第三章 理論模型與實證方法
3.3 共整合檢定
根據 Engle and Granger （1987），共整合（cointegration）的意思是指多個 非定態的變數之間，若是可以找到一組或多組共整合向量，能夠使得這些變數在 經過線性組合後變為定態變數，即可稱這些變數具有共整合關係。共整合關係之 定義：如果已知 𝑦𝑡、 𝑥𝑡 兩變數都是 k 階整合之非定態變數，k > 0，如果其線性 組合之關係為 I（0），則我們可以將 𝑦𝑡、 𝑥𝑡 兩變數稱之為 k 階 k 次共整合
（cointegration of order k, k），符號則記為 CI（k, k）。
共整合分析主要有兩種方法，第一種方法是由 Engle and Granger 所提出，
他們假設變數之間最多只有一組共整合關係，接著採取兩階段的程序，以第一階 段經過最小平方法的殘差項在第二階段進行共整合關係的檢定。第二種方法是由 Johansen 所提出，此方法允許多組共整合關係存在，並以最大概似法進行檢定與 估計，以下將說明此兩種方法。
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3.3.1 Engle-Granger 共整合檢定
Engle and Granger （1987） 提出一個簡單的檢驗流程來檢定兩變數的共整 合關係，首先應該先確定這兩個變數的整合階次是否相同，因為在共整合的定義 中，其中一個條件即為變數需要有相同的整合階次才能進行共整合檢定，因此可 先利用 ADF 單根檢定或 PP 單根檢定來檢測是否具有單根，並檢查這些變數是 否為相同的整合階次，若變數之整合階次相同，即可進行下一步驟；若變數之整 合階次不同，則推論其變數之間不具有共整合關係。
第一階段：若是確定 𝑦𝑡、 𝑥𝑡 為相同階次的序列資料之後，即可利用最小平 方法（OLS）來進行估計，並將估計所得到的殘差項保留起來進行下一步驟。其 OLS 估計式可如下表示：
𝑦𝑡 = 𝛽0+ 𝛽1𝑥1+ 𝑒𝑡 （15）
第二階段：將所得到之殘差項 𝑒𝑡 進行單根檢定，以此來檢驗 𝑒𝑡 是否成為定 態變數，若得到的殘差項之序列為定態的序列 I（0），則表示此兩序列 𝑦𝑡 和 𝑥𝑡 具 有共整合關係；反之，若是得到的殘差項之序列為非定態的序列，也就是說其存 在單根時，則表示此兩序列 𝑦𝑡 和 𝑥𝑡 不具有共整合關係。
Engle-Granger 的兩階段共整合檢定法較簡單易懂，其為透過利用 OLS 估計 之後所得到的殘差項來進行單根檢定，若拒絕其有單根之虛無假設則表示殘差項 為定態序列，則可以得到 𝑦𝑡 和 𝑥𝑡 兩序列具有共整合關係之結論；反之，若無法 拒絕虛無假設時則表示殘差項具有單根，意即其殘差項為非定態之序列，表示 𝑦𝑡 和 𝑥𝑡 兩序列不具有共整合關係。
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3.3.2 Johansen 共整合檢定
Johansen 共整合檢定法與 Engle-Granger 的兩階段共整合檢定法最大之不同 在於其允許多個變數之間可以有多組的共整合向量存在，而且所估計出來的檢定 統計量有良好的分配，也有考慮到資料監所存在的時間序列特性，同時也可以根 據不同的線性模型來做檢定，而 Johansen 使用了向量自我迴歸模型（Vector Autoregression, VAR）來做分析。
假設一落後 p 期的自我迴歸模型如下：
𝑦𝑡 = Φ1𝑦𝑡−1+ Φ2𝑦𝑡−2+ ⋯ + Φ𝑝𝑦𝑡−𝑝+ 𝜀𝑡 （16）
令
𝐷𝑖 = − ∑ Φ𝑠
𝑝
𝑠=𝑖+1
（17）
且
Π = −Φ(1) = −（ 𝐼 − Φ1− Φ2− ⋯ − Φ𝑝） （18）
則 VAR（p）可以改寫成 VECM
∆𝑦𝑡 = Π𝑦𝑡−1+ ∑ 𝐷𝑖∆𝑦𝑡−𝑖+ 𝜀𝑡
𝑝−1
𝑖=1
（19）
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給定 𝑦𝑡 的階次最高為一階，此時有三種情形：
(1) 如果 𝑟𝑎𝑛𝑘(Π) = 0 ，則表示沒有任何 𝑦𝑡 的線性組合為 I（0），亦即表示不 存在共整合關係。
(2) 如果 𝑟𝑎𝑛𝑘(Π) = 𝑘 ，意指 𝑦𝑡 的所有線性組合均為 I（0），亦即 𝑦𝑡 為一定態 之變數。
(3) 如果 𝑟𝑎𝑛𝑘(Π) = 𝑟 ，且 0 < r < k 則表示 𝑦𝑡 具有 k 組共整合關係。
因此，我們可以用 Π 矩陣來檢驗是否存在著共整合關係，這樣的檢驗方法一般 即稱為 Johansen 檢定（Johansen test）。
Johansen 共整合檢定使用最大概似估計法（ Maximum Likelihood Estimator, MLE ）來估計 VECM 之參數，利用這樣的方式可以使用下列兩種檢定統計量來 進行 Johansen 共整合檢定，兩種檢定如下：
(1) 軌跡檢定（Trace test）：
𝜆𝑡𝑟𝑎𝑐𝑒(𝑟) = −𝑇 ∑ 𝑙𝑛(1 − 𝜆̂𝑖)
𝑘
𝑖=𝑟+1
（20）
其中 𝜆̂𝑖 表示經過最大概似估計法對 Π 矩陣所推算出來的矩陣中之特性根估計值，
T 為序列資料之觀察樣本數，其虛無假設與對立假設分別為：
𝐻0：𝑟𝑎𝑛𝑘(𝛱) = 𝑟 𝐻1：𝑟𝑎𝑛𝑘(𝛱) > 𝑟
若無法拒絕虛無假設，則表示有 𝑟 組的共整合關係存在；反之，如果拒絕虛無假 設，則表示有超過 𝑟 組的共整合關係存在。
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(2) 最大特性根檢定（Maximum Eigenvalue test） :
𝜆𝑚𝑎𝑥(𝑟, 𝑟 + 1) = −𝑇𝑙𝑛(1 − 𝜆̂𝑟+1) （21）
其中 𝜆̂𝑖 表示經過最大概似估計法對 Π 矩陣所推算出來的矩陣中之特性根估計值，
T 為序列資料之觀察樣本數，其虛無假設與對立假設分別為：
𝐻0：𝑟𝑎𝑛𝑘(𝛱) = 𝑟 𝐻1：𝑟𝑎𝑛𝑘(𝛱) = 𝑟 + 1
若無法拒絕虛無假設，則表示有 𝑟 組的共整合關係存在；反之，如果拒絕虛無假 設，則表示有 𝑟 + 1 組的共整合關係存在。