第二章 文獻探討
第三節 試題關聯結構分析法
δj ：試題 j 的截距。
δjk：對於αk的主要影響因素。
jkk'
δ ：對於αk和αk'的交互影響因素。
... *
12 Kj
δj ：對於α1,…, *
kj
α 的交互影響因素。
G-DINA 模式為一般化的模型，由於 G-DINA 將受試者的各種概念認知情形，
分別計算其答對機率，複雜性更甚於單純二分法的 DINA 模式，也可以說 DINA 模 式是為 G-DINA 模式的一種特例情形。
在洞悉認知診斷模型的基本定義後，本研究欲從 DINA 模式或 G-DINA 模式二 者之中，採用其一來診斷國小四年級學童學習的小數概念之精熟程度，而這些小數 概念內容由淺到深、彼此間都會交互關聯影響，學童在進行本自編之小數概念認知 診斷測驗解題時，運用所學習的各個小數概念，也是彼此互相影響，而不是只有將 學童學習情形分為答對與答錯。依此根據，研究者先進行判斷本研究實證資料比較 適合運用於哪一認知診斷模式來分析，可將學童各概念學習狀況進行更詳盡之探 究，詳細模式適配分析待本論文第四章研究討論。
第三節 試題關聯結構分析法
試題關聯結構理論乃是指由日本學者竹谷 誠在 1980 年代時所提出的試題分 析方法，其根據 Airasian & Bart（1973）提出之順序理論（ordering theory），簡稱 OT 理論。再以改良修正，藉由所需概念編擬好之試題，比較各試題間的答對機率高 低，答對率高者為下位概念（lower concept）試題，反之，答對率低者則為上位概念
（upper concept）試題，依此規則可找出各試題之間的順序性係數以及各試題之間是
否有存在著關聯性，並可依據此關聯性繪製成據指向性的試題關聯結構圖。以下試 分別敘述試題關聯結構理論內容包含事宜：
壹、順序理論
Airasian & Bart（1973）提出之順序理論，其假設有試題Xi與試題Xj，Xi=0 表 示試題Xi答錯；Xj=1 表示試題Xj答對，若將試題Xi答錯且試題Xj答對的機率表示 為 P(Xi=0，Xj=1)，且令εij*= P(Xi=0，Xj=1)，為違反試題Xi是試題Xj下位概念的 機率，則當ε >εij*，(0.02<ε <0.04)稱試題Xi到試題Xj有順序性，可表示為Xi →
Xj。又將兩試題之邊界聯合機率列入下表：
表 2-5 試題試題試題試題Xi與試題與試題與試題與試題Xj聯合與各邊界機率聯合與各邊界機率聯合與各邊界機率聯合與各邊界機率
試題Xj=1 試題Xj=0 總計 試題
Xi=1 P（Xi=1，Xj=1） P（Xi=1，Xj=0） P（Xi=1）
試題
Xi=0 P（Xi=0，Xj=1） P（Xi=0，Xj=0） P（Xi=0）
總計 P（Xj=1） P（Xj=0） 1
貳、試題關聯結構理論
日本學者竹谷 誠在 1980 年代時考量兼顧相關程度的順序理論而改良成試題 關聯結構理論，竹谷 誠認為若試題Xi試題Xj之間有順序性(Xi→Xj)，則Xi與Xj間 也應該有相關性，且將試題關聯結構順序性係數γij定義如下：
γij=
1) 0)P(X P(X
1) X 0, 1 P(X
j i
j i
=
=
=
− = (2)
其中，P(Xi=0，Xj=1)表示試題Xi答錯且試題Xj答對的機率。
P(Xi=0) 表示試題Xi答錯的機率。
P(Xj=1) 表示試題Xj答對的機率。
而竹谷 誠也訂定一閾值（threshold）為常數 0.5，亦即假設若γij≧0.5，則試題 Xi對於試題Xj有存在著順序關係，可以表示為Xi → Xj。而若γij≧0.5，且γji≧ 0.5，則試題Xi與試題Xj存在著雙向的順序關係，可以表示為Xi ↔
Xj。
參、試題關聯結構順序性係數
試題關聯結構順序性係數來表示試題之間的順序程度高低，假設有試題Xi與試 題Xj答對與答錯的情形如表 2-6：
