國小四年級學童小數概念之認知診斷分析

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國立臺中教育大學教育測驗統計研究所

理學碩士學位暑期在職進修專班碩士論文

指導教授：曾建銘博士

施淑娟博士

國小四年級學童小數概念

之認知診斷分析

研究生：李思綺撰

中華民國 101 年 7 月

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致謝

翻閱著經歷一番努力付出後完成的論文，心中滿是悸動，回首當初接受外子登民的鼓勵，勇敢地邁向研究所求學的旅程，帶著戒慎與惶恐，不知能否同時兼顧教師、母親與學生三種角色。在論文研究與寫作的過程中，最要感謝指導教授曾建銘博士，一路以來的循循善誘，總是一次又一次耐心講解，親切又溫和的解答學生的疑惑，除了專業的學理背景外，在課暇之餘，曾老師學者般風範，為人處事上的圓融，所帶給學生的言教與身教，更是令我印象深刻，接著，要感謝許天維院長、施淑娟老師以及吳慧珉老師，在口試時指點缺漏與提供建議，讓這篇論文得以更加完整與充實。除了教授們的教導，也感謝許多親朋好友的相伴與協助，包括夥伴們曉縈和昱泓這段一起打拼與相互幫忙的論文奮鬥歲月，革為學長一路上提供許多的專業協助，同事純如、暐琇聆聽我心情的煩悶，讓我可以調整心情重新出發，特別感謝女兒們的褓姆伉儷劉進順先生與吳少蕙女士，有你們經常超時又用心地協助照料兩個小寶貝，才能讓我無後顧之憂，進行研究與寫作，沒有你們，無法如此順利完成碩士學位！最後，感謝家人們的包容與支持，推動著我不輕言放棄的決心，感謝爸媽、姊妹們持續地關懷；感謝兩個小寶貝翊真、婕羽，童言童語的陪伴：「媽媽，作業寫好了嗎？」；最要感謝外子登民，從當初的鼓勵報考到上下課接送，以及遇到瓶頸時的提供協助，直到最後順利完成口試，這過程中的跌跌撞撞與酸甜苦澀，幸好有你的一路相陪！願將此榮耀與所有曾經幫忙我、關心我的親友們一同分享，謝謝您們！李思綺謹誌 2012.7

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摘要

本研究旨在編擬一份「國小四年級學童小數概念認知診斷測驗」，並以此測驗工具檢視國小四年級學童在經過小數概念的教學歷程後，其小數概念學習的成效，再使用 G-DINA 模式與 IRS 模式來分析學童在小數概念的學習精熟程度情形，及探討學童在學習小數概念過後可能產生的迷思概念，以提供教學者進行個別化補救教學之參考。本研究結果發現： 1. 自編之「國小四年級學童小數概念認知診斷評量測驗」，其 Cronbach's α 係數為 0.80、難度平均值為 0.74、鑑別度平均值為 0.46，是一份優良的測驗工具。 2. 試題與模式適配度比較分析之結果，訊息呈現均顯示為 G-DINA 模式較適配於本研究之學童作答反應資料。 3. 全體學童最精熟的小數概念認知屬性為「能完成二位小數的化聚」，最不精熟的小數概念認知屬性為「能做公分與公尺的關係轉換」。 4. 高分組與低分組學童都有「把整數的位名與位值概念使用在小數上」、「受整數位名影響，左右位名對稱小數點，獨創個分位」的迷思概念。 5. 診斷測量較多小數概念認知屬性的試題，對學童來說並不一定是最上位試題，與其命題語意設計有極大的影響關係。關鍵詞：小數概念、G-DINA 模式、IRS 模式

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Abstract

The purpose of this study was to compile a fourth grade student decimal concepts of cognitively diagnostic tests, and used it to investigate the effectiveness of fourth-graders’ learning decimal concepts, and then used the G-DINA model as well as the IRS model to analyze the proficiency of children in the concepts of decimal degree of learning mastery, and explored the children's misconceptions after learning the decimal concepts in order to provide teaching by reference of the individual remedial instruction. The results of this study as following:

1. The test is a good instrument that it’s Cronbach's coefficient α is equal to 0.80, the difficulty average is equal to 0.74, and the discrimination average is equal to 0.46.

2. Comparative analysis of the goodness of model fit, results showed that the G-DINA model was appropriate to the children in this study.

3. Among the decimal concepts of cognitive attributes “can finish hundredths decimal’s divided and synthesis” was the most mastery and the least mastery was “doing the relationship conversion between centimeters and meters”.

4. Both of the high ability group and the low ability group had the following misconceptions including “using the place value and column names of the integer as decimal”, “affected by the column names of the integer”, and “ created a column names that was not exist”.

5. Cause the items with more decimal concepts of cognitive attribute maybe is not the uppermost concept. Item semantic design has the high correlation with the item concept level.

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摘要 ...I ABSTRACT ... II 目錄 ...III 附錄 ... V 表目錄 ...VI 圖目錄 ... VIII 第一章緒論 ...1 第一節研究動機 ...1 第二節研究目的 ...3 第三節研究問題 ...4 第四節研究範圍與限制 ...4 第五節名詞解釋 ...5 第二章文獻探討 ...9 第一節小數概念 ...9 第二節認知診斷評量 ...17 第三節試題關聯結構分析法 ...21 第三章研究方法 ...27 第一節研究架構 ...27 第二節研究對象 ...28 第三節研究工具 ...29 第四節研究流程 ...39 第五節資料的處理與分析 ...41 第四章研究結果與討論 ...43 第一節正式施測之試題分析 ...43 第二節試題與模式適配度之比較分析 ...45 第三節全體學童於小數概念之解題表現 ...47 第四節不同程度學童於小數概念之解題表現 ...60 第五節 Q 矩陣之分群試題關聯結構分析 ... 65 第五章結論與建議 ...79 第一節結論...79 第二節建議...82 參考文獻 ...85 中文參考文獻 ...85

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英文參考文獻... 88 日文參考文獻... 89

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附錄

附錄一小數概念認知診斷評量測驗之開放性試題 ...90 附錄二小數概念認知診斷評量測驗預試試題...92 附錄三小數概念認知診斷評量測驗正式試題...95 附錄四 Q 矩陣 2 ...98 附錄五 Q 矩陣 3 ...99 附錄六 Q 矩陣 4 ...100 附錄七 ITEMFIT.OUT 資料檔 ...101 附錄八全部試題之順序性係數分析表 ...104 附錄九全部試題之順序性係數二分矩陣分析表 ...105

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表目錄

表 2-1 小數和整數比較表... 12 表 2-2 小數和分數比較表... 13 表 2-3 小數迷思概念分析表... 14 表 2-4 九年一貫課程綱要小數能力指標表 ... 17 表 2-5 試題Xi與試題Xj聯合與各邊界機率 ... 22 表 2-6 試題X_i與試題X_j答對與答錯人數統計表... 23 表 2-7 試題關聯結構順序性係數簡例表 ... 24 表 2-8 試題關聯結構順序性係數二分矩陣簡例表 ... 25 表 3-1 正式樣本人數統計表... 29 表 3-2 小數概念認知屬性與分年細目能力指標對應表 ... 31 表 3-3 國小四年級學童小數概念認知診斷測驗雙向細目表 ... 32 表 3-4 國小四年級學童小數概念認知診斷測驗預試分析表 ... 34 表 3-5 國小四年級學童小數概念認知診斷測驗修正分析表 ... 35 表 3-6 Q 矩陣 1 表... 36 表 3-7 確定之 Q 矩陣表... 38 表 3-8 小數概念認知屬性與試題對照表 ... 39 表 4-1 小數概念認知診斷測驗之正式施測分析表 ... 44 表 4-2 小數概念認知診斷測驗之模式適配度分析表 ... 46 表 4-3 小數概念認知診斷測驗之試題適配度分析表 ... 46 表 4-4 全體學童小數概念認知屬性之精熟度分析表 ... 48 表 4-5 試題之概念認知屬性參數估計表 ... 49 表 4-6 第 11 題試題分析表... 50 表 4-7 第 5 題試題分析表... 51 表 4-8 試題之概念認知屬性參數估計表 ... 51 表 4-9 第 7 題試題分析表... 52 表 4-10 第 8 題試題分析表... 53 表 4-11 第 9 題試題分析表... 54 表 4-12 第 16 題試題分析表... 55 表 4-13 第 17 題試題分析表... 55 表 4-14 第 18 題試題分析表... 56 表 4-15 第 21 題試題分析表... 57 表 4-16 第 1 題試題分析表... 58 表 4-17 第 2 題試題分析表... 58

