小數概念

第一節 小數概念

壹、小數知識的發展

當人類文明進步到發現整數無法準確測量日常生活中的問題時，便發展出比單 位 1 還小的數量，這種符號即為小數的記數方式，以某單位測量長度時的餘量而產 生的（劉曼麗，1998）。人們先有整數再到分數的概念後，欲把印度-阿拉伯記數系 統使用到分數情境，才產生了小數。小數的發展歷史可以回推到西元前 2400 年，當 時的巴比倫人運用六十進位制的位值概念，實用性不彰顯，後來歷經印度與阿拉伯 數學家改進，才演變成我們現在所使用的十進位制的小數（周筱亭、黃敏晃，2002）。

中國的數學家在西元十五世紀時，開始使用小數，而小數的命名由度量衡制度發展 出來，在九章算數中提及「微數無名」，即是十進位小數，大概在元朝時使用「小數」

之名稱（趙文敏，1985）。小數的英文是「decimal」，起源於拉丁字「decima」，意思 為十分之一的部分，所以小數與分數有密切的關係（劉曼麗，1998）。荷蘭科學家 Simon Stevin (1548~1620 年)成功建立小數系統，清楚闡述小數的理論，與大家說明 小數運算的相關規則，讓人們接受小數並使用小數（吳武男，2005）。Hiebret (1992) 提出小數重要的三個定理：小數中相鄰的每一個數字之位值關係為十倍，左邊數字 是右邊數字的十倍，反之則為十分之一倍(例如：1 是 0.1 的十倍，0.1 是 1 的十分之 一倍)；小數使用位值來決定每一數字的大小（例如：0.12＜0.34）；小數的數值是每

一數字所具有數值的總和（例如：12.34＝10×1＋1×2＋1/10×3＋1/100×4）。

由小數知識的發展過程，可得知小數與分數的關係密不可分，以小數記數中的 0.1 來說明，0.1 表示將 1 分成 10 等分，取其中 1 等分，寫成 0.1＝1/10，所以小數 是分數的另一種記法（杜建台，1996）；而且小數與整數十進位制的位值概念也息息 相關，所以學童想要學習理解小數概念，即必須清楚了解小數、分數、整數三者之 間的異同關係。

貳、小數概念的學習

小數概念可以分成記數系統知識(notation system)、運算規則知識(rules)、數量表 示知識(quantity)等三種知識。其中，記數系統知識指的是學童知道小數的代表形式，

可以判斷什麼是小數；運算規則知識指的是學童操弄規則運算得到正確的小數答 案，比如小數加減計算時，先對齊小數點；數量表示知識指的是學童了解小數符號 所代表的數量(Hiebret, 1992)。若學童能夠成功連結小數概念的三種知識，即表示學 童真正對小數概念了解並內化，透過教學者完整的教學程序，幫助學童有效率地認 識小數的意義與記數符號，從而正確地使用小數解決日常生活中的相關情形，如此，

學童才可建立穩固的小數概念。然而，穩固的小數概念還得仰賴學童具有完整小數 知識發展之四個學習過程：連結、發展、精緻熟練、萃化(Hiebret & Wearne, 1988)。

連結與發展兩階段說明學童初步在建構小數概念時，必須透過指示物來和小數符號 產生連結，比如錢幣、丹尼積木等等，從意義上了解小數符號的表達方式，藉以增 加自己對小數符號的接受度，讓小數符號更具意義；精緻熟練與萃化兩階段說明學 童熟練小數符號的計算程序，不再依賴指示物，可自動化執行並解決小數問題，於 是完整穩固的小數概念便成功建立。

而要理解小數概念的意義，應該從分數的「部分與全體」關係，以及整數的位 值概念（十進位的多單位記數系統）兩種層面來探究（劉曼麗，1996）。首先，分數

的「部分與全體」關係是分數意義的詮釋方式之一，當一個完整量被等分後，指定 其中一小部份的記數方式即為分數，若等分數為「10」的冪數時，比如 10、100、

1000 等等，此時分數亦可寫成小數，例如：1/10 可記為 0.1、1/100 可記為 0.01、1/1000 可記為 0.001，這也代表著 1/10 能再十等分成 1/100，1/100 能再等分成 1/1000，十 等分可無限制的持續下去，意謂著兩個小數之間尚有許多小數，稱之為小數具有稠 密性（劉曼麗，1998）。接者，說明小數的結構延續使用整數的多單位記數系統，即 是在學習印-阿記數系統，採用 0 至 9 的十個數字，把整數的十進位制之位值觀念擴 展到小數中，相鄰的每一個數字之位值關係為十倍，左邊數字是右邊數字的十倍，

小數點「.」用來分隔小數的整數部分與小數部份，以小數的個位為基準點，往右邊 依序為十分位、百分位、千分位等等。因此，整數的位值概念常常影響小數的位值 記法，使學童產生「整數法則」的錯誤迷思概念，不小心將小數點後數字讀成整數 數值。反過來說，學童若清楚明白整數、分數與小數的相同點與不同點，那將有助 於學童學習完整的小數概念。本研究茲將國外學者專家提出小數與整數、小數與分 數之異同性比較表列出，詳細描述出整數、分數與小數的相同點與不同點(Resnick, Nesher, Leonard, Magone, Omanson, & Peled, 1989)，如表 2-1、表 2-2 所示。

