第三章 理論模型與實證方法
3.2 單根檢定（Unit root test）
單根（unit root）的概念，首先是由 Fuller （1976）及 Dickey and Fuller （1979）
所提出的。假設給定 AR（p）模型：
𝛽(𝐿)y𝑡= 𝛽0
+ 𝜀
𝑡 （4）如果多項方程式
𝛽(𝑧) = 1 - 𝛽1𝑧 - 𝛽2𝑧2
- … - 𝛽
𝑝𝑧𝑝 = 0 （5）有一個根為 1，則此 AR（p）即為一具有單根之序列。
如果一時間序列具有單根，則其時間序列具有隨機趨勢（stochastic trend），
隨機趨勢是指時間序列資料持續且長期性的隨機移動，以總體經濟學的觀點來說，
這種情況就是經濟體系中的外生衝擊（exogenous shocks），外生衝擊通常是指政
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3.2.1 Augmented Dickey-Fuller 單根檢定
Augmented Dickey-Fuller 單根檢定（ADF unit root test）為時間序列中最常使 用之單根檢定，而此檢定係由 Dickey-Fuller 單根檢定擴充而來的，於迴歸式右
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其中，𝑎0 為截距項，t 為時間趨勢項，𝜀𝑡~𝑖𝑖𝑑(0, 𝜎2)，上述三種型式之 ADF 檢定 的不同之處在於其是否含有截距項𝛼0 或時間趨勢項t 。而其所檢定之虛無假設為 𝐻0：𝛾 = 0 ，若拒絕虛無假設，則表示該時間序列資料沒有單根，意即其資料為 定態；反之，若不能拒絕虛無假設，則表示序列有單根，意即其資料為非定態，
故需要將時間序列資料以差分處理，直到呈現定態。
3.2.2 Phillips-Perron 單根檢定
Phillips-Perron 單根檢定（PP unit root test）是由 Phillips 和 Perron 於 1988 年 所提出的另一種單根檢定，此檢定法同時考量了殘差項存在異質變異及序列自我 相關的情況。PP 檢定是使用了 AR（1）的模型，與 ADF 檢定所使用之 AR（P）
的模型不同，而 PP 檢定之迴歸方程式也有三種，之後對其參數做假設檢定， PP 檢定之三種迴歸方程式如下：
(1) 含截距項與時間趨勢項：
𝑦𝑡 = 𝛼 + 𝜌𝑦𝑡−1+ 𝜃 (𝑡 −1
2𝑇) + 𝑢𝑡 （9）
(2) 只含截距項：
𝑦𝑡= 𝛼 + 𝜌𝑦𝑡−1+ 𝑢𝑡 （10）
(3) 不含截距項與時間趨勢項：
𝑦𝑡 = 𝜌𝑦𝑡−1+ 𝑢𝑡 （11）
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其中，α 為截距項，t 為時間趨勢項，T 為樣本的觀察數，𝑢𝑡 的期望值為 0，但 𝑢𝑡 不一定要符合無序列自我相關或者同質性等條件，PP 檢定可以允許殘差項可 以有弱相依性或者異質變異。而其所檢定之虛無假設為 𝐻0：𝜌 = 1 ，若拒絕虛無 假設，則表示該時間序列資料沒有單根，意即其資料為定態；反之，若不能拒絕 虛無假設，則表示序列有單根，意即其資料為非定態，故需要將時間序列資料以 差分處理，直到呈現定態。
3.2.3 Kwiatkowski-Phillips-Schmidt-Shin 單根檢定
除了上述所提到的 ADF 及 PP 單根檢定之外，還有一種常用的檢定方法就 是 Kwiatkowski-Phillips-Schmidt-Shin 單根檢定（KPSS unit root test），此檢定與 前兩者最大不同之處在於其虛無假設，KPSS 檢定之虛無假設為「變數為定態」。
KPSS 單根檢定是由定性趨勢、random walk 以及一個定態的白噪音（white noise）所組成，即：
𝑦𝑡 = 𝜉𝑡 + 𝜇𝑡+ 𝜀𝑡 （12）
其中，𝜇𝑡 = 𝜇𝑡−1+ 𝑢𝑡 ，𝑢𝑡 ~ 𝑖𝑖𝑑(0, 𝜎𝑢2)，𝜀𝑡~𝑖𝑖𝑑(0, 𝜎𝜀2)。令 𝜇0 為一常數，則在 𝜎𝑢2 = 0，即 𝑢𝑡 為一常數時，上式即可表示為：
𝑦𝑡= 𝜉𝑡 + ( 𝜇0+ 𝑢0 ) + 𝜀𝑡 （13）
換言之，此時 𝑦𝑡 為一定性趨勢變數，將此變數去掉趨勢之後，即可轉為定態變 數。所以在此條件下可以導出一個 LM 統計量，即：
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LM = ∑𝑆𝑡2 𝜎𝜀2
𝑇
𝑡=1
（14）
其中 𝑆𝑡 是指殘差的累積總和，而 𝜎𝜀2 為殘差變異數的估計值。而其所檢定之虛無 假設為 𝐻0：𝜎𝑢2 = 0 （變數為定態），若拒絕虛無假設，則表示該時間序列資料為 非定態，意即其資料有單根；反之，若不能拒絕虛無假設，則表示序列為定態，
意即其資料為沒有單根。