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表 4-18 第 4 題試題分析表...59 表 4-19 高分組學童小數概念認知屬性分析表...61 表 4-20 低分組學童小數概念認知屬性分析表...61 表 4-21 第 3 題試題分析表...62 表 4-22 第 5 題試題分析表...63 表 4-23 第 10 題試題分析表...64 表 4-24 第一分群試題關聯順序性係數表...66 表 4-25 第一分群試題關聯順序性係數二分矩陣表...66 表 4-26 第一分群試題分析表...67 表 4-27 第二分群試題關聯順序性係數表...69 表 4-28 第二分群試題關聯順序性係數二分矩陣表...69 表 4-29 第二分群試題分析表...70 表 4-30 第三分群試題關聯順序性係數表...72 表 4-31 第三分群試題關聯順序性係數二分矩陣表...72 表 4-32 第三分群試題分析表...74 表 4-33 第四分群試題關聯順序性係數表...75 表 4-34 第四分群試題關聯順序性係數二分矩陣表...75 表 4-35 第四分群試題分析表...77

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圖目錄

圖 2-1 受試者 i 對試題 j 的反應過程圖(de la Torre, 2009a)...20

圖 3-1 研究架構圖...28 圖 3-2 研究流程圖...40 圖 4-1 第一分群試題之關聯結構圖...67 圖 4-2 第二分群試題之關聯結構圖...70 圖 4-3 第三分群試題之關聯結構圖...73 圖 4-4 第四分群試題之關聯結構圖...76

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第一章緒論

擔任國小級任教師已經邁入第十年，在實際的教學經驗中，發現大多數學童對於「小數」單元的學習成果表現，均不如「整數」單元或「分數」單元理想，常常會產生許多文獻中提到的錯誤類型或迷思概念。因此，本研究欲探討國小四年級學童的小數概念之學習成效。本章共分為四節，依序說明研究動機、研究目的、研究問題和名詞解釋。

第一節研究動機

日常生活中使用到小數的機會繁多，比如計算利息、換算匯率、汽機車加油的公升數值及價格、大賣場中食品標籤上的重量數值、考試成績的計算、身高與體重數值等，因此小數與日常生活息息相關，我們必須認識理解小數概念，才能進行小數的計算並解決有關小數的生活應用問題。要具備正確的小數概念，必須有完整的概念學習過程。概念學習一直都是數學教育所強調的，唯有具備正確的數學概念，才能獲得完整的數學知識（江愛華， 2003）。小數的概念非常重要，然而概念本身卻是十分抽象和複雜，因此學生在學習上常常遭遇困難（劉曼麗，2005）。而現行的九年一貫課程綱要強調有意義的學習，培養學童有帶著走的能力，在國小數學教育中有意義的學習即是獲得並理解數學概念，學童具備此一相關數學概念，便會在解題過程中靈活使用（吳武男，2005）。根據研究者本身在國民小學任教的實際教學經驗，發現多數學童對於小數概念不甚理解，常常有所混淆，無法獲得完整的小數概念學習，更產生許多錯誤類型或迷思概念，然而在最基礎的小數概念上發生混淆，將無法掌握往後更深入的小數計算與應用。

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現行國內實施的九年一貫課程數學教材中有關「數與量」的課程內容安排順序為先學習整數概念，再學習分數概念，最後導入小數概念，但是在日常生活中，我們運用小數往往多於分數。小數可說是延續整數的位值概念，並涵蓋在分數概念當中，因此小數概念在「數與量」的課程內容中是相當重要的（陳麗婷，2005）。而小數的知識可分為小數的概念、計算及應用三方面，如果要完整學習小數，三者缺一不可；其中，小數的概念尤其重要（劉曼麗，2003），正因為如此的學習順序，所以學童在建構小數概念時，容易受到整數先備知識概念及分數先備知識概念的學習經驗影響，產生交互干擾的學習結果。此外，配合九年一貫能力指標所編排的數學教材中，把小數單元內容分散在三到六年級教學，三年級先認識「一位小數」，四年級接著學習「二位小數」，五年級則是了解「三位小數」，六年級即深入「小數的綜合應用」，又因為每學期數學教材內容安排九到十單元，每週教學僅只有上三節，教學進度緊湊，常常無法讓學童清楚理解小數概念，基礎未穩固，到高年級時，學童對於小數概念只會更加沒有頭緒。教學者想知道學童在進行小數概念教學後的學習情形，並進行評量，透過評量結果來了解學生學習的困難，更進一步做觀念的澄清、補教及加強，讓學童得到最佳的學習協助（舒麗珠，2008）。研究者在第一線的教學工作中，發現大多數教學者仍然以傳統紙筆測驗來評量學童的學習情形，只從學童的得分來判斷學習的精熟程度，而未能詳細探討學童在施測試題上的作答情形，進而明白教學過程環節中的問題，以及學童在學習基礎小數概念內化過程時所遭遇的困難。 Nichols(1994)即主張傳統的評量方式無法讓教師對學生的學習進行診斷，並提供有效的訊息。所以提倡將認知科學(cognitive science)與心理計量學(psychometrics) 結合，發展幫助達成教學目標的診斷評量方法，將此一新的診斷評量方法，稱為認知診斷評量(cognitively diagnostic assessment, CDA)。透過認知診斷評量，可瞭解學童答題的知識結構與認知歷程，亦可推知學童的解題策略，並看出學童的錯誤類型

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或迷思概念。而認知診斷模式(cognitive diagnostic models, CDMs)是使用在判斷學童優勢與劣勢的心理計量學模式，且提供教學者可以有效測量學童的學習情形(de la

Torre, 2009b)，其中以 DINA 模式(Deterministic Inputs, Noisy “and” Gate Model, DINA；Junker & Sijtsma, 2001)最為簡單又容易解釋，只探討「粗心」和「猜測」兩

參數，現在國內已經有許多學者投入模式開發與實際應用的研究（王文卿，2010）。

de la Torre (2011)學者提出 DINA 模式的一般化模式，稱為 G-DINA 模式(generalized deterministic inputs, noisy “and” gate)，不但能廣泛應用在一般情境測驗，更能針對每

個概念進行認知診斷評量，也可看出學童在解答試題時，所使用到的概念交互影響的情形（陳亭宇，2010）。此外，配合使用試題關聯結構分析法(item relational structure,

IRS)，可以分析出試題之間的結構順序關係，並繪製出試題關聯結構圖，藉以了解學童解題時使用的學習概念訊息。根據以上的動機，研究者欲使用認知診斷模式分析學童在小數概念的學習精熟情形，再運用試題關聯結構分析法瞭解學童不精熟的小數概念相關試題之順序關聯結構，並探討國小四年級學童在經過小數概念的教學歷程後，可能產生的錯誤類型或迷思概念。

第二節研究目的

依據上述研究動機，本研究擬欲達成之研究目的如下：一、編擬一份「國小四年級學童小數概念認知診斷測驗」。二、比較 DINA 模式與 G-DINA 模式的適配度。三、檢視國小四年級學童學習小數概念之精熟程度。四、探討國小四年級學童學習小數概念後，所產生的迷思概念。五、運用 IRS 檢視具相關概念之分群試題彼此間順序關聯結構。

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第三節研究問題

依據上述研究目的，本研究之研究問題如下：一、自編的測驗試題是否為品質優良的測驗工具？二、比較自編測驗之實證資料分析適配於 DINA 模式或是 G-DINA 模式？三、國小四年級受試學童整體的小數概念精熟情形如何？四、國小四年級受試學童在小數學習上的迷思概念情形？五、高分組、低分組學童其小數概念精熟情形的差異為何？六、高分組、低分組學童在小數學習上的迷思概念情形？七、比較相關小數概念認知屬性之試題其順序關聯結構為何?