從表 2-1 中，我們可得知小數與整數的相同點：小數與整數的位值由左而右遞 減，左邊位值是右邊位值的 10 倍；0 都可表示位值的意義。而小數與整數的不同點：

在小數的最右邊增加 0，其值不變，但是在整數的最右邊增加 0，其值變為原本的 10 倍；小數離開小數點越遠其值越小，整數離開小數點越遠其值越大；小數讀法為 簡讀（位名不需讀出），而且位名順序是從左到右，整數讀法為正讀（位名需讀出），

而且位名順序是從右到左。因為小數與整數有相同點，亦有不同點，容易讓學童把 整數概念過度遷移使用在小數概念上，因而產生「整數法則」、「位值、位名不清」、

「小數點前數字簡讀」、「小數點後數字正讀」等迷思概念（杜建台，1996；劉曼麗，

1998，2002a，2003，2005；陳文利，2001；江愛華，2002；郭孟儒，2002；梁惠珍，

2003；陳麗婷，2005）。 B.位名(column names)

1.從十分位開始

2.位名順序是從左到右(十分 位，百分位，…)；而讀的順序 也從左到右（十分位，百分 位，…）

B.位名(column names) 1.從個位開始

C.讀的規則(reading rules) 簡讀（位名不需讀出）

C.讀的規則(reading rules)

正讀（位名需讀出） －

數法則」、「小數與分數互換的概念混淆」等迷思概念（杜建台，1996；劉曼麗，1998， A.小數數值(decimal values)

1.表示 0 與 1 之間的一個值 2.整體被分割成越多等分，每一 分的數值就越小

3.在 0 與 1 之間有無限多個小數 存在

A.分數數值(fraction values) 1.表示 0 與 1 之間的一個值 B.小數符號(decimal notation)

1.一個單位被等分成多少等分是

B.分數符號(fraction notation) 1.一個單位被等分成多少等分

經驗的解讀、由正式或非正式教學產生、同儕學習、學童自己與生俱來的想法、由

表 2-3 小數迷思概念分析表小數迷思概念分析表小數迷思概念分析表小數迷思概念分析表(續續續) 續

綜合以上所描述內容，學童在學習小數上，的確會產生許多迷思概念，探究其 原因可能在於學童沒有清楚瞭解小數的基礎概念，也就是說學童不知道小數符號的 意義與結構，將本身以前所學習的整數概念與分數概念套用進來，便形成岌岌可危 的小數概念了（江愛華，2002）。所以，教學者透過編製認知診斷評量，檢視學童的 小數概念是否穩固極為重要，經由認知診斷評量測驗後，發現學童在小數上的迷思 概念，教學者立即提供適當的教學策略，讓學童產生認知衝突，學童亦可調整其原 有認知的小數概念，以達到建構正確小數概念的最佳教學成效。

肆、國小小數教材地位之分析

本研究預試與正式施測對象均為學習九年一貫數學領域課程綱要之國小四年級 學童，雖然在數學課本使用上有不同的版本，但各家版本在編排數學課程學習內容 上，都依照九年一貫數學領域能力指標所編寫的，所以施測的國小四年級學童學習 到的小數基礎概念相同，可使用本研究自編測驗來施測。以下將九年一貫課程綱要 數學領域中有關小數之能力指標整理如表 2-4，由表中可知小數課程教材在第一階段 是安排認識一位小數和「十分位」，並思考一位小數的比較大小、加減計算等活動，

對照各家版本大多安排在三年級時讓學童學習；第二階段則安排認識二位小數和「百 分位」，並思考二位小數的合成分解、比較大小、加減計算、公分與公尺關係轉換、

簡單乘法計算等活動，此時為四年級學童所學習的，各家版本也在五年級的小數課 程內容中適當加入初步認識三位小數；第三階段便以三位以上小數為教學內容，包 括使用小數為除數的基本運算，各家版本在此時為六年級階段都是最加深加廣的小 數學習內容。

學童在三年級時學習一位小數、四年級時認識二位小數，均是小數的先備基礎 概念，熟悉小數概念的符號與意義後，便可進行小數相關的應用解題計算，範圍是 二位以下小數的加減問題等。因此，學童倘若中年級時，未能將基礎小數概念學好，

在五年級時遇到三位小數的單元內容，有可能產生無法單位關係轉換、整數倍相乘 計算、整數相除為三位小數問題等，更別說六年級時則是多位小數的複雜乘除問題 計算，對學童學習小數會產生極大的困擾。總而言之，在小數概念基礎學習時，應 該立即診斷學童的學習情況，並隨時給予適當教學指導，穩固學童的小數基礎概念 之學習。

表 2-4 九年一貫課程綱要小數能力指標表九年一貫課程綱要小數能力指標表九年一貫課程綱要小數能力指標表 九年一貫課程綱要小數能力指標表 N-1-10 能認識一位小數，並作比較與加減計算

N-2-10 能認識多位小數，理解其比較，及用直式處理加、減與整數倍的計算，

並解決生活中的問題

N-2-12 能用直式處理乘數是小數的計算，並解決生活中的問題 N-2-13 能做分數與小數的互換，並標記在數線上

N-2-15 能認識測量的普遍單位，並處理相關的計算問題

N-2-15 能認識測量的普遍單位，並處理相關的計算問題