表 2-6 試題試題試題試題Xi與試題與試題與試題與試題Xj答對與答錯人數統計表答對與答錯人數統計表 答對與答錯人數統計表答對與答錯人數統計表
試題Xj答對 試題Xj答錯 總計
試題Xi答對 A B A+B
試題Xi答錯 C D C+D
總計 A+C B+D N=A+B+C+D
其中，A：試題Xi與試題Xj皆答對之人數。
B：試題Xi答對而試題Xj答錯之人數。
C：試題Xi答錯而試題Xj答對之人數。
D：試題Xi與試題Xj皆答錯之人數。
N：N=A+B+C+D，亦為受測之總人數。
由上表，可將試題關聯結構順序性係數γij簡化如下式：（許天維，1995）
γij=
D) C)(C (A
1 CN
+
− + (3)
上表簡化後，有助於更容易藉由公式計算出各試題間的順序性係數，並歸納出 所有試題彼此之間是否有順序關係，來整理出試題關聯結構順序性係數總表。
試舉一簡例如表 2-7：
表 2-7 試題試題試題關聯結構順序性係數試題關聯結構順序性係數關聯結構順序性係數關聯結構順序性係數簡例表簡例表簡例表簡例表 試題Xj
試題Xi 1 2 3 4
1 0.32 0.43 0.46
2 0.54* 0.23 0.53*
3 0.63* 0.55* 0.41
4 0.73* 0.38 0.29
註：順序性係數大於閾值 0.5 的加註*
以上表數據為例，γ21= 0.54 > 0.5，因此試題X2對於試題X1有存在著順序關係，
可以表示為X2 → X1；γ31= 0.63 > 0.5，因此試題X3對於試題X1有存在著順序關 係，可以表示為X3 → X1；γ41= 0.73 > 0.5，因此試題X4對於試題X1有存在著順序 關係，可以表示為X4 → X1；γ32= 0.55 > 0.5，因此試題X3對於試題X2有存在著順 序關係，可以表示為X3 → X2；γ24= 0.53 > 0.5，因此試題X2對於試題X4有存在著 順序關係，可以表示為X2 → X4；藉由上述五個關係式，可歸納出X3 → X2 →
X4 → X1。此外，可將簡例表中，閾值大於等於 0.5 的定為 1，小於 0.5 的定為 0，
即可將試題關聯結構順序性係數表再度簡化成以 0 和 1 表示之二分法矩陣，如表 2-8：
表 2-8 試題關聯結構順序性係數試題關聯結構順序性係數試題關聯結構順序性係數試題關聯結構順序性係數二分矩陣簡例表二分矩陣簡例表二分矩陣簡例表二分矩陣簡例表 試題Xj
試題Xi 1 2 3 4
1 0 0 0
2 1 0 1
3 1 1 0
4 1 0 0
由上述順序性係數表數值，可以很容易繪製出各試題順序性結構圖，以清楚看 出各試題間之關聯結構關係。而繪製試題關聯結構圖的方法為以通過率為縱軸座 標，在平面上標出試題位置，通過率低的在上面，通過率高的在下面，再使用「→」
表示兩試題間的順序性，依照 0 和 1 矩陣表中，若有 1 則在橫軸座標畫出兩試題間 的指向箭頭，並簡化去除多餘遞移的指向箭頭或合併等價的試題，即可完成。此外，
在教學歷程運用試題關聯結構分析法時，可以提供教師以下功能：
一、教學設計歷程中藉由試題關聯結構分析了解過去先備概念不足之處，以及未 來新概念不足與困難之處，提供教師教學時之參考。
二、教師進行完教學後，完成形成性評量時，可利用試題關聯結構分析法作為各 試題間分析參考依據，以便了解學童各概念學習情形，進行加強補救教學時 分群處理之正確性及有效性。
三、在學童習得認知概念架構過程中，利用作答反應的異質反應，來了解學童各 概念的學習過程與結構之分佈。
四、對於課程與教材的編製者而言，能經由試題關聯結構分析，提供試題架構參 考資訊，且讓教師能夠更有系統及架構性省閱試題編製是否完善（許天維，
1995）。
而本研究運用試題關聯結構順序性係數γij之計算，整理出各試題間之順序性係 數表，藉此係數表數據之簡化呈現，來明確了解各試題間順序關聯結構及上下位關 係，搭配各試題間之認知概念屬性，可更明確了解本自編測驗學童學習之概念精熟 情形，也讓教師進行概念補救教學時有更多的參考資訊。