第四節研究範圍與限制

壹、研究範圍

本研究聚焦於國小四年級學童小數概念的精熟情形，以一位小數和二位小數的純小數與帶小數為主，並無探討三位以上的小數，並且只限於有理數的範圍，對於循環小數或無理數則不包括在內；而本研究編製的小數概念認知診斷測驗試題之認知屬性界定為小數的讀寫、小數的位名與位值、圖形表徵、小數的化聚、小數的稠密性、比較小數的大小、小數與分數互換、公分與公尺關係轉換、計算時對齊小數點、完成進退位加減。

貳、研究限制

因為時間、人力與經費等限制，研究者選擇本身任教學校與鄰近學區學校的學

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學童進行研究。所以，本研究之研究結果不宜過度推論到其他地區的國小四年級學童，應有所保留。

第五節名詞解釋

壹、小數概念認知屬性

本研究所提及的「小數概念」名稱，意義又等於認知診斷模式中提到試題包含的「認知屬性」(cognitive attributes)相同，也就是說依據本研究所設定的十項小數概念進行自編二位小數以內之測驗試題，這些試題所可以測量到的小數概念認知屬性，而此十項小數概念認知屬性分別為小數的讀寫、小數的位名與位值、圖形表徵、小數的化聚、小數的稠密性、比較小數的大小、小數與分數互換、公分與公尺關係轉換、計算時對齊小數點、完成進退位加減。

貳、迷思概念

本研究的「迷思概念」指的是國小四年級學童在學習二位小數單元內容後可能產生的錯誤解讀想法，也等同於可能產生的錯誤類型；「錯誤類型」的意思是學童在學習過程中，與教學者或專家持有不同的概念與想法（林建福，2008），學童的迷思概念較不容易改變，而錯誤類型經由教學指導歷程即可更正。迷思概念可能形成的原因有學童自己日常生活經驗的解讀、由正式或非正式教學產生、同儕學習、學童自己與生俱來的想法、由字義的類比與聯想等等（郭孟儒，2002）。因此，本研究將小數迷思概念定義為「對小數知識學習過後產生對事實不當的了解、錯誤或混淆不清之解讀想法」。

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參、試題關聯矩陣

認知診斷模式通常必須建立一個試題關聯矩陣 (Q-matrix，簡稱 Q 矩陣)，大多由專家學者訂定的，主要是在說明試題與概念認知屬性的關係，由數值 0 與 1 組合而成的，若學童解答此試題需具備此概念認知屬性，有則為 1，無則為 0，Q 矩陣可當作概念認知屬性影響試題答對率之對照表。因此，本研究在建立 Q 矩陣來進行認知診斷模式分析時，同時也要進行建立 Q 矩陣之診斷分析，必須相當仔細，反覆思考確定，才能解析學童解答試題時所使用到的概念認知屬性。

肆、DINA 模式與 G-DINA 模式

DINA 模式是在診斷學童各項概念認知屬性的精熟程度，適合用於二元計分的試題，每個概念認知屬性可分成精熟或不精熟兩種情形，理想狀況下，完全精熟即可答對，若缺少一個概念認知屬性，即會答錯。然而學童實際答題情況，雖然有具備概念認知屬性，但會被雜訊(noise)影響而粗心(slip)答錯，或者是缺少一個概念認知屬性反而卻猜對(guessing)。

G-DINA 模式是 DINA 模式的一般化模型，因為 DINA 模式把完全不具任何概

念認知屬性與缺少部份的學童之答對試題機率看成相同，這不符合一般情境，

G-DINA 模式可以分別估計每個試題若不具備任何概念認知屬性的答對機率、缺少

一個概念認知屬性的答對機率、缺少二個概念認知屬性的答對機率等，以此類推。

伍、試題關聯結構理論

本研究所稱之試題關聯結構理論，乃是指由日本學者竹谷誠在 1980 年代時所提出的試題分析方法。其根據 Airasian & Bart (1973)之順序理論(ordering theory)再以改良修正，藉由所需概念編擬好之試題，比較各試題間的答對機率高低，答對率高

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者為下位概念試題，反之，答對率低者則為上位概念試題，依此可找出各試題之間的順序性係數以及各試題之間是否有存在著關聯性，並可依據此關聯性繪製成具指向性的試題關聯結構圖。

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第二章文獻探討

本章分為三節，第一節說明小數概念的發展與學習過程，並且分析我國國小小數教材地位；第二節闡述認知診斷評量的意義，以及介紹 DINA 模式與 G-DINA 模式；第三節陳述試題關聯結構分析法的演變與意義。

第一節小數概念

壹、小數知識的發展

當人類文明進步到發現整數無法準確測量日常生活中的問題時，便發展出比單位 1 還小的數量，這種符號即為小數的記數方式，以某單位測量長度時的餘量而產生的（劉曼麗，1998）。人們先有整數再到分數的概念後，欲把印度-阿拉伯記數系統使用到分數情境，才產生了小數。小數的發展歷史可以回推到西元前 2400 年，當時的巴比倫人運用六十進位制的位值概念，實用性不彰顯，後來歷經印度與阿拉伯數學家改進，才演變成我們現在所使用的十進位制的小數（周筱亭、黃敏晃，2002）。中國的數學家在西元十五世紀時，開始使用小數，而小數的命名由度量衡制度發展出來，在九章算數中提及「微數無名」，即是十進位小數，大概在元朝時使用「小數」之名稱（趙文敏，1985）。小數的英文是「decimal」，起源於拉丁字「decima」，意思為十分之一的部分，所以小數與分數有密切的關係（劉曼麗，1998）。荷蘭科學家 Simon Stevin (1548~1620 年)成功建立小數系統，清楚闡述小數的理論，與大家說明小數運算的相關規則，讓人們接受小數並使用小數（吳武男，2005）。Hiebret (1992) 提出小數重要的三個定理：小數中相鄰的每一個數字之位值關係為十倍，左邊數字是右邊數字的十倍，反之則為十分之一倍(例如：1 是 0.1 的十倍，0.1 是 1 的十分之一倍)；小數使用位值來決定每一數字的大小（例如：0.12＜0.34）；小數的數值是每

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一數字所具有數值的總和（例如：12.34＝10×1＋1×2＋1/10×3＋1/100×4）。由小數知識的發展過程，可得知小數與分數的關係密不可分，以小數記數中的 0.1 來說明，0.1 表示將 1 分成 10 等分，取其中 1 等分，寫成 0.1＝1/10，所以小數是分數的另一種記法（杜建台，1996）；而且小數與整數十進位制的位值概念也息息相關，所以學童想要學習理解小數概念，即必須清楚了解小數、分數、整數三者之間的異同關係。

貳、小數概念的學習

小數概念可以分成記數系統知識(notation system)、運算規則知識(rules)、數量表示知識(quantity)等三種知識。其中，記數系統知識指的是學童知道小數的代表形式，可以判斷什麼是小數；運算規則知識指的是學童操弄規則運算得到正確的小數答案，比如小數加減計算時，先對齊小數點；數量表示知識指的是學童了解小數符號所代表的數量(Hiebret, 1992)。若學童能夠成功連結小數概念的三種知識，即表示學童真正對小數概念了解並內化，透過教學者完整的教學程序，幫助學童有效率地認識小數的意義與記數符號，從而正確地使用小數解決日常生活中的相關情形，如此，學童才可建立穩固的小數概念。然而，穩固的小數概念還得仰賴學童具有完整小數知識發展之四個學習過程：連結、發展、精緻熟練、萃化(Hiebret & Wearne, 1988)。連結與發展兩階段說明學童初步在建構小數概念時，必須透過指示物來和小數符號產生連結，比如錢幣、丹尼積木等等，從意義上了解小數符號的表達方式，藉以增加自己對小數符號的接受度，讓小數符號更具意義；精緻熟練與萃化兩階段說明學童熟練小數符號的計算程序，不再依賴指示物，可自動化執行並解決小數問題，於是完整穩固的小數概念便成功建立。而要理解小數概念的意義，應該從分數的「部分與全體」關係，以及整數的位值概念（十進位的多單位記數系統）兩種層面來探究（劉曼麗，1996）。首先，分數

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的「部分與全體」關係是分數意義的詮釋方式之一，當一個完整量被等分後，指定其中一小部份的記數方式即為分數，若等分數為「10」的冪數時，比如 10、100、 1000 等等，此時分數亦可寫成小數，例如：1/10 可記為 0.1、1/100 可記為 0.01、1/1000 可記為 0.001，這也代表著 1/10 能再十等分成 1/100，1/100 能再等分成 1/1000，十等分可無限制的持續下去，意謂著兩個小數之間尚有許多小數，稱之為小數具有稠密性（劉曼麗，1998）。接者，說明小數的結構延續使用整數的多單位記數系統，即是在學習印-阿記數系統，採用 0 至 9 的十個數字，把整數的十進位制之位值觀念擴展到小數中，相鄰的每一個數字之位值關係為十倍，左邊數字是右邊數字的十倍，小數點「.」用來分隔小數的整數部分與小數部份，以小數的個位為基準點，往右邊依序為十分位、百分位、千分位等等。因此，整數的位值概念常常影響小數的位值記法，使學童產生「整數法則」的錯誤迷思概念，不小心將小數點後數字讀成整數數值。反過來說，學童若清楚明白整數、分數與小數的相同點與不同點，那將有助於學童學習完整的小數概念。本研究茲將國外學者專家提出小數與整數、小數與分數之異同性比較表列出，詳細描述出整數、分數與小數的相同點與不同點(Resnick,

