、18、21 題試題內容分析表，此 四試題的命題設計以測量 K8 之概念認知屬性為最主要，實際瞭解學童作答的情形，

如表 4-12、4-13、4-14、4-15 所示。

一、從表 4-12 中可看出學童在試題 16 的作答情形，答對率有 75%，有 19%的學童 選擇錯誤選項 2，認為 2 公尺 5 公分等於 2.5 公尺，這是學童直接「把小數點看 成大單位與小單位的區隔」之迷思概念。

表 4-12 第第第第 16 題試題分析表題試題分析表題試題分析表 題試題分析表

16.( ) 2 公尺 5 公分的黃緞帶等於多少公尺呢？

○１ 205 公尺 ○２ 2.5 公尺 ○３ 2.05 公尺 ○４ 0.25 公尺 概念認知屬性 K4 能完成二位小數的化聚

K8 能做公分與公尺的關係轉換

人數 答對人數 答對率(%) 錯誤選項率 難度=0.69 鑑別度=0.57

1 2 3* 4

955 715 74.87

0.04 0.19 0.75 0.02 高分組(錯誤選項率) 0.00 0.01 0.98 0.00 低分組(錯誤選項率) 0.10 0.42 0.39 0.09 註：* 代表正確選項

二、從表 4-13 中可看出學童在試題 17 的作答情形，答對率僅有 57%，其他 30%的 學童選擇錯誤選項 3，直接把小數點看成大單位與小單位的區隔，覺得 1.8 公尺 等於 1 公尺 8 公分；此外，尚有少部分 10%選擇錯誤選項 2 的學童，把 1.8 想 成 1＋0.8，所以等於 1 公尺 0.8 公分，沒有將 0.8 公尺換算成 80 公分，學童已 經產生「把小數點看成大單位與小單位的區隔」之迷思概念。

表 4-13 第第第第 17 題試題分析表題試題分析表題試題分析表 題試題分析表

17.( )哥哥的身高 1.8 公尺等於幾公尺幾公分呢？○１ 1 公尺 0.08 公分

17.( )哥哥的身高 1.8 公尺等於幾公尺幾公分呢？○１ 1 公尺 0.08 公分