第三章 理論模型與實證方法
3.4 殘差診斷性分析
在簡單線性迴歸模型的基本假設中有六個假設，而其中跟殘差項有關的假設 有四個，分別為「殘差的期望值為 0」、「殘差的變異數為 𝜎2」、「任意兩殘差 𝑒𝑖 和 𝑒𝑗 的共變異數為 0」、「殘差為常態分配，亦即 𝑒 ~ 𝑁( 0 , 𝜎2 )」。總結以上條件，
可以得到殘差必須符合「無自我相關」、「同質變異」、「常態分配」三個條件，否 則估計的參數可能不具有「有效性」，所以必須以各種檢定方法來檢驗之。
3.4.1 序列相關檢定
序列相關檢定的目的就是為了檢測所估計模型之殘差是否仍然存在「自我相 關」，若其存在自我相關則可能會造成估計結果不具有「有效性」。為了避免此種
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情況，常用來檢測是否存在序列相關的檢定就是 Q 檢定（Q-test），以下說明 Q 統計量的設定：首先假設跑迴歸模型所得到的殘差項數列為 𝜀̂𝑡 ，樣本觀察數為 T 個，則先算出殘差的第 𝑖 階自我相關係數 ρ(𝑖) 如下：
ρ(𝑖) = ∑Tt=i+1ε̂tε̂t−i
∑Tt=1ε̂t2 （22）
接著代入 Q 統計量的計算式：
𝑄(𝑝) = T ∑ 𝜌(𝑖)2
𝑝
𝑖=1
（23）
其中p = 1,2,3,…，也就可以計算出 Q（1）,Q（2）,Q（3）,…，這些 Q（p）統 計量背後的虛無假設為：
𝐻0：此變數從 1 到 p 階都沒有自我相關
若不拒絕虛無假設，則表示此變數沒有自我相關；反之，若拒絕虛無假設，則表 示此變數有自我相關，雖然估計出來之迴歸模型結果仍然有「不偏性」，但可能 不具有「有效性」。
3.4.2 條件異質變異檢定
條件異質變異檢定的目的就是為了檢測所估計模型之殘差是否有符合「同質 變異」，若其為「異質變異」則可能會造成估計結果不具有「有效性」，必須進一 步使用加權最小平方法（weight least squares, WLS）來校正殘差中的異質變異，
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並加以估計。為了避免此種情況，常用來檢測是否存在條件異質變異的檢定就是 ARCH-LM 檢定，以下說明 ARCH-LM 檢定的設定：
𝜀𝑡 = 𝑦𝑡− 𝑥𝑡𝑎 （24）
𝜀𝑡 = 𝑣𝑡𝜎𝑡2 （25）
其中，𝑣𝑡 ~ 𝑁(0,1)。若 ARCH（q）存在時，這個模型的變異數方程式可表示為：
𝜎𝑡2 = 𝛼0+ 𝛼1𝜀𝑡−12 + 𝛼2𝜀𝑡−22 + ⋯ + 𝛼𝑞𝜀𝑡−𝑞2 （26）
若無 ARCH（q）存在時，則變異數為一常數，不會變動，其實隱含
𝜎𝑡2 = 𝛼0 （27）
因此，若想要檢定條件異質變異是否存在著 ARCH 效果，虛無假設為：
𝐻0：𝛼1 = 𝛼2 = ⋯ = 𝛼𝑞 = 0
若不拒絕虛無假設，則表示此變數沒有條件異質變異，亦即其為同質變異；反之，
若拒絕虛無假設，則表示此變數為條件異質變異，可能會造成估計出來之迴歸模 型結果不具有「有效性」。
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3.4.3 常態分配檢定
常態分配檢定目的就是為了檢測所估計模型之殘差是否為「常態分配」，若 其不為常態分配則可能會造成估計結果不具有「有效性」。為了避免此種情況，
常用來檢測是否為常態分配的檢定就是 Jarque-Bera 檢定（JB-test），以下說明 JB 統計量的設定：欲計算 JB 統計量，需要先計算出迴歸之殘差的偏態係數（skewness, S）及峰態係數（kurtosis, K），假設迴歸模型中待估計的參數個數為 n，殘差的 樣本總數為 T 個，則 JB 統計量可表示為：
JB = 𝑇 − 𝑛
6 [𝑆2+1
4(𝐾 − 3)2] （28）
JB 統計量的分配是屬於自由度為 2 的卡方分配，而其虛無假設為：
𝐻0 ：被檢定之變數為常態分配
若不拒絕虛無假設，則表示此變數為常態分配；反之，若拒絕虛無假設，則表示 此變數之分配不為常態分配，可能會造成估計出來之迴歸模型結果不具有「有效 性」。
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