Nesher, Leonard, Magone, Omanson, & Peled, 1989)，如表 2-1、表 2-2 所示。

從表 2-1 中，我們可得知小數與整數的相同點：小數與整數的位值由左而右遞減，左邊位值是右邊位值的 10 倍；0 都可表示位值的意義。而小數與整數的不同點：在小數的最右邊增加 0，其值不變，但是在整數的最右邊增加 0，其值變為原本的 10 倍；小數離開小數點越遠其值越小，整數離開小數點越遠其值越大；小數讀法為簡讀（位名不需讀出），而且位名順序是從左到右，整數讀法為正讀（位名需讀出），而且位名順序是從右到左。因為小數與整數有相同點，亦有不同點，容易讓學童把整數概念過度遷移使用在小數概念上，因而產生「整數法則」、「位值、位名不清」、「小數點前數字簡讀」、「小數點後數字正讀」等迷思概念（杜建台，1996；劉曼麗， 1998，2002a，2003，2005；陳文利，2001；江愛華，2002；郭孟儒，2002；梁惠珍，

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2003；陳麗婷，2005）。表 2-1 小數和整數比較表小數和整數比較表小數和整數比較表小數和整數比較表小數整數＋(類似) －(不同) A.各數字所在之位(column) 1.從左而右，位值遞減 2.每一位值都是緊鄰其右邊的 10 倍 3. 0 可表示空位 4.一個數的最右邊增加 0 其值不變 5.離小數點越遠，其值越小 A.各數字所在之位(column) 1.從左而右，位值遞減 2.每一位值都是緊鄰其右邊的 10 倍 3. 0 可表示空位 4.一個數的最左邊增加 0 其值不變 5.離小數點越遠，其值越大＋＋＋－－ B.位名(column names) 1.從十分位開始 2.位名順序是從左到右(十分位，百分位，…)；而讀的順序也從左到右（十分位，百分位，…） B.位名(column names) 1.從個位開始 2.位名順序是從右到左(個位，十位，百位，…)；而讀的順序卻從左到右（…，百位，十位，個位）－－ C.讀的規則(reading rules) 簡讀（位名不需讀出） C.讀的規則(reading rules) 正讀（位名需讀出）－註：引自劉曼麗(2003) 從表 2-2 中，我們可得知小數與分數的相同點：小數與分數均表示 0 與 1 之間的一個值；整體被分割成越多等分，每一分的數值就越小；在 0 與 1 之間均有無限多個。而小數與分數在符號表示上有不同點：分數的分母代表被分成多少等分，分子代表占多少等分，但小數點後的數字只代表得到的等分，被分成多少等分則隱含在位數中；整體被分成任何等分，都能用分數表示，但被分成 10 的冪次方等分，才能以小數表示。這些差異讓學童在建構小數概念時受到分數概念的干擾，產生「分

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數法則」、「小數與分數互換的概念混淆」等迷思概念（杜建台，1996；劉曼麗，1998， 2002a，2003，2005；陳文利，2001；江愛華，2002；郭孟儒，2002；梁惠珍，2003；陳麗婷，2005）。表 2-2 小數和分數比較表小數和分數比較表小數和分數比較表小數和分數比較表小數整數＋(類似) －(不同) A.小數數值(decimal values) 1.表示 0 與 1 之間的一個值 2.整體被分割成越多等分，每一分的數值就越小 3.在 0 與 1 之間有無限多個小數存在 A.分數數值(fraction values) 1.表示 0 與 1 之間的一個值 2.整體被分割成越多等分，每一分的數值就越小 3.在 0 與 1 之間有無限多個分數存在＋＋＋ B.小數符號(decimal notation) 1.一個單位被等分成多少等分是隱含在位數中 2.佔多少等分是由小數點後的部份顯示 3.整體被分成 10 的冪次方等分，才能以小數表示 B.分數符號(fraction notation) 1.一個單位被等分成多少等分是由分母顯示 2.佔多少等分是由分子顯示 3.整體被分成任何等分，都能用分數表示－－－註：引自劉曼麗(2003)

參、小數迷思概念之相關研究

許多研究指出學童在學習某一概念之前，自己已經有些先備概念，而這些概念通常都會伴隨使用來解釋教學者所說明的概念，正向即可增加正確概念，若與之解讀錯誤或混淆不清，則可能產生迷思概念或錯誤類型，迷思概念較不容易改變，而錯誤類型經由教學指導即可更正，而迷思概念可能形成的原因有學童自己日常生活

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經驗的解讀、由正式或非正式教學產生、同儕學習、學童自己與生俱來的想法、由字義的類比與聯想等等（郭孟儒，2002）。因此，本研究將小數迷思概念定義為「對小數知識學習過後產生對事實不當的了解、錯誤或混淆不清之解讀想法」。本研究欲瞭解國小四年級學童在學習二位小數單元後，若缺乏理解則可能產生的迷思概念，並且與文獻所提及的小數迷思概念對照比較，期望提供教學者能讓學童在建構小數概念時，穩固基礎，減少迷思概念的發生。從文獻與開放性試題施測蒐集的答案中，配合本研究的十項小數概念認知屬性歸納出國小四年級學童可能會產生的小數迷思概念，如表 2-3 所示。表 2-3 小數迷思概念分析表小數迷思概念分析表小數迷思概念分析表小數迷思概念分析表小數概念認知屬性迷思概念研究學者小數的讀寫將小數點後數字讀成整數將小數點前數字讀成小數省略小數點後數字中的 0 杜建台（1996）陳永峰（1998）陳文利（2001）鄭寰文（2005）張雅涵（2008）小數的位名與位值把整數的位名與位值概念使用在小數上受整數位名影響，左右位名對稱小數點，獨創個分位杜建台（1996）陳永峰（1998）陳文利（2001）圖形表徵數線上讀小數，弄錯兩小格之間的單位誤認百格板的一小格為 0.1 杜建台（1996）黃芳玉（2002）黃孟文（2007）小數的化聚把個數與單位直接合成，如 58 個 0.01 等於 58.01 不考量小數點關係，如 2.5 是 25 個 0.01 0.a 是 a 個 0.01 直接移動小數點決定化聚結果劉曼麗（1998）陳文利（2001）郭孟儒（2002）梁慧珍（2003）李郁茵（2006）洪藹鈺（2008）

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表 2-3 小數迷思概念分析表小數迷思概念分析表小數迷思概念分析表小數迷思概念分析表(續續續) 續小數的稠密性不了解兩個小數之間還有許多小數杜建台（1996）陳永峰（1998）陳文利（2001）比較小數的大小整數法則，小數點後數字多值較大分數法則，小數點後數字多分割的值較小忽略小數點 1 是比 0.1 或 0.01 還小的數艾如昀（1994）杜建台（1996）陳永峰（1998）劉曼麗（1997）郭孟儒（2002）黃孟文（2007）小數與分數互換把分母當成整數部分，分子當成小數部分把分子當成整數部分，分母當成小數部分不管分母直接把分子當成小數部份艾如昀（1994） Resnick et al. (1989) 陳文利（2001）郭孟儒（2002）梁惠珍（2003）李郁茵（2006）洪藹鈺（2008）公分與公尺關係轉換把小數點看成大單位與小單位的區隔，如 1.8 公尺等於 1 公尺 8 公分陳文利（2001）郭孟儒（2002）劉曼麗（1998）計算時對齊小數點不同位數的小數容易把最末位對齊未對齊小數點簡茂發、劉湘川（1993）艾如昀（1994）陳永峰（1998）陳文利（2001）劉曼麗（2001）黃鴻洲（2007）完成進退位加減未標小數點進退位錯誤抄錯數字被減數位數少時，把減數的數字放下來陳文利（2001）劉曼麗（2002b）黃鴻洲（2007）

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綜合以上所描述內容，學童在學習小數上，的確會產生許多迷思概念，探究其原因可能在於學童沒有清楚瞭解小數的基礎概念，也就是說學童不知道小數符號的意義與結構，將本身以前所學習的整數概念與分數概念套用進來，便形成岌岌可危的小數概念了（江愛華，2002）。所以，教學者透過編製認知診斷評量，檢視學童的小數概念是否穩固極為重要，經由認知診斷評量測驗後，發現學童在小數上的迷思概念，教學者立即提供適當的教學策略，讓學童產生認知衝突，學童亦可調整其原有認知的小數概念，以達到建構正確小數概念的最佳教學成效。

肆、國小小數教材地位之分析

本研究預試與正式施測對象均為學習九年一貫數學領域課程綱要之國小四年級學童，雖然在數學課本使用上有不同的版本，但各家版本在編排數學課程學習內容上，都依照九年一貫數學領域能力指標所編寫的，所以施測的國小四年級學童學習到的小數基礎概念相同，可使用本研究自編測驗來施測。以下將九年一貫課程綱要數學領域中有關小數之能力指標整理如表 2-4，由表中可知小數課程教材在第一階段是安排認識一位小數和「十分位」，並思考一位小數的比較大小、加減計算等活動，對照各家版本大多安排在三年級時讓學童學習；第二階段則安排認識二位小數和「百分位」，並思考二位小數的合成分解、比較大小、加減計算、公分與公尺關係轉換、簡單乘法計算等活動，此時為四年級學童所學習的，各家版本也在五年級的小數課程內容中適當加入初步認識三位小數；第三階段便以三位以上小數為教學內容，包括使用小數為除數的基本運算，各家版本在此時為六年級階段都是最加深加廣的小數學習內容。學童在三年級時學習一位小數、四年級時認識二位小數，均是小數的先備基礎概念，熟悉小數概念的符號與意義後，便可進行小數相關的應用解題計算，範圍是二位以下小數的加減問題等。因此，學童倘若中年級時，未能將基礎小數概念學好，

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在五年級時遇到三位小數的單元內容，有可能產生無法單位關係轉換、整數倍相乘計算、整數相除為三位小數問題等，更別說六年級時則是多位小數的複雜乘除問題計算，對學童學習小數會產生極大的困擾。總而言之，在小數概念基礎學習時，應該立即診斷學童的學習情況，並隨時給予適當教學指導，穩固學童的小數基礎概念之學習。表 2-4 九年一貫課程綱要小數能力指標表九年一貫課程綱要小數能力指標表九年一貫課程綱要小數能力指標表 九年一貫課程綱要小數能力指標表 N-1-10 能認識一位小數，並作比較與加減計算 N-2-10 能認識多位小數，理解其比較，及用直式處理加、減與整數倍的計算，並解決生活中的問題 N-2-12 能用直式處理乘數是小數的計算，並解決生活中的問題 N-2-13 能做分數與小數的互換，並標記在數線上 N-2-15 能認識測量的普遍單位，並處理相關的計算問題 N-3-04 能用直式處理除數為小數的計算，並解決生活中的問題

第二節認知診斷評量

認知心理學(cognitive psychology)於近幾十年來，已逐漸成為心理學中的顯學，因為其可量化且較為客觀的特性，有別於傳統心理學大多較為主觀的分析論點。因此，非常適合運用於探究人類複雜學習行為的歷程上（余民寧，1995）。也因應此特點，近來教育領域中的診斷測驗已逐漸朝向結合認知科學和心理計量學的方向發展，而成為獨立的研究領域，稱為「認知診斷評量」(Nichols, 1994)。國內的教育生態對於評定學童的學習成效的方式，近年來已從傳統單一的紙筆測驗轉變為開放的多樣化評量方式，藉由更多樣性、更豐富且更專業的多元評量，並運用日益發達的電腦軟硬體設施協助高階之複雜運算，讓教師能夠獲得更多的學童學習資訊，以提供學生學習困難之診斷與教師教學改進之參考。然而，並非所有

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的多元評量都可以有效地提供教師診斷學童學習困難的資訊，有鑑於此，「認知診斷評量」完整結合認知心理學與教育評量方式，並經由有效量化測驗評量背後所獲得的數據來分析並獲得學童測驗背後表徵的理論建構，甚至能夠提供教師改進教學上之缺失（余民寧，1995）。

自從美國實施「不要讓任何一位孩子落後法案」(No Child Left Behind Act of

2001，Public Law 107-110)後，認知診斷評量在教育心理計量領域受重視的程度更可說是與日俱增，認知診斷評量可以讓教師針對學童特定的能力與特質，運用測驗編製技巧，並且搭配電腦程式的技術運用，讓學童的學習情形藉由作答反應組型呈現出來，提供教師作為診斷學童學習困難與教學改進的參考。也由於認知診斷評量在心理計量與教育領域的崛起，引起許多學者爭相投入研究發展，因此，許多認知診斷模式也不斷被各國學者相繼發表，早期的模型有：

Fischer(1973) 的線性邏輯測驗模式（ linear logistic test model ，簡稱 LLTM ）、 Tatsuoka(1983) 的規則空間 (rule space) 、 Doignon & Falmagne(1985) 的知識空間 (knowledge space) 、Mislevy & Verhelst(1990)的混合策略模式(mixed strategies model)

等幾種較受到各領域廣泛運用的認知診斷評量模型（涂金堂，2003）。特別是由 Tatsuoka 提出的規則空間是一種數學的認知模式概念，可以藉由查看學童在數學四則運算作答的反應組型，來診斷同樣是答錯的學童，但彼此間呈現不同的作答反應組型，可發現學童使用錯誤規則(erroneous rules)來解題，並造成系統化的規律錯誤，而這種規律性錯誤則稱之為「失誤分配」(bug distribution) （余民寧，1995）。此外，在認知診斷上的許多模型，經常會利用到各試題與其概念認知屬性所組成的試題關聯 Q 矩陣來作搭配，例如 DINA、G-DINA 模式等，以估計出學童在測驗中的解題程序、認知狀態或是概念認知屬性的精熟差異。 DINA 模式是近年來相當著名之認知診斷模型，因其簡單且容易理解的特性，單純運用兩參數-猜對和粗心，認為若學童可答對該題，則必須是具備該題所有概

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念，否則缺乏其中任一概念但卻能答對的話，則視為猜對，反之，若學童具備該題所有概念，卻無法答對，則視為粗心。其模式答對機率定義如公式(1)： ) 1 ( ) 1 ( ) | 1 ( ) ( ij ij j j i ij i j P X s g P α = = α = − η −η (1) 而其中，

∏

= = K k q ik ij jk 1 α η ) 1 | 0 ( = = = ij ij j P X s η ) 0 | 1 ( = = = ij ij j P X g η 公式(1)中各變數定義： i α ：表示受試者 i 各認知概念的二分向量具備與否的情形。 ij X ：表示受試者 i 在試題 j 的反應組型。 j s ：受試者具備試題 j 所需的認知概念，卻因粗心答錯該題的機率。 j g ：受試者不具備試題 j 所需的認知概念，卻因猜對而答對該題的機率。 ik α ：表示受試者 i 是否具備第 k 個認知概念，具備該概念其值為 1，無則為 0。 q_jk：表示受試者答對試題 j 是否需要第 k 個認知概念，若需該概念其值為 1，無則為 0。 ij η _{：表示受試者 i 是否具有答對試題 j 所需的所有認知概念，若全部具備則其值} 為 1，反之，若受試者 i 缺少一個以上認知概念，其值為 0。近年許多教育學者的認知診斷模式研究皆以此 DINA 模式進行深入探究，較為知名的有 de la Torre 教授，其提出 DINA 模式中受試者 i 對於試題 j 的反應程序，如

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下圖 2-1：（αi1,αi2,...αik）’ （qj1,qj2,...qjk）’ η_ij 0 1 g _j 1−sj Y _ij 圖圖圖

圖 2-1 受試者 i 對試題 j 的反應過程圖(de la Torre, 2009a)

此外，由於 DINA 模式單純用二分法將學童分為答對與答錯兩類型，而答錯的那一類型，對於只缺乏一概念或是所有概念都未具備的不同類學童並無作區分。因此，de la Torre(2011)認為學童解一數學題目不應當只考量所有概念全部具備才答對，應該針對每個不同的認知概念來作更彈性地估計，因而提出 DINA 模式的一般化模型，稱為 G-DINA 模式，以求能符合更普遍的測驗情境。其模式公式定義如公式(2)：

∏

∑ ∑

∑

₌ ₊ _> − ₊ ₌ + = '* * * 1 * ' ' * 1 ... 12 1 0 * ) ( j j j j j K k lk K k k K K j lk lk jkk lk K k jk j ij Pα δ δ α δ α α δ α (2)

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其中， 0 j δ ：試題 j 的截距。 jk δ ：對於α_k的主要影響因素。 ' jkk δ ：對於α_k和α_k_'的交互影響因素。 * ... 12 K_j j δ ：對於α1,…, * j k α 的交互影響因素。 G-DINA 模式為一般化的模型，由於 G-DINA 將受試者的各種概念認知情形，分別計算其答對機率，複雜性更甚於單純二分法的 DINA 模式，也可以說 DINA 模式是為 G-DINA 模式的一種特例情形。在洞悉認知診斷模型的基本定義後，本研究欲從 DINA 模式或 G-DINA 模式二者之中，採用其一來診斷國小四年級學童學習的小數概念之精熟程度，而這些小數概念內容由淺到深、彼此間都會交互關聯影響，學童在進行本自編之小數概念認知診斷測驗解題時，運用所學習的各個小數概念，也是彼此互相影響，而不是只有將學童學習情形分為答對與答錯。依此根據，研究者先進行判斷本研究實證資料比較適合運用於哪一認知診斷模式來分析，可將學童各概念學習狀況進行更詳盡之探究，詳細模式適配分析待本論文第四章研究討論。

第三節試題關聯結構分析法

試題關聯結構理論乃是指由日本學者竹谷誠在 1980 年代時所提出的試題分析方法，其根據 Airasian & Bart（1973）提出之順序理論（ordering theory），簡稱

OT 理論。再以改良修正，藉由所需概念編擬好之試題，比較各試題間的答對機率高

低，答對率高者為下位概念（lower concept）試題，反之，答對率低者則為上位概念（upper concept）試題，依此規則可找出各試題之間的順序性係數以及各試題之間是

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否有存在著關聯性，並可依據此關聯性繪製成據指向性的試題關聯結構圖。以下試分別敘述試題關聯結構理論內容包含事宜：

壹、順序理論

Airasian & Bart（1973）提出之順序理論，其假設有試題X_i與試題X_j，X_i=0 表

示試題Xi答錯；Xj=1 表示試題Xj答對，若將試題Xi答錯且試題Xj答對的機率表示為 P(X_i=0，Xj=1)，且令 * ij ε = P(Xi=0，Xj=1)，為違反試題Xi是試題Xj下位概念的機率，則當ε > * ij ε ，(0.02<ε <0.04)稱試題X_i到試題X_j有順序性，可表示為X_i → j X 。又將兩試題之邊界聯合機率列入下表：表 2-5 試題試題試題試題Xi與試題與試題與試題與試題Xj聯合與各邊界機率聯合與各邊界機率聯合與各邊界機率聯合與各邊界機率試題X_j=1 試題Xj=0 總計試題 i X =1 P（Xi=1，Xj=1） P（Xi=1，Xj=0） P（Xi=1）試題 i X =0 P（Xi=0，Xj=1） P（Xi=0，Xj=0） P（Xi=0）總計 P（X_j=1） P（X_j=0） 1

貳、試題關聯結構理論

日本學者竹谷誠在 1980 年代時考量兼顧相關程度的順序理論而改良成試題關聯結構理論，竹谷誠認為若試題X_i試題X_j之間有順序性(X_i→X_j)，則Xi與Xj間也應該有相關性，且將試題關聯結構順序性係數γ_ij定義如下：

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ij γ = 1) 0)P(X P(X 1) X 0, P(X 1 j i j i = = = = − (2) 其中，P(X_i=0，Xj=1)表示試題Xi答錯且試題Xj答對的機率。 P(X_i=0) 表示試題X_i答錯的機率。 P(Xj=1) 表示試題Xj答對的機率。而竹谷誠也訂定一閾值（threshold）為常數 0.5，亦即假設若γ_ij≧0.5，則試題 i X 對於試題Xj有存在著順序關係，可以表示為Xi → Xj。而若γij≧0.5，且γji≧ 0.5，則試題X_i與試題X_j存在著雙向的順序關係，可以表示為X_i ↔ X_j。

參、試題關聯結構順序性係數

試題關聯結構順序性係數來表示試題之間的順序程度高低，假設有試題X_i與試題Xj答對與答錯的情形如表 2-6：表 2-6 試題試題試題試題X_i與試題與試題與試題與試題X_j答對與答錯人數統計表答對與答錯人數統計表答對與答錯人數統計表答對與答錯人數統計表試題X_j答對試題X_j答錯總計試題X_i答對 A B A+B 試題X_i答錯 C D C+D 總計 A+C B+D N=A+B+C+D

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其中，A：試題X_i與試題Xj皆答對之人數。 B：試題Xi答對而試題Xj答錯之人數。 C：試題X_i答錯而試題X_j答對之人數。 D：試題Xi與試題Xj皆答錯之人數。 N：N=A+B+C+D，亦為受測之總人數。由上表，可將試題關聯結構順序性係數γ_ij簡化如下式：（許天維，1995） ij γ = D) C)(C (A CN 1 + + − (3) 上表簡化後，有助於更容易藉由公式計算出各試題間的順序性係數，並歸納出所有試題彼此之間是否有順序關係，來整理出試題關聯結構順序性係數總表。試舉一簡例如表 2-7：表 2-7 試題試題試題關聯結構順序性係數試題關聯結構順序性係數關聯結構順序性係數關聯結構順序性係數簡例表簡例表簡例表簡例表試題Xj 試題X_i 1 2 3 4 1 0.32 0.43 0.46 2 0.54* 0.23 0.53* 3 0.63* 0.55* 0.41 4 0.73* 0.38 0.29 註：順序性係數大於閾值 0.5 的加註*

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以上表數據為例，γ₂₁= 0.54 > 0.5，因此試題X₂對於試題X₁有存在著順序關係，可以表示為X2 → X1；γ31= 0.63 > 0.5，因此試題X3對於試題X1有存在著順序關係，可以表示為X3 → X1；γ41= 0.73 > 0.5，因此試題X4對於試題X1有存在著順序關係，可以表示為X4 → X1；γ32= 0.55 > 0.5，因此試題X3對於試題X2有存在著順序關係，可以表示為X₃ → X₂；γ₂₄= 0.53 > 0.5，因此試題X₂對於試題X₄有存在著順序關係，可以表示為X₂ → X₄；藉由上述五個關係式，可歸納出X₃ → X₂ → 4 X → X₁。此外，可將簡例表中，閾值大於等於 0.5 的定為 1，小於 0.5 的定為 0，即可將試題關聯結構順序性係數表再度簡化成以 0 和 1 表示之二分法矩陣，如表 2-8：表 2-8 試題關聯結構順序性係數試題關聯結構順序性係數試題關聯結構順序性係數試題關聯結構順序性係數二分矩陣簡例表二分矩陣簡例表二分矩陣簡例表二分矩陣簡例表試題Xj 試題X_i 1 2 3 4 1 0 0 0 2 1 0 1 3 1 1 0 4 1 0 0 由上述順序性係數表數值，可以很容易繪製出各試題順序性結構圖，以清楚看出各試題間之關聯結構關係。而繪製試題關聯結構圖的方法為以通過率為縱軸座標，在平面上標出試題位置，通過率低的在上面，通過率高的在下面，再使用「→」表示兩試題間的順序性，依照 0 和 1 矩陣表中，若有 1 則在橫軸座標畫出兩試題間的指向箭頭，並簡化去除多餘遞移的指向箭頭或合併等價的試題，即可完成。此外，在教學歷程運用試題關聯結構分析法時，可以提供教師以下功能：

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一、教學設計歷程中藉由試題關聯結構分析了解過去先備概念不足之處，以及未來新概念不足與困難之處，提供教師教學時之參考。二、教師進行完教學後，完成形成性評量時，可利用試題關聯結構分析法作為各試題間分析參考依據，以便了解學童各概念學習情形，進行加強補救教學時分群處理之正確性及有效性。三、在學童習得認知概念架構過程中，利用作答反應的異質反應，來了解學童各概念的學習過程與結構之分佈。四、對於課程與教材的編製者而言，能經由試題關聯結構分析，提供試題架構參考資訊，且讓教師能夠更有系統及架構性省閱試題編製是否完善（許天維， 1995）。而本研究運用試題關聯結構順序性係數γ_ij之計算，整理出各試題間之順序性係數表，藉此係數表數據之簡化呈現，來明確了解各試題間順序關聯結構及上下位關係，搭配各試題間之認知概念屬性，可更明確了解本自編測驗學童學習之概念精熟情形，也讓教師進行概念補救教學時有更多的參考資訊。

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第三章研究方法

本研究使用自編之「國小四年級學童小數概念認知診斷測驗」作為施測工具，藉以蒐集學童作答反應資料，透過認知診斷模式與 IRS 模式探討國小四年級學童小數概念的精熟情形，並且對照 TESTER2 軟體之試題分析結果，以瞭解國小四年級學童在小數概念上產生的迷思概念，提供教師作為診斷教學成效之參考，進而增進學童小數學習之成效。本章將依照研究架構、研究對象、研究工具、研究流程和資料的處理與分析分別闡述如下。

第一節研究架構

本研究根據九年一貫數學領域課程綱要中，第二階段有關學習小數的能力指標，並且蒐集綜合歸納小數相關研究的文獻，定義出本研究的小數概念認知屬性，共分為十項：小數的讀寫、小數的位名與位值、圖形表徵、小數的化聚、小數的稠密性、比較小數的大小、小數與分數互換、公分與公尺關係轉換、計算時對齊小數點、完成進退位加減。依此十項概念認知屬性編製一份「國小四年級學童小數概念認知診斷測驗」，且運用 NAEP 的數學能力評量架構編排測驗的雙向細目表，橫軸為概念理解、程序知識以及問題解決等三個層次。透過施測蒐集學童的作答反應，再使用認知診斷模式與 IRS 模式進行分析，進而能了解學童在小數概念認知屬性的精熟程度。本研究之架構如圖 3-1 所示。

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圖圖圖 圖 3-1 研究架構圖

第二節研究對象

本研究係為自編小數概念認知診斷測驗工具，主要是依據九年一貫數學領域課程綱要之第二階段能力指標所涉及的二位小數以內之小數概念命題，內容範圍在國小四年級學童上學期會學習到的部份，所以施測的研究對象無使用版本不相同的問題。本研究包含試題預試與正式施測兩個階段過程，各階段過程之研究對象分別說明如下：小數概念認知診斷測驗資料整理與試題分析概念認知屬性之探討學童迷思概念之分析 IRS 試題間關聯結構探究

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壹、試題預試紙筆測驗

試題預試的施測對象為九十九學年度上學期已經學習完成二位小數單元內容的國小四年級學童，施測時間為一節課 40 分鐘，採立意取樣，以研究者本身任教學校為主，位於臺中市某一地區，共 4 個班級，有效樣本 112 人。

貳、正式試題紙筆測驗

正式試題的施測對象為一百學年度上學期已經學習完成二位小數單元內容的國小四年級學童，施測時間為一節課 40 分鐘，為了考慮徵求研究對象的便利性，以及時間、經費與人力上的限制等，採用地緣性之立意取樣，選取位於臺中市兩行政區的四所學校，總共 36 個班級，合計有效樣本 955 名學童來進行研究。人數分配統計情形見表 3-1 所示。 表 3-1 正式樣本人數統計表正式樣本人數統計表正式樣本人數統計表 正式樣本人數統計表學校代稱 A 學校 B 學校 C 學校 D 學校合計班級數（班） 11 11 8 6 36 人數（人） 298 312 196 149 955

第三節研究工具

為達成本研究之研究目的，所使用的研究工具為自編的「國小四年級學童小數概念認知診斷測驗」，其編製過程說明如下：

壹、國小四年級學童小數概念認知診斷測驗

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一、測驗內容發展本研究自編的紙筆測驗試題是先參考教育部(2003)實施的九年一貫數學領域課程綱要中，與國小四年級學童所要學習完成的「小數概念」相關符合之能力指標，比如「N-1-10 能認識一位小數，並作比較與加減計算」、「N-2-10 能認識多位小數，理解其比較，及用直式處理加、減與整數倍的計算，並解決生活中的問題」、「N-2-13 能做分數與小數的互換，並標記在數線上」、「N-2-15 能認識測量的普遍單位，並處理相關的計算問題」，再找出對照的分年細目能力指標「3-n-10 能認識一位小數，並作比較與加減計算」、「4-n-09 能認識二、三位小數與百分位、千分位的位名，並作比較」、「4-n-11 能用直式處理二、三位小數加、減與整數倍的計算，並解決生活中的問題」、「4-n-13 能認識長度單位公里，及公里與其他長度單位的關係，並作相關計算」，依據上述分年細目能力指標內容，並且參考國內研究小數概念的相關文獻，以及與一位編製教育測驗評量的專家學者共同討論，訂定出本研究自編測驗試題的十項小數概念認知屬性，詳細內容如表3-2所示。

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表 3-2 小數概念認知屬性與分年細目能力指標對應表小數概念認知屬性與分年細目能力指標對應表小數概念認知屬性與分年細目能力指標對應表 小數概念認知屬性與分年細目能力指標對應表概念編號概念認知屬性分年細目能力指標 K1 能讀寫二位小數 K2 能認識二位小數的位名與位值 K3 能認識圖形表徵所代表的二位小數 K4 能完成二位小數的化聚 K5 能認識二位小數的稠密性 K6 能比較小數的大小 4-n-09 能認識二、三位小數與百分位、千分位的位名，並作比較 3-n-10 能認識一位小數，並作比較與加減計算 K7 能完成小數與分數的互換 4-n-08能理解等值分數，進行簡單異分母分數的比較，並用來做簡單分數與小數的互換 K8 能做公分與公尺的關係轉換 4-n-13 能認識長度單位「公里」，及「公里」與其他長度單位的關係，並作相關計算 K9 能在小數加減計算時先對齊小數點 K10 能完成小數的進退位加減計算 3-n-10 能認識一位小數，並作比較與加減計算 4-n-11能用直式處理二、三位小數加、減與整數倍的計算，並解決生活中的問題本研究緊接著根據十項小數概念認知屬性，進行編製開放性試題（見附錄一），屬於填充題題型，選取研究者任教學校的國小四年級學童三個班共 90 人進行施測，藉以蒐集學童的答案，並觀察學童重複出現的錯誤答案類型，是否符合文獻中研究到的小數迷思概念，亦可作為正式試題的誘答選項。施測蒐集完成加以整理，且參考 NAEP 的數學能力評量架構完成測驗試題之雙向細目表。根據雙向細目表編製試題之後，徵詢國小四年級現職數學教師的意見，討論出題目語意要能夠符合學童的認知發展經驗與適切性，再與教育測驗專家討論試題內容，提供修正意見後，決定測驗試題的內容（見附錄二），皆為選擇題題型，共 21 題，最後由預試結果來進行

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試題的信效度、難度與鑑別度之分析，再修定成正式試題，測驗試題的雙向細目表如表 3-3。 表 3-3 國小四年級學童小數概念國小四年級學童小數概念國小四年級學童小數概念國小四年級學童小數概念認知診斷認知診斷認知診斷測驗雙向細目表認知診斷測驗雙向細目表測驗雙向細目表 測驗雙向細目表概念認知屬性內容概念理解程序執行解題與思考合計 (題數) 能讀寫二位小數並認識其位名位值 1、2、3、4 4 能認識圖形表徵所代表的二位小數 5、6 2 能完成二位小數的化聚 7、8、9 3 能認識二位小數的稠密性 10 1 能比較小數的大小 11、12 2 能完成小數與分數的互換 13、14、15 3 能做公分與公尺的關係轉換 16、17、18 3 小數加減時先對齊小數點並完成計算 19、20、21 3 合計(題數) 5 13 3 21 二、測驗的信效度測驗試題經過預試施測回收後，輸入TESTER2軟體進行統計分析，從信度分析中求得整份測驗的內部一致性Cronbach's α係數為0.83，信度越接近1，表示信度良好 (郭生玉，2001)，統計結果分析如表3-4所示。研究者將測驗預試分析結果與專家學者討論後，認為試題誘答選項的選項率，若連低分組都為0，或高分組選項率高於低分組，則應該予以適當修改或考慮刪除，所以決定把第5題修改選項3、第16題修改選項2、第17題修改選項4，如表3-5所示，並重新修審試題內容的描述，形成正式測驗之試題（見附錄三）。綜合以上所述，本研究之測驗工具依據雙向細目表編製，預試施測後，邀請四位國小教師與一位教育測驗統計的專家學者共同審核試題，期望提高測驗工具的內

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容效度與專家效度。三、測驗的難度與鑑別度有用的測驗試題要具備良好的鑑別度指數，盡量讓有能力會答的學童答對、而沒有能力不會答的學童答錯。鑑別度指數的值域介於-1到+1之間，鑑別度指數愈高，表示該試題的鑑別度愈大，區別高低分組學童答對試題的功能愈佳（余民寧，2008）。而一般可接受的最低標準為0.25以上，低於此標準之下，即可視為鑑別度不佳或品質不良的試題(Noll, Scannell & Craig, 1979)。本研究之四年級小數概念評量測驗試題除第2題以外，其餘之鑑別度皆高於或等於0.25。由於第2題試題內容為評量學童能否正確讀寫出二位小數，屬於基礎問題，不考慮刪除，予以保留。一般而言，難度指數的值域介於0到1之間，愈接近1表示該試題愈容易，答對人數多；反之，愈接近0表示該試題愈困難，答對人數少（余民寧，2008）。而試題的難度指數以接近0.5的試題最為難易適中，因為這樣的試題鑑別度可能達到最大，信度最高(郭生玉，2001)。不過在實際的選題上，要使每一題的難易度都接近0.5是有困難的，因此有學者主張以0.4到0.8之間的範圍作為選擇題的挑選標準(Chase, 1978)。本研究之四年級小數概念認知診斷測驗屬於精熟測驗，施測學童應該都要學會，所以試題難度介於0.4到0.8之間的有18題，占全部試題的86％，大於0.8有3題，占全部試題的14％。測驗中各試題難度、鑑別度的分析結果，數值大部分偏高，如表3-4所示。由此可知，預試工具的試題具有中偏易的難度以及不錯的鑑別度。

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表 3-4 國小四年級學童小數概念認知國小四年級學童小數概念認知國小四年級學童小數概念認知國小四年級學童小數概念認知診斷診斷診斷測驗診斷測驗測驗預試測驗預試預試分析表預試分析表分析表 分析表試題編號難度鑑別度刪題後信度 1 0.70 0.46 0.82 2 0.91 0.11 0.83 3 0.59 0.46 0.82 4 0.46 0.50 0.82 5 0.39 0.64 0.82 6 0.66 0.61 0.82 7 0.71 0.50 0.83 8 0.70 0.61 0.81 9 0.75 0.50 0.82 10 0.63 0.68 0.82 11 0.70 0.54 0.82 12 0.59 0.54 0.83 13 0.41 0.68 0.82 14 0.79 0.43 0.82 15 0.61 0.79 0.81 16 0.64 0.71 0.81 17 0.57 0.79 0.81 18 0.86 0.29 0.82 19 0.71 0.57 0.82 20 0.88 0.25 0.83 21 0.75 0.29 0.83 平均 0.67 0.52 0.83

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表 3-5 國小四年級學童小數概念認知國小四年級學童小數概念認知國小四年級學童小數概念認知國小四年級學童小數概念認知診斷診斷診斷診斷測驗修正分析表測驗修正分析表測驗修正分析表測驗修正分析表試題原內容修改部分修改原因正式試題內容 5.下圖中箭頭↑所指位置是代表哪一個數？○１ 12.3 ○ ２ 1.5 ○３ 1.25 ○４ 1.23 選項○３ 1.25 選項○３1.25 與圖形表徵所標箭號，差距太大，學童不會選擇，所以修改為1.24 5.下圖中箭頭↑所指位置是代表哪一個數？ ○ １ 12.3 ○２ 1.5 ○ ３ 1.24 ○４ 1.23 16. 2公尺5公分的黃緞帶等於多少公尺呢？ ○ １ 205公尺 ○２ 25公尺 ○ ３ 2.5公尺 ○４ 2.05公尺選項○２ 25公尺選項○２25公尺與題目的 2公尺5公分相違背，學童不會選擇，所以修改為0.25，並調整選項 16. 2公尺5公分的黃緞帶等於多少公尺呢？ ○ １ 205公尺 ○ ２ 2.5公尺 ○ ３ 2.05公尺 ○ ４ 0.25公尺 17.哥哥的身高1.8公尺等於幾公尺幾公分呢？ ○ １ 1 公尺 0.8 公分 ○ ２ 1 公尺 8 公分 ○ ３ 1 公尺 80 公分 ○ ４ 1 公尺 800 公分選項○４ 1公尺 800公分選項○４的 800公分不合理，即等於8公尺，學童不會選擇，所以修改為1公尺 0.08公分，並調整選項 17.哥哥的身高1.8公尺等於幾公尺幾公分呢？ ○ １ 1 公尺 0.08 公分 ○ ２ 1 公尺 0.8 公分 ○ ３ 1 公尺 8 公分 ○ ４ 1公尺 80公分

貳、建立試題關聯矩陣

在認知診斷模式中，建立測驗試題的試題關聯矩陣相當重要，即是界定試題與概念認知屬性的關係，把所編製的每一試題可以測量到的概念認知屬性組合起來。

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因此，本研究使用預試紙筆測驗彙整的學生作答反應結果來進行試題關聯矩陣的修正，期望達到最佳的認知診斷測量效果。首先，研究者自己定訂出預試測驗的 Q 矩陣 1，如表 3-6。接者，應用認知診斷模式之程式，在 Ox 軟體中同時輸入 Q 矩陣 1 與學童的二元計分作答反應資料，進行 Q 矩陣的診斷考驗，再依此步驟分別輸入教育測驗專家訂定的 Q 矩陣 2（見附錄四）、另外一位國小教師訂定的 Q 矩陣 3（見附錄五），以及電腦程式判定的 Q 矩陣 4（見附錄六），最後統計 Q 矩陣診斷辨識考驗的總共出現次數，以作為選擇之參考依據。將所有可能的 Q 矩陣及學童作答反應資料透過試題建議屬性規範（Item Suggested Attribute Specification）進行判定，再與教育測驗專家、國小教師群進行再次的討論，藉以確定正式測驗的 Q 矩陣。 表 3-6 Q 矩陣矩陣矩陣矩陣 1 表表表表小數概念認知屬性編號試題 K1 了解二位小數的讀法 K2 了解二位小數的寫法 K3 能認識二位小數的位名與位值 K4 能認識圖形表徵所代表的二位小數 K5 能完成二位小數的化聚 K6 能認識二位小數的稠密性 K7 能比較小數的大小 K8 能完成小數與分數的互換 K9 能做公分與公尺的關係轉換 K10 能在小數加減計算時先對齊小數點 K11 能完成小數的進退位加減計算 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 3 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 4 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 6 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 7 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 8 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0

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表 3-6 Q 矩陣矩陣矩陣 1 表矩陣表表(續表續續續) 9 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 10 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 11 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 12 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 13 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 14 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 15 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 16 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 17 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 18 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 19 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 20 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 21 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 1 合計 3 1 4 2 8 1 2 4 4 3 3 本研究一開始設定「K1 小數的讀寫」為分開之「小數的讀法」與「小數的寫法」，然而在 Q 矩陣界定的過程中，「小數的讀法」與「小數的寫法」實在是每一試題的先備知識概念，很難仔細去分開界定，於是認為應該合併成「K1 小數的讀寫」，期望達成選擇出試題與所要測量的小數概念認知屬性能最符合的 Q 矩陣，依此作為正式測驗使用的 Q 矩陣，如表 3-7 所示。最後，確定使用來分析的小數概念認知屬性與試題之對照表，如表 3-8 所示。

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表 3-7 確定之確定之確定之確定之 Q 矩陣矩陣矩陣矩陣表表表表小數概念認知屬性編號試題 K1 能讀寫二位小數 K2 能認識二位小數的位名與位值 K3 能認識圖形表徵所代表的二位小數 K4 能完成二位小數的化聚 K5 能認識二位小數的稠密性 K6 能比較小數的大小 K7 能完成小數與分數的互換 K8 能做公分與公尺的關係轉換 K9 能在小數加減計算時先對齊小數點 K10 能完成小數的進退位加減計算 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 2 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 3 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 4 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 6 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 7 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 8 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 9 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 10 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 11 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 12 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 13 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 14 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 15 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 16 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 17 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 18 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 19 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 20 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 21 0 0 0 1 0 0 1 1 1 1

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表 3-8 小數概念認知屬性與試題對照表小數概念認知屬性與試題對照表小數概念認知屬性與試題對照表小數概念認知屬性與試題對照表小數概念認知屬性試題題號 K1 能讀寫二位小數 1、2、3、4、6、7 K2 能認識二位小數的位名與位值 1、2、3、4、7、8、9、 11、12、13、19、20 K3 能認識圖形表徵所代表的二位小數 5、6 K4 能完成二位小數的化聚 6、7、8、9、13、14、15、 16、17、18、21 K5 能認識二位小數的稠密性 5、10 K6 能比較小數的大小 10、11、12 K7 能完成小數與分數的互換 13、14、15、21 K8 能做公分與公尺的關係轉換 16、17、18、21 K9 能在小數加減計算時先對齊小數點 19、20、21 K10 能完成小數的進退位加減計算 19、20、21

第四節研究流程

本研究待確定研究方向後，首先參照教育部(2003)公佈實施的九年一貫數學領域課程綱要之內容，找出其中針對國小四年級「小數概念」之相關能力指標，並參考國內外有研究國小學童小數錯誤類型或迷思概念的文獻，歸類出所要測量的小數概念認知屬性，再根據小數概念認知屬性完成自編測驗工具之命題。試題編製後，進行預試試題紙筆測驗，分析學童作答反應結果，再邀請專家學者一同修審試題，以確定正式試題的內容。接著，大量施測，進行國小四年級學童小數概念認知屬性之量的研究，透過適合之認知診斷模式與 IRS 模式，且配合 TESTER2 軟體分析的結果逐一討論。本研究之詳細研究流程如圖 3-2 所示。

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圖圖圖 圖 3-2 研究流程圖研究流程圖研究流程圖 研究流程圖擬定研究主題蒐集及探討相關文獻、分析現行國小數學教材預試並資料建檔編製測驗試題界定所要測量之小數概念認知屬性建立試題關聯矩陣正式施測修審並建立正式試題試題關聯結構之分析認知診斷結果之分析撰寫研究論文數據資料分